（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册2.2 基本不等式讲义（学生版+教师版）.zip

基本不等式基本不等式 要点一：基本不等式要点一：基本不等式 1.对公式及的理解. 22 2abab 2 ab ab （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；, a b, a b （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.ab 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 22 2abab 2 ab ab （同号） ；2 ba ab , a b （异号） ；2 ba ab , a b 或 22 2 (0,0) 11 22 abab abab ab 22 2 ()(0,0) 22 abab abab 要点诠释：要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：. 22 2abab 22 2 ab ab 2 ab ab 2 () 2 ab ab 要点二：基本不等式要点二：基本不等式的证明的证明 a+b ab 2 方法一：几何面积法方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.ABCD 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.ab 22 ab 这样，4 个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于 4 个直角三角形的面2abABCD 22 ab 积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形 22 2ababab 缩为一个点，这时有.EFGH 22 2abab 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） + ,Ra b 22 2ababab 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：0a 0b abab 如果，,则， （当且仅当时取等号“=”）.0a 0b 2ababab 通常我们把上式写作：如果，,， （当且仅当时取等号“=”）0a 0b 2 ab ab ab 方法二：代数法方法二：代数法 ， 222 2()0ababab 当时，；ab 2 ()0ab 当时，.ab 2 ()0ab 所以， （当且仅当时取等号“=”）. 22 ()2ababab 要点诠释：要点诠释： 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：0a 0b abab 如果，,则， （当且仅当时取等号“=”）.0a 0b 2ababab 通常我们把上式写作： 如果，,， （当且仅当时取等号“=”）.0a 0b 2 ab ab ab 要点三：基本不等式要点三：基本不等式的几何意义的几何意义 2 ab ab 如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点 D，ABCABACaBCbCDCAB 连接、.ADBD 易证，那么，即.Rt ACDRt DCB 2 CDCA CBCDab 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即 2 ba CDab ba 2 C 时，等号成立.ab 要点诠释：要点诠释： 1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述 2 ba , a bab, a b 为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙 2 ba , a bab, a b 述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 要点四：用基本不等式要点四：用基本不等式求最大（小）值求最大（小）值 2 ab ab 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等一正二定三取等. 一正：一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：要点诠释： 1两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求 a，b 都是实数，后者 22 2abab 2 ab ab 要求 a，b 都是正数.如是成立的，而不成 22 ( 3)( 2)2 ( 3) ( 2) ( 3)( 2) 2 ( 3) ( 2) 2 立. 【典型例题典型例题】 类型一：对公式类型一：对公式及及的理解的理解 22 2abab 2 ab ab 例例 1. ，给出下列推导，其中正确的有 .0a 0b （1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为 1 ab ab 2 2 11 ()()ab ab 4 1 4 a a .2 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列结论正确的是() A当 x1 时，的最小值为 2 B当 x0 时， 2 2 1 x x 1 2x x C当 x2 时，的最小值为 2 D当 0 x2 时，无最大值 1 x x 1 x x 【变式 2】已知函数， （a0） ，x（0，b） ，则下列判断正确的是（ ） 2 ( ) ax f x x A当时，f（x）的最小值为ba2 a B当时，f（x）的最小值为0ba2 a C当时，f（x）的最小值为0ba 2 ab b D对任意的 b0，f（x）的最小值均为2 a 类型二：类型二：利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式 例例 2. 已知、都是正数，求证：abc()()()8ab bc caabc 例例 3.已知，求证:3a 4 7 3 a a 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知、都是正数，求证：.xy2 yx xy 【变式 2】已知 a0，b0，c0，求证：. bccaab abc abc 类型三：类型三：利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例例 4. 求函数()的最小值. 9 ( )4 5 f xx x 5x 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？