（2021新教材）人教A版高一数学（初升高）第10讲 函数的概念及其表示衔接讲义（原卷+解析）.zip

第第 1010 讲讲 函数的概念及其表示函数的概念及其表示 1 1、函数的概念函数的概念 1.函数的概念：函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数， ,A B Ax 按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称 f B y 为从集合到集合的一个函数，记作. :fAB AB ,yf xxA 其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与值对应的值叫做函数值， xxAx y 函数值的集合叫做函数的值域. f x xA 思考：值域与集合是什么关系？ f x xA B 说明：说明： “是非空的实数集”.一方面强调了中的元素只能是实数；另一方面指出了定 ,A B,A B 义域、值域都不能是空集 函数的三要素三要素：定义域、对应关系、值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； 函数的“三性三性”：任意性、存在性、唯一性. 2.2.区间的概念区间的概念 设a b 定义符号名称 x axb, a b 闭区间 x axb, a b 开区间 x axb, a b x axb, a b 半开半闭区间 符号“”读作“无穷大” ， “”读作“负无穷大” ， “”读作“正无穷大”. 定义 x xax xax xax xaR 符号, a , a ,a,a, 3.3.函数的表示方法函数的表示方法 解析法 ；图象法 ；列表法. 题型一题型一 函数的概念函数的概念 例 1.在下列从集合到集合的对应关系中，能确定是的函数的是 AB y x （1），对应法则； ,Ax xZBy yZ : 3 x fxy （2），对应法则； 0,Ax xxRBy yR 2 :3fxyx （3），对应法则； ,Ax xRBy yR 22 :25fxxy （4），对应法则； ,AR BR 2 fxyx： （5），对应法则； 11,0AxxxRB :0fxy （6），对应法则； ,Ax y xR yRBR :,fx ySxy （7），对应关系如图： 1,2,3,4 ,0,1AB 例例 2.2.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是 yf x2,20,2 yf x () 例 3.判断下列各组中的两个函数是否为同一函数. （1）； 1 ,1 x x f xg xx x （2）； 11,11f xxxg xxx （3）； 22 2 ,2f xxx g ttt （4）； 1,1 1, 1,1 xx f xxg x x x （5）. 0, 1f xxg x 例 4.已知函数. 2 1 ,f xxx g x x （1）分别求下列函数值： . . . 2f 1 3 f f a . . . 21fa 2 g t 2 g t . . . 2f g 1 2 gf 2 fg t （2）若，则 . 2f a a 题型二题型二 函数的定义域函数的定义域 例 5.求下列函数的定义域. （1） 2 x f x x x （2） 32 2 9 x f x x （3） 1 1 1 f xx x （4） 0 1x f x xx 例 6. (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域； yf x1,221yfx (2) 已知函数的定义域为，求函数的定义域； 21yfx3,6 yf x (3) 已知函数的定义域为，求函数的定义域； 21yfx1,321yfx (4) 已知函数的定义域为，求函数的定义域； 1yf x3,7 2 yf x (5) 若函数的定义域为，求函数的定义域. yf x2,1 2 25 2 f x g xfx x 题型三题型三 函数解析式函数解析式 例 7. (1) 已知函数为一次函数，满足，求的解析式； yf x 12,20ff f x (2) 已知函数为一次函数，且，求的解析式. yf x 43ff xx f x 例 8. (1) 已知，求的解析式； 2 123f xxx f x (2) 已知，求的解析式； 12fxxx f x (3) 已知，求的解析式. 