1、2020 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标） 一、选择题：本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1已知集合( , )|Ax yx，*yN，y x，( , )|8Bx yxy，则AB 中元素的个数 为() A2B3C4D6 2复数 1 13i 的虚部是() A 3 10 B 1 10 C 1 10 D 3 10 3在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 1 p， 2 p， 3 p， 4 p，且 4 1 1 i i p ，则 下
2、面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是() A 14 0.1pp， 23 0.4ppB 14 0.4pp， 23 0.1pp C 14 0.2pp， 23 0.3ppD 14 0.3pp， 23 0.2pp 4Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数( )(I t t的单位：天）的Logistic模型： 0.23(53) ( ) 1 t K I t e ， 其中K为最大确诊病例数当 * ( )0.95I tK时，标志着已初步遏制疫情，则 * t约为( )( 193)ln A60B63C66D69 5设O为坐标原点，直
3、线2x 与抛物线 2 :2(0)C ypx p交于D，E两点，若ODOE， 则C的焦点坐标为() A 1 ( 4 ，0)B 1 ( 2 ，0)C(1,0)D(2,0) 6已知向量a ，b 满足| 5a ，| 6b ，6a b ，则cosa ，(ab ) A 31 35 B 19 35 C 17 35 D 19 35 7在ABC中， 2 cos 3 C ，4AC ，3BC ，则cos(B ) A 1 9 B 1 3 C 1 2 D 2 3 8如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是() A64 2B44 2C62 3D42 3 9已知2tantan()7 4 ，则tan() A2B1C1D2
4、 10若直线l与曲线yx和圆 22 1 5 xy都相切，则l的方程为() A21yxB 1 2 2 yxC 1 1 2 yxD 11 22 yx 11设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为5P是C 上一点，且 12 F PF P若 12 PFF的面积为 4，则(a ) A1B2C4D8 12已知 54 58， 45 138设 5 log 3a ， 8 log 5b ， 13 log 8c ，则() AabcBbacCbcaDcab 二、填空题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分
5、。 13若x，y满足约束条件 0, 20, 1, xy xy x 则32zxy的最大值为 14 26 2 ()x x 的展开式中常数项是（用数字作答） 15已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 16关于函数 1 ( )sin sin f xx x 有如下四个命题： ( )f x的图象关于y轴对称 ( )f x的图象关于原点对称 ( )f x的图象关于直线 2 x 对称 ( )f x的最小值为 2 其中所有真命题的序号是 三、解答题：共共 7070 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 17172121 题为必考
6、题题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。 17 （12 分）设数列 n a满足 1 3a ， 1 34 nn aan （1）计算 2 a， 3 a，猜想 n a的通项公式并加以证明； （2）求数列2 n n a的前n项和 n S 18 （12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公 园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）: 锻炼人次 空气质量等级 0，200(200，400(400，600
7、1（优)21625 2（良)51012 3（轻度污染）678 4（中度污染）720 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表） ； （3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好” ；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好” 根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联 表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次400人次400 空气质量好 空气质量不好 附： 2 2 () ()()()() n adb
