（2021新教材）人教A版高一数学（初升高）第6讲 全称量词与存在量词衔接讲义（原卷+解析）.zip

1 第第 6 6 讲讲 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 1.全称量词与存在量词概念 （1）短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词全称量词，并用符号“”表示.含有 全称量词的命题，叫做全称量词命题.（全称量词命题的形式：） ,xM p x （2）短语“存在” “至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词存在量词，并用符号“”表示.含有存 在量词的命题，叫做存在量词命题.（存在量词命题的形式：） ,xM p x 2.全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）假设全称量词命题为“” ，则它的否定为“并非任意一个” ， ,xM p x ,xM p x 也就是“”. ,xMp x （2）假设存在量词命题为“” ，则它的否定为“不存在” ，也就是 ,xM p x ,xM p x “”. ,xMp x 例 1.判断下列全称量词命题的真假. （1）所有的素数都是奇数； （2）； ,11xR x （3）对任意一个无理数，也是无理数. x 2 x 例 2.判断下列存在量词命题的真假. （1）有一个实数，使； x 2 230 xx （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形. 2 例 3.写出下列命题的否定，并判断真假. （1）所有能被 3 整除的整数都是奇数； （2）对任意，的个位数字不等于 3； xZ 2 x （3）存在一个实数的绝对值是正数； （4）有些平行四边形是菱形； （5）； 2 ,230 xR xx （6）； ,20 xR x （7）任意两个等边三角形都相似； （8）. 2 ,10 xR xx 例 4.由下列四个命题： ；，为 2 ,2340 xRxx 1, 1,0 ,210 xx 2 ,xN xx xN x 29 的约数. 其中真命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 例 5. (1) 命题的否定是（ ） 2 :11,10pxx A. B. 2 :11,10pxx 2 :11,10pxx C. D. 2 :11,10pxx 2 :11,10pxx (2) 命题的否定是（ ） 2 :,0pxR xx p A. B. 2 ,0 xR xx 2 ,0 xR xx 3 C. D. 2 ,0 xR xx 2 ,0 xR xx 例 6.已知，对于，不等式恒成立，求实数的取 2 261yaxxaR xR 4y a 值范围. 例 7. (1) 若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 . 1 2 2 x 2 10 xx (2) 若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 . 1 2 2 x 2 10 xx 跟踪训练跟踪训练 1.下列四个命题中真命题是() A. B. 2 ,nR nn ,nRmR m nm C. D. 2 ,nRmR mn 2 ,nR nn 4 2.将“”改写成全称量词命题，下列说法正确的是（ ） 22 2xyxy A. B. 22 ,2x yR xyxy 22 ,2x yR xyxy C. D. 22 ,0,2x yxyxy 22 0,0,2xyxyxy 3.命题“，使”的否定是（ ） xR 1x A. B.不存在，使 ,1xR x xR1x C. D. ,1xR x ,1xR x 4.命题“”的否定为（ ） 2 ,0 xR x A. B.不存在，使 2 ,0 xR x xR 2 0 x C. D. 2 ,0 xR x 2 ,0 xR x 5.若“”为真命题，则实数应满足（ ） 2 ,20 xR axxa a A. B. C. D. 1a 1a 11a 11a 6.若是真命题，则实数的取值范围是 . 2 ,20 xR xxa a 7.已知命题“，使得”是假命题，则实数的最大值是 . :3px 21xm m 5 8.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . xR 2 230 xmxmm 1 第第 6 6 讲讲 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 1.全称量词与存在量词概念 （1）短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词全称量词，并用符号“”表示.含有 全称量词的命题，叫做全称量词命题.（全称量词命题的形式：） ,xM p x （2）短语“存在” “至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词存在量词，并用符号“”表示.含有存 在量词的命题，叫做存在量词命题.（存在量词命题的形式：） ,xM p x 2.全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）假设全称量词命题为“” ，则它的否定为“并非任意一个” ， ,xM p x ,xM p x 也就是“”. ,xMp x （2）假设存在量词命题为“” ，则它的否定为“不存在” ，也就是 ,xM p x ,xM p x “”. ,xMp x 例 1.判断下列全称量词命题的真假. （1）所有的素数都是奇数； （2）； ,11xR x （3）对任意一个无理数，也是无理数. x 2 x 【答案】 （1）假命题；（2）真命题；（3）假命题. 例 2.判断下列存在量词命题的真假. （1）有一个实数，使； x 2 230 xx （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； 2 （3）有些平行四边形是菱形. 【答案】 （1）假命题；（2）假命题；（3）真命题. 