1、7.3.4 正切正切函数的性质与图像课时函数的性质与图像课时练习练习 A 级级巩固基础巩固基础 一、单选题一、单选题 1函数tan () 43 yxx 的值域是（） A （1，1）B 3 1, 3 C 1, 3D1, 3 2函数tan() 5 yx 的一个对称中心是（） A(0，0)B(,0) 5 C 4 (,0) 5 D(，0) 3函数 1 2tan() 23 yx 的单调递增区间是（） A 5 (2,2) 33 kk ，kZ B 5 (2,2) 33 kk ，kZ C 5 (,) 33 kk ，kZ D 5 (,) 33 kk ，kZ 4下列函数中最小正周期为的函数的个数（） |sin|y
2、x；cos(2) 3 yx ；tan2yx A0B1C2D3 5函数 1 tan() 23 yx 的最小正周期为（） A 4 B 2 CD2 6tan2tan2yxx的最小正周期为（） A 2 BC2 D3. 7函数 tan 2 6 yx 的定义域为（） A, 23 k x xkZ B, 23 k x xkZ C, 26 k x xkZ D, 24 k x xkZ 8设sin130a ，cos50b ，tan 230c ，则（） AacbBba cCcbaDcab B 级级综合应用综合应用 9下列函数中，既是奇函数又在区间 1,1 上是增函数的是（） A 1 y x BtanyxCsinyx
3、D cosyx 10我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具 有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长 度相等，已知函数 tan 12 fxx 0图象中的两条相邻“平行曲线”与 直线2020y 相交于A，B两点，且2AB .则 fx的一个增区间为() A 7 2, 12 B 1,1 C 5 1, 6 D1,3 二、填空题二、填空题 11函数tanyx的对称中心是_. 12函数( )tan 6 f xx 的单调递增区间为_ 13函数3tan7yx 的值域是_. 14设 2422 sin,sin,tan 555 abc ，则, ,
4、a b c的大小关系为_. 三、解答题三、解答题 15求函数tan2 6 yx 的定义域. C 级级拓展探究拓展探究 16阅读与探究 人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学 4（必修） 在第一章的小结中写到： 将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法， 而且使我们能够借助直角 坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆 上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此，正弦函数、余弦函 数的基本性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系.例如，和 单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性； 单位圆
5、周长为 2与正弦函数、余弦函数的周期为2是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶 性、诱导公式等也是一致的等等.因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合 思想. 依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数tanyx的性质. 比如：由图 1.2-7 可知，角的终边落在四个象限时均存在正切线；角的终边落在x 轴上时，其正切线缩为一个点，值为0；角的终边落在y轴上时，其正切线不存在； 所以正切函数 tanyx 的定义域是| 2 xR xkkZ ，. （1）请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数tanyx的单调性和奇偶性； （2）根据阅读材料中途 1.2-7，若角为锐角，求证：sintan
6、. 参考答案参考答案 1C 【分析】 根据函数 ytanx 在（ 4 ， 3 ）上的单调性即可求出值域 【详解】 因为函数 ytanx 在（ 4 ， 3 ）单调递增， 且 tan 3 3；tan（ 4 ）1， 则所求的函数的值域是（1， 3） ， 故选：C. 2C 【分析】 根据正切函数的性质，即可求得函数的一个对称中心，得到答案. 【详解】 由题意，令, 52 k xkZ ，解得, 25 k xkZ ， 再令2k ，可得 4 5 x ，所以函数tan() 5 yx 的一个对称中心是 4 (,0) 5 . 故选：C. 3A 【分析】 根据正切函数的图象与性质，令 1 , 2232 kxkkZ
7、，即可求得函数的递 增区间，得到答案. 【详解】 由题意，令 1 , 2232 kxkkZ ，解得 5 22, 33 kxkkZ ， 所以函数 1 2tan() 23 yx 的单调递增区间为 5 (2,2), 33 kkkZ . 故选：A. 4C 【分析】 利用三角函数的性质和周期公式逐个求解即可 【详解】 解：对于，由正弦函数的图像和性质可知其周期为； 对于，其周期为 2 2 T ； 对于，其周期为 2 T ， 所以共有 2 个函数的周期为， 故选：C 5D 【分析】 利用函数tanyAxb的最小正周期为 得出结论. 【详解】 函数 1 tan 23 yx 的是小正周期为 2 1 2 , 故
8、选 D. 【点睛】 本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题. 函数tanyAxb的周期为 . 6A 【分析】 利用定义可求得正切型函数的最小正周期. 【详解】 tan2tan2tan 2tan 2tan2tan2 22 xxxxxx ， 因此，函数tan2tan2yxx的最小正周期为 2 . 故选：A. 【点睛】 本题考查正切型函数的最小正周期，考查计算能力，属于基础题. 7A 【分析】 根据 2, 62 xkkZ 求解，即可得出结果. 【详解】 为使函数 6 tan 2yx 有意义，只需 2, 62 xkkZ ， 即, 32 k xkZ ， 所以函数定义域为： , 23 k x xk Z.
