1、4.5.2函数模型函数模型 的应用实例的应用实例 我们学过的基本初等函数有一次函数我们学过的基本初等函数有一次函数, 二次函数二次函数,反比例函数反比例函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数 以及幂函数以及幂函数.它们都与现实世界有着紧密的它们都与现实世界有着紧密的 联系联系,有着广泛的应用有着广泛的应用. 下面我们通过一些实例下面我们通过一些实例,来感受它们来感受它们 的广泛应用的广泛应用,体会解决实际问题建立函数体会解决实际问题建立函数 模型的过程模型的过程. 讲课人：邢启强 3 1. 1.一次函数的解析式为一次函数的解析式为_ , _ , 其图像是一条其图像是一条_线，当线，当_时，时
2、， 一次函数在一次函数在 上为增函数，当上为增函数，当_ 时，一次函数在时，一次函数在 上为减函数。上为减函数。),( ),( 0 0) )b b( (k kk kx xy y 0 k 0 k 直直 2. 2.二次函数的解析式为二次函数的解析式为_, _, 其图像是一条其图像是一条_线，当线，当_时，时， 函数有最小值为函数有最小值为_，当，当_ _ _时时, , 函数有最大值为函数有最大值为_。 )0( 2 acbxaxy 抛物抛物0 a a bac 4 4 2 0 a a bac 4 4 2 讲课人：邢启强 4 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 5 例例1、一辆汽车在某段路、一辆汽车在某段
3、路 程的行驶速度与时间的程的行驶速度与时间的 关系如图所示。关系如图所示。 (1)、求图中阴影部分、求图中阴影部分 的面积，并说明所求的面积，并说明所求 面积的实际含义；面积的实际含义； (2)、假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程、假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程 前的读数为前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时，试建立汽车行驶这段路程时 汽车里程表读数汽车里程表读数s km与时间与时间 t h的函数解析式，并的函数解析式，并 作出相应的图象。作出相应的图象。 90 80 70 60 50 40 30 20 10 v/(km/h) t/h 1 2 3 4 5 典型例题典型
4、例题 讲课人：邢启强 6 这个函数的图像如这个函数的图像如 右图所示：右图所示： 解解(1)(1)阴影部分的面积为阴影部分的面积为 阴影部分的面积表示汽车在这阴影部分的面积表示汽车在这5 5小时内行驶的路程为小时内行驶的路程为360km360km 360165175190180150 (2) (2)根据图形可得：根据图形可得： S 200450 t10 t 2054) 1(80t21 t 2134)2(90t32 t 2224)3(75t 43 t 2299)4(65t 54 t 点评点评:分段函数是刻画现实问题的重要模型分段函数是刻画现实问题的重要模型. 90 80 70 60 50 40
5、30 20 10 v t 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 7 1. 1.下图中哪几个图像与下述三件事分别吻下图中哪几个图像与下述三件事分别吻 合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事。合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事。 小明离开家不久，发现自己把作业忘在家里，于是返小明离开家不久，发现自己把作业忘在家里，于是返 回家里找到作业再上学回家里找到作业再上学 小明小明骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞， 耽搁了一些时间耽搁了一些时间 小明小明出发后，心情轻松，缓慢行进，后来为了赶时间出发后，心情轻松，缓慢行进，后来为了赶时间 开始加速
6、开始加速 (D) (A) (B) c c对应的参考事件：小明出发后感到时间较紧，所以加对应的参考事件：小明出发后感到时间较紧，所以加 速前进，后来发现速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度。时间还很充裕，于是放慢了速度。 ABC 0 离家 距离 时间 0 时间 0 时间 0 时间 D 离家 距离 离家 距离 离家 距离 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 8 2.2.在一定范围内，某种产品的购买量为在一定范围内，某种产品的购买量为y ty t， 与单价与单价X X元之间满足一次函数关系如果购买元之间满足一次函数关系如果购买 1000t1000t，每吨为，每吨为800800元，如果购买元，如
7、果购买2000t2000t，每吨，每吨 为为700700元，一客户购买元，一客户购买400t400t，单价应该为，单价应该为 （ ） A.820A.820元元 B.840B.840元元 C.860C.860元元 D.880D.880元元 c 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 9 例例2、人口问题是当世界各国普遍关、人口问题是当世界各国普遍关 注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效 控制人口增长提供依据。早在控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学年，英国经济学 家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：家马尔萨斯就提出了自然状态下的人
