1、人教人教 B 版（版（2019）第八章向量的数量积与三角恒等变换）第八章向量的数量积与三角恒等变换基础基础 检测题检测题 一、单选题一、单选题 1已知向量a ，b 满足1a ，2,1b ，且2ab ，则a b （） A1B0C1D2 2已知向量( 1,2)a ，( ,4)bx ，且a b ，则b （） A2 5B4 3C4 5D8 3向量2, 3a ，2,1b r ，则a b （） A1B1C7D0 4sin78 sin18 cos78 cos162 （） A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 5函数 22 cossinyxx的最小值是（） A0B1C 1 2 D1 6sin20 c
2、os10 cos160 sin10 （） A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 7已知向量3,1a ，3, 1b ，则a 与b 的夹角为（） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8化简求值1 tan12 tan72 tan12tan72 （） A 3 3 B 3 C 3 3 D 3 9已知2,1a r ，11b ,，则a 在b 上的投影的数量为（） A 2 2 B 2 2 C 5 5 D 5 5 10 已知, a b 是单位向量， 0a b .若向量c 满足1,cabc 则的取值范围是（ ） A2-1,2+1 ，B2-1,2+2 ， C1,2+1 ，D1,2+2 ， 11已知向量
3、, a b满足3ab ，26ab ，2a |=，则|b （） A 5 B 6 C2 2D2 3 12函数( ) |sin|cos2f xxx在 2 ,0的零点个数为（） A2B3C1D0 二、填空题二、填空题 13若 11 tan,tan(), 32 则 tan=_ 14函数 2 cos 3 f xx 的最小正周期为_. 15设, x yR，向量( ,1)ax ，(1, )by ，(2, 4)c ，且a c ， / /bc ，则 xy_. 16若函数sin2cos23yxax的最小值为 1，则正实数a _ 三、解答题三、解答题 17已知(1,2)a ， (1, 1)b r . （1）若为2a
4、b 与a b 的夹角，求的值； （2）若2a b 与ka b 垂直，求k的值. 18已知函数 3 ( )=2sin cos() 32 f xxx . 1求函数 ( )f x的最小正周期； 2若 ( )0f xm 对 0, 2 x恒成立，求实数m的取值范围. 19已知平面向量a ，b 满足2 a，3b ， 2334abab （1）求向量a 与b 的夹角； （2）当实数 x 为何值时，xa b 与 3ab+ r r 垂直 20已知向量 2 cos, 1 3 m ，sin ,1n ，m 与n 为共线向量，且 ,0 2 （1）求sincos+的值； （2）求 sin2 sincos 的值 21已知锐角
5、三角形 ABC 中， 3 sin 5 C ， 1 sin() 5 AB （1）求证：tan2tanAB； （2）若 AB 边上的高为 2，求边 AB 的长 22已知向量1,2a r ，3,bx r ，2,cy ，且 /a b r r ，a c （1）求b 与c ； （2）若 2mab ，n ac ，求向量m ，n 的夹角的大小 参考答案参考答案 1C 【分析】 先计算b ，将2ab 两边同时平方展开，将a r 、b 的值代入即可求解. 【详解】 因为2,1b ，所以4 15b ， 将2ab 两边同时平方可得： 2 4ab ， 即 22 24aba b ， 22 24aba b 所以1 5 24
6、a b ，解得 1a b ， 故选：C 2C 【分析】 根据向量垂直的坐标表示，列出方程求出x，再由向量模的坐标表示，即可得出结果. 【详解】 因为( 1,2)a ，( ,4)bx ，a b ， 所以2 40 x ，解得8x ， 所以 22 844 5b . 故选：C. 3A 【分析】 根据数量积的坐标表示直接计算即可. 【详解】 2, 3a ，2,1b r ， 2 231=1a b . 故选：A. 4C 【分析】 用两角和与差的余弦公式化简求解 【详解】 sin78 sin18cos78 cos162sin78 sin18cos78 cos18 1 cos(7818 )cos60 2 故选：
7、C 5D 【分析】 利用二倍角的余弦公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】 22 cossincos2yxxx， 所以 22 cossinyxx的最小值为-1 故选：D 6B 【分析】 利用诱导公式cos160cos20 ，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】 sin20 cos10cos160 sin10 sin20 cos10cos 18020sin10 sin20 cos10cos20 sin10 sin 2010 sin30 1 2 故选：B 7B 【分析】 直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可 【详解】 因为向量3,1a ，3, 1b ， 所以 3 11 cos,