2 2 11 fxx xx f x 例 9. (1) 已知，求的解析式； 22 3,3f xg xxxf xg xxx f x (2) 已知函数满足，求的解析式； yf x 243f xfxx f x (3) 已知函数满足，求的解析式. yf x 11 3 2 f xfx x f x 题型四题型四 函数值域函数值域 例 10.求下列函数的值域： （1） （2） 2 25,1,2f xxxx 2 5 243 f x xx （3） （4） 21, 2,5 2 x f xx x 21, 1, 1 x f xx x （5） （6） 2 2 21 = 1 x f x x 2 2 5 4 x f x x （7） （8） 12 ,1,3f xxx x 221f xxx 例 11.求下列函数的值域. （1） （2） 2 1 2 x f x xx 2 254 ,0 1 xx f xx x （3） （4） 2 2 231, 2, 1 xx f xx xx 2 2 247 23 xx f x xx 题型五题型五 分段函数分段函数 例 12. (1) 若函数，则 . 2 1,0 3,0 xx f x xx 2ff (2) 已知，若，则 . 2 2,1 , 12 xx f x xx 3f a a (3) 已知，则不等式的解集是 . 2 46,0 6,0 xxx f x xx 1f xf 例 13.把下列函数写成分段函数的形式，并画出其图像. （1） （2） =2f xx 21f xx （3） （4） 2 23f xxx 2 23f xxx 跟踪训练跟踪训练 1. 下列各图像中，是函数图像的是（ ） 2. 函数的定义域为，则函数的图象与直线的交点个数为( ) yf x1,5 yf x 1x A.0 B.1 C.2 D. 0 个或 1 个均有可能 3. 函数的定义域是（ ） 1 1 f x x A. B. C. D. ,1,11,1, 4. 已知，若，则的值是（ ） 2 2,1 , 12 2 ,2 xx f xxx x x 3f x x A.1 B.1 或 C.1 或或 D. 3 2 3 233 5. 若函数的定义域是，则的定义域是（ ） yf x0,2 2 1 fx g x x A.B.C. D. 0,10,1 0,11,40,1 6. 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ） 1yf x2,321yfx A.B.C.D. 5 0, 2 1,45,53,7 7. 已知，则（ ） 11 1 x f xx 1 f xf x A.B.C.1D. 0 1 1 x x 1 x 8. 已知，若，则 . 2 1,0 2 ,0 xx f x x x 10f a a 9. 已知，则 . 2,10 6,10 xx f x ff xx 5f 10. 函数，若，则的取值范围是 . ,2 1, 24 3 ,4 x x f xxx x x 3f af a 11. 已知函数满足，则的解析式是 . yf x 1 11fx x f x 12. 已知函数的定义域为，求实数的取值范围. 2 68f xmxmxm Rm 13. 求下列函数的值域： （1）； （2）； （3） 2 1 1 f x x 32 2 x f x x ； 2 54f xxx （4）； （5）； （6） 2 2 1 1 xx f x x 21f xxx 2 2 225 1 xx f x xx 14.14. 画出下列函数的图像： （1）； （2）； （3） 2 2 1 1 xx f x x 2 1,1,0 1,0,1 xx f x xx 2 21f xxx 第第 1010 讲讲 函数的概念及其表示函数的概念及其表示 1 1、函数的概念函数的概念 1.函数的概念：函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数， ,A B Ax 按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称 f B y 为从集合到集合的一个函数，记作. :fAB AB ,yf xxA 其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与值对应的值叫做函数值， xxAx y 函数值的集合叫做函数的值域. f x xA 思考：值域与集合是什么关系？ f x xA B 说明：说明： “是非空的实数集”.一方面强调了中的元素只能是实数；另一方面指出了定 ,A B,A B 义域、值域都不能是空集 函数的三要素三要素：定义域、对应关系、值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； 函数的“三性三性”：任意性、存在性、唯一性. 2.2.