8、c K ab cdac bd 2 ()P Kk0.0500.0100.001 k 3.8416.63510.828 19 （12 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，点E，F分别在棱 1 DD， 1 BB上，且 1 2DEED， 1 2BFFB （1）证明：点 1 C在平面AEF内； （2）若2AB ，1AD ， 1 3AA ，求二面角 1 AEFA的正弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 的离心率为 15 4 ，A，B分别为C的左、 右顶点 （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线6x 上，且| |BPBQ，BPBQ，求AP
9、Q的面积 21 （12 分）设函数 3 ( )f xxbxc，曲线( )yf x在点 1 ( 2 ， 1 ( ) 2 f处的切线与y轴垂直 （1）求b； （2）若( )f x有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：( )f x所有零点的绝对值都不大于 1 （二（二）选考题选考题：共共 1010 分分。请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的第则按所做的第 一题计分。一题计分。 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 2, ( 23 xtt t ytt 为参数且1
10、)t ， C与坐标轴交于A，B两点 （1）求|AB； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 23设a，b，cR，0abc，1abc （1）证明：0abbcca； （2）用max a，b，c表示a，b，c的最大值，证明：max a，b， 3 4c 2020 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。
11、1已知集合( , )|Ax yx，*yN，y x，( , )|8Bx yxy，则AB 中元素的个数 为() A2B3C4D6 【思路分析】利用交集定义求出(7,1)AB ，(6,2)，(5,3)，(4,4)由此能求出AB 中 元素的个数 【解析】 ：集合( , )|Ax yx，*yN，y x，( , )|8Bx yxy， (ABx ， * )|,(7,1) 8, y x yx yN xy ，(6,2)，(5,3)，(4,4) AB 中元素的个数为 4故选：C 【总结与归纳】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2复数 1 13i 的虚部是() A
12、3 10 B 1 10 C 1 10 D 3 10 【思路分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解析】 ： 11313 13(13 )(13 )1010 i i iii ，复数 1 13i 的虚部是 3 10 故选：D 【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 1 p， 2 p， 3 p， 4 p，且 4 1 1 i i p ，则 下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是() A 14 0.1pp， 23 0.4ppB 14 0.4pp， 23 0.1pp C 14 0.2pp， 23 0.
13、3ppD 14 0.3pp， 23 0.2pp 【思路分析】根据题意，求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大 【 解 析 】 ： 法 一 ： （ 通 解 ） 选 项:( )1 0.120.43 0.440.12.5A E x ， 所 以 2222 ( )(12.5)0.1(22.5)0.4(32.5)0.4(42.5)0.10.65D x ； 同理选项:( )2.5B E x ，( )1.85D x ； 选项:( )2.5C E x ，( )1.05D x ； 选项:( )2.5D E x ，( )1.45D x ；故选：B 法二： （光速解） （四川代尔宁补解）标准差是反映数据波动的大
14、小，波动越大，则方差越大， 根据四个选项概率分布可知 B 偏离平均值较大，所以标准差最大. 【总结与归纳】本题考查了方差和标准差的问题，记住方差、标准差的公式是解题的关键 4Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数( )(I t t的单位：天）的Logistic模型： 0.23(53) ( ) 1 t K I t e ， 其中K为最大确诊病例数当 * ( )0.95I tK时，标志着已初步遏制疫情，则 * t约为( )( 193)ln A60B63C66D69 【思路分析】根据所给材料的公式列出方程 0.23(53) 0
15、.95 1 t K K e ，解出t即可 【解析】 ：由已知可得 0.23(53) 0.95 1 t K K e ，解得 0.23(53) 1 19 t e ， 两边取对数有0.23(53)19tln ，解得66t ，故选：C 【总结与归纳】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题 5设O为坐标原点，直线2x 与抛物线 2 :2(0)C ypx p交于D，E两点，若ODOE， 则C的焦点坐标为() A 1 ( 4 ，0)B 1 ( 2 ，0)C(1,0)D(2,0) 【思路分析】利用已知条件转化求解E、D坐标，通过1 ODOE kk ，求解抛物线方程，即 可得到抛物线的焦点坐标
