1、第一课时第一课时 (向量的数量积向量的数量积) 一、探究新知一、探究新知 前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，两个实前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，两个实 数可以进行乘法运算，那就出现了一个自然的问题：两个向量是数可以进行乘法运算，那就出现了一个自然的问题：两个向量是 否也可以进行乘法运算呢？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？否也可以进行乘法运算呢？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 我们从物理学中力对物体所做功进行分析我们从物理学中力对物体所做功进行分析. . 如图，一个物体在力如图，一个物体在力F F的作用下的作用下 产生位移产生位移s s，且力，且力F F与位移与
2、位移s s的夹角为的夹角为 ，那么力，那么力F F所做的功所做的功W W是多少？是多少？ s s F F W=|F|s|cosW=|F|s|cos 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种 启示：能否把启示：能否把“功功”看成是两个向量看成是两个向量“相乘相乘”的结果呢的结果呢? ?受此启发受此启发, , 我们引入向量我们引入向量“数量积数量积”的概念的概念. . 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角, ,所以我们先要所以我们先要 定义向量的夹角概念定义向量的夹角概念. . 二、向量
3、的夹角二、向量的夹角 注注 意意 向量夹角的范围是多少？向量夹角的范围是多少？ 0,0, 向量夹角的找法：向量夹角的找法：起点相同起点相同. . 如果向量如果向量 与与 的夹角是的夹角是9090, ,则称则称向量向量 与与 垂直垂直， 记作记作 . . aa a bb b 当当=0 =0 时，时， 与与 同向；同向； 当当=时，时， 与与 反向反向. . a ab b a ab b ab 对于两个非零向量对于两个非零向量 和和 ，如图作，如图作 ，我们就称，我们就称 AOB=AOB=为向量为向量 与与 的夹角的夹角. . b bB B，a aA AOOa ab b ab a a b b A A
4、 O a a B B b b 三、向量的数量积三、向量的数量积 两个向量的数量积是向量还是数量？两个向量的数量积是向量还是数量？ 零向量与任意向量的数量积是多少？零向量与任意向量的数量积是多少？ 两个向量的数量积是数量，这个数量的大小与两个向量的两个向量的数量积是数量，这个数量的大小与两个向量的 长度及其夹角有关长度及其夹角有关. .而向量线性运算的结果是一个向量而向量线性运算的结果是一个向量. . 两个非零向量的数量积为正的条件是什么？两个非零向量的数量积为正的条件是什么？ 两个非零向量的数量积为负的条件是什么？两个非零向量的数量积为负的条件是什么？ 当两个向量的夹角为锐角或当两个向量的夹角
5、为锐角或0 0 时，其数量积为正； 时，其数量积为正； 当两个向量的夹角为钝角或当两个向量的夹角为钝角或180180 时，其数量积为负 时，其数量积为负. . 如果如果 ，是否有，是否有 或或 ? ? 0 0b ba a0 0a a0 0b b否，还可以有否，还可以有=90=90 =| | |cos=| | |cosaba b 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把数量，我们把数量 | | |cos| | |cos叫做向量叫做向量 与与 的数量积的数量积( (或或内积内积),),记作记作 , ,即即aabba b a ab b 零向量与任意向量的数量积是零
6、向量与任意向量的数量积是0 0，即即 0 a =0=0 四、向量数乘的运算律四、向量数乘的运算律 (1)(1) (2)(2) 答：答： 常常常常 记作记作 a aa a 2 2 a a 设设 与与 都是非零向量都是非零向量. . (1)(1)当当 时，时， = =？，反之成立吗？，反之成立吗？ 当当 与与 同向时，同向时， = =？，特别地，？，特别地， = =？ 当当 与与 反向时，反向时， = =？ (2)|(2)| | |与与| | | | |的大小关系如何？的大小关系如何？ a ab b a ab b a ab b a ab b b ba a b ba a b ba a b ba aa
