1、8.6 空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直 知识梳理知识梳理 1、直线与平面垂直 （1）定义：如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面垂直，记作 l；直线 l 叫做平面的垂 线；平面叫做直线 l 的垂面；直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫做垂足 （2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 （3）判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号表示：a， b，abA，la，lbl. 2、面面垂直 （1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 （2）画法： 记作：. （
2、3）面面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直 符号表示： a a 3、性质定理 直线与平面垂直平面与平面垂直 文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交 线的直线与另一个平面垂直 符号语言 a a b b =l a a al 图形语言 作用 线面垂直线线平行； 作平行线 面面垂直线面垂直； 作面的垂线 4、异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，我们把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做 异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) （2）异面直线所成的角的取值范围：(0，9
3、0. （3）当90时，a 与 b 互相垂直，记作 ab 5、直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不垂直，这条直线称为平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在平面上的射影平面的一条斜线和它 在平面上的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角. 如图，PAO 就是斜线 AP 与平面所成的角 （2）特别的，当直线 AP 与平面垂直时，它们所成的角是 90；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是 0 （3）直线和平面所成角的范围0，90 6、二面角 （1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
4、这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做 二面角的面 如图，记作：二面角-l-或 P-AB-Q 或 P-l-Q （2）二面角的平面角 如图，二面角-l-， 若有：Ol； OA，OB； OAl，OBl. 则AOB 就叫做二面角-l-的平面角 知识典例知识典例 题型一 线面垂直 例 1如图，已知AF 平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形， 90DAB，/AB CD， 2ADAFCD，4AB .求证：AC 平面BCE 【分析】 先证明 ACBE,再取AB的中点M，连接CM，经计算，利用勾股定理逆定理得到 ACBC,然后利用线面垂直的判 定定理证得结论； 【详解】 解：证明：四边
5、形ABEF为矩形/AF BE AF 平面ABCDBE平面ABCD AC 平面ABCDACBE. 如图，取AB的中点M，连接CM， 1 2 2 AMABDC /AM DC，90MAD，2AMDCAD 四边形ADCM是正方形. 90ADC 222 448CADDC ， 222 448BCCMBM 4AB 222 ACBCAB ABC是直角三角形ACBC. BCBEB，BC、BE 平面BCE AC 平面BCE 巩固练习巩固练习 已知如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 AB、A1C 的中点. （1）求证：EF平面 ADD1A1； （2）求证：EF平面 A1DC 【答案】（1