16、 【解析】 ：法一： （通解）将2x 代入抛物线 2 2ypx，可得2yp ，ODOE，可得 1 ODOE kk ， 即 22 1 22 pp ，解得1p ，所以抛物线方程为： 2 2yx，它的焦点坐标 1 ( 2 ，0) 故选：B 法二： （光速解） （四川代尔宁补解）抛物线过顶点 O 垂直的两条弦ODOE，则 DE 直线 过定点(2 ,0)p，则可知221pp，所以焦点坐标为 1 ( ,0) 2 【总结与归纳】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 6已知向量a ，b 满足| 5a ，| 6b ，6a b ，则cosa ，(ab ) A 31 35 B 19 35 C 17 35
17、 D 19 35 【思路分析】利用已知条件求出|ab ，然后利用向量的数量积求解即可 【解析】 ：向量a ，b 满足| 5a ，| 6b ，6a b ， 可得 22 |225 12367abaa bb ， cosa ， 2 ()25619 5 75 735| a abaa b ab a ab 故选：D 【总结与归纳】本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法， 是中档题 7在ABC中， 2 cos 3 C ，4AC ，3BC ，则cos(B ) A 1 9 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【思路分析】先根据余弦定理求出AB，再代入余弦定理求出结论 【解析】 ：在ABC
18、中， 2 cos 3 C ，4AC ，3BC ， 由余弦定理可得 22222 2 2cos432439 3 ABACBCAC BCC ； 故3AB ； 222222 3341 cos 22 3 39 ABBCAC B AB BC ，故选：A 【总结与归纳】本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 8如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是() A64 2B44 2C62 3D42 3 【思路分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公 式计算即可 【解析】 ：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角， 2PAABAC，PA、A
19、B、AC两两垂直，故2 2PBBCPC， 几何体的表面积为： 2 13 322(2 2)62 3 24 故选：C 【总结与归纳】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空 间想象能力，计算能力 9已知2tantan()7 4 ，则tan() A2B1C1D2 【思路分析】 利用两角和差的正切公式进行展开化简， 结合一元二次方程的解法进行求解即 可 【解析】 ：由2tantan()7 4 ，得 tan1 2tan7 1tan ， 即 2 2tan2tantan177tan ，得 2 2tan8tan80， 即 2 tan4tan40，即 2 (tan2)0，则tan2，故
20、选：D 【总结与归纳】 本题主要考查三角函数值的化简和求解， 结合两角和差的正切公式以及配方 法是解决本题的关键难度中等 10若直线l与曲线yx和圆 22 1 5 xy都相切，则l的方程为() A21yxB 1 2 2 yxC 1 1 2 yxD 11 22 yx 【思路分析】根据直线l与圆 22 1 5 xy相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线 与曲线yx求一解可得答案； 【解析】 ：法一： （通解）直线l与圆 22 1 5 xy相切，那么直线到圆心(0,0)的距离等于半径 5 5 ， 四个选项中，只有A，D满足题意； 对于A选项：21yx与yx联立可得：210 xx ，此时：无解；
21、 对于D选项： 11 22 yx与yx联立可得： 11 0 22 xx，此时解得1x ； 直线l与曲线yx和圆 22 1 5 xy都相切，方程为 11 22 yx，故选：D 法二： （通解） （四川代尔宁补解）设直线 l 为ykxb，则 2 |5 5 1 b k （1） 设直线与曲线yx切点为 00 (,)xx，则 0 1 2 0 1 | 2 x x yxk ， （2） 00 xkxb(3) 根据（2） （3）可得： 0 1 2 bx，代入（1）得 0 1x 或 0 1 5 x （舍去） 所以 1 2 kb 【总结与归纳】 本题考查直线与圆的位置关系， 属于基础题， 采用选项检验， 排除思想做
22、题， 有时事半功倍 11设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为5P是C 上一点，且 12 F PF P若 12 PFF的面积为 4，则(a ) A1B2C4D8 【思路分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即可 【解析】 ：法一： （通解）由题意，设 2 PFm， 1 PFn，可得2mna， 1 4 2 mn ， 222 4mnc，5 c e a ，可得 22 4164ca，可得 22 54aa，解得1a 故选：A 法二： （光速解） （四川代尔宁补解） 1 2 2 2 0 44 tan45 PF F
