1、线性代数全册配套精品完整课件线性代数全册配套精品完整课件 线性代数线性代数（第五版）（第五版） 在以往的学习中，我们接触过二在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组元、三元等简单的线性方程组. . 但是，从许多实践或理论问题里但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等与方程的个数也不一定相等. . 我们先讨论未知量的个数与方程我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形的个数相等的特殊情形. . 在讨论这一类线性方程组时，我在讨论这一类线性方程组
2、时，我 们引入行列式这个计算工具们引入行列式这个计算工具. . 第一章 行列式 n内容提要 1 二阶与三阶行列式 2 全排列及其逆序数 3 n 阶行列式的定义 4 对换 5 行列式的性质 6 行列式按行（列）展开 7 克拉默法则 行列式的概念行列式的概念. . 行列式的性质及计算行列式的性质及计算. . 线性方程组的求解线性方程组的求解. . （选学内容）（选学内容） 行列式是线性代行列式是线性代 数的一种工具！数的一种工具！ 学习行列式主要学习行列式主要 就是要能计算行列就是要能计算行列 式的值式的值. . 1-1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 我们从最简单的二元线性方程组出发，探我们从
3、最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式求其求解公式，并设法化简此公式. . 一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式 二元线性方程组二元线性方程组 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 由消元法，得由消元法，得 211211221122211 )(abbaxaaaa 212221121122211 )(baabxaaaa 当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 0 21122211 aaaa 21122211 212221 1 aaaa baab x 21122211 211211 2 aaaa abba x 求解公
4、式为求解公式为 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 122122 1 11221221 112121 2 11221221 b aa b x a aa a a bb a x a aa a 二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得. 其求解公式为其求解公式为 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 122122 1 11221221 112121 2 1
5、1221221 b aa b x a aa a a bb a x a aa a 二元线性方程组二元线性方程组 我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个四个 数分成两对相乘再相减数分成两对相乘再相减”. . 1112 11221221 2122 aa Da aa a aa 1112 2122 aa aa 记号记号 1112 2122 aa aa 数表数表 表达式表达式 称为由该称为由该 数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即 11221221 a aa a 其中，其中， 称为称为元素元素. .(1,2;1,2) ij aij i 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于
6、第i 行；行； j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. . 原则：横行竖列原则：横行竖列 二阶行列式的计算二阶行列式的计算 1112 2122 aa aa 11221221 a aa a 主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积 对角线法则对角线法则 二元线性方程组二元线性方程组 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 若令若令 1112 2122 aa D aa 12 1 1 222 b b a D a 1 2 2 11 21 ba D ab ( (方程组的系数行列
7、式方程组的系数行列式) ) 则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为 1122122 1 11221221 D D b aa b x a aa a 1121212 2 11221221 a bb aD x a aa aD 例例1 求解二元线性方程组求解二元线性方程组 12 1223 21 21 xx xx 解解 因为因为 12 23 D07)4(3 14)2(12 11 212 1 D 21243 12 123 2 D 所以所以 1 1 14 2, 7 D x D 2 2 21 3 7 D x D 二、三阶行列式二、三阶行列式 定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行
8、3列的数表列的数表 原则：横行竖列原则：横行竖列 引进记号引进记号 称为称为三阶行列式三阶行列式. . 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 112233122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则 并不适用！并不适用！ 三阶行列式的计算三阶行列式的计算 对角线法则对角线法则 111213 212223 313233 aaa Daaa aa
9、a 132132 a a a 112233 a a a 122331 a a a 132231 a a a 122133 a a a 112332 a a a 注意：注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. . 实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号. . 12-4 -221 -34-2 D 例例2 计算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 方程左端方程左端解解
10、由由 得得 2 111 230. 49 x x 例例3 求解方程求解方程 12291843 22 xxxxD , 65 2 xx 2 560 xx 3.2 xx或或 练习 1、 abc bca cab 2、 111 abc a2b 2 c2 见课本45页 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？ 解解1 2 3 123百位百位 3 3种放法种放法 十位十位1231 个位个位12 3 2 2种放法种放法 1 1种放法种放法 种放法种放法. .共有共有6123 问题问题 把把 n 个不
11、同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？ 定义定义 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素个元素 的的全排列全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示表示. 显然显然 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n! 种不同的排法种不同的排法. 所有所有6种不同的排法中，只有一种排法种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前