6、）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）连接 AD1，通过证明四边形 AEFO 是平行四边形，得到 EFAO，然后利用线面平行的判定定理，可得结果. （2）利用线面垂直的判定定理可得 AD1平面 A1DC，然后根据 EFAD1，最后可得结果. 【详解】 证明：（1）如图，连接 AD1，设 AD1A1DO，连接 OF， 则由正方体 ABCD-A1B1C1D1可得：点 O 是 A1D 的中点， 因为点 F 是 A1C 的中点，所以OF/DC且 1 2 OFDC. 又 E 是 AB 的中点，所以AE/DC且 1 2 AEDC 所以OF/AE且OFAE 则四边形 AEFO 是平行四边形，所以
7、 EFAO， 而 AO平面 ADD1A1，EF平面 ADD1A1， 所以 EF平面 ADD1A1. （2）由正方体 ABCD-A1B1C1D1可得：DC平面 ADD1A1， 而 AD1平面 ADD1A1，所以 DCAD1， 又 AD1A1D，且 A1DDCD，DC平面 A1DC，A1D平面 A1DC， 所以 AD1平面 A1DC. 再由（1）可知：EFAD1， 所以 EF平面 A1DC. 题型二 面面垂直 例 2如图，四面体 ABCD 中，点 E，F 分别为线段 AC，AD 的中点，平面EFNM 平面BCDMN， 90CDACDB ，DHAB，垂足为 H. （1）求证：/EF MN； （2）求
8、证：平面CDH 平面 ABC. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 本题考查线面平行与线面垂直的判定，难度不大. （1）利用线面平行的判定定理证得/EF平面 BCD，进而利用线面平行的性质定理证得； （2）利用线面垂直的判定定理证得CD 平面 ADB，进而证得AB 平面 CDH，然后由面面垂直判定定理证得结论. 【详解】 证明：（1）因为点 E、F 分别为线段 AC、AD 的中点， EF为ACD的中位线，则/EF CD， CD 平面 BCD，EF 平面 BCD， /EF平面 BCD，又EF 平面 EFNM， 平面EFNM 平面BCDMN，/EF MN； （2）90CDACD
9、B ， CDDA，CDDB， DADBD，DA平面 ADB，DB 平面 ADB， CD平面 ADB，CDAB 又DHAB，DHCDD，DC 平面 DCH，DH 平面 DCH， AB平面 CDH，AB 平面 ABC， 平面CDH 平面 ABC. 巩固练习巩固练习 如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形. （1）求证：/EF平面ABCD； （2）若CFAE，ABAE，求证：平面ABFE 平面CDEF. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1） 推导出/AB CD， 从而得出/AB面CDEF， 由线面平行的性质定理， 得/AB EF， 由此能证明/EF平面
10、ABCD； （2）推导出AEDE，AECD，从而得出AE平面CDEF，由此能证明平面ABFE 平面CDEF 【详解】 （1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以/AB CD， 又因为AB 平面CDEF，CD 平面CDEF，所以/AB平面CDEF， 又因为AB平面ABFE，平面ABFE 平面CDEFEF，所以/AB EF， 又因为EF 平面ABCD，AB平面ABCD，所以/EF平面ABCD； （2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以/AB CD， 又因为ABAE，所以AECD， 又因为AECF，CDCFC，CD 平面CDEF，CF 平面CDEF， 所以AE平面CDEF， 又因为AE 平面ABF
11、E，所以平面ABFE 平面CDEF. 题型三 性质应用及异面直线夹角 例 3如图，等腰直角三角形 ABC 的直角边2ACBC，沿其中位线 DE 将平面 ADE 折起，使平面ADE 平面 BCDE，得到四棱锥ABCDE，设 CD，BE，AE，AD 的中点分别为 M，N，P，Q （1）求证：M，N，P，Q 四点共面 （2）求证：平面ABC 平面 ACD （3）求异面直线 BE 与 MQ 所成的角 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）60. 【分析】 （1）证明 / /PQMN，说明四点共面；（2）要证明面面垂直，需证明线面垂直，即 证明BC平面ACD；（3）延 长 ED 至 R，使D