23、 b Sb ， 根据离心率有 2 2 5 c a ， 又因为 222 cba，所以1a 【总结与归纳】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考 查转化思想以及计算能力 12已知 54 58， 45 138设 5 log 3a ， 8 log 5b ， 13 log 8c ，则() AabcBbacCbcaDcab 【思路分析】根据 a b ，可得ab，然后由 8 log 50.8b 和 13 log 80.8c ，得到cb，再 确定a，b，c的大小关系 【解析】 ：法一： （通解通解） （四川代尔宁补解）因为 4 5 88 4 log 8 ,log 5, 5 b，因为
24、 4 545 5 (8 )85，所以 4 5 85，所以 4 5 88 4 log 8log 5 5 b，即 4 5 b 因 为 4 5 1313 4 log 13 ,log 8, 5 c， 因 为 4 545 5 (13 )138， 所 以 4 5 138， 所 以 4 5 1313 4 log 13log 8 5 c，即 4 5 c 因为 4 5 55 4 log 5 ,log 3, 5 a，因为 4 545 5 (5 )56252433，所以 4 5 53，所以 4 5 55 4 log 5log 3, 5 a，即 4 5 a ， 又因为 75 2187353125，所以 75 lg3l
25、g5，所以7lg35lg5，所以 lg35 lg57 ，所以 lg354 lg575 a 而 57 85，所以5lg87lg5，所以 lg55 lg87 ，所以 lg55 lg87 b ，所以cba 法二 ： （通解） 2 25555 55 8 3(38)24 log 3 log 8()1 542 logloglogloga blog ，ab； 54 58， 5 54log 8 ， 5 log 81.25， 8 log 50.8b； 45 138， 13 45log 8， 13 log 80.8c ，cb ，综上，cba故选：A 【总结与归纳】本题考查了三个数大小的判断，指数对数的运算和基本不
26、等式的应用，考查 了转化思想，是基础题 二、填空题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13若x，y满足约束条件 0, 20, 1, xy xy x 则32zxy的最大值为7 【思路分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，32zxy表示直线在 y轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可 【解析】 ：先根据约束条件画出可行域，由 1 20 x xy 解得(1,2)A， 如图，当直线32zxy过点(1,2)A时，目标函数在y轴上的截距取得最大值时，此时z取 得最大值，即当1x ，2y 时，3 1227 max
27、 z 故答案为：7 【总结与归纳】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 14 26 2 ()x x 的展开式中常数项是240（用数字作答） 【思路分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于 0，求得r的值，即可 求得展开式中的常数项的值 【解析】 ：由于 26 2 ()x x 的展开式的通项公式为 12 3 16 2 rrr r TCx ， 令1230r，求得4r ，故常数项的值等于 44 6 2240C，故答案为：240 【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项 公式，求展开式中某项的系数，属于基础题 15已知圆
28、锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 2 3 【思路分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即 可求出球的体积 【解析】 ：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图，圆锥母线3BS ，底面半径1BC ， 则其高 22 2 2SCBSBC， 不妨设该内切球与母线BS切于点D， 令ODOCr，由SODSBC，则 ODBC OSBS ， 即 1 32 2 r r ，解得 2 2 r ， 3 42 33 Vr，故答案为： 2 3 【总结与归纳】本题考查圆锥内切球，考查球的体积公式，数形结合思想，属于中档题 16关于函数 1 ( )s
29、in sin f xx x 有如下四个命题： ( )f x的图象关于y轴对称 ( )f x的图象关于原点对称 ( )f x的图象关于直线 2 x 对称 ( )f x的最小值为 2 其中所有真命题的序号是 【思路分析】根据函数奇偶性的定义，对称性的判定，对称轴的求法，逐一判断即可 【解析】 ：对于，由sin0 x 可得函数的定义域为 |x xk，kZ，故定义域关于原点 对称，由 11 ()sin()sin( ) sin()sin fxxxf x xx ； 所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以错对； 对于， 由 11 ()sin()sin( ) sin()sin fxxxf x xx ， 所以该