例 3.写出下列命题的否定，并判断真假. （1）所有能被 3 整除的整数都是奇数； （2）对任意，的个位数字不等于 3； xZ 2 x （3）存在一个实数的绝对值是正数； （4）有些平行四边形是菱形； （5）； 2 ,230 xR xx （6）； ,20 xR x （7）任意两个等边三角形都相似； （8）. 2 ,10 xR xx 【答案】 （1）存在能被 3 整除的整数不是奇数，真命题； （2）存在，的个位数字等于 3，假命题； xZ 2 x （3）所有实数的绝对值都是非正数，假命题； （4）所有的平行四边形都不是菱形，假命题； （5），真命题； 2 ,230 xR xx （6），假命题； ,20 xR x （7）存在两个等边三角形不相似，假命题； （8），真命题. 2 ,10 xR xx 例 4.由下列四个命题： 3 ；，为 2 ,2340 xRxx 1, 1,0 ,210 xx 2 ,xN xx xN x 29 的约数. 其中真命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】正确，；错误，； 2 2 323 ,23420 48 xRxxx 1,210 xx 正确，；正确，或 29，为 29 的约数.故真命题个数为 3，选 C. 2 01,xxx 或1x 例 5. (1) 命题的否定是（ ） 2 :11,10pxx A. B. 2 :11,10pxx 2 :11,10pxx C. D. 2 :11,10pxx 2 :11,10pxx (2) 命题的否定是（ ） 2 :,0pxR xx p A. B. 2 ,0 xR xx 2 ,0 xR xx C. D. 2 ,0 xR xx 2 ,0 xR xx 【答案】 （1）D；（2）B. 例 6.已知，对于，不等式恒成立，求实数的取 2 261yaxxaR xR 4y a 值范围. 【答案】. 9 10 a a 4 【解析】由得对于恒成立， 2 2614yaxx 2 2650axxxR 若，不等式为，不恒成立，所以； 0a 650 x 0a 若，则，解得， 0a 0 364 250 a a 9 10 a 综上所述，的取值范围为. a 9 10 a a 例 7. (1) 若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 . 1 2 2 x 2 10 xx (2) 若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 . 1 2 2 x 2 10 xx 【答案】 （1）；（2）. 2 5 2 【解析】 （1）依题意， “，使得，即成立”是真命题， 1 2 2 x 2 10 xx 1 x x 则，由对勾函数的图象可知，当时，所以 min 1 x x 1 yx x 1x min 1 2x x ，即的取值范围为； 2 2 （2）依题意， “，使得，即成立”是真命题， 1 2 2 x 2 10 xx 1 x x 5 则，由对勾函数的图象结合计算可知，当或时， max 1 x x 1 yx x 1 2 x 2x ，所以，即的取值范围为. max 15 2 x x 5 2 5 2 跟踪训练跟踪训练 1.下列四个命题中真命题是() A. B. 2 ,nR nn ,nRmR m nm C. D. 2 ,nRmR mn 2 ,nR nn 【答案】B 【解析】A 错误，当时，；B 正确，；C 错误，当 1 2 n 2 nn1,nmR m nm 时，；D 错误，当时，故选 B. 1n 2 mn2n 2 nn 2.将“”改写成全称量词命题，下列说法正确的是（ ） 22 2xyxy A. B. 22 ,2x yR xyxy 22 ,2x yR xyxy C. D. 22 ,0,2x yxyxy 22 0,0,2xyxyxy 【答案】A 3.命题“，使”的否定是（ ） xR 1x A. B.不存在，使 ,1xR x xR1x C. D. ,1xR x ,1xR x 【答案】C 4.命题“”的否定为（ ） 2 ,0 xR x 6 A. B.不存在，使 2 ,0 xR x xR 2 0 x C. D. 2 ,0 xR x 2 ,0 xR x 【答案】D 5.若“”为真命题，则实数应满足（ ） 2 ,20 xR axxa a A. B. C. D. 1a 1a 11a 11a 【答案】A 【解析】 解法一：“”为真命题， 2 ,20 xR axxa 若，显然存在使得，满足题意； 0a 0 x 2 20axxa 若，则，解得， 0a 2 440a 01a 综上所述，选 A. 1a 解法二：原命题“”的否定为“” ， 2 ,20 xR axxa 2 ,20 xR axxa 若原命题为真命题，则否命题为假命题， 先求否命题为真命题时的取值范围：a 若，不等式为，即，不符合题设； 0a 20 x 0 x 若，则，解得， 0a 2 0 440 a a 1a 综上， 1a 所以，原命题为真命题时的取值范围为，选 A. a1a 6.若是真命题，则实数的取值范围是 . 2 ,20 xR xxa a 7 【答案】 1a a 【解析】 解法一：是真命题，则，解得，所以的取值范 2 ,20 xR xxa 440a 1a a 围是. 1a a 解法二：先求否命题为真命题时的取值范围：只需， 2 ,20 xR xxa a440a 解得，所以原命题为真命题时的取值范围是. 1a 2 ,20 xR xxa a 1a a 解法三：，即是真命题，则 2 ,20 xR xxa 2 2axx ，所以，即的取值范围是. 2 2 min min 211axxx 1a a 1a a 7.已知命题“，使得”是假命题，则实数的最大值是 . :3px 21xm m 【答案】5 【解析】依题意否命题“，使得”是真命题，则， :3px 21xm min215mx 所以的最大值是 5. m 8.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . xR 2 230 xmxmm 【答案】 26mm 【解析】依题意否命题“，使得”是真命题， xR 2 230 xmxm 则，解得，所以的取值范围是. 2 4 230mm 26mm 26mm