1、模块一复习测试题二模块一复习测试题二 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1若集合|15AxN x，2 3a ，则下面结论中正确的是() A aABaAC aADaA 2已知实数1a ，1b ，则4ab 是 22 loglog1ab的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 3若命题“0 x ，3，都有 2 20 xxm“是假命题，则实数m的取值范围是() A(，3B 1，)C 1，3D3，) 4若函数 2 ( )44f xxxm在区间3，5)上有零点，则m的取值范围是() A(0,4)B4，9)C1，9)D1，4 5已知2x ，则 1 2 yx x
2、的() A最小值是 2B最小值是 4C最大值是 2D最大值是 4 6已知函数 1 2xy 的图象与函数( )yf x的图象关于直线0 xy对称，则函数( )yf x 的反函数是() A 2 1log ()yx B 2 log (1)yx C 1 2 x y D 1 2 x y 7已知 3 cos()( 33 为锐角） ，则sin() A 2 23 6 B 2 23 6 C 63 6 D 36 6 8设函数( )sin3cosf xxx，0 x，2 ，若01a，则方程( )f xa的所有根之和 为() A 4 3 B2C 8 3 D 7 3 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9若集合M
3、N，则下列结论正确的是() AMNN BMNN C()MMN D()MNN 10下列说法中正确的有() A不等式2abab 恒成立 B存在a，使得不等式 1 2a a 成立 C若a，(0,)b，则2 ba ab D若正实数x，y满足21xy，则 21 8 xy 11已知函数 | ( ) 1 x f x x ，则() A( )f x是奇函数 B( )f x在0，)上单调递增 C函数( )f x的值域是(, 1)0 ，) D方程 2 ( )10f xx 有两个实数根 12下列选项中，与 11 sin() 6 的值相等的是() A 2 2cos 151 Bcos18 cos42sin18 sin42
4、 C2sin15 sin75 D tan30tan15 1tan30 tan15 oo oo 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13化简： 2 23 3 11 32 ()ab b a b （其中0a ，0)b 14高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基 米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示 不超过x的最大整数，则 yx称为高斯函数，例如： 3.44 ，2.72已知函数 21 ( ) 15 x x e f x e ，则函数 ( )yf x的值域是 15若1lgxlgy，则 25 xy 的最小值为 16若
5、42 x ，则函数 3 2tan2 tanyxx的最大值为 四解答题（共四解答题（共 8 小题）小题） 17已知0 x ，0y ，且440 xy （）求xy的最大值； （）求 11 xy 的最小值 18已知函数 2 ( )21f xxaxa ，aR （）若2a ，试求函数 ( ) (0) 2 f x yx x 的最小值； （）对于任意的0 x，2，不等式( )f xa成立，试求a的取值范围； （）存在0a，2，使方程( )2f xax 成立，试求x的取值范围 19解方程 （1） 2 3 1 9 81 xx （2） 444 log (3)log (21)log (3)xxx 20设函数 33 (
6、 )sincos 2323 xx f x （1）求( )f x的最小正周期； （2）若函数( )yg x与( )yf x的图象关于x轴对称，求当0 x， 3 2 时，( )yg x的最大 值 21已知函数( )cos()(0,0,|) 2 f xAxB A 的部分图象如图所示 （）求( )f x的解析式及对称中心坐标； （）先将( )f x的图象纵坐标缩短到原来的 1 2 ，再向右平移 6 个单位，最后将图象向上平 移 1 个单位后得到( )g x的图象，求函数( )yg x在 3 , 124 x 上的单调减区间和最值 22已知函数 2 ( )3sin2cos1 2 x f xx （）若( )
7、2 3 () 6 ff ，求tan的值； （）若函数( )f x图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 1 2 倍得函数( )g x的 图象，且关于x的方程( )0g xm在0, 2 上有解，求m的取值范围 模块一复习测试题二模块一复习测试题二 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1若集合|15AxN x，2 3a ，则下面结论中正确的是() A aABaAC aADaA 【分析】利用元素与集合的关系直接求解 【解答】解：集合|150AxN x，1，2，3， 2 3a ， aA 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要