8、口增长模型： y = y0 ert，其中其中t表示经过的时间，表示经过的时间，y0表示表示t=0时的人时的人 口数，口数，r表示人口的年增长率。表示人口的年增长率。 (1)、如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一、如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一 时期的人口增长率时期的人口增长率(精确到精确到0.0001)，用马尔萨斯人，用马尔萨斯人 口模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，口模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型， 并检验所得模型与实际人口数据是否相符；并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)、如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人、如果按表的增长趋势，大约在哪一年我
9、国的人 口达到口达到13亿？亿？ 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 10 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 11 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 12 例例3 3某桶装水经营部每天的房租、人员工资等某桶装水经营部每天的房租、人员工资等 固定成本为固定成本为200200元，每桶水的进价是元，每桶水的进价是5 5元，销售单价元，销售单价 与日均销售量的关系如表所示：与日均销售量的关系如表所示： 销售单价销售单价/ /元元 日均销售量日均销售量/ /桶桶 6 67 78 89 9101011111212 480480440440400400360360320320280280240240 请根据以
10、上数据作出分析，这个经营部怎请根据以上数据作出分析，这个经营部怎 样定价才能获得最大利润？样定价才能获得最大利润？ 由表中信息可知销售单价每增加由表中信息可知销售单价每增加1元，日均元，日均 销售量就减少销售量就减少40桶。桶。 思考：销售利润怎样计算较好？思考：销售利润怎样计算较好？ 思考思考:问题所提供的数据有何特点问题所提供的数据有何特点? 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 13 例例3:某桶装水经营部每天的房租、人员工资等某桶装水经营部每天的房租、人员工资等 固定成本为固定成本为200元元,每桶水的进价是每桶水的进价是5元元.销售单价与日均销销售单价与日均销 售量的关系如下表所示售量的
11、关系如下表所示: 销售单价销售单价(元元)6789101112 日均销售量日均销售量(桶桶)480440400360320280240 请根据以上数据作出分析请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获这个经营部怎样定价才能获 得最大利润得最大利润? 解解:由表可知由表可知:销售单价每增加销售单价每增加1元元,日均销售量就减少日均销售量就减少40桶桶. 设在进价基础上增加设在进价基础上增加x元元,日均销售利润为日均销售利润为y元元, 而在此情况下的日均销售量就为而在此情况下的日均销售量就为:480-40(x-1)=520-40 x(桶桶). x0,且且520-40 x0 0 x13. 从而
12、从而y=(520-40 x)x-200=-40 x2+520 x-200, 0 x20时时,y5,因此该模型不符合要求因此该模型不符合要求; 对于模型对于模型y=1.002x,它在区间它在区间10,1000上递增上递增, 观察图象并结合计算可知观察图象并结合计算可知,当当x806时时,y5,因此因此 该模型不符合要求该模型不符合要求; 对于模型对于模型y=log7x+1,它在区间它在区间10,1000上递增上递增, 观察图象并结合计算可知观察图象并结合计算可知,当当x=1000时时, y=log71000+14.555,所以它所以它符合符合奖金总数不超过奖金总数不超过 5万元的要求。万元的要求
13、。 对数增长模型比较对数增长模型比较 适合于描述增长速适合于描述增长速 度平缓的变化规律度平缓的变化规律 讲课人：邢启强 31 是否满足条件是否满足条件3，即，即 “奖奖 金不超过利润的金不超过利润的25%”呢？呢？ 7 y=log x+1 y x 12345678 0 f(x)=log7x+10.25x 1 -1 讲课人：邢启强 32 根据图象观察根据图象观察,f(x)=log7x+10.25x的图象在区间的图象在区间 10,1000内的确在内的确在x轴的下方轴的下方. 200 y x 4006008001000 1200 50 100 150 200 250 300 f(x)=log7x+
14、10.25x 这说明这说明,按模型按模型y=log7x+1奖励奖励,奖金不会超过利润的奖金不会超过利润的25%. 所以，模型所以，模型 确实能符合公司的要求。确实能符合公司的要求。 7 y=log x+1 讲课人：邢启强 33 练一练练一练 探究：你能否仿照前面例题使用的方探究：你能否仿照前面例题使用的方 法法,探索研究幂函数探索研究幂函数 . 指数函数指数函数 . 对数函数对数函数 在区间在区间(0,+)上的增长差异上的增长差异? (0) n yxn (1) x ya a log(1) a yx a 讲课人：邢启强 34 2.2.（选做）甲乙两人连续（选做）甲乙两人连续6 6年对某县农村甲鱼
15、养殖业的规模（产量）进行调查，年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查， 提供了两个方面的信息，如下图：提供了两个方面的信息，如下图： 甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1 1年年1 1万只甲鱼上升到第万只甲鱼上升到第6 6年年2 2万只万只 乙调查表明：甲鱼池个数由第乙调查表明：甲鱼池个数由第1 1年年3030个减少到第个减少到第6 6年年1010个个 请你根据提供的信息说明：请你根据提供的信息说明： 第第2 2年甲鱼池的个数及全县甲鱼总数年甲鱼池的个数及全县甲鱼总数 到第到第6 6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1 1年是扩大了还是缩小了？说明理由。年是扩大了还是缩小了？说明理由。 布置作业 1 . (必做必做)课本第课本第156页页 第第11题题