区间的概念区间的概念 设a b 定义符号名称 x axb, a b 闭区间 x axb, a b 开区间 x axb, a b x axb, a b 半开半闭区间 符号“”读作“无穷大” ， “”读作“负无穷大” ， “”读作“正无穷大”. 定义 x xax xax xax xaR 符号, a , a ,a,a, 3.3.函数的表示方法函数的表示方法 解析法 ；图象法 ；列表法. 题型一题型一 函数的概念函数的概念 例 1.在下列从集合到集合的对应关系中，能确定是的函数的是 AB y x （1），对应法则； ,Ax xZBy yZ : 3 x fxy （2），对应法则； 0,Ax xxRBy yR 2 :3fxyx （3），对应法则； ,Ax xRBy yR 22 :25fxxy （4），对应法则； ,AR BR 2 fxyx： （5），对应法则； 11,0AxxxRB :0fxy （6），对应法则； ,Ax y xR yRBR :,fx ySxy （7），对应关系如图： 1,2,3,4 ,0,1AB 【答案】 （4） （5） （7） 【解析】 （1）在对应法则下，不能被 3 整除的在中没有对应的数；（2） （3）在对应 f xB 法则下，在中有两个对应的数，不是唯一确定；（6）A 中不是数集；（4） （5） f xB （7）满足函数的特征. 例例 2.2.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是 yf x2,20,2 yf x () 【答案】B 例 3.判断下列各组中的两个函数是否为同一函数. (1)； 1 ,1 x x f xg xx x (2)； 11,11f xxxg xxx (3)； 22 2 ,2f xxx g ttt (4)； 1,1 1, 1,1 xx f xxg x x x (5). 0, 1f xxg x 【答案】 （1）不是；（2）不是；（3）是；（4）是；（5）不是. 【解析】 （1）的定义域为，定义域为 R，不是同一函数； f x 1x x g x （2）要使函数有意义，则，解得，要使有意义，则 f x 10 10 x x 1x g x ，解得或，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 110 xx 1x 1x （3）两个函数的定义域和对应法则完全相同，是同一函数； （4）函数，定义域和对应法则均相同，是同一函数； 1,1 1 1,1 xx f xxg x x x （5）的定义域为，定义域为 R，不是同一函数. f x 0 x x g x 例 4.已知函数. 2 1 ,f xxx g x x （1）分别求下列函数值： . . . 2f 1 3 f f a . . . 21fa 2 g t 2 g t . . . 2f g 1 2 gf 2 fg t （2）若，则 . 2f a a 【答案】 （1）2； 2 9 2 aa 2 462aa2 t 2 1 t 1 4 4 ； 2 42 tt （2）. 12 或 题型二题型二 函数的定义域函数的定义域 例 5.求下列函数的定义域. （1） 2 x f x x x （2） 32 2 9 x f x x （3） 1 1 1 f xx x （4） 0 1x f x xx 【答案】 （1）；（2）；（3）；（4） 02x xx 且23x xx且 1, . 01x xx 且 【解析】 （1），解得，所以定义域为； 20 x x 02xx 且 02x xx 且 （2），解得，所以定义域为； 2 20 90 x x 23xx且 23x xx且 （3），解得，所以定义域为； 10 10 x x 1x 1, （4），解得，所以定义域为. 10 0 x xx 01xx 且 01x xx 且 例 6. (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域； yf x1,221yfx (2) 已知函数的定义域为，求函数的定义域； 21yfx3,6 yf x (3) 已知函数的定义域为，求函数的定义域； 21yfx1,321yfx (4) 已知函数的定义域为，求函数的定义域； 1yf x3,7 2 yf x (5) 若函数的定义域为，求函数的定义域. yf x2,1 2 25 2 f x g xfx x 【答案】 （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 1 0, 2 3,60,4 2 2, 22,2 2 . 