12、数排在小的数之前. . 因此大部分的排列都不是因此大部分的排列都不是“顺序顺序”， 而是而是“逆序逆序”. . 3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3! =6种不同的排法种不同的排法 123，132，213，231，312，321 对于对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个就称这两个元素组成一个逆序逆序. 例如例如 在排列在排列32514中，中
13、， 3 2 5 1 4 逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？ 答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序. 定义定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数. 排列排列 的逆序数通常记为的逆序数通常记为 . . 奇排列：奇排列：逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列. . 偶排列：偶排列：逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列. . 思考题：思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：答：符合标准次序的排列（例如：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数）的逆
14、序数 等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列. . 计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法 则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为 设设 是是 1, 2, , n 这这n 个自然数的任一排列，个自然数的任一排列， 并规定由小到大为标准次序并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ； 再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ; 最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ; 1 p 1 p 1 t 2 p 2 p 2 t n p n p n t 例例1：求排列求排
15、列 32514 的逆序数的逆序数. 解：解：(32514)010315t 练习：练习：求排列求排列 453162 的逆序数的逆序数. 9t 解：解： 练习 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： 1、523146879 1-1-3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 一、概念的引入一、概念的引入 111213 212223 313233 aaa Daaa aaa 112233122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 规律：规律： 1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即3!项项 2.2.每
16、一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1、2、3的某个排列的某个排列. . 4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . 123 123ppp aaa 123 p p p 123 p p p 123 p p p 所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 123 123 123 () 123 ( 1)t p p p ppp p p p aaa 其中其中 表示对表示对1、2
17、、3的所有排列求和的所有排列求和. 123 p p p 二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形. 111213 212223 313233 aaa Daaa aaa 112233122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义 1. n 阶行列式共有阶行列式共有 n! 项项 2.2.每一项都是位于不同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积 3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除
18、外），其中（正负号除外），其中 是是1, 2, , n 的某个排列的某个排列. . 4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . 简记作简记作 ， 其中其中 为行列式为行列式D的的( (i, j) ) 元元 det() ij a ij a 思考题：思考题： 成立成立吗？吗？ 答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解： 若理解成绝对值，则若理解成绝对值，则 ； 若理解成一阶行列式，则若理解成一阶行列式，则 . . 11 1 11 11 注意：注意：当当n = 1时，一阶行列式时，一阶行列式|a| =
19、 a，注意不要与，注意不要与 绝对值的记号相混淆绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式例如：一阶行列式 . 11 11121314 222324 3 3334 44 0 00 000 aaaa aaa D aa a 例：例：写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子 的项的项. . 2311a a 例：例：计算行列式计算行列式 解：解： 11233244 a a a a 11233442. a a a a和和 14 23 2 32 41 000 000 000 000 a a D a a 11 22 1 33 44 000 000 000 000 a a D a a 11 2122 4
20、323233 41424344 000 00 0 a aa D aaa aaaa 解：解： 11 22 1 33 44 000 000 000 000 a a D a a 14 23 2 32 41 000 000 000 000 a a D a a 11223344 a a a a (4321)0123t 3 4 6. 2 其中其中 11121314 222324 3 3334 44 0 00 000 aaaa aaa D aa a 11 2122 4 323233 41424344 000 00 0 a aa D aaa aaaa 11223344 a a a a 四个结论：四个结论： (