8、认真审题，注意元素与集合的关系 的合理运用 2已知实数1a ，1b ，则4ab 是 22 loglog1ab的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质判断即可 【解答】解：1a ，1b ， 2 log0a， 2 log0b ， 2abab，4ab ， 故4ab， 2222222 22 logloglog ()log 4 loglog()()1 222 abab ab ， 反之，取16a ， 1 5 2b ，则 1 5 2222 4 logloglog 16 log 21 5 ab， 但4ab，故4ab 是 22
9、 loglog1ab的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题考查了充分必要条件，考查基本不等式的性质，是一道基础题 3若命题“0 x ，3，都有 2 20 xxm“是假命题，则实数m的取值范围是() A(，3B 1，)C 1，3D3，) 【分析】直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果 【解答】解：命题“0 x ，3，都有 2 20 xxm“是假命题，则命题“0 x ，3， 使得 2 20 xxm“成立是真命题， 故 22 2(1)1mxxx 由于0 x，3，所以 1m ，3 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：命题的否定的应用，一元二次方程的根的存在性的应用，主 要考查学生的运
10、算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 4若函数 2 ( )44f xxxm在区间3，5)上有零点，则m的取值范围是() A(0,4)B4，9)C1，9)D1，4 【分析】判断出在区间3，5)上单调递增， (3) 0 (5)0 f f 得出即 10 90 m m 即可 【解答】解：函数 2 ( )44f xxxm，对称轴2x ， 在区间3，5)上单调递增 在区间3，5)上有零点， (3) 0 (5)0 f f 即 10 90 m m 解得：19m ， 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的单调性，零点的求解方法，属于中档题 5已知2x ，则 1 2 yx x 的() A最小值是 2B最小值是
11、 4C最大值是 2D最大值是 4 【分析】直接利用不等式的基本性质和关系式的恒等变换的应用求出结果 【解答】解：已知2x ，所以20 x ， 故 111 22 2 (2)24 22(2) yxxx xxx （当3x 时，等号成立） 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质，关系式的恒等变换，主要考查学生的运 算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 6已知函数 1 2xy 的图象与函数( )yf x的图象关于直线0 xy对称，则函数( )yf x 的反函数是() A 2 1log ()yx B 2 log (1)yx C 1 2 x y D 1 2 x y 【分析】 设( , )P
12、 x y为( )yf x的反函数图象上的任意一点， 则P关于yx的对称点( , )P y x 一点在( )yf x的图象上， ( , )P y x关于直线0 xy的对称点(,)Pxy 在函数 1 2xy 的图象上，代入解析式变形可 得 【解答】解：设( , )P x y为( )yf x的反函数图象上的任意一点， 则P关于yx的对称点( , )P y x一点在( )yf x的图象上， 又函数( )yf x的图象与函数 1 2xy 的图象关于直线0 xy对称， ( , )P y x 关于直线0 xy的对称点(,)Pxy 在函数 1 2xy 的图象上， 必有 1 2 x y ，即 1 2 x y ，
13、( )yf x的反函数为： 1 2 x y ； 故选：C 【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题 7已知 3 cos()( 33 为锐角） ，则sin() A 2 23 6 B 2 23 6 C 63 6 D 36 6 【分析】由 11 sinsin() 33 ，结合已知及两角差的正弦公式即可求解 【解答】解： 3 cos()( 33 为锐角） ， 16 sin() 33 ， 则 111131 sinsin()sin()cos() 332323 ， 1633 () 2323 ， 36 6 故选：C 【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题 8设函数