7 , 2 2 【解析】 ） （1）的定义域为，由，得， yf x1,2 1212x 1 0 2 x 的定义域为； 21yfx 1 0, 2 （2）的定义域为， 21yfx3,6 36x 72113x 的定义域为； yf x7,13 （3）的定义域为， 21yfx1,3 13, 1217xx 的定义域为，由得， yf x1,7 1217x 04x 的定义域为； 21yfx0,4 （4）的定义域为， 1yf x3,7 37,418xx 的定义域为，由得， yf x4,8 2 48x2 2222 2xx 或 的定义域为； 2 yf x2 2, 22,2 2 （5）的定义域为， yf x2,1 中有：，解得， 2 25 2 f x g xfx x 2251 221 20 x x x 7 2 2 x 的定义域为. 2 25 2 f x g xfx x 7 , 2 2 题型三题型三 函数解析式函数解析式 例 7. (1) 已知函数为一次函数，满足，求的解析式； yf x 12,20ff f x (2) 已知函数为一次函数，且，求的解析式. yf x 43ff xx f x 【答案】 （1）；（2）或. 24f xx 21f xx 23f xx 【解析】 （1）依题意可设， f xkxb 则，解得， 12 220 fkb fkb 2 4 k b ； 24f xx （2）依题意可设， f xkxb 则， 2 43ff xf kxbk kxbbk xkbbx ，解得或， 2 4 3 k kbb 2 1 k b 2 3 k b 或. 21f xx 23f xx 例 8. (1) 已知，求的解析式； 2 123f xxx f x (2) 已知，求的解析式； 12fxxx f x (3) 已知，求的解析式. 2 2 11 fxx xx f x 【答案】 （1）；（2）. 2 4f xx 2 1,1f xxx 【解析】 （1）设，则， 1tx1xt ， 2 2 12134f tttt ； 2 4f xx （2）设，则， 11tx 2 1,1xtxt ， 2 2 1211f tttt . 2 1,1f xxx 例 9. (1) 已知，求的解析式； 22 3,3f xg xxxf xg xxx f x (2) 已知函数满足，求的解析式； yf x 243f xfxx f x (3) 已知函数满足，求的解析式. yf x 11 3 2 f xfx x f x 【答案】 （1）；（2）；（3）. 3 2 f xx 41f xx 2 4,0f xxx x 【解析】 （1）由 22 3,3f xg xxxf xg xxx 两式相加得，； 223f xx 3 2 f xx （2）， 243f xfxx 243fxf xx 由得； 41f xx （3）， 11 3 2 f xfx x 113 2 ff x xx 由两式得. 2 4,0f xxx x 题型四题型四 函数值域函数值域 例 10.求下列函数的值域： （1） （2） 2 25,1,2f xxxx 2 5 243 f x xx （3） （4） 21, 2,5 2 x f xx x 21, 1, 1 x f xx x （5） （6） 2 2 21 = 1 x f x x 2 2 5 4 x f x x （7） （8） 12 ,1,3f xxx x 221f xxx 【答案】 （1）；（2）；（3）；（4）； 4,80,5 3 9 , 4 7 2, （5）；（6）；（7）；（8）. 1,2 5 , 2 2,81, 【解析】 （1）， 2 2 2514,1,2f xxxxx 则，所以值域为； minmax 14,18f xff xf 4,8 （2），故值域为； 2 2 2432111xxx 2 5 0,5 243xx 0,5 （3）， 225215 2 222 xx f x xxx 在上单调递增， f x2,5 minmax 39 2,5 47 f xff xf 故值域为； 3 9 , 4 7 （4）， 213213 2 111 xx f x xxx 在上单调递减，且，故值域为； f x1, 10 x 3 22 1x 2, （5），且， 2 2 222 213 213 =2 111 x x f x xxx 2 11x ，故值域为； 22 33 03, 122 11xx 1,2 （6）设，则， 2 42tx 22 4xt ， 22 2 511 4 xt yt tt x 又在上单调递增，故值域为； 1 yt t 2, min 15 2 22 f x 5 , 2 （7）设，则， 10,2tx 2 1xt ， 2 22 117 21222 48 yttttt 又在上单调递增， 2 117 2 48 yt 0,2 2 max 2,22228yy 故值域为； 2,8 （8）设，则， 210tx 2 1 2 t x ， 2 2 2 1131 221211 2222 t yxxtttt 又在单调递减，在单调递增， 21 11 2 yt 0,11, ，故值域为. min 1y1, 例 11.