21、1) (1) 对角行列式对角行列式 nn aaa 2211 (2) (2) (1) 2 12,11 ( 1) n n nnn a aa nnnn aaa aa a D 21 2221 11 0 00 nn n n a aa aaa D 00 0 222 11211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0） nn aaa 2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0） nn aaa 2211 思考题：思考题：用定义计算行列式用定义计算行列式 解：用树图分析解：用树图分析 11
22、1 1 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 11 22 22 11 12134）（ 22143）（ 32413）（ 42431）（ 491223D 故故 1130 2300 2101 1210 D 思考题思考题 已知已知 ，求，求 的系数的系数. 1211 123 111 211 x x x x xf 3 x 故故 的系数为的系数为1. 解解含含 的项有两项，的项有两项， 即即 3 x 1211 123 111 211 x x x x xf 对应于对应于 1243 11223443 ( 1)ta a a a (1234) 11223344 ( 1)ta a a a (1234)3 1122
23、3344 ( 1), t a a a ax 12433 11223443 ( 1)2 t a a a ax 3 x 练习 写出五阶行列式中含有因子a 11a23 的项. 1-1-4 对换对换 一、对换的定义一、对换的定义 定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换 将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换 例如例如 备注备注 1.1. 相邻对换是对换的特殊情形相邻对换是对换的特殊情形. . 2.2. 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现一般的对换可以
24、通过一系列的相邻对换来实现. . 3.3. 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. . m 次相邻对换次相邻对换 m+1次相邻对换次相邻对换 m 次相邻对换次相邻对换 m+1次相邻对换次相邻对换 二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系 定理定理1 1对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性. . 证明证明先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形 11lm abaabb ttttttt 11lm baaabb rrtttrt 注意到除注意到除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变. ., a b 当当 时，时， ，
25、 ， . . ab 当当 时，时， ， ， . . ab 因此相邻对换改变排列的奇偶性因此相邻对换改变排列的奇偶性. . 1 aa rt bb rt aa rt 1 bb rt 1rt 1rt 既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么 2m+1次相邻对换次相邻对换 因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变. . 推论推论 奇排列奇排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为奇数奇数， 偶排列偶排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为偶数偶数. . 由定理由定理1 1知，对换的次数就是
26、排列奇偶性的变化次知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次 数，而标准排列是偶排列数，而标准排列是偶排列( (逆序数为零逆序数为零) )，因此可知推论，因此可知推论 成立成立. . 证明证明 因为数的乘法是可以交换的，因为数的乘法是可以交换的，所以所以 n 个元素相乘的次个元素相乘的次 序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 与与 都同时作一次对换，即都同时作一次对换，即 与与 同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶 性不变性不变. . 于是于是 与与 同时为奇
27、数或同时为偶数同时为奇数或同时为偶数. . 即即 是偶数是偶数. . 因为对换改变排列的奇偶性，因为对换改变排列的奇偶性， 是奇数，是奇数， 也是奇数也是奇数. . 设对换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列的逆序数为 ，列标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为 . . s t s t 所以所以 是偶数，是偶数， ss tt ()()sstt ()()stst ()st ()st 因此，交换因此，交换 中任意两个元素的位置后，其中任意两个元素的位置后，其 行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变. . 设经过一次对换后行标排列的逆序数为设经过一次对换后
28、行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. . 所以，所以， 在一系列对换之后有在一系列对换之后有 定理定理2 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 定理定理3 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 例例1 试判断试判断 和和 142331425665 a a a a a a 324314512566 a a a a a a 是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项. 解解下标的逆序数为下标的逆序数为 4312650122016t 142331425665 a a a a a a
29、所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项. 142331425665 a a a a a a 行标和列标的逆序数之和行标和列标的逆序数之和 (341526)(234156)538tt 324314512566 a a a a a a 所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项. 324314512566 a a a a a a 练习练习 00010 00200 08000 90000 000010 计算下列行列式计算下列行列式 例例2 用行列式的定义计算用行列式的定义计算 12 2 1! nn n Dn 解解 1. 对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性 2. 行列式的三种表示方法
30、行列式的三种表示方法 三、小结三、小结 1-5 1-5 行列式的性质行列式的性质 一、行列式的性质一、行列式的性质 1112 12 2122 1 2 , n n nnnn aaa a a a a a D a 行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. . T DD 若记若记 ，则，则 .det(), det() T ijij DaDb ijji ba 记记 性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 . T DD 性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. . 证明证明 根据行列式的定义，有根据行列式的定义，有 若记若