14、( )sin3cosf xxx，0 x，2 ，若01a，则方程( )f xa的所有根之和 为() A 4 3 B2C 8 3 D 7 3 【分析】把已知函数解析式利用辅助角公式化积，求得函数值域，再由a的范围可知方程 ( )f xa有两根 1 x， 2 x，然后利用对称性得答案 【解答】解： 13 ( )sin3cos2( sincos )2sin() 223 f xxxxxx ，0 x，2 ， ( ) 2f x ，2，又01a， 方程( )f xa有两根 1 x， 2 x， 由对称性得 12 ()() 3 33 22 xx ，解得 12 7 3 xx 故选：D 【点评】本题考查两角和与差的三
15、角函数，考查函数零点的判定及应用，正确理解题意是关 键，是基础题 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9若集合MN，则下列结论正确的是() AMNN BMNN C()MMN D()MNN 【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解 【解答】解：集合MN， 在A中，MNM ，故A错误； 在B中，MNN ，故B正确； 在C中，()MMN ，故C错误； 在D中，MNNN ，故D正确 故选：BD 【点评】本题考查了子集、并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 10下列说法中正确的有() A不等式2abab 恒成立 B存在a，使得不等式 1 2a a 成立 C若a，(0,)b，则
16、2 ba ab D若正实数x，y满足21xy，则 21 8 xy 【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断 【解答】解：不等式2abab 恒成立的条件是0a，0b，故A不正确； 当a为负数时，不等式 1 2a a 成立故B正确； 由基本不等式可知C正确； 对于 212144 ()(2 )4428 yxy x xy xyxyxyxy ， 当且仅当 4yx xy ，即 1 2 x ， 1 4 y 时取等号，故D正确 故选：BCD 【点评】本题考查基本不等式的应用，要注意应用条件的检验 11已知函数 | ( ) 1 x f x x ，则() A( )f x是奇函数 B( )f
17、 x在0，)上单调递增 C函数( )f x的值域是(, 1)0 ，) D方程 2 ( )10f xx 有两个实数根 【分析】根据函数的奇偶性判断A，根据函数的单调性判断B，结合图象判断C，D即可 【解答】解：对于 | :()( ) 1 x A fxf x x ，( )f x不是奇函数，故A错误； 对于:0B x时， 1 ( )1 11 x f x xx 在0，)递增，故B正确； 对于C，D，画出函数( )f x和 2 1yx 的图象，如图示： ， 显然函数( )f x的值域是(, 1)0 ，)，故C正确， ( )f x和 2 1yx 的图象有 3 个交点，故D错误； 故选：BC 【点评】本题考
18、查了函数的单调性，奇偶性问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中 档题 12下列选项中，与 11 sin() 6 的值相等的是() A 2 2cos 151 Bcos18 cos42sin18 sin42 C2sin15 sin75 D tan30tan15 1tan30 tan15 oo oo 【分析】求出 11 sin() 6 的值利用二倍角的余弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断 B；利用二倍角的正弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D 【解答】解： 111 sin()sin( 2)sin 6662 对于A， 2 2cos 15 3 1cos30 2 o ； 对于B， 1 cos1
19、8 cos42sin18 sin42cos(1842 )cos60 2 ； 对于C， 1 2sin15 sin752sin15 cos15sin30 2 ； 对于D， tan30tan15 tan(3015 )tan451 1tan30 tan15 oo oo 与 11 sin() 6 的值相等的是BC 故选：BC 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数，是 基础题 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13化简： 2 23 3 11 32 ()ab b a b a（其中0a ，0)b 【分析】根据指数幂的运算法则即可求出 【解答】解： 13 111
20、 3 32 322 ()b bb bbb 原式 2111 () 3322 aba ， 故答案为：a 【点评】本题考查了指数幂的运算，属于基础题 14高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基 米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示 不超过x的最大整数，则 yx称为高斯函数，例如： 3.44 ，2.72已知函数 21 ( ) 15 x x e f x e ，则函数 ( )yf x的值域是 1，0，1 【分析】先利用分离常数法将函数化为 92 ( ) 51 x f x e ，进而求出( )f x的值域，再根据 x 的定义可