7、 ab b a a a a ab ab =0=0 当当 与与 同向时，同向时， a ab b | |b b| | |a a| |b ba a 特别地，特别地， 2 2 2 2 | |a a| |a aa aa aa aa aa a| |a a| | 2 2 或或 当当 与与 反向时，反向时， a ab b | |b b| | |a a| |b ba a | |b b| | |a a| | |b ba a| | 例例1 1 (1)(1)如图如图, ,平行四边形平行四边形ABCDABCD中，中，. .b bABAB，a aADAD D DC C A A B B a a b b 当当 、 满足条件满
8、足条件_时，时， + + 与与 - - 互相垂直；互相垂直； 当当 、 满足条件满足条件_时，时，| | + + |=| - |.|=| - |. a a b b a ab ba ab b a a b ba a b ba a b b (2)(2)已知已知 ，且，且 与与 的夹角为的夹角为6060 . . + + 与与 的夹角为的夹角为_度；度； - - 与与 的夹角为的夹角为_度度. . a ab b a ab b a ab b a a a a 2 2| |b b| | |a a| | 五、典型例题五、典型例题 注意注意 本题告诉我们：平行四边形法则是解决含两个向量的和及这本题告诉我们：平行四
9、边形法则是解决含两个向量的和及这 两个向量两个向量的的差这类题的方法之一差这类题的方法之一. . 3030 6060 ab| |=| | |=| | ab 例例2 2 已知已知 与与 的夹角的夹角为为120120，求：，求：, ,4 4| |b b| |5 5, ,| |a a| |?a ab b b ba a( (1 1) ) )b b3 3a a( () )b b2 2a a( (2 2) )( (| |b ba a2 2| |( (3 3) ) 五、典型例题五、典型例题 解：解：(1)(1) 2 22 2 = =4 45 5 - - 4 4 ( (- -1 10 0) )+ + 4 4=
10、 = 2 2 3 39 9 c co os s| |b b| | |a a| |b ba a) ) 2 2 1 1 ( (4 45 5 -10-10 ) )b b3 3a a( () )b b2 2a a( (2 2) )( (b bb b6 6b ba aa aa a 2 22 2 | |b b| |6 6b ba a| |a a| | =5=52 2-(-10)-6-(-10)-64 42 2= = -61-61 | |b ba a2 2| |( (3 3) ) 2 2 ) )b ba a( (2 2 2 22 2 | |b b| |b ba a4 4| |a a| |4 4 五、典型例题
11、五、典型例题 解：解： 9 91 12 2 2 25 54 4- - 2 2 2 2 - - 因为因为0,0, ，所以所以= =135135 . . cos= | |b b| | |a a| | b ba a 由由 得得c co os s| |b b| | |a a| |b ba a 例例3 3 已知已知 ，求，求 与与 的夹角的夹角. .2 25 54 4b ba a9 9, ,| |b b| |1 12 2, ,| |a a| |a ab b ab 对于两个非零向量对于两个非零向量 和和 ，作，作 ，我们就称，我们就称 AOB=AOB=为向量为向量 与与 的夹角的夹角. . b bB B，
12、a aA AOOa ab b ab 六、课堂小结六、课堂小结 1.1.向量的夹角：向量的夹角： 2.2.向量的数量积：向量的数量积： 注注 意意 =| | |cos=| | |cosaba b 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把数量，我们把数量 | | |cos| | |cos叫做向量叫做向量 与与 的数量积的数量积( (或或内积内积),),记作记作 , ,即即aabba b a ab b ab ab =0=0 | |b b| | |a a| | |b ba a| | 2 2 2 2 | |a a| |a aa aa aa aa aa a| |a a| | 2 2 或或 cos= cos= ab | | | | | ab 七、巩固提升七、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第2020页练习第页练习第1 1、2 2题题 课堂作业课堂作业: : 第第2222页页习题习题6.26.2第第1010、1111、1212题题