31、记 ，则，则 det(), det() T ijij DaDb ,1,2, ijij bai jn D 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立. . 性质性质2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. . 验证验证 于是于是 175 662 358 175 358 662 196 196 175175 662358 358662 推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. . 证明证明互换相同的
32、两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 . DD 0D 备注：交换第备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 . .j i () ijij rr cc 性质性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个 倍数倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式. . 验证验证 kk 111213 212223 313233 , aaa Daaa aaa 我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 根据三阶行列式的对角线法则，有根据三阶行列式的对角线法则，有 111213 1212223 313233 kk
33、 aaa Daaa aaa k 备注：第备注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作，记作 . . ki 111213 1212223 313233 kk aaa Daaa aaa k 112233122331132132 132231122133112332 ()()() ()()() aaaaaaaaa aaaaaa kkk kkkaaa 112233122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aaa k a Dk 推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提 到行列式
34、符号的外面到行列式符号的外面 备注：第备注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作，记作 . . ki() ii rk ck 2122232421222324 31323334 111213141112 3 111213141112 132 1 3 3 334 31 14 14 00 aaaaa kk kak aaaaaaaa aaaaaaa akakaaaaa aa a a 验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列 式为零式为零 性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素
35、都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, ,则则 行列式可拆分。行列式可拆分。 例如：例如： 1212 2222 1113 2123 31332323 aa Daa ab ab abaa 则则 11131113 21232123 3133 1212 2222 32331323 aaaa Daaa ab ab ab a aaaa 1212 2222 1113 2123 31332323 aa Daa ab ab abaa 22 123 13 123 22 () 13 ( 1)() pp t p p p pp p p p abaa 123123 1313 123 22 123 ()(
36、) 132213 ( 1)( 1) t p p pt p p p pppp p p pp p p pp aaaaba 11131113 21232123 3133313 1212 2222 23332 aaab a a b a aaaa aabaaa 验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变 则则 1. DD 验证验证 12 22 1113 2123 313323 , aa Daa
37、aaa a a 我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 111213 12122 13 23 33 23 313233 aaa Daaa ka ka kaaaa 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作 ki (). ijij rkr ckc j 例例 2101044 614753 12402 59733 13211 D 二、应用举例二、应用举例 计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为 上三角形行列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值 ij rkr 3 210104
38、4 614753 12402 59733 13211 D 3 解解 2101044 614753 12402 20100 13211 3 12 rr 2101044 614753 14020 20100 13211 2101044 614753 12402 20100 13211 3 12 rr 2 3 12 2rr 4 42 rr 22200 20100 14020 35120 13211 22200 35120 14020 20100 13211 14 4rr 13 3rr 22200 01000 21100 35120 13211 34 rr 22200 20100 21100 3512
39、0 13211 23 rr 2 60000 01000 21100 35120 13211 612 45 4rr .12 64000 01000 21100 35120 13211 35 2rr 4 例例2 计算计算 阶行列式阶行列式n abbb babb bbab bbba D 解解 abbbna babbna bbabna bbbbna 1 1 1 1 D 将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2 0 0 1 (1) (). n anb a b 1200 3400 00-13 0051 练习练习 求下列行列式求下列行列式 例例3 设设 ,)det( 1 111 1 kkk
40、 k ij aa aa aD ,)det( 1 111 2 nnn n ij bb bb bD . 21D DD 证明证明 P14例例10 证明证明 对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 1 D ij rkr 1 D 设为设为 对对 作运算作运算 , ,把把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 2 D ij ckc 2 D 设为设为 对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ， 把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 , 0 1 11 1 111 1 11 nnnnkn k kkk qq q cc cc pp p