12、RED，延长 ED 至 R，使DRED，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即ACR为 异面直线 BE 与 QM 所成的角（或补角） 【详解】 （1）由题意易知：/ /PQDE，/ /MNDE， 所以 / /PQMN， 所以 M，N，P，Q 四点共面 （2）因为平面ADE 平面 BCDE，平面ADE 平面BCDEDE， 而ADDE，所以AD平面 BCDE，即ADBC， 又ADBC，所以BC平面 ACD， 而BC 平面 ABC，所以平面ABC 平面 ACD （3）由条件知1AD ，1DC ，2BC ，延长 ED 至 R，使DRED， 延长 ED 至 R，使DRED，则ERBC，/ /ERB
13、C， 故 ERCB 为平行四边形， 所以/ /RCEB，又/ /ACQM 所以ACR为异面直线 BE 与 QM 所成的角（或补角） 因为DADCDR，且三线两两互相垂直， 由勾股定理得 2ACARRC 因为三角形 ACR 为正三角形，所以60ACR 所以异面直线 BE 与 MQ 所成的角为60 巩固练习巩固练习 如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为1，动点E在线段 11 AC上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论 中正确的是_. FM与 1 BC所成角为45； BM 平面 1 CC F； 存在点E，使得平面/BEF平面 11 CC D D； 三棱锥BCFE的体积为定值. 【
14、答案】 【分析】 利用线线平行，找出异面直线的夹角的平面角，求出即可，可判断的正误；根据线面垂直的判定定理即可判断的 正误；利用面面平行的性质定理可判断的正误；利用等体积法即可求出棱锥的体积，可判断的正误.综合可得出结 论. 【详解】 对于，F、M分别为AD、CD的中点，/FM AC， 在正方体 1111 ABCDABC D中， 11 /AA CC且 11 AACC，则四边形 11 AAC C为平行四边形， 11 /AC AC，异面直线FM与 1 BC所成的角为 11 AC B， 在 11 AC B中， 1111 ACABBC，所以， 11 AC B为等边三角形，则 11 60AC B ，即错
15、误； 对于，BCCD，CMDF，BCMCDF ，BCMCDF ， 90BMCDCF ， BMCF， 又因为 1 CC 平面ABCD，且BM 平面ABCD，所以 1 CCBM， 因为 1 CFCCC，所以BM 平面 1 CC F，即正确； 对于，若平面/BEF平面 11 CC D D，因为平面 11 /CC D D平面 11 AAB B， 所以平面/BEF平面 11 AAB B，但平面BEF与平面 11 AAB B有公共点B，所以错误； 对于， 11 1111 3326 B CFEE BCFBCF VVSAABC AB AA （定值），即正确. 故答案为：. 题型四 直线与平面的夹角 例 4如图
16、所示，平面 ABEF平面 ABC，四边形 ABEF 是矩形，AB2，AF2 3，ABC 是以 A 为直角的等腰直 角三角形，点 P 是线段 BF 上的一点，PF3. （1）证明：ACBF； （2）求直线 BC 与平面 PAC 所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 7 7 . 【分析】 （1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，利用题中的垂直关系，易证明AC 平面ABEF；（2）由题中所给的长度， 证明BP 平面PAC，即BCP 为直线 BC 与平面 PAC 所成的角，在 RtBCP 中，求线面角的正切值. 【详解】 (1)证明：因为ABC 是以 A 为直角的等腰直角三角形， 所以 A
17、CAB， 又平面 ABEF平面 ABC，平面 ABEF平面 ABCAB， 所以 AC平面 ABEF. 因为 BF平面 ABEF，所以 ACBF. (2)在矩形 ABEF 中，AB2，AF2 3， 则 BF4，又 PF3， 所以 FA2PFBF，所以 BFAP， 由(1)知 ACBF，又 ACAPA，所以 BF平面 PAC， 则BCP 为直线 BC 与平面 PAC 所成的角. 如图，过点 P 作 PMAB 交 BE 于点 M，过点 P 作 PNAB 于点 N， 连接 NC， 因为 BF4，PF3，所以 PB1，则 1 4 PMBMPB EFBEBF ， 所以 PMBN 1 2 ，BMPN 3 2
18、 ，ANABBN2 1 2 3 2 ， 所以 CN 22 ANAC 22 35 ( )2 22 ，PC 22 PNNC 22 35 ( )( )7 22 . 在 RtBCP 中，tanBCP 7 7 BP PC . 故直线 BC 与平面 PAC 所成角的正切值为 7 7 . 巩固练习巩固练习 如图，已知四棱锥ABCDE中，BC平面ADC，45ACD ， /DEBC，2ACBCDE，EAEB，F 是AB的中点. （）求证：/EF平面ACD； （）求直线AB与平面BCDE所成角的正弦值. 【答案】（）证明见解析；（） 1 2 . 【分析】 （）要证明线面平行，需转化为证明线线平行，取AC中点G，连
