1、9.2 用样本估计总体用样本估计总体 知识梳理知识梳理 1、频率分布直方图 （1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤： 计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差； 决定组距与组数：当样本容量不超过 100 时，按照数据的多少分成 512 组，且= 极差 组距 组数 ； 将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位 小数分组 列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率 绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以 频率 组距 的值为纵坐标绘制直方图。 （2）频率分布直方图的特点： = 频
2、率 小长方形的面积 组距频率 组距 ， 个小长方形的面积等于 1， 1 = 频率 小长方形的高，所有小长方形的高的和 组距组距 （3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折 线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义 （4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光 滑曲线 ( )yf x 来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值 的规律 2、用样本的平均数估计总体平均数 （1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据； （
3、2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若样本数据个数为偶数， 则取中间两个数据的平均数作为中位数。 （3）平均数：设样本的数据为 12n xxx， ， ，,则样本的算术平均数为 12n xxx x n ； （4）众数、中位数、平均数的异同： 众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量； 平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动； 众数考察各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出 现时，众数往往更能反映问题； 中位数仅与数据的排列位置有关，某些
4、数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也 可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势； 实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位。 （5）平均数相关结论： 如果两组数 12 , n x xx和 12 , n y yy的平均数分别是x和y，则一组数 1122 , nn xy xyxy的平均数是 xy ； 如果一组数 12 , n x xx的平均数为x，则一组数 12 , n kx kxkx的平均数为kx。 如果一组数 12 , n x xx的平均数为x，则一组数 12 , n xa xaxa的平均数为xa 3、用样本的标准差估计总体的标
5、准差 （1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述； （2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； （3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小； 一般地，设样本的数据为 12n xxx， ， ，样本的平均数为x， 定义样本方差为 222 212 ()()() n xxxxxx s n ； 简化公式： 22222 12 1 () n sxxxnx n = 2222 12 1 () n xxxx n （方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方） （4）样本的标准差是方差的算术平方根 样本标准差 222 12 ()()() 0 n xxxxxx ss
6、n ， 标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围 （5）方差相关结论： 如果一组数 12 , n x xx的方差为 2 s，则一组数 12 , n xa xaxa的方差为 2 s； 如果一组数 12 , n x xx的方差为 2 s，则一组数 12 , n kx kxkx的方差为 22 k s。 知识典例知识典例 题型一 频率分布直方图 例 1调查某校高三年级男生的身高，随机抽取 40 名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下： 171163163166166168168160168165 171169167169151168170168160174 1651
7、68174159167156157164169180 176157162161158164163163167161 （1）作出频率分布表； （2）画出频率分布直方图. 【答案】（1）分布表见解析（2）直方图见解析 【分析】 （1）根据所给数据,可得身高的极差,确定分组后,即可得频率分布表. （2）根据频率分布表,可画出频率分布直方图. 【详解】 （1）最低身高 151 cm,最高身高 180 cm,它们的差是180 15129,即极差为 29.确定组距为 4,组数为 8,频率分布表如 下： 分组频数频率 149.5,153.510.025 153.5,157.530.075 157.5,161