21、以求出 ( )f x的所有可能的值，进而得到函数的值域 【解答】解： 212(1)212192 ( )2 15151551 xx xxxx ee f x eeee ， 0 x e ，11 x e ， 2 02 1 x e ， 1929 5515 x e ， 即 19 ( ) 55 f x， 当 1 ( )0 5 f x时， ( )1f x ， 当0( )1f x 时， ( )0f x， 当 9 1( ) 5 f x时， ( )1f x， 函数 ( )yf x的值域是： 1，0，1， 故答案为： 1，0，1 【点评】 本题主要考查了新定义运算的求解， 关键是能通过分离常数的方式求得已知函数的 值
22、域，是中档题 15若1lgxlgy，则 25 xy 的最小值为2 【分析】根据对数的基本运算，结合不等式的解法即可得到结论 【解答】解：1lgxlgy， 1lgxy，且0 x ，0y ， 即10 xy ， 252 510 222 10 xyx y ， 当且仅当 25 xy ，即2x ，5y 时取等号， 故答案为：2 【点评】本题主要考查不等式的应用，利用对数的基本运算求出10 xy 是解决本题的关键， 比较基础 16若 42 x ，则函数 3 2tan2 tanyxx的最大值为16 【分析】 直接利用三角函数的性质和关系式的恒等变换的应用及二次函数的性质的应用求出 结果 【解答】解：若 42
23、x ，则tan(1,)x， 另 2 2tan tan2 1tan x x x ， 设tan xt，(1)t ， 则 4 2 22 222 444 16 11111 1 ()() 24 t y t ttt ， 当且仅当2t 时，等号成立 故答案为：16 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，关系式的变换和二次函数的性质， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题 四解答题（共四解答题（共 8 小题）小题） 17已知0 x ，0y ，且440 xy （）求xy的最大值； （）求 11 xy 的最小值 【分析】 （1）由已知得，4042 44xyxyxy，解不等式可求， （
24、2）由题意得， 11111 ()(4 ) 40 xy xyxy ，展开后结合基本不等式可求 【解答】解： （1）0 x ，0y ， 4042 44xyxyxy， 当且仅当4xy且440 xy即20 x ，5y 时取等号， 解得，100 xy， 故xy的最大值 100 （2）因为0 x ，0y ，且440 xy 所以 1111114149 ()(4 )(5)(52) 40404040 yxyx xy xyxyxyxy ， 当且仅当2xy且440 xy即 40 3 x ， 20 3 y 时取等号， 所以 11 xy 的最小值 9 40 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题 18
25、已知函数 2 ( )21f xxaxa ，aR （）若2a ，试求函数 ( ) (0) 2 f x yx x 的最小值； （）对于任意的0 x，2，不等式( )f xa成立，试求a的取值范围； （）存在0a，2，使方程( )2f xax 成立，试求x的取值范围 【分析】 （）对式子变形后，利用基本不等式即可求得结果； （）先由题设把问题转化为： 2 21 0 xax 对于任意的0 x，2恒成立， 构造函数 2 ( )21g xxax，0 x，2，利用其最大值求得a的取值范围； （）由题设把问题转化为：方程 2 1ax 在0a，2有解，解出x的范围 【解答】解： （）当2a 时， 2 ( )41
26、111 ()2221 2222 f xxx yx xxx （当且仅 当1x 时取“)， 1 min y ； （）由题意知： 2 21xaxa a 对于任意的0 x，2恒成立， 即 2 21 0 xax 对于任意的0 x，2恒成立， 令 2 ( )21g xxax，0 x，2， 则 (0)1 0 (2)340 g ga ，解得： 3 4 a， a的取值范围为 3 4 ，)； （）由( )2f xax 可得： 2 10 xa ， 即 2 1ax ， 0a，2， 2 0 12x， 解得：11x ， 即x的取值范围为 1，1 【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法，属于中档题
27、19解方程 （1） 2 3 1 9 81 xx （2） 444 log (3)log (21)log (3)xxx 【分析】 （1）直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可 （2）利用对数运算法则，化简求解方程的解即可 【解答】解： （1） 2 3 1 9 81 xx ，可得 2 32xx ， （2 分） 解得2x 或1x ； （4 分） （2） 444 log (3)log (21)log (3)xxx， 可得 44 log (3)log (21)(3)xxx， 3(21)(3)xxx ， （2 分） 得4x 或0 x ，经检验0 x 为所求 （4 分） 【点评】本题考查函数的零点与方程