41、D 12. D D ij rkr ij ckc 故故 ( (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同 等的地位等的地位, , 凡是对行成立的性质对列也同样成凡是对行成立的性质对列也同样成 立立).). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)(1)利用定义利用定义;(2);(2)利利 用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得 行列式的值行列式的值 三、小结三、小结 行列式的行列式的6 6个性质个性质 计算计算4 4阶行列式阶行列式 思考题思考题 1 11 1 11 1 11 1 11 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d c c c
42、c b b b b a a a a D 1abcd 已已知知 思考题解答思考题解答 解解 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 d dd c cc b bb a aa D 1 11 1 11 1 11 1 11 2 2 2 2 d d d c c c b b b a a a dd d cc c bb b aa a abcd 11 1 11 1 11 1 11 1 2 2 2 2 dd d cc c bb b aa a 11 1 11 1 11 1 11 1 1 2 2 2 2 3 . 0 1、证明下列恒等式、证明下列恒等式 11111111 2 22222222 33333333 (
43、1) ab xa xbcabc ab xa xbcxabc ab xa xbcabc 1-6 行列式按行(列)展开 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. . 本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高 阶行列式阶行列式. . 一、引言一、引言 12233111122 122133 3332132 132231112332 a a aa a a a a a a aaaa aa aa 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 12233 13213 11 2223 22331213332 1 23 aa aaa
44、a aa aa aa a aa 222321232123 111213 323331333133 aaaaaa aaa aaaaaa 结论结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示. . 思考题思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？ 例如例如 11121314 21222324 31323334 41424344 aaaa aaaa D aaaa aaaa 111214 23313234 414244 aaa Maaa aaa 2 3 232323 1AMM 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式
45、1 ij ijij AM ij a 在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，列划后， 留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 . i j ij M ij a ij a 结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. . 引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，
46、那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘与它的代数余子式的乘 积，即积，即 ijij Da A 11121314 21222324 33 41424344 000 aaaa aaaa D a aaaa 111214 3 3 33212224 414244 1 aaa aaaa aaa 例如例如 3 3 33333333 1a Aa M 111214 33212224 414244 aaa aaaa aaa i ij a ij a 11 21222 12 00 n nnnn a aaa D aaa 即有即有 1111. Da M 又又 1 1 111111 1,AMM 从而从而 1111. Da
47、A 下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形. 分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时, , ij a （根据（根据P.14例例10的结论）的结论） 11121314 21222324 41424344 34 000 aaaa aaaa aaaa a 我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 23 34 11121314 21222324 41424344 000 ( 1) rr aaaa aaaa aaaa a 12 11121314 21222324 414243 3 44 4 2 000 ( 1) rr aaaa aaaa aaaa a 11121314 2122232
48、4 4142434 34 (3 1 4 ) 000 ( 1) aaaa aaaa aaaa a 思考题：思考题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？ 13 rr 23 12 34 2 34 4142434441424344 11121 212223 314 1112131424 21222324 000 ( 1) 000 rr rr a a aa aaaa aaaa a aa aaaaa aa aaaa 思考题：思考题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？ 13 34 34 41 11121 42 314 111 4344414 21222324212223
49、2 213 234 1 4 4 4 4 000 ( 1) 000 rr aaaa aaa aaaaaaa a a aaaaaaa a a a 答：答：不能不能. . 13 rr 11121314 21222324 4142434 34 (3 1 4 ) 000 ( 1) aaaa aaaa aaaa a 34 23 12 14111213 24212223 444 34 (3 1) 3 3 1424 000 ( 1)( 1) cc cc cc a a aaa aaaa aaaa 141112 34 (13 1)3 24212223 44414243 (4 1) 000 ( 1)( 1) aaa
50、a aaaa aaa a a 3 4 2 ( 1) 3 4 34 ( 1)a 3434 a A 被调换到第被调换到第1行，第行，第1列列 34 a 111213 212223 414243 34 aaa aaa aaa a34 M 11121314 21222324 41424344 34 000 aaaa aaaa aaaa a 二、行列式按行（列）展开法则 定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即 1122 1,2, iiiiinin Da Aa Aa Ain 111213111213