19、,DG FG，可证明四边形DEFG为平行四边形， 从而证明/ /EFDG；（）法一，连结BD，证明AD平面BCDE，ABD即为所求；法二：M是BC中点， 连,/ /,MGMGAB则转化为求MG与平面BCDE的线面角. 【详解】 （）取AC中点G，连,DG FG.易知/DEBC，且 1 2 DEBC，/ /FGBC，且 1 2 FGBC,所以/ /DEFG， 且DEFG， 所以四边形DEFG为平行四边形，所以/ /EFDG.又因为EFADC 面，DGADC 面，所以/ /EFACD面 （）(一)连BD.由BCADC 面，/DEBC，所以面DEADC， 22 EAADDE . 在直角梯形上， 2
20、222 EBCDBCDECDDE . ,EAEBDADC.又 45ACD ，所以 ADDC 又ADBC.ADBCDE 面，所以ABD为直线AB与平面BCDE所成角 2 1 2 sin 22 AC AD ABD ABAC (二)设M是BC中点，连,/ /,MGMGAB则因为BCADC 平面，则BCDEADC平面平面，作 GHDCHGHBCDE于 ，则面，所以GMH为MG，也即直线AB与平面BCDE所成角 1 sin 2 GH GMH GM 题型五 二面角 例 5如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 2 的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱 SD 上的 点. （1）求证:A
21、CSD； （2）若 SD平面 PAC，求二面角 P-AC-D 的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）30 【分析】 （1）连接BD交AC于点O，连接SO，易得SOAC，ACBD，所以AC 平面SBD，从而得到ACSD； （2）根据SAPSCP得到APCP，从而得到POAC，DOAC，POD为二面角PACD的平面 角，再求出 2OD ， 6 2 OP ，得到cosPOD，从而得到二面角PACD. 【详解】 （1）连接BD交AC于点O，连接SO， 由题意，底面ABCD为正方形， 侧棱SASBSCSD， 所以SOAC， 在正方形ABCD中，ACBD， 又因为SOBDO，且SO 平面SBD，BD 平
22、面SBD， 所以AC 平面SBD， 又因为SD平面SBD， 所以ACSD. （2）连接PO，因为SD 平面PAC， 所以PASD，PCSD， 又因为在Rt SPA和Rt SPC中， SASC，SPSP，SPASPC， 所以SAPSCP. 所以APCP 又因O为AC的中点， 所以POAC，DOAC. 所以POD为二面角PACD的平面角， 又因为SDOP，在Rt SOD中由等面积法， 得 11 22 OP SDOD SO， 6 2 OP ， 在Rt OPD中， 2OD ， 6 2 OP ， 所以 3 cos 2 OP POD OD . 故二面角PACD的大小为30. 巩固练习巩固练习 如图，把等腰
23、直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转至ABD的位置，使CDAC. (1)求证:平面ABD 平面ABC； (2)求二面角CBDA的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 3 3 【分析】 （1）取AB的中点O，连接OC，可得得COAB，根据三角形中的几何关系，得到 2 2 DOCOCD ，从而得 到DOCO，所以得到DO 平面ABC，再得到平面ABD 平面ABC；（2）取BD的中点E，连接,CE OE， CEBDOEBDOEBD， 再在直角三角形COE中， 得到cosOEC， 从而得到二面角CBDA 的余弦值. 【详解】 （1）如图，取AB的中点O，连接OD， ABD是等腰直角三角形，DOA
24、B，且 2 2 DOAD . 连接OC，同理得COAB，且 2 2 COAC ， ADAC， 2 2 DOCOAC . CDAC， 222 DOCOCD ， CDO为等腰直角三角形，DOCO， 又ABCOO，,AB CO 平面ABC， DO平面ABC. 又DO 平面ABD， 平面ABD 平面ABC. （2）取BD的中点E，连接,CE OE. 易知BCD为等边三角形，CEBD. 又BOD为等腰直角三角形，OEBD. OEC为二面角CBDA的平面角. 由（1）知COAB，DOCO， 且,AB DO 平面ABD，ABDOO， 所以OC 平面ABD，OE 平面ABD， OCOE. COE为直角三角形.