8、.560.15 161.5,165.590.225 165.5,169.5140.35 169.5,173.530.075 173.5,177.530.075 177.5,181.510.025 合计401 （2）组距为 4,结合频率分布表,可计算各组的 频率 组距 ,即可得频率分布直方图如下图所示. 巩固练习巩固练习 某校高三年级有 500 名学生，为了了解数学学科的学习情况，现随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩（满分 150 分），制成如下频率分布表： 分组频数频率 80,90 90,1000.050 100,1100.200 110,120120.300 120130,0.275
9、130140,4 140150,0.050 合计 （1）处应分别填什么？ （2）根据频率分布表完成频率分布直方图. （3）试估计该校高三年级在这次测试中数学成绩的平均分. 【答案】（1）处应填 1， 处应填 0.025，处应填 0.100， 处应填 1.000 （2）直方图见解析 （3）117.5 【分析】 （1）由频率分布表，110,120)这组的数据可求得抽取的总人数，从而可得，显然为 1，由总频率为 1 可求得， 从而又能得到； （2）用各组数据中间值乘以频率后相加可得估计值 【详解】 （1） 由统计知识， 知处应填 1.000； 由频率分布表， 知抽出的总人数为 12 40 0.300
10、 .又 4 0.100 40 ， 故处应填 0.100. 1 0.0500.2000.3000.2750.1000.0500.025，故处应填 0.025，又40 0.0251，故处应填 1. （2）频率分布直方图如图所示： （3）利用组中估算得平均数 85 0.02595 0.05 105 0.2 115 0.3 125 0.275 135 0.1 145 0.05117.5，即该校高三年级在这次测 试中数学成绩的平均分约为 117.5 分. 题型二 分位数 例 2下表记录了一个家庭 6 月份每天在食品上面的消费金额：（单位：元） 第 1 天第 2 天第 3 天第 4 天第 5 天第 6 天
11、第 7 天第 8 天第 9 天第 10 天 31292632342834313434 第 11 天第 12 天第 13 天第 14 天第 15 天第 16 天第 17 天第 18 天第 19 天第 20 天 35262735342828303228 第 21 天第 22 天第 23 天第 24 天第 25 天第 26 天第 27 天第 28 天第 29 天第 30 天 32263534353028343129 求该家庭 6 月份每天在食品上面的消费金额的 5，25，50，75，95分位数. 【答案】见解析 【分析】 将所有数据由小到大排列,再分别计算总数 30 的 5,25,50,75,95再
12、进行对应的分位数计算即可. 【详解】 该样本共有 30 个数据,所以 305=1.5,3025=7.5,3050=15,3075=22.5, 3095=28.5 将所有数据由小到大排列得： 26,26,26,27,28,28,28,28,28,29,29,30,30,31,3131,32,32,32,34,34,34,34,34,34,34,35,35. 从而得 5 个百分位数如下表： 百分位数525507595 消费金额/元2628313435 巩固练习巩固练习 根据所给的以下数据:3.81，3.65，3.68，3.83，3.68，3.80，3.72，3.73，3.75，3.80，求他们的
13、75%，50%分位数. 【答案】3.80；3.74 【分析】 将所给数据从小到大排列,根据分位数的计算公式可得解. 【详解】 把这组数据从小到大排列,得 3.65,3.68,3.68,3.72,3.73,3.75,3.80,3.80,3.81,3.83, %75% 107.5inp,所以 75%分位数为 3.80, %50% 105inp,则 50%分位数为 3.73+3.75 =3.74 2 故答案为: 3.80；3.74 题型三 方差与标准差 例 32020 年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速 运转，工人加班加点生产，设该工厂连续
14、5 天生产的口罩数依次为 x1，x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据 x1， x2，x3，x4，x5的方差为 1.44，且 x12，x22，x32，x42，x52的平均数为 4，则该工厂这 5 天平均每天生产口罩_ 十万只. 【答案】1.6 【分析】 由题意结合平均数，方差的定义整理计算即可求得最终结果. 【详解】 设该工厂这 5 天平均每天生产口罩为x， 由题意可得 222 125 4 5 xxx ， 则 22222 12345 20 xxxxx， 由 222 125 1.44 5 xxxxxx ， 可得 2 222 222 125125 51.44 57.2xxxxxxxxx
15、x， 解得 1.6x . 故答案为：1.6 巩固练习巩固练习 已知一组数据的频率分布直方图如下则众数是_，中位数是_，平均数是 _ 【答案】656567 【分析】 由众数、中位数及平均数的概念结合频率分布直方图，计算即可得解. 【详解】 因为最高矩形横坐标的中点为 65，所以众数为 65； 设中位数为60 x，则0.030 100.040.5x，解得5x ，所以中位数为 65； 平均数55 0.03065 0.04075 0.01585 0.01095 0.0051067x . 故答案为：65；65；67. 巩固提升巩固提升 1、对某活动中 800 名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直