求下列函数的值域. （1） （2） 2 1 2 x f x xx 2 254 ,0 1 xx f xx x （3） （4） 2 2 231, 2, 1 xx f xx xx 2 2 247 23 xx f x xx 【答案】 （1）；（2）；（3）；（4）. 1 ,1 7 4, 17 2, 7 9 ,2 2 【解析】 （1） 解法一：，设，则， 2 2 17 20, 24 xxxxR 1txR 1xt ， 222 1 234 112 xtt y xxtt tt 当时，； 0t 0y 当时，由对勾函数图象可知， 0t 1 4 3 y t t 44 44tt tt 或 ， 44 3731tt tt 或 111 001 44 7 33tt tt 或 即， 1 001 7 yy或 综上所述，值域为. 1 ,1 7 解法二：， 2 2 17 20, 24 xxxxR 由得，即， 2 1 2 x y xx 2 21y xxx 2 1210yxyxy 当时，符合题意； 0y 1x 当时，方程有解需满足，解得且， 0y 2 14210yyy 1 1 7 y 0y 综上所述，值域为. 1 ,1 7 （2）设，则， 11tx 1xt ， 2 22 21514254211 21 1 ttxxtt yt xttt 在上单调递增，故值域为； 1 21yt t 1,21 14y 4, （3）， 2 2 222 211 2311 2 111 xxx xxx f x xxxxxx 设，则， 13tx 1xt ， 22 1 222 1 1 111 1 tt y tt tt t t 在上单调递增， 1 t t 3, ， 1110 3 33 t t 1713117 1,0,22 11 377 11 t t tt tt 故值域为； 17 2, 7 （4）， 2 2 23120 xxx xR ， 2 2 222 22313 24713 2 232323 xx xx f x xxxxxx ， 2 2 23122xxx 2 1313 0 2132xx 2 913 22 223xx 故值域为. 9 ,2 2 题型五题型五 分段函数分段函数 例 12. (1) 若函数，则 . 2 1,0 3,0 xx f x xx 2ff (2) 已知，若，则 . 2 2,1 , 12 xx f x xx 3f a a (3) 已知，则不等式的解集是 . 2 46,0 6,0 xxx f x xx 1f xf 【答案】 （1）4；（2）；（3）. 3 3,13, 【解析】 （1），； 2213f 23314fff （2）若，则，解得（舍去） ； 1a 23f aa 1a 若，则，解得或（舍去） ， 12a 2 3f aa 3a 3a 综上，； 3a （3），则由得 11463f 1f xf 或，解得或， 2 0 463 x xx 0 63 x x 013xx或30 x 综上，解集为. 3,13, 例 13.把下列函数写成分段函数的形式，并画出其图像. （1） （2） =2f xx 21f xx （3） （4） 2 23f xxx 2 23f xxx 【答案】略 跟踪训练跟踪训练 1. 下列各图像中，是函数图像的是（ ） 【答案】D 2. 函数的定义域为，则函数的图象与直线的交点个数为( ) yf x1,5 yf x 1x A.0 B.1 C.2 D. 0 个或 1 个均有可能 【答案】B 3. 函数的定义域是（ ） 1 1 f x x A. B. C. D. ,1,11,1, 【答案】B 【解析】依题意，解得，故定义域为，选 B. 10 x1x ,1 4. 已知，若，则的值是（ ） 2 2,1 , 12 2 ,2 xx f xxx x x 3f x x A.1 B.1 或 C.1 或或 D. 3 2 3 233 【答案】D 【解析】若，则，解得（舍去） ； 1x 23f xx 1x 若，则，解得或（舍去） ； 12x 2 3f xx 3x 3x 若，则，解得（舍去） ， 2x 23f xx 3 2 x 综上，选 D. 3x 5. 