25、 设BCa，则 2 2 OCODOBa ， 所以 21 22 OEOBa ， 则 22 3 2 CEOCOEa ， 3 cos 3 OE OEC CE ， 即二面角CBDA的余弦值为 3 3 . 巩固提升巩固提升 1、如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于AB，的任一点，则下列关系中不正确的是 （） APABCBBC平面PAC CACPBDPCBC 【答案】C 【分析】 由PA 平面ABC，得PABC，再由BCAC，得到BC平面PAC，进而得到PCBC，即可判断出结果. 【详解】 因为PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面， 即PA 平面ABC，得PABC，A 正确；
26、又C为圆上异于AB，的任一点，所以BCAC， BC平面PAC，BCPC，B，D 均正确. 故选 C. 2、如图所示，在四面体DABC中，若ABBC，ADCD，E 是AC的中点，则下列结论中正确的是（） A平面ABC 平面ABD B平面ABD 平面BDC C平面ABC 平面BDE，且平面ADC 平面BDE D平面ABC 平面ADC，且平面ADC 平面BDE 【答案】C 【分析】 根据条件易知BEAC，DEAC，从而得到AC 平面BDE，所以平面ABC 平面BDE，平面ACD 平面 BDE 【详解】 因为ABBC，且E是AC的中点，所以BEAC 因为ADCD，且E是AC的中点，所以DEAC 又BE
27、DEE，,BE DE 平面BDE， 所以AC 平面BDE. 因为AC 平面ABC， 所以平面ABC 平面BDE. 因为AC 平面ACD， 所以平面ACD 平面BDE. 故选：C. 3、在四面体ABCD中，ABBCCDAD，90BADBCD ，二面角ABDC为直二面角，E是CD 的中点，则AED的大小为（） A45B90C60D30 【答案】B 【分析】 设ABa=，取BD的中点F，连接,AF CF，可得AFBD，CFBD，结合条件得到90CFA ，利用勾股 定理得到ACa，从而得到ACD为正三角形，根据E是CD的中点，得到 90AED 【详解】 如图，设ABBCCDADa， 取BD的中点F，连
28、接,AF CF， 所以得到AFBD，CFBD， 所以CFA为二面角ABDC的平面角， 因为二面角ABDC为直二面角， 所以90CFA ， 在等腰直角三角形ABD和BCD中， 2 2 AFCFa ， 在Rt AFC中，易得 22 ACAFCFa ， 所以ACD为正三角形. 又因为E是CD的中点，所以AECD， 即 90AED . 故选：B. 4、如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD 底面ABCD，则下列结论中不正确的是（） AACSB B/ /AB平面SCD C平面SDB 平面SAC DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 【答案】D 【分析】 结合直线与平面垂直的判定和性质，结合直线
29、与平面平行的判定，即可 【详解】 A 选项，可知,ACBD ACSD可知ACSDB 平面，故ACSB，正确； B 选项，AB 平行 CD，故正确； C 选项，ACSDB 平面，故平面SDB 平面SAC，正确； D 选项，AB 与 SC 所成的角为SCD，而 DC 与 SA 所成的角为 0 90，故错误，故选 D 5、如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD满足ABAD，/ /BCAD，2ADBC，且M为PA的中点. （1）求证：/ /BM平面PCD； （2）若平面PAD 平面ABCD，且DPDA，求证：平面BDM 平面PAB. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1
30、）取PD的中点N，连结MN，CN，推导出四边形BMNC是平行四边形，得到/ /BMCN，由线面平行的判定 定理，即可证明/ /BM平面PCD （2）由面面垂直的性质定理可证AB 平面PAD，ABDM，DMPA，得到DM 平面PAB，由面面垂直 的判定定理，可证明平面BDM 平面PAB 【详解】 证明：（1）取PD的中点N，连接MN，CN. 因为M是PA的中点， 所以MN为 PAD 的中位线， 所以 1 / / 2 MNAD. 又因为 1 / / 2 BCAD， 所以 / /MNBC， 所以四边形BMNC为平行四边形， 所以/ /BMCN. 又BM 平面PCD，CN 平面PCD， 所以/ /BM
31、平面PCD. （2）因为平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，ABAD，AB平面ABCD，所以AB 平面PAD. DM 平面PAD，ABDM. 又因为DPDA，M为PA的中点，所以DMPA， PA平面PAB，AB平面PAB，且PAABA， 所以DM 平面PAB. 又DM 平面BDM， 所以平面BDM 平面PAB. 6、如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，D为线段AC的中点. 求证：BD 平面PAC. 【答案】见解析 【分析】 推导出PA 平面ABC，可得出BDPA，再利用等腰三角形三线合一的思想得出BDAC，利用线面垂直的判 定定理可得出BD 平面PAC.