16、方图（如图），但是年龄组25,30的数据不慎 丢失，依据此图回答以下问题. （1）年龄组25,30对应小矩形的高度为_； （2）据此估计本次活动中志愿者年龄在25,30内的人数为_. 【答案】0.04.440. 【分析】 （1）通过频率分布直方图中各小长方形面积之和为 1，列方程计算即可； （2）先计算出志愿者年龄在25,35内的频率，再计算人数即可. 【详解】 （1）设年龄组25,30对应小矩形的高度为h，则50.010.070.06+0.021h，解得0.04h ； （2）由（l）得志愿者年龄在25,35内的频率为50.040.070.55，故志愿者年龄在25,35内的人数约为 0.55
17、800440. 故答案为：（l）0.04；（2）440 2、某校年级长为了解本校高三学生一模考试的数学成绩（单位：分），随机抽取 30 名学生的一模数学考试，如下所 示： 110144125638912114512317496 9714211568831161391248598 1321471281339911710311396141 估计该校高三学生一模数学成绩的 25%分位数为_，50%分位数为_. 【答案】96.115.5. 【分析】 先将学生的成绩从小到大排列，分别计算 25%分位数和 50%分位数的位置，再求出这两个数即可. 【详解】 把这 30 名学生的数学成绩按从小到大的顺序排列
18、为 63，68，74，83，85，89，96，96，97，98，99，107，110，113， 115，116，117，121，123，124，125，128，132，133，139，141，142，144，145，147. 因为25% 307.5，所以这 30 名学生一模数学成绩的 25%分位数为从小到大排列后第 8 名学生的成绩，即 96， 因为50% 3015，所以这 30 名学生一模数学成绩的 50%分位数为从小到大排列后第 15 名同学和第 16 名同学成绩 的平均数，即 115 116 115.5 2 . 故答案为：96；115.5 3、某市举行“中学生诗词大赛”，某校有 1000
19、 名学生参加了比赛，从中抽取 100 名学生，统计他们的成绩（单位：分） ， 并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的 80%分位数 为_. 【答案】122. 【分析】 通过计算成绩在 130 分以下的学生和成绩在 110 分以下的学生所占比例，确定 80%分位数所在位置，利用比例求解即 可. 【详解】 根据频率分布直方图可知，成绩在 130 分以下的学生所占比例为1 0.0050 200.9， 成绩在 110 分以下的学生所占比例为10.0125 0.0050200.65， 因此 80%分位数一定位于110,130内， 由 0.80.65
20、11020122 0.90.65 ，故可估计该校学生成绩的 80%分位数为 122. 故答案为：122 4、某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200 人.为了解学生本学期课外阅读情况，现采用分层随机抽样的方法，从中 抽取了 100 名学生，先统计了他们的课外阅读时间，然后按初中学生和高中学生分为两组，再将每组学生的阅读时间 （单位：h）分为 5 组：1,10，10,20，20,30，30,40，40,50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分 布直方图，试估计该校所有学生中，阅读时间不小于 30h 的学生人数为_ 【答案】870 【分析】 由分层抽样求出初中高中各被抽取的人数，再由频
21、率分布直方图计算出频率，然后计算阅读时间不小于 30h 的人数， 相加可得 【详解】 由分层随机抽样，知抽取的初中生有 60 名，高中生有 40 名.因为初中学生中阅读时间不小于 30h 的频率为 0.020.005100.25，所以该校所有的初中学生中，阅读时间不小于 30h 的学生人数约为0.25 1800450，同 理，高中学生中阅读时间不小于 30h 的频率为0.030.005100.35，故该校所有的高中学生中，阅读时间不小于 30h 的学生人数约为0.35 1200420.所以该校所有学生中，阅读时间不小于 30h 的学生人数约为450420870. 故答案为：870. 5、某服装
22、店对过去 100 天实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成频率分布直方图如下： （1）已知该服装店过去 100 天的销售中，实体店和网店的销售量都不低于 50 件的频率为 0.24，求过去 100 天的销售 中，实体店和网店至少有一边销售量不低于 50 件的天数； （2）根据频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值（精确到 0.01）. 【答案】（1）80 （2）52.35 【分析】 （1）由频率分布直方图分别求出网店和实体店销售量不低于 50 件的天数，相加后减去实体店和网店销售量都不低于 50 件的天数可得； （2）网店频率分布直方图中频率为 0.5 对应的点的数值就
23、是中位数即过中位数那一点作横轴垂线，把频率等分 【详解】 （1）由题意，知网店销售量不低于 50 件的天数为0.0680.0460.0100.0085 10066 ，实体店销售量不低 于 50 件的天数为0.0320.0200.012 25 10038 ，实体店和网店销售量都不低于 50 件的天数为 100 0.24=24，故实体店和网店至少有一边销售量不低于 50 件的天数为66382480. （2）由网店销售量频率分布直方图，知销售量低于 50 件的频率为 0.0040.0200.04450.340.5 ，销售量低于 55 件的频率为0.0040.0200.0440.06850.680.5