8、23 1 3 1 ab a b a b , 又因为,0,a b ,所以, 3 a b , 故选 B. 【点睛】 本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题， 1212 2222 1122 cos, x xy yab a b a bxyxy . 8A 【分析】 逆用两角差的正切公式先求出 tan12tan72 1tan12 tan72 ，即可求解. 【详解】 因为tan 1272 tan12tan72 1tan12 tan72 tan603 ， 所以 1tan12 tan72113 tan12tan723tan603 . 故选：A 9B 【分析】 根据一个向量在另一个向量上的投影的概念，可得
9、结果. 【详解】 由题意知 1a b ，2b ， a r 在b 上的投影的数量为 12 22 a b b ， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影，属基础题. 10A 【详解】 因为1cab ，()1cab ，做出图形可知，当且仅当c 与()ab 方向相反且 1cab 时，c 取到最大值；最大值为 21 ；当且仅当c 与()ab 方向相同且 1abc 时，c 取到最小值；最小值为 21 . 11C 【分析】 将3ab ，26ab ，两边同时平方，求出a b ，进而可求出结果. 【详解】 22 329abaa bb ， 22 264436abaa bb ， 2 ，可得
10、22 3654ab ，解得 2 8b ， 所以|b 2 2. 故选：C 12A 【分析】 利用二倍角公式化简可得 2 ( ) |sin|cos2|sin| 1 2sinf xxxxx ，设 |sin|,(0)xt t，可得( )f x为关于 t 的一元二次方程，即求( )0f x 的根，根据方程， 即可求得答案. 【详解】 因为 2 ( ) |sin|cos2|sin| 1 2sinf xxxxx ， 令|sin|,(0)xt t，则函数为 2 ( )21yf xtt ， 由 2 210tt ，解得 1 2 t （舍）或1t ， 所以|sin | 1x ，解得零点为 3 2 x 或 2 x ，
11、 故选：A 13 1 7 【分析】 由tantan()，结合已知，应用正切的两角差公式即可求tan. 【详解】 11 tan()tan1 23 tantan() 11 1tan()tan7 1 23 ， 故答案为： 1 7 . 14 【分析】 利用二倍角公式化简 fx，根据余弦型函数的最小正周期的结论可得结果. 【详解】 2 2 1 cos 2 1213 cos 2 223 s 2 co 3 f xx x x ， f x的最小正周期 2 2 T . 故答案为：. 150 【分析】 根据向量垂直的坐标表示和向量平行的坐标表示列式可解得结果. 【详解】 因为向量( ,1)ax ，(1, )by ，
12、(2, 4)c ，且a c ， / /bc ， 所以240a cx ，得2x ， 1 ( 4)2y ，解得2y ， 所以220 xy. 故答案为：0 【点睛】 关键点点睛：根据向量垂直的坐标表示和向量平行的坐标表示求解是解题关键. 163 【分析】 由辅助角公式化简可得1sin(2)3yax，根据最小值即可求出. 【详解】 由函数sin2cos23yxax， 可得1sin(2)3yax， 所以 min 131ya ， 解得3a 故答案为：3 17 （1） 4 ； （2）0k ； 【分析】 （1）因为(1,2)a ， (1, 1)b r ，求得2(3,3)ab ，(0,3)ab ，根据 (2)
13、() cos |2| abab abab ，即可求得答案； （2）因为2a b 与ka b 垂直，可得 2=0abkab ，结合已知条件，即可求得答 案. 【详解】 （1）(1,2)a ， (1, 1)b r ， 2 (3,3)ab ，(0,3)ab ， (2) ()92 cos 2|2|3 18 abab abab . 0, 4 . （2）(1,2)a ， (1, 1)b r (1,21)kkkab ，2(3,3)ab 2a b 与ka b 垂直 (3,3) (1,21)0kk， 33630kk ， 解得：0k . 【点睛】 本题主要考查了求向量的夹角和根据向量垂直求参数， 解题关键是掌握向
