1、第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 . 思考与发现 我们学习过等式的基本性质，你能说 出来几个呢？ 等式有下面的基本性质： 性质 如果ab，那么ba； 性质 如果ab，bc，那么ac； 性质 如果ab，那么acbc； 性质 如果ab，那么acbc； 性质 如果ab，c，那么 c a c b 加减加减 乘 除 运运 算中的算中的 不变性不变性 类比等式的基本性质，你能 猜想不等式的基本性质吗？ 探究1：对称与传递性 性质 如果ab，那么ba； 如果ba，那么ab 即ab ba 性质2 如果ab，b
2、c，那么ac 即 ab，bc ac 蝴蝶效应 思考能否用做差法证明传递性？ 探究2：可加性 性质3 如果ab，那么acbc 这就是说，不等式的两边都加上同一个 实数，所得不等式与原不等式同向 A a A1 a+c B b B1 b+c 探究3：移项 一般地说，不等式中任何一项可以改变符号 后移到不等号的另一边. 用性质2证明 abc acb a+bca+b+(-b)c+(-b)ac-b. 探究4：可乘性 性质 如果ab，c，那么acbc；如果ab，c， 那么acbc 这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不 等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不 等式反向 思考能否用做差
3、法证明可乘性？ 明明如如下下： 因因a ac c- -b bc c = =( (a a- -b b) )c c, , 又又因因a a b b, ,所所以以a a- -b b 0 0. . 所所以以c c 0 0，( (a a- -b b) )c c 0 0, ,故故a ac c b bc c; ; c c 0 0, , ( (a a- -b b) )c c 0 0, ,故故a ac c b，cd，那么acbd， 是否有ab，cd则acbd成立？ 反例：不一定，如31，110， 则3(1)1(10)不成立 2两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？ 不可以两个不同向不等式的两 边不能分别相除，在需
4、要商时，可利 用不等式性质转化为同向不等式相 乘 练习 用不等号 “”或 “”填空： （）如果ab，cd，那么ac bd； （）如果ab，cd，那么acbd； （）如果ab，那么 ； （）如果abc，那么 2 1 a 2 1 b a c b c 例题讲解 例1 已知ab，c， 求证 a c b c 1 1 a a b b 0 0 , ,所所 以以 a a b b 0 0 , , 0 0 . . a a b b 1 11 1 于于 是是 a a b b， a a b ba a b b 1 11 1 即即 . . b ba a c cc c 由由 c c . . a a 为为证证： b b 明 同
5、号的两个不相等 的实数，两边同时 取倒数不等号 改变方向 证明: 思考：还可以利用作差法证明吗？ 思考 糖水加糖后变得 更甜了 已知b克糖水中含有a克糖 （ba），再添加m克 糖 （m）（假设全部溶 解），糖水变甜了 请将这一事实表示为一个不 等式，并证明这个不等式成 立 例题讲解 例2已知6a8,2b3，分别求2ab， ab， 的取值范围 分析解答本题可利用不等式的可加性 和可乘性求解 b a 解6a8,2b3， 122a16. 102ab19. 又 3b2， 9ab6. 又 ， 3 1 b 1 2 1 (1)当0a8时0 4； (2)当6a0时3 0. 由(1)(2)得3 4. b a b
6、 a b a (1)已知12a30,15bb0，cd B. D. c a d b c b d a c a d b c b d a D 解析：方法1：cdd0， 0. 又ab0， ， . d 1 c 1 d a c b d a c b 讨论：用赋值法解决问题 方法2：令a3，b2，c3， d2. 则 1， 1，排除选项 A B. 又 ， ， ，排除选项C. c a d b d a c b 2 3 3 2 d a c b 例4若11，则下列各式中恒成 立的是() A20 B2 1 C10 D1 1 例题讲解 解析：11，11，11， 则有22，又，0. 综上必有20. 注意：不等式 两式三项 只能同时加不能同时减 注意的 使用 练习 补充练习 1 2. 谢谢 观赏