24、 ，故网店销售量的中位数的估计值为 0.50.34 50552.35 0.34 . 6、已知甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次，每次射靶的成绩情况如图所示. （1）求甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差； （2）请根据甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差，分析谁的射击水平高. 【答案】（1）7x 甲 环，7x 乙 环， 2 1.2s 甲 ， 2 5.4s 乙 ；（2）甲的射击水平高 【解析】 【分析】 结合折线图，套用公式算出两人环数的平均数与方差，平均数相同，方差小的更稳定，射击水平更高. 【详解】 （1）由折线图可知甲射击 10 次中靶环数分别为 9，5，7，8，7，6，8，6，7，7
25、. 乙射击 10 次中靶环数分别为 2，4，6，8，7，7，8，9，9，10. 1 95787686777 10 x 甲 环. 1 246877899 107 10 x 乙 环， 22222 2 1 97577746728721.2 10 s 甲 ， 2222222 2 1 274767772872972107 5.4 10 s 乙 （2）因为xx 甲乙， 22 ss 甲乙， 所以甲的射击稳定性比乙好，故甲的射击水平高. 7、对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下： 分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度数据的平均数、极差、方差，并判断
26、选谁参加比赛比较合适？ 【答案】33x 甲 ，33x 乙 ， 2 15.67s 甲 ， 2 12.67s 乙 .甲的极差为 11，乙的极差为 10，选乙参加比赛比较合适. 【分析】 根据图表，计算出甲、乙的平均数，方差和极差，平均数相等时，方差小的更稳定，由此可得到本题答案. 【详解】 273830373531 33 6 x 甲 ， 332938342836 33 6 x 乙 ， 222222 2 1 2733383330333733353331 3315.67 6 s 甲 222222 2 1 33332933383334332833363312.67 6 s 乙 甲的极差为 11，乙的极差
27、为 10. 由甲、乙平均数相等，乙的方差较小，知选乙参加比赛比较合适. 8、某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利 73 周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为 整数）分成六段40,50，50,60，90,100后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息， 回答下列问题： （1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次竞赛的及格率（60 分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 【答案】（1）0.3 （2）75%；71 【分析】 （1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于 1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，
28、补全这个频率分布直方图即 可 （2）求出 60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘 以各组的频率和为平均值 【详解】 解：（1）因为各组的频率和等于 1， 故第四组的频率： 4 1(0.0250.01520.010.005) 100.3p ， 频率分布直方图第四小组的纵坐标是： 0.3 0.03 10 ， 则频率分布直方图如下图所示： （2）依题意，60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为(0.0150.030.0250.005) 100.75， 所以，抽样学生成绩的合格率是75%， 利用组中值估算抽样学生的平均分为： 12
29、3456 455565758595pppppp 45 0.1 55 0.1565 0.1575 0.385 0.2595 0.0571， 所以估计这次考试的平均分是 71. 9、我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得 了某年 100 个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照0,2)，2,4)，4,6)，6,8)，8,10分成 5 组，制成了如 图所示的频率分布直方图. （1）记事件 A：“全市家庭月均用水量不低于 6t”，求( )P A的估计值； （2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计
30、值（精确到 0.01）； （3）求全市家庭月均用水量的 25%分位数的估计值（精确到 0.01）. 【答案】（1）0.3；（2）4.92 t.；（3）3.18t 【分析】 （1）通过频率分布直方图求得6,10的频率，由此求得 P A的估计值. （2）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出全市家庭月均用水量平均数的估计值. （3）通过频率分布直方图，计算出累计频率为0.25的位置，从而求得全市家庭月均用水量的 25%分位数的估计值. 【详解】 （1）由直方图可知( )P A的估计值为( )(0.090.06)20.3P A . （2）因为0.062 10.11 2 30.18 2 50.092 70.062 94.92 . 因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为 4.92 t. （3）频率分布直方图中，用水量低于 2 t 的频率为0.0620.12. 用水量低于 4 t 的频率为0.0620.11 20.34. 故全市家庭月均用水量的 25%分位数的估计值为 0.250.12 223.18( ) 0.22 t .
