1、7.3*复数的三角表示复数的三角表示 7.3.1复数的三角表示复数的三角表示式式 讲课人：邢启强 2 ( ,)zabi a bR 复习引入复习引入 (1) ； (2) 实部,虚部均为实数 讲课人：邢启强 3 ( ,)zabi a bR 复数复数z=a+biz=a+bi复平面内的点（复平面内的点（a,ba,b） 一一对应一一对应 平面向量平面向量OZ=(a,b)OZ=(a,b) 一一对应一一对应 借借助助复复数数的的几几何何意意义义， 复复数数能能不不能能用用其其他他形形式式来来表表示示呢呢? ? 复数 复习引入复习引入 00 00 0 0 ba ba b b ，非纯虚数 ，纯虚数 虚数 实数
2、00 00 0 0 ba ba b b ，非纯虚数 ，纯虚数 虚数 实数 CR 讲课人：邢启强 4 向向量量两两要要素素： 大大小小、 、方方向向 模模 r 以以x轴的非负半轴为轴的非负半轴为 始边，以向量始边，以向量OZ所所 在的射线为终边在的射线为终边 , ?ra b 怎怎样样用用来来表表示示 cos a r cosar sin b r sinbr 学习新知学习新知 abicosr sinir (cossin )ri 其中 22 rab cos a r sin b r 讲课人：邢启强 5 r zabi 一一般般地地，任任何何一一个个复复数数 (cossin )ri 都都可可以以表表示示成成
3、的的形形式式 复数的代数表示式复数的代数表示式 复数的三角表示式复数的三角表示式 代代数数形形式式 三三角角形形式式 r x以以 轴轴的的非非负负半半轴轴为为始始边边， .z复复数数 的的模模 OZ.射射线线为为终终边边的的角角 复数的复数的辐角辐角 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 r （1 1）任任意意一一个个不不为为0 0的的复复数数的的辐辐角角有有无无限限多多个个值值， 且且这这些些值值相相差差2 2 的的整整数数倍倍. . +2,. 2 kkZ 例例：复复数数i i的的辐辐角角就就是是 0.（2 2）复复数数 的的辐辐角角是是任任意意的的 02（3 3）规规定定：范范围围内内的的
4、辐辐角角 的的值值为为 辐角主值辐角主值arg , z记记作作0arg2 .z 即即 x以以 轴轴的的非非负负半半轴轴为为始始边边， 复数的复数的辐角辐角 OZ.射射线线为为终终边边的的角角 学习新知学习新知 arg1 例例如如：0argi arg - （1 1）arg -i （ ） arg 1+i （） arg -1+ 3i （） arg - 3-i （） 2 3 2 4 2 3 7 6 讲课人：邢启强 7 巩固练习巩固练习 9 3 2 讲课人：邢启强 8 zabi = (cossin )ri 1. 13 (1);(2)1. 22 ii 例例 画画出出下下列列复复数数对对应应的的向向量量，并
5、并把把这这些些复复数数表表示示成成三三角角形形式式： 解：解： 1 2 3 2 13 + 22 i 13 (1)+ 22 i复复数数对对应应的的向向量量如如图图所所示示， 22 13 ( )()1 22 则则r=r=， 1 cos. 2 13 + 22 因因为为复复数数i i对对应应的的点点在在第第一一象象限限， 13 arg(). 223 i 13 +cossin. 2233 ii 1.复数的模复数的模 2.根据象限确根据象限确 定辐角定辐角 3.写出复数写出复数 的三角形式的三角形式 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 9 zabi = (cossin )ri 1. 13 (1);(2)1.
6、 22 ii 例例 画画出出下下列列复复数数对对应应的的向向量量，并并把把这这些些复复数数表表示示成成三三角角形形式式： 1.复数的模复数的模 2.根据象限确根据象限确 定辐角定辐角 3.写出复数写出复数 的三角形式的三角形式 典型例题典型例题 解：解： (2)-i复复数数1 1 对对应应的的向向量量如如图图所所示示， 22 1( 1)2 则则r=r=， 12 cos=. 22 因因为为复复数数1-i1-i对对应应的的点点在在第第四四象象限限， 7 arg(1- ). 4 i 77 1-2(cossin). 44 ii 1 1-i-1 一一般般在在复复数数三三角角式式中中的的辐辐角角，常常取取
7、它它的的主主值值，这这即即使使表表达达式式简简便便， 又又便便于于计计算算，但但三三角角式式辐辐角角不不一一定定取取主主值值. . 提醒： 讲课人：邢启强 10 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 11 巩固练习巩固练习 将下列复数表示成三角形式. (1)5i(2)8(3)-3-3i(4)-1+ i 讲课人：邢启强 12 zabi = (cossin )ri 2.例例 分分别别指指出出下下列列复复数数的的模模和和一一个个辐辐角角，画画出出它它们们对对应应的的向向量量， 并并把把这这些些复复数数表表示示成成代代数数形形式式： 1111 (1)cossin ;(2)6(cossin). 66 ii
8、解：解： (1)1,=r 复复数数cos +isincos +isin 的的模模一一个个辐辐角角 ， x y O 对对应应的的向向量量如如图图所所示示， 所所以以cossin =-1+01ii 1 典型例题典型例题 111111 (2)6,= 666 r 复复数数6(cos+isin6(cos+isin的的模模一一个个辐辐角角， 对对应应的的向向量量如如图图所所示示，所所以以 11111111 6(cossin)=6cos(6sin) 6666 ii 31 =6+6- 22 （）i i=3 3-3i3i x y O 11 6 6 讲课人：邢启强 13 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 14 3
9、.例例 下下列列复复数数是是不不是是复复数数的的三三角角形形式式？如如果果不不是是，把把它它们们表表示示成成三三角角形形式式. . 1 (1) (cossin); 333 (2) 5(cossin); 44 22 (3)3(sincos); 33 88 (4)cossin; 33 (5)6(cossin). 26 i i i i i 模模非非负负+余余正正弦弦、相相连连角角统统一一i跟跟正正弦弦 典型例题典型例题 zabi = (cossin )ri 讲课人：邢启强 15 两个非零复数相等两个非零复数相等当且仅当当且仅当它们的它们的 模模与与辐辐角角的的主值主值分别相等分别相等 学习新知学习新
10、知 思考：两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等？ 解题技巧解题技巧(复数三角形式的判断依据和变形步骤复数三角形式的判断依据和变形步骤) (1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角 相同，余弦前，加号连 (2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此 处可假定为锐角)，其次判断是否要变换三角函 数名称，最后确定辐角 此步骤可简称为“定点定名定角”. 讲课人：邢启强 16 巩固练习巩固练习 B A 2(cos 260isin 260) 3复数复数2(sin 10icos 10)的三角形式为的三角形式为_ 2两个复数两个复数z1、z2的模与辐角分别相等，是的模与辐角分别相等，是z1z2成立的成立的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 讲课人：邢启强 17 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 18 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 19 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 20 知识小结知识小结 讲课人：邢启强 21 若zC,|z-2|1,求|z|的最大、最小值 和argz范围. 数形结合思想求复数的模长及辐角范围 综合应用综合应用 分析:结合条件及特点,本题可用数形结合思想求解. 讲课人：邢启强 22 课堂小结课堂小结 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连