0 x x 2 2 81 ( )f xx x 【变式 2】已知，求的最大值.0 x 16 ( )204f xx x 例例 5. 已知 x0，y0，且，求 x+y 的最小值. 19 1 xy 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 x0，y0，且 2xy1，则的最小值为_； 11 xy 【变式 2】若直线过点(1，1)，则 a+b 的最小值等于( )1(00) xy ab ab ， A2 B3 C4 D5 例例 6.已知，,0a b （1）若,求的最小值；4ab ab （2）若,求的最大值.4abab 类型四：利用类型四：利用基本不等式解应用题基本不等式解应用题 例例 7.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围 成 (1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长 最小？ 【变式 1】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆 数，单位：辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均车长 (单位：米)的l 值有关，其公式为 F lvv v 2018 76000 2 ()如果不限定车型， 6.05，则最大车流量为辆/小时；l ()如果限定车型， 5，则最大车流量比()中的最大车流量增加辆/小时l 【变式 2】某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部xym 是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省? 2 8mxy 【巩固练习巩固练习】 1已知 x，yR，且满足，则 xy 的最大值为_1 34 xy 2. 设 x，y 是正实数，且 x+y=1，则的最小值是_ 22 21 xy xy 3. 已知 x，yR，且 x4y1，则 xy 的最大值为_ 4. 若对任意 x0，恒成立，则 a 的取值范围是_ 2 31 x a xx 5. 有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间 用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示)，则围成场地的最大面积为_(围墙的厚度不 计) 6. 若，则为何值时有最小值，最小值为几？1xx 1 1 x x 7. 已知 a，b，c 都是正数，且 abc1，求证：. 111 9 abc 8. 若 a0，b0，且+ a 1 b 1 ab ()求 a3+b3的最小值； ()是否存在 a，b，使得 2a+3b6？并说明理由 基本不等式基本不等式 要点一：基本不等式要点一：基本不等式 1.对公式及的理解. 22 2abab 2 ab ab （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；, a b, a b （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.ab 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 22 2abab 2 ab ab （同号） ；2 ba ab , a b （异号） ；2 ba ab , a b 或 22 2 (0,0) 11 22 abab abab ab 22 2 ()(0,0) 22 abab abab 要点诠释：要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：. 22 2abab 22 2 ab ab 2 ab ab 2 () 2 ab ab 要点二：基本不等式要点二：基本不等式的证明的证明 a+b ab 2 方法一：几何面积法方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.ABCD 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.ab 22 ab 这样，4 个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于 4 个直角三角形的面2abABCD 22 ab 积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形 22 2ababab 缩为一个点，这时有.EFGH 22 2abab 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） + ,Ra b 22 2ababab 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：0a 0b abab 如果，,则， （当且仅当时取等号“=”）.0a 0b 2ababab 通常我们把上式写作：如果，,， （当且仅当时取等号“=”）0a 0b 2 ab ab ab 方法二：代数法方法二：代数法 ， 222 2()0ababab 当时，；ab 2 ()0ab 当时，.ab 2 ()0ab 所以， （当且仅当时取等号“=”）. 22 ()2ababab 要点诠释：要点诠释： 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：0a 0b abab 如果，,则， （当且仅当时取等号“=”）.0a 0b 2ababab 通常我们把上式写作： 如果，,， （当且仅当时取等号“=”）.0a 0b 2 ab ab ab 要点三：基本不等式要点三：基本不等式的几何意义的几何意义 2 ab ab 如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点 D，ABCABACaBCbCDCAB 连接、.ADBD 易证，那么，即.Rt ACDRt DCB 2 CDCA CBCDab 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即 2 ba CDab ba 2 C 时，等号成立.ab 要点诠释：要点诠释： 1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述 2 ba , a bab, a b 为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙 2 ba , a bab, a b 述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 要点四：用基本不等式要点四：用基本不等式求最大（小）值求最大（小）值 2 ab ab 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等一正二定三取等. 