1、 一、知识回顾一、知识回顾 1.1.平面向量的坐标表示：平面向量的坐标表示： 3.3.两个向量和两个向量和( (差差) )的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和( (差差).). 2.2.一个向量坐标等于该向量终点坐标减去起点坐标，一个向量坐标等于该向量终点坐标减去起点坐标，即即 点点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则 则 (x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1) ) ABAB ab=(xb=(x1 1+x+x2 2,y,y1 1+y+y2 2) ) + + ab=(xb=(x1 1-x-x2 2,
2、y,y1 1-y-y2 2) ) - - 根据平面向量基本定理可知，有且根据平面向量基本定理可知，有且 只有一对实数只有一对实数x x、y y，使得，使得 设与设与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量分轴方向相同的两个单位向量分 别为别为 、 ，j j x x、y y叫做叫做 在在x x轴、轴、y y轴上的坐标轴上的坐标. . a a 有序数对有序数对(x,y)(x,y)叫做叫做 的坐标的坐标, ,记作记作 =(x,y)=(x,y). .a a 此式叫做向量此式叫做向量 的的坐标表示坐标表示. .a a a a =x =x +y +yi ij j a a Ox x y y i j i
3、i 已知已知 =(x,y)=(x,y)，你能得出，你能得出 的坐标吗的坐标吗? ?a a a a ( (x，x，y)y)a a即即 这样我们就得到平面向量数乘运算的坐标表示：这样我们就得到平面向量数乘运算的坐标表示： 这就是说：这就是说： 实数与向量实数与向量的积的积的坐标等于用这个实数乘以向量的相应坐标的坐标等于用这个实数乘以向量的相应坐标. . 二、平面向量数乘运算的坐标表示二、平面向量数乘运算的坐标表示 若若 =(2,1),=(2,1), =(-3,4)=(-3,4)，则，则 _ . . b ba a3 34 a ab b (-6,19)(-6,19) ) )j jy y ( (x xa
4、 ai ij jy y x x i i =(x,y)=(x,y)a a 如何用坐标表示两个向量共线的条件？如何用坐标表示两个向量共线的条件？ 设设 =(x=(x1 1,y,y1 1) )， =(x=(x2 2,y,y2 2) )，其中，其中 . . 、 共线的充要条共线的充要条 件是存在实数件是存在实数，使，使 . . a ab b0 0b b b b a a ? b ba a 如果用坐标表示，可写为：如果用坐标表示，可写为： (x(x1 1,y,y1 1)=(x)=(x2 2,y,y2 2) ) ， y yy y x xx x 即即 2 21 1 2 21 1 消去消去，得，得x x1 1y
5、 y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0 三、平面向量共线的坐标表示三、平面向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示：平面向量共线的坐标表示： 若若 =(4,2),=(4,2), =(6,y)=(6,y)，且，且 ，则，则y=_.y=_. a ab ba ab b3 3 a ab(b( 、b )b )共线共线x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=00 0 (3,6)(3,6)因为因为 = = ， = =A AB BA AC C 例例1 1 已知已知A(-1,-1)A(-1,-1)、B(1,3)B(1,3)、C(2,5)C(2,5)，判断，判断 A A、B B、C C三点
6、之间的位置关系三点之间的位置关系. . 四、典型例题四、典型例题 解解： 如右图，在直角坐标系中作出如右图，在直角坐标系中作出A A、B B、C C三点，三点， (2,4)(2,4) 而而2 26-46-43=03=0， 所以所以A A、B B、C C三点共线三点共线. . 猜想猜想A A、B B、C C三点共线三点共线. . 理由如下：理由如下： 所以所以 A AB BA AC C 又直线又直线ABAB、ACAC有公共点有公共点A A， ) )P PP P( ( 2 2 1 1 P P 2 21 1 OOO 例例2 2 已知点已知点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2 2
7、(x(x2 2，y y2 2) )，点，点P P是线段是线段P P1 1P P2 2上的一点上的一点. . (1) (1)当点当点P P是线段是线段P P1 1P P2 2的中点时，的中点时，求点求点P P的坐标；的坐标； (2) (2)当点当点P P是线段是线段P P1 1P P2 2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P P的坐标的坐标. . 四、典型例题四、典型例题 解解：(1)(1) 如右图，在直角坐标系中作如右图，在直角坐标系中作三个向量三个向量，则，则 O P P1 1 P P2 2 P P ) ) 2 2 y yy y , , 2 2 x xx x ( ( 2 21 12
8、 21 1 若点若点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，线段，线段P P1 1P P2 2的中点的中点P(x,y)P(x,y)，则，则 ，此公式为线段，此公式为线段P P1 1P P2 2的的中点坐标公式中点坐标公式. . 1 12 2 1 12 2 x x+ + x x x x = = 2 2 y y+ + y y x x = = 2 2 所以点所以点P P的坐标为的坐标为 . . 1 12 21 12 2 x x + + x xy y + + y y ( (, ,) ) 2 22 2 例例2 2 已知点已知点P P1 1(x(x1
9、 1，y y1 1) )，P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，点，点P P是线段是线段P P1 1P P2 2上的一点上的一点. . (1) (1)当点当点P P是线段是线段P P1 1P P2 2的中点时，求点的中点时，求点P P的坐标；的坐标； (2) (2)当点当点P P是线段是线段P P1 1P P2 2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P P的坐标的坐标. . 四、典型例题四、典型例题 解解：(2)(2) O P P1 1 P P2 2 P P O P P1 1 P P2 2 P P 当当 时时( (如右图如右图) )，则，则 2 21 1 P PP P 2 2
10、 1 1 P PP P P PP PP PP P 1 11 1 OO 2 21 11 1 P PP P 3 3 1 1 P P O )OO(O 1 12 21 1 P PP P 3 3 1 1 P P 2 21 1 P P 3 3 1 1 P P 3 3 2 2 OO ) ) 3 3 y y2 2y y , , 3 3 x x2 2x x ( ( 2 21 12 21 1 所以点所以点P P的坐标为的坐标为 . . 1 12 21 12 2 2 2x x + + x x2 2y y + + y y ( (, ,) ) 3 33 3 当当 时时( (如右图如右图) )，同理可得：，同理可得： 2
11、 21 1 P PP P2 2P PP P P P的坐标为的坐标为 . . 1 12 21 12 2 2 2x x + + x x2 2y y + + y y ( (, ,) ) 3 33 3 O P P1 1 P P2 2 P P 四、典型例题四、典型例题 已知点已知点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，点，点P P是直线是直线P P1 1P P2 2上的一点上的一点. . 当当 时，点时，点P P的坐标是什么？的坐标是什么？ 2 21 1 P PP PP PP P 五、课堂小结五、课堂小结 1.1.平面向量数乘运算的坐标表示：平面
12、向量数乘运算的坐标表示： 3.3.中点坐标公式：中点坐标公式： 2.2.平面向量共线的坐标表示：平面向量共线的坐标表示： 这就是说：这就是说： 实数与向量实数与向量的积的积的坐标等于用这个实数乘以向量的相应坐标的坐标等于用这个实数乘以向量的相应坐标. . 若点若点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，线段，线段P P1 1P P2 2的中点的中点P(x,y)P(x,y)，则，则 . . 1 12 2 1 12 2 x x+ + x x x x = = 2 2 y y+ + y y x x = = 2 2 =(x,y)=(x,y)a a a ab(b( 、b )b )共线共线x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=00 0 四、巩固提升四、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第3333页练习第页练习第1 1、2 2、3 3、4 4、5 5题题 课堂作业课堂作业: : 第第3636页页习题习题6.36.3第第5 5、6 6、7 7题题