28、根的关系，对数方程的解法，考查计算能力 20设函数 33 ( )sincos 2323 xx f x （1）求( )f x的最小正周期； （2）若函数( )yg x与( )yf x的图象关于x轴对称，求当0 x， 3 2 时，( )yg x的最大 值 【分析】 （1）利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期； （2）由对称性求得( )g x的解析式，再由x的范围求得函数最值 【解答】解： （1） 33 ( )sincos3sin() 232333 xx f xx ( )f x的最小正周期为 2 6 3 T ； （2）函数( )yg x与( )yf x的图象关于x轴对称， ( )( )3sin()
29、 33 x g xf x 0 x， 3 2 ， 333 x ， 6 ， 3 sin() 332 x ， 1 2 ， 3 ( ) 2 g x ， 3 2 当0 x， 3 2 时，( )yg x的最大值为 3 2 【点评】本题考查sin()yAx型函数的图象和性质，考查三角函数最值的求法，是中 档题 21已知函数( )cos()(0,0,|) 2 f xAxB A 的部分图象如图所示 （）求( )f x的解析式及对称中心坐标； （）先将( )f x的图象纵坐标缩短到原来的 1 2 ，再向右平移 6 个单位，最后将图象向上平 移 1 个单位后得到( )g x的图象，求函数( )yg x在 3 , 1
30、24 x 上的单调减区间和最值 【分析】 （）由函数的图象的顶点坐标求出A，B，由周期求出，由特殊点的坐标求出 的值，可得函数的解析式，再根据余弦函数的图象的对称性，得出结论 （）由题意利用函数sin()yAx的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值 域，得出结论 【解答】解： （）由函数( )cos()(0,0,|) 2 f xAxB A 的部分图象知： 1( 3) 2 2 A ， 1( 3) 1 2 B ， 7 2 212 T ， ( )2cos(2)1f xx，把点(,1) 12 代入得：cos()1 6 ， 即2 6 k ，kZ 又| 2 ， 6 ， ( )2cos(2)1 6 f
31、 xx 由图可知(, 1) 3 是其中一个对称中心， 故所求对称中心坐标为：(, 1) 32 k ，kZ （）先将( )f x的图象纵坐标缩短到原来的 1 2 ，可得 1 cos(2) 62 yx 的图象， 再向右平移 6 个单位，可得 11 cos(2)sin2 222 yxx 的图象， 最后将图象向上平移 1 个单位后得到 1 ( )sin2 2 g xx的图象 由222 22 kxk ，kZ，可得增区间是 4 k ， 4 k ， 当 3 , 124 x 时，函数的增区间为, 12 4 则 3 2, 62 x ，当2 2 x 即， 4 x 时，( )g x有最大值为 3 2 ， 当 3 2
32、 2 x ，即 3 4 x 时，( )g x有最小值为 11 1 22 【点评】本题主要考查由函数sin()yAx的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点 坐标求出A、B， 由周期求出， 由特殊点的坐标求出的值， 余弦函数的图象的对称性 函 数sin()yAx的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题 22已知函数 2 ( )3sin2cos1 2 x f xx （）若( )2 3 () 6 ff ，求tan的值； （）若函数( )f x图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 1 2 倍得函数( )g x的 图象，且关于x的方程( )0g xm在0, 2 上有解，求m的取
33、值范围 【分析】 （）利用三角恒等变换，化简( )f x的解析式，根据条件，求得tan的值 （）根据函数sin()yAx的图象变换规律，求得( )g x的解析式，再利用正弦函数的 定义域和值域，求得( )g x的范围，可得m的范围 【解答】解： （） 2 ( )3sin2cos13sincos2sin() 26 x f xxxxx ， ( )2 3 () 6 ff ，sin()2 3sin 6 ， 31 sincos2 3sin 22 ，即3 3sincos， 3 tan 9 （）把( )f x图象上所有点横坐标变为原来的 1 2 倍得到函数( )g x的图象， 所以函数( )g x的解析式为( )(2 )2sin(2) 6 g xfxx ， 关于x的方程( )0g xm在0, 2 上有解， 等价于求( )g x在0, 2 上的值域， 因为0 2 x ，所以 5 2 666 x ， 所以1( ) 2g x ，故m的取值范围为 1，2 【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数sin()yAx的图象变换规律，正弦函数的 定义域和值域，属于中档题