32、 【详解】 PAAB，PABC，ABBCB，PA平面ABC， BD Q平面ABC，BDPA. ABBC，D为AC的中点，BDAC. PAACAQI，因此，BD 平面PAC. 7、如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点. （1）求证：EF 平面PAB； （2）若APAD，且平面PAD 平面ABCD，证明AF 平面PCD. 【答案】(1)见证明；(2)见证明 【分析】 （1）可证EFAB，从而得到要求证的线面平行. （2）可证AFCD，再由APAD及F是棱PD的中点可得AFPD， 从而得到AF 平面PCD. 【详解】 （1） 证明： 因为点E、F分别是棱PC
33、和PD的中点， 所以EFCD， 又在矩形ABCD中，ABCD， 所以EFAB， 又AB面PAB，EF 面PAB，所以EF 平面PAB （2）证明：在矩形ABCD中，ADCD，又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD 面 ABCD， 所以CD 平面PAD， 又AF 面PAD，所以CDAF 因为PAAD且F是PD的中点，所以AFPD， 由及PD 面PCD，CD 面PCD，PDCDD，所以AF 平面PCD. 8、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD 平面ABCD，PAPD，PAPD，E、F 分别为AD、PB的中点. （）求证：PEBC； （）求证：平面PAB
34、 平面PCD； （）求证：/EF平面PCD. 【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析. 【分析】 （1）欲证PEBC，只需证明PEAD即可； （2）先证PD 平面PAB，再证平面PAB 平面PCD； （3）取PC中点G，连接,FG DG，证明/EF DG，则/EF平面PCD. 【详解】 （）PAPD，且E为AD的中点，PEAD. 底面ABCD为矩形，/BC AD，PEBC； （）底面ABCD为矩形，ABAD. 平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD， AB 平面PAD，又PD 平面PAD，ABPD. 又PAPD，PAABA，PA、AB平面PAB，PD平面PA
35、B， PD 平面PCD，平面PAB 平面PCD； （）如图，取PC中点G，连接,FG GD. ,F G分别为PB和PC的中点，/FG BC，且 1 2 FGBC. 四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点， 1 /, 2 ED BC DEBC， /ED FG，且EDFG，四边形EFGD为平行四边形， /EF GD，又EF 平面PCD，GD 平面PCD，/EF平面PCD. 9、如图，已知Rt ABC，斜边BC，点A，AO，O为垂足，30ABO ，45ACO ，求二面 角ABCO的大小. 【答案】60 【分析】 过O作ODBC，证明出ADBC，从而得到ADO是二面角ABCO的平面角，再结合已知条件，
36、得到AB， AC的长，利用等面积法得到AD，再由sinADO得到60ADO，从而得到答案. 【详解】 如图，在平面内，过O作ODBC，垂足为点D，连接AD， 设COa. AO，BC，AOBC. 又AOODO，,AO OD 平面AOD， BC平面AOD. 而AD平面AOD，ADBC， ADO是二面角ABCO的平面角. 由AO，OB，OC， 知AOOB，AOOC. 30ABO ，45ACO ，COa， AOa， 2ACa ，2ABa. 在Rt ABC中，90BAC ， 22 6BCACABa ， 11 22 AD BCAB AC 222 3 36 AB ACaa ADa BCa ， 在Rt AOD
37、中， 3 sin 22 3 3 AOa ADO AD a ， 60ADO， 即二面角ABCO的大小是60. 10、如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧棱 1 AA 平面 111 ABC，D、E分别是AB、BC的中点，点F在侧棱 1 BB 上，且 11 B DAF， 1111 ACAB，求证： （1）直线/DE平面 11 AC F； （2）平面 1 B DE 平面 11 AC F. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由中位线的性质得出/DE AC，由棱柱的性质可得出 11 /AC AC，由平行线的传递性可得出 11 /DE AC，进而可 证明出/DE平面 11
38、AC F； （2）证明出 11 AC 平面 11 AAB B，可得出 111 ACB D，结合 11 B DAF可证明出 1 B D 平面 11 AC F，再由面面垂 直的判定定理即可证明出结论成立. 【详解】 （1）DQ、E分别为AB、BC的中点，DE为ABC的中位线，/DE AC， 111 ABCABC为棱柱， 11 /AC AC， 11 DE/AC， 11 AC 平面 11 AC F，DE 平面 11 AC F，/DE平面 11 AC F； （2）在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面 111 ABC， 11 AC 平面 111 ABC， 111 AAAC， 又 1111 ACAB且 1111 AAABA， 1 AA、 11 AB 平面 11 AAB B， 11 AC平面 11 AAB B，而 1 B D 平面 11 AAB B，故 111 ACB D. 又 11 B DAF，且 1111 AFACA， 1 AF、 11 AC 平面 11 AC F， 1 B D 平面 11 AC F ，又 1 B D 平面 1 B DE ，平面 1 B DE 平面 11 AC F .