若函数的定义域是，则的定义域是（ ） yf x0,2 2 1 fx g x x A.B.C. D. 0,10,1 0,11,40,1 【答案】B 【解析】函数的定义域是， yf x0,2 则在中有，解得，故定义域为，选 B. 2 1 fx g x x 022 10 x x 01x 0,1 6. 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ） 1yf x2,321yfx A.B.C.D. 5 0, 2 1,45,53,7 【答案】A 【解析】的定义域是， 1yf x2,3 23, 114xx 的定义域为，由解得， f x1,4 1214x 5 0 2 x 故定义域为，选 A. 5 0, 2 7. 已知，则（ ） 11 1 x f xx 1 f xf x A.B.C.1D. 0 1 1 x x 1 x 【答案】D 【解析】， 11 1 x f xx 1 1 1 1 1 1 x x f x x x ，选 D. 111 0 11 xx f xf xxx 8. 已知，若，则 . 2 1,0 2 ,0 xx f x x x 10f a a 【答案】 3 【解析】若，则，解得或（舍去） ； 0a 2 110f aa 3a 3a 若，则，解得（舍去） ， 0a 210f aa 5a 综上，. 3a 9. 已知，则 . 2,10 6,10 xx f x ff xx 5f 【答案】11 【解析】依题意. 5119151311fffffff 10. 函数，若，则的取值范围是 . ,2 1, 24 3 ,4 x x f xxx x x 3f af a 【答案】 , 3 【解析】依题意，则不等式化为， 33f 3f a 若，则，解得，此时； 2a 3f aa 3a 3a 若，则，解得（舍去） ； 24a 13f aa 4a 若，则，解得（舍去） ， 4a 33f aa 1a 综上，的取值范围是. a , 3 11. 已知函数满足，则的解析式是 . yf x 1 11fx x f x 【答案】 2 1 1 x f xx x 【解析】设，则， 1 11t x 1 1 x t ，. 12 11 11 t f tt tt 2 1 1 x f xx x 12. 已知函数的定义域为，求实数的取值范围. 2 68f xmxmxm Rm 【答案】 0,1 【解析】依题意，恒成立， xR 2 680mxmxm 当时，不等式化为恒成立，符合题意； 0m 80 当时，则，解得， 0m 2 0 36480 m mm m 01m 综上所述，的取值范围为. m 0,1 13. 求下列函数的值域： （1）； （2）； （3） 2 1 1 f x x 32 2 x f x x ； 2 54f xxx （4）； （5）； （6） 2 2 1 1 xx f x x 21f xxx 2 2 225 1 xx f x xx 【答案】 （1）；（2）；（3）； 0,1 ,33,0,3 （4）；（5）；（6）. 1 3 , 2 2 15 , 8 2,6 【解析】 （1），故值域为； 2 11x 2 1 01 1x 0,1 （2），故值域为； 328328 33 222 xx f x xxx ,33, （3），故值域为； 2 2 54293f xxxx 0,3 （4），定义域为， 2 10 x R 解法一：， 2 22 1 1 11 xxx f x xx 当时，； 0 x 1f x 当时，又， 0 x 1 1 1 f x x x 11 22xx xx 或 ， 111 00 1 22 x x x 或 13 11 22 f xx或 综上所述，值域为； 1 3 , 2 2 解法二：由得，即， 2 2 1 1 xx y x 22 11y xxx 2 110yxxy 当即时，符合题意； 10y 1y 0 x 当即时，方程有解需满足，解得， 10y 1y 2 1410y 13 1 22 yy且 综上所述，值域为； 1 3 , 2 2 （5）设，则， 10tx 2+1 1xt ， 2 22 11515 2121222 488 yxxttttt 故值域为； 15 , 8 （6）， 2 222 22533 22 11 13 24 xx f x xxxx x ， 2 133 244 x 2 3 04 13 24 x 故值域为. 2,6 14.14. 画出下列函数的图像： （1）； （2）； （3） 2 2 1 1 xx f x x 2 1,1,0 1,0,1 xx f x xx 2 21f xxx 【答案】略