一正：一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：要点诠释： 1两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求 a，b 都是实数，后者 22 2abab 2 ab ab 要求 a，b 都是正数.如是成立的，而不成 22 ( 3)( 2)2 ( 3) ( 2) ( 3)( 2) 2 ( 3) ( 2) 2 立. 【典型例题典型例题】 类型一：对公式类型一：对公式及及的理解的理解 22 2abab 2 ab ab 例例 1. ，给出下列推导，其中正确的有 .0a 0b （1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为 1 ab ab 2 2 11 ()()ab ab 4 1 4 a a .2 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），（当且仅当时取等）0a 0b 11 22 2abab abab 2 2 ab . （2），（当且仅当时取等号）.0a 0b 112 ()()24abab abab ab （3），0a 111 442 (4)42 444 aaa aaa （当且仅当即时取等号） 1 4 4 a a 413aa ， ，与矛盾，上式不能取等号，即0a 3a 1 2 4 a a 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列结论正确的是() A当 x1 时，的最小值为 2 B当 x0 时， 2 2 1 x x 1 2x x C当 x2 时，的最小值为 2 D当 0 x2 时，无最大值 1 x x 1 x x 【答案】B 【变式 2】已知函数， （a0） ，x（0，b） ，则下列判断正确的是（ ） 2 ( ) ax f x x A当时，f（x）的最小值为ba2 a B当时，f（x）的最小值为0ba2 a C当时，f（x）的最小值为0ba 2 ab b D对任意的 b0，f（x）的最小值均为2 a 【答案】，当时， 2 ( ) axa f xx xx ba( )2f xa 当且仅当，即时取等号；当，y=f（x）在（0，b）上单调递减， a x x xa0ba ，故 f（x）不存在最小值；故选 A。 2 ( ) ab f x b 类型二：类型二：利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式 例例 2. 已知、都是正数，求证：abc()()()8ab bc caabc 【解析】、都是正数， （当且仅当时，取等号） abc20ababab （当且仅当时，取等号）20bcbcbc （当且仅当时，取等号） 20cacaca （当且仅当时，取等号）()()()2228ab bc caabbccaabcabc 即.()()()8ab bc caabc 例例 3.已知，求证:3a 4 7 3 a a 【解析】 444 (3)32(3)32 437 333 aaa aaa （当且仅当即,等号成立）. 4 3 3 a a 5a 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知、都是正数，求证：.xy2 yx xy 【答案】、都是正数 ，xy0 x y 0 y x （当且仅当即时,等号成立）22 xyx y yxy x yx xy xy 故.2 yx xy 【变式 2】已知 a0，b0，c0，求证：. bccaab abc abc 【答案】证明：a0，b0，c0， ， 2 22 bcacabc c abab ， 2 22 acaba bc a bcbc . 2 22 bcabab c b acac . bccaab abc abc 类型三：类型三：利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例例 4. 求函数()的最小值. 9 ( )4 5 f xx x 5x 【解析】，5x 50 x 99 ( )4(5)202 4(5)2032 55 f xxx xx （当且仅当即时，取等号） 9 4(5) 5 x x 3 5 2 x 故当时，函数()的最小值为 32. 13 2 x 9 ( )4 5 f xx x 5x 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？0 x x 2 2 81 ( )f xx x 【答案】，0 x 2 0 x 22 22 8181 ( )218f xxx xx （当且仅当即时，取等号） 2 2 81 x x 3x 故当时，的值最小为 18.3x 2 2 81 x x 【变式 2】已知，求的最大值.0 x 16 ( )204f xx x 【答案】，0 x 0 x （当且仅当，即时，等号成立） 44 ()2 ()2 24xx xx 4 x x 2x （当且仅当，即时，等号成立） 4 ( )204()204 44f xx x 4 x x 2x 故当时，的最大值为 4. 2x ( )f x 例例 5. 已知 x0，y0，且，求 x+y 的最小值. 19 1 xy 【解析】方法一：方法一：， 19 1 xy 199 ()10 yx xyxy xyxy x0，y0， 99 26 yxyx xyxy （当且仅当，即 y=3x 时，取等号） 9yx xy 又，x=4，y=12 19 1 xy 当 x=4，y=12 时，x+y 取最小值 16. 方法二：方法二：由，得 19 1 xy 9 y x y x0，y0，y9 9999 1(9)10 9999 yy xyyyyy yyyy y9，y90， 99 92 (9)6 99 yy yy （当且仅当，即 y=12 时，取等号，此时 x=4） 9 9 9 y y 当 x=4，y=12 时，x+y 取最小值 16. 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 x0，y0，且 2xy1，则的最小值为_； 11 xy 【答案】 32 2 【变式 2】若直线过点(1，1)，则 a+b 的最小值等于( )1(00) xy ab ab ， A2 B3 C4 D5 【答案】 由已知得， 11 1 ab 则， 11 ()()2 ba abab abab 因为 a0，b0，所以22， baba aba b 因为 a0，b0，所以22， baba aba b 故 a+b4，当，即 a=b=2 时取等号 ba ab 例例 6.