30、函数( )f x关于 2 x 对称，对； 对于，令sintx，则 1t ，0)(0，1，由双勾函数 1 ( )g tt t 的性质，可知， 1 ( )(g tt t ，22 ，)，所以( )f x无最小值，错；故答案为： 【总结与归纳】本题考查了函数的基本性质，奇偶性的判断，求函数的对称轴、值域，属于 基础题 三、解答题：共共 7070 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 17172121 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作
31、答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。 17 （12 分）设数列 n a满足 1 3a ， 1 34 nn aan （1）计算 2 a， 3 a，猜想 n a的通项公式并加以证明； （2）求数列2 n n a的前n项和 n S 【思路分析】 （1）利用数列的递推关系式求出 2 a， 3 a，猜想 n a的通项公式，然后利用数 学归纳法证明即可 （2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的前n项和 n S 【解析】 ： （1）数列 n a满足 1 3a ， 1 34 nn aan ， 则 21 345aa， 32 3427aa， 猜想 n a的通项公式为21 n an
32、证明如下：( ) i当1n ，2，3 时，显然成立， ( )ii假设nk时，21() k akkN 成立， 当1nk时， 1 343(21)4232(1)1 kk aakkkkk ，故1nk时成立， 由( )( )i ii知，21 n an，猜想成立， 所以 n a的通项公式21 n an （2）令2(21) 2 nn nn ban，则数列2 n n a的前n项和 12 3 25 2(21)2n n Sn ， 两边同乘 2 得， 231 23 25 2(21)2n n Sn ， 得， 21 3 2222(21)2 nn n Sn 2 1 8(12) 6(21)2 12 n n n ， 所以 1
33、 (21)22 n n Sn 【总结与归纳】本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法和数列求和，考查了转化思 想和计算能力，属中档题 18 （12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公 园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）: 锻炼人次 空气质量等级 0，200(200，400(400，600 1（优)21625 2（良)51012 3（轻度污染）678 4（中度污染）720 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表） ； （3）若某天的
34、空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好” ；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好” 根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联 表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次400人次400 空气质量好 空气质量不好 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 ()P Kk0.0500.0100.001 k 3.8416.63510.828 【思路分析】 （1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方
35、法可得得答案； （3）由公式 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 计算k的值，从而查表即可， 【解析】 ： （1）该市一天的空气质量等级为 1 的概率为： 2162543 100100 ； 该市一天的空气质量等级为 2 的概率为： 5101227 100100 ； 该市一天的空气质量等级为 3 的概率为： 67821 100100 ； 该市一天的空气质量等级为 4 的概率为： 7209 100100 ； （ 2 ） 由 题 意 可 得 ： 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 平 均 人 次 的 估 计 值 为 ： 1000.203000.355000.4