14、量垂直求参数的方 法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 18 1； 2(, 1 【分析】 （1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步 求出函数的最小正周期 （2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果 【详解】 解: 1因为 3 2sincos 32 fxxx 3 2sincos cossin sin 332 xxx 133 2sincossin 222 xxx 2 3 sincos3sin 2 xxx 13 sin2cos2 22 xx sin 2 3 x 所以 fx的最小正周期为 2 2 T 2“ 0f xm对0, 2 x 恒成立”
15、等价于“ max0f xm” 因为0, 2 x 所以 4 2, 333 x 当2 32 x ，即 12 x 时 fx的最大值为1 12 f . 所以10m， 所以实数m的取值范围为(, 1 . 【点睛】 本题考查了三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用， 主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力，属于基础题型 19 （1） 2 3 ； （2） 24 5 x . 【分析】 （1）由 2334abab 化简再结合2 a，3b 可求出向量a 与b 的夹角； （2）要xa b 与 3ab+ r r 垂直，只需 30 xabab ，化简可求出 x 的值. 【详解】 （1）由 22 342
16、3253ababaa bb 1 82730coscos,0 2 ， 得 2 3 （2）当xa b 与 3ab+ r r 垂直时， 22 3313xababxaxa bb 2 46 31 cos275240 3 xxx ， 所以 24 5 x 【点睛】 此题考查平面向量的数量积运算，考查向量的夹角的求法，向量垂直等知识，属于基础题. 20 （1） 2 3 ； （2） 7 12 【分析】 （1）由向量共线可得 2 cos11sin0 3 ，化简即可得出结果； （2）由（1）的可知 2 sincos 3 ，平方化简可得 7 sin2 9 ， 2 sincos1 sin2 ，及角的范围可得 4 sin
17、cos 3 ，计算可求得结果. 【详解】 解（1）m 与n 为共线向量， 2 cos11sin0 3 ， 即 2 sincos 3 （2） 22 1 sin2sincos 9 ， 7 sin2 9 216 sincos1 sin2 9 又,0 2 ，sincos0 4 sincos 3 sin27 sincos12 【点睛】 本题考查三角函数恒等变换，齐次方程，考查分析问题的能力，属于基础题. 21 （1）证明见解析； （2）3 6 6 【分析】 （1）由题意可得 3 sincoscossin 5 ABAB， 1 sincoscossin 5 ABAB，解方程组 求得 2 sincos 5 A
18、B ， 1 cossin 5 AB ，两式相除即可证明结论； （2）由题意， 22 tantan AB AB ，得 3 tan AB B ，又根据同角的三角函数关系及 tantan tantan() 1tantan AB CAB AB 可得 6 tan1 2 B ，由此可求出答案 【详解】 （1）证：在ABC 中，ABC， 3 sinsin() 5 CAB，即 3 sincoscossin 5 ABAB， 又 1 sin() 5 AB，即 1 sincoscossin 5 ABAB， 由得， 2 sincos 5 AB ， 1 cossin 5 AB ， A，B 2 ， 两式相除得，tan2t
19、anAB； （2）解：由题意， 22 tantan AB AB ，得 3 tan AB B ， 在ABC 中， 2 4 cos1 sin 5 CC， sin3 tan cos4 C C C ， 又 tantan tantan()tan() 1 tantan AB CABAB AB 2 3tan3 12tan4 B B ， 即 2 2tan4tan10BB ，解得 6 tan1 2 B ， 3 66AB 【点睛】 本题主要考查简单的三角恒等变换， 考查同角的三角函数关系， 考查计算能力， 属于基础题 22 （1）3,6b ，2, 1c ； （2） 3 4 【分析】 （1）根据向量平行和向量垂直的坐标表示即可求出答案； （2）进行向量加法和数乘的坐标运算即可得出1231mn ，然后再根据向量 数量积的定义及其坐标表示即可求出答案 【详解】 解： （1）由 /a b r r 得2 30 x ，解得6x ， 由a c 得1 220y，解得1y ， 3,6b ，2, 1c ； （2）由（1）知，212mab ，31nac ， cos , m n m n m n 1 3212 2149 1 ， 向量m ，n 的夹角为 3 4 【点睛】 本题主要考查平面向量平行与垂直的坐标表示， 考查平面向量数量积的应用， 考查计算能力， 属于基础题