已知，,0a b （1）若,求的最小值；4ab ab （2）若,求的最大值.4abab 【解析】 （1）方法一：方法一：且,0a b 4ab ，即（当且仅当时取等号）24abab4ab2ab ，的最小值为 4.2abab 方法二：方法二：且,0a b 4ab ，即（当且仅当时取等号） 44 24abaa aa 4ab2ab ，的最小值为 4.2abab （2）方法一：方法一： ，即（当且仅当时取等号）,0a b 42abab4ab2ab ，的最大值为 4.2abab 方法二：方法二： ， （当且仅当时取等号）,0a b 2 ()4 2 ab ab 2ab ，的最大值为 4.2abab 类型四：利用类型四：利用基本不等式解应用题基本不等式解应用题 例例 7.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围 成 (1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长 最小？ 【解析】 (1)设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则由条件知 4x6y36，即 2x3y18. 设每间虎笼面积为 S，则 Sxy. 由于，得，232 232 6xyxyxy2 618xy 27 2 xy 即，当且仅当 2x3y 时等号成立 27 2 S 由，解得 2318 23 xy xy 4.5 3 x y 故每间虎笼长为 4.5 m、宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大 (2)由条件知 Sxy24.设钢筋网总长为 l，则 l4x6y. ，232 232 624xyxyxy l4x6y2(2x3y)48， 当且仅当 2x3y 时等号成立 由，解得. 23 24 xy xy 6 4 x y 故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时，可使钢筋网总长最小 【变式 1】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆 数，单位：辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均车长 (单位：米)的l 值有关，其公式为 F lvv v 2018 76000 2 ()如果不限定车型， 6.05，则最大车流量为辆/小时；l ()如果限定车型， 5，则最大车流量比()中的最大车流量增加辆/小时l 【答案】()F， 18 121 76000 2018 76000 2 v v lvv v v222，当 v11 时取最小值， v 121 121 ，1900 18 121 76000 F v v 故最大车流量为：1900 辆/小时； ()F， lvv v 2018 76000 2 10018 76000 2 vv v 18 100 76000 v v v220， v 100 100 F2000， 20001900100(辆/小时) 故最大车流量比()中的最大车流量增加 100 辆/小时 【变式 2】某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部xym 是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省? 2 8mxy 【解析】由题意可得， 1 8 22 x x yx . 2 8 8 4 (04 2) 4 x x yx xx 于是，框架用料长度为 2 222 2 lxyx . 3163 (2)2 16(2)4 64 2 22 x x 当，即时等号成立. 316 (2) 2 x x 4 84 2 3 2 2 x 此时，.2.343x 2 22.828y 故当约为 2.343 m，约为 2.828 m 时用料最省.xy 【巩固练习巩固练习】 1已知 x，yR，且满足，则 xy 的最大值为_1 34 xy 1 【答案】3【解析】由为定值知：1 34 xy . 当且仅当时 xy 有最大值 3. 2 34 12123 3 42 xy x y xy 34 xy 2. 设 x，y 是正实数，且 x+y=1，则的最小值是_ 22 21 xy xy 2 【答案】【解析】设 x=2=s，y+1=t，则 s+t=x+y+3=4， 1 4 2222 (2)(1)41 (4)(2) 21 4141 ()()6()2 xyst st xystst st stst 因为 411 411 49 ()()(4) 444 ts st ststst 所以。 22 1 214 xy xy 3. 已知 x，yR，且 x4y1，则 xy 的最大值为_ 3. 【答案】 1 16 【解析】，当且仅当时取等号 2 1141 4 44216 xy xyxy 1 4 2 xy 4. 若对任意 x0，恒成立，则 a 的取值范围是_ 2 31 x a xx 4. 答案: 【解析】，又 1 5 a 2 1 1 31 3 x a xx x x 1 2x x ， 11 1 5 3x x 1 5 a 5. 有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间 用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示)，则围成场地的最大面积为_(围墙的厚度不 计) 5. 【答案】2500 m2 【解析】设所围场地的长为 x，则宽为，其中 0 x200， 200 4 x 场地的面积为，当且仅当 x100 时等号成立 2 2 2001200 2500m 442 xxx x 6. 若，则为何值时有最小值，最小值为几？1xx 1 1 x x 6. 【解析】, ,1x 10 x 11 112 11 11 xx xx 当且仅当即时，原式有最小值 1. 1 1 1 x x 0 x 7. 已知 a，b，c 都是正数，且 abc1，求证：. 111 9 abc 7.【解析】 证明：a，b，c 都是正数，且 abc1， 1 1 abcbc aaaa ， . 1 1 abcac bbbb 1 1 abcab cccc 111 1113 bcacabbacbac abcaabbccabbcca 32229，3222 b ac ba c a bb cc a 当且仅当 abc 时取等号 . 111 9 abc 8. 若 a0，b0，且+ a 1 b 1 ab ()求 a3+b3的最小值； ()是否存在 a，b，使得 2a+3b6？并说明理由 8.【解析】()a0，b0，且+， a 1 b 1 ab +2，ab2，当且仅当 ab时取等号ab a 1 b 1 ab 1 2 a3+b3 224，当且仅当 ab时取等号， 3 )(ab 3 222 a3+b3的最小值为 42 ()由(1)可知，2a+3b2246，ba 3 2ab63 故不存在 a，b，使得 2a+3b6 成立