36、5350 x ； （3）根据所给数据，可得下面的22列联表， 人次400人次400总计 空气质量好333770 空气质量不好22830 总计5545100 由表中数据可得： 22 2 ()100(33 83722) 5.8023.841 ()()()()70305545 n adbc K ab cdac bd ， 所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关 【总结与归纳】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题 19 （12 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，点E，F分别在棱 1 DD， 1 BB上，且 1 2DEED， 1
37、 2BFFB （1）证明：点 1 C在平面AEF内； （2）若2AB ，1AD ， 1 3AA ，求二面角 1 AEFA的正弦值 【思路分析】 （1）在 1 AA上取点M，使得 1 2AMAM，连接EM， 1 B M， 1 EC， 1 FC，由 已知证明四边形 1 B FAM和四边形EDAM都是平行四边形，可得 1 / /AFMB，且 1 AFMB， / /ADME，且ADME，进一步证明四边形 11 BC EM为平行四边形，得到 11 / /ECMB，且 11 ECMB，结合 1 / /AFMB，且 1 AFMB，可得 1 / /AFEC，且 1 AFEC，则四边形 1 AFC E 为平行四
38、边形，从而得到点 1 C在平面AEF内； （2）在长方体 1111 ABCDABC D中，以 1 C为坐标原点，分别以 11 C D， 11 C B， 1 C C所在直线 为x，y，z轴建立空间直角坐标系分别求出平面AEF的一个法向量与平面 1 AEF的一个 法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 1 AEFA的余弦值，再由同角三角函数 基本关系式求得二面角 1 AEFA的正弦值 【解答】 （1）证明：在 1 AA上取点M，使得 1 2AMAM，连接EM， 1 B M， 1 EC， 1 FC， 在长方体 1111 ABCDABC D中，有 111 / / /DDAABB，且 111 DDA
39、ABB 又 1 2DEED， 1 2AMAM， 1 2BFFB， 1 DEAMFB 四边形 1 B FAM和四边形EDAM都是平行四边形 1 / /AFMB，且 1 AFMB，/ /ADME，且ADME 又在长方体 1111 ABCDABC D中，有 11 / /ADBC，且 11 ADBC， 11/ / BCME且 11 BCME，则四边形 11 BC EM为平行四边形， 11 / /ECMB，且 11 ECMB， 又 1 / /AFMB，且 1 AFMB， 1 / /AFEC，且 1 AFEC， 则四边形 1 AFC E为平行四边形， 点 1 C在平面AEF内； （2）解：在长方体 111
40、1 ABCDABC D中，以 1 C为坐标原点， 分别以 11 C D， 11 C B， 1 C C所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 2AB ，1AD ， 1 3AA ， 1 2DEED， 1 2BFFB， (2A，1，3)，(2B，0，2)，(0F，1，1)， 1(2 A，1，0)， 则( 2,1, 1)EF ，(0, 1, 1)AE ， 1 (0, 1,2)AE 设平面AEF的一个法向量为 1111 ( ,)nx y z 则 1111 111 20 0 n EFxyz n AEyz ，取 1 1x ，得 1 (1,1, 1)n ； 设平面 1 AEF的一个法向量为 2222 (,)
41、nxyz 则 2222 2122 20 20 n EFxyz nAEyz ，取 2 1x ，得 2 (1,4,2)n 12 12 12 1427 cos, 7| |321 n n n n nn 设二面角 1 AEFA为，则 142 sin1 77 二面角 1 AEFA的正弦值为 42 7 【总结与归纳】本题考查平面的基本性质与推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利 用空间向量求解空间角，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 的离心率为 15 4 ，A，B分别为C的左、 右顶点 （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线6x 上，且| |
42、BPBQ，BPBQ，求APQ的面积 【思路分析】 （1）根据 c e a ， 2 25a ， 22 bm，代入计算 2 m的值，求出C的方程即可； （2）设出P，Q的坐标，得到关于s，t，n的方程组，求出(8,1)AP ，(11,2)AQ ，从 而求出APQ的面积 【解析】 ： （1）由 c e a 得 2 2 2 1 b e a ，即 2 15 1 1625 m ， 2 25 16 m， 故C的方程是： 22 16 1 2525 xy ； （2）由（1）( 5,0)A ，设( , )P s t，点(6, )Qn， 根据对称性，只需考虑0n 的情况， 此时55s ， 5 0 4 t ， | |
43、BPBQ，有 222 (5)1stn， 又BPBQ，50snt ， 又 22 16 1 2525 st ， 联立得 3 1 2 s t n 或 3 1 8 s t n ， 当 3 1 2 s t n 时，(8,1)AP ，(11,2)AQ ， 222 115 ()|8211 1| 222 APQ SAPAQAP AQ ， 同理可得当 3 1 8 s t n 时， 5 2 APQ S， 综上，APQ的面积是 5 2 【总结与归纳】本题考查求椭圆方程以及了直线和椭圆的关系，考查转化思想，是一道综合 题 21 （12 分）设函数 3 ( )f xxbxc，曲线( )yf x在点 1 ( 2 ， 1
44、( ) 2 f处的切线与y轴垂直 （1）求b； （2）若( )f x有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：( )f x所有零点的绝对值都不大于 1 【思路分析】 （1）求出原函数的导函数，由题意可得 2 11 ( )3( )0 22 fb，由此求得b值； （2）设 0 x为( )f x的一个零点，根据题意， 3 000 3 ()0 4 f xxxc，且 0 | 1x，得到 3 00 3 4 cxx ， 由 0 | 1x， 对( )c x求导数， 可得( )c x在 1，1上的单调性， 得到 11 44 c 设 1 x为( )f x的零点， 则必有 3 111 3 ()0 4 f xxxc， 可
45、得 3 11 131 444 cxx ， 由此求得 1 x 的范围得答案 【解答】 （1）解：由 3 ( )f xxbxc，得 2 ( )3fxxb， 2 11 ( )3( )0 22 fb ，即 3 4 b ； （2）证明：设 0 x为( )f x的一个零点，根据题意， 3 000 3 ()0 4 f xxxc，且 0 | 1x， 则 3 00 3 4 cxx ，由 0 | 1x， 令 3 3 ( )( 11) 4 c xxxx ， 2 311 ( )33()() 422 c xxxx ， 当( 1x ， 11 )( 22 ，1)时，( )0c x，当 1 ( 2 x ， 1) 2 时，(
46、)0c x 可知( )c x在 1 ( 1,) 2 ， 1 ( 2 ，1)上单调递减，在 1 ( 2 ， 1) 2 上单调递增 又 1 ( 1) 4 c ，c（1） 1 4 ， 11 () 24 c ， 11 ( ) 24 c， 11 44 c 设 1 x为( )f x的零点，则必有 3 111 3 ()0 4 f xxxc， 即 3 11 131 444 cxx ， 32 1111 32 1111 431(1)(21)0 431(1)(21)0 xxxx xxxx ，得 1 11x ， 即 1 | 1x ( )f x所有零点的绝对值都不大于 1 【总结与归纳】 本题考查利用导数研究过曲线上某
47、点处的切线方程， 考查函数零点与方程根 的关系，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题 （二（二）选考题选考题：共共 1010 分分。请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的第则按所做的第 一题计分。一题计分。 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 2, ( 23 xtt t ytt 为参数且1)t ， C与坐标轴交于A，B两点 （1）求|AB； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程 【思路分析】 （1）可令0 x
48、，求得t，对应的y；再令0y ，求得t，对应的x；再由两点 的距离公式可得所求值； （2）运用直线的截距式方程可得直线AB的方程，再由由cosx，siny，可得所 求极坐标方程 【解析】 ： （1）当0 x 时，可得2(1t 舍去） ，代入 2 23ytt，可得26412y ， 当0y 时，可得2(1t 舍去） ，代入 2 2xtt ，可得2244x ， 所以曲线C与坐标轴的交点为( 4,0)，(0,12)， 则 22 |( 4)124 10AB ； （2）由（1）可得直线AB过点(0,12)，( 4,0)， 可得AB的方程为1 124 yx ， 即为3120 xy， 由cosx，siny，
49、可得直线AB的极坐标方程为3 cossin120 【总结与归纳】 本题考查曲线的参数方程的运用， 考查直线方程的求法和两点的距离公式的 运用，考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于基础题 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 23设a，b，cR，0abc，1abc （1）证明：0abbcca； （2）用max a，b，c表示a，b，c的最大值，证明：max a，b， 3 4c 【思路分析】 （1）将0abc平方之后，化简得到 222 222()0abacbcabc ， 即可得证； （2）利用反证法，假设 3 04a bc，结合条件推出矛盾 【解答】证明： （1）0abc， 2 ()0abc，
50、 222 2220abcabacbc， 222 222()abacbcabc ， 1abc ，a，b，c均不为 0， 222 222()0abacbcabc ， 0abacbc； （2）不妨设 3 04a bc，则 3 11 4 ab c ， 0abc， 3 4abc ， 而 1 1 2 3 3 1 6 6 24 244 4 4 abab ，与假设矛盾， 故max a，b， 3 4c 【总结与归纳】 本题考查基本不等式的应用和利用综合法与反证法证明不等式， 考查了转化 思想，属于中档题 初高中数学教研微信系列群简介： 目前有 11 个群（9 个高中群，2 个初中群） ，共 4000 多优秀、特