9、 故选：A. 【点睛】 本题主要考查求正切型函数的定义域，熟记正切函数定义域即可，属于基础题型. 8D 【分析】 用诱导公式将已知角化为锐角，再利用正弦函数和正切函数的单调性比较可得答案. 【详解】 sin130sin50a ，cos50cos50sin40b ， tan 230tan50c ， 因为sinyx在0, 2 上单调递增， 所以sin40 sin50sin901 ，即1ba， 因为 tanyx 在, 4 2 上单调递增， 所以tan50 tan451 ，即1c ， 所以cab 故选：D. 【点睛】 本题考查了诱导公式，考查了利用正弦函数和正切函数的单调性比较大小，属于基础题. 9B
10、 【分析】 先由函数定义域，排除 A；再由函数奇偶性排除 D，最后根据函数单调性，即可得出 B 正 确，C 错误. 【详解】 A 选项， 1 y x 的定义域为,00,，故 A 不满足题意； D 选项，余弦函数 cosyx 是偶函数，故 D 不满足题意； B 选项，正切函数tan yx 是奇函数，且在 , 2 2 上单调递增，故在区间 1,1 是增函 数，即 B 正确； C 选项，正弦函数sinyx是奇函数，且在 , 2 2 上单调递增，所以在区间 1,1 是增函 数；因此sinyx 是奇函数，且在 1,1 上单调递减，故 C 不满足题意. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查三角函数性质的应用
11、，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型. 10C 【分析】 由题意可知函数 tan 12 fxx 的最小正周期2TAB，从而求出 2 ，再整 体代入法求出函数的单调递增区间，从而得出答案 【详解】 解：由题意可知函数 tan 12 fxx 的最小正周期2TAB， 2 ，解得 2 ， tan 212 fxx ， 由, 22122 kxkkZ 得 75 22 , 66 kxk kZ， 当1k 时，得 197 , 66 x ，故 A 错； 当0k 时，得 7 5 , 6 6 x ，故 B 错、C 对； 当1k 时，得 5 17 , 66 x ，故 D 错； 故选：C 【点睛】 本题主要考查
12、正切函数的周期性与单调性，考查数学想象能力，属于基础题 11(,0), 2 k kZ 【分析】 由正切函数的性质即可得到答案. 【详解】 由正切函数的图象可知，tanyx的对称中心是(,0), 2 k kZ . 故答案为：(,0), 2 k kZ 【点睛】 本题考查正切函数的对称中心，考查学生对正切函数性质的理解与掌握，是一道基础题. 12(63,63)kk，kZ 【分析】 直接由 622 xkk 求解即可 【详解】 由 622 xkk ，kZ， 解得6363kxk，kZ， 故函数的单调增区间为(63,63)kk，kZ， 故答案为：(63,63)kk，kZ 【点睛】 此题考查求正切型函数的单调
13、递增区间，利用了整体代换法求解，属于基础题 13R 【分析】 根据正切函数性质得结果. 【详解】 因为 tanyx 的值域为 R，所以函数3tan7yx 的值域是 R 故答案为：R 【点睛】 本题考查正切函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题. 14cba 【分析】 利用诱导公式，可得sin 5 a ，根据sinyx在0, 2 的单调性，可得, a b大小，然后根 据tanyx在0, 2 的单调性，以及中间值 1 比较，可得结果. 【详解】 由题可知： 24 sinsin 5sin 555 a 由 sinyx 在0, 2 的单调递增， 所以 2 0sinsin1 55 ab 又tanyx在0
14、, 2 的单调递增 所以 2 tantan1 54 c 所以cba 故答案为：cba 【点睛】 本题考查利用正切函数， 正弦函数单调性比较式子大小， 一般把角度化为同一个单调区间中， 同时也会借用中间值，比如：0，1 等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题. 15|, 3 x xkkZ 【分析】 根据正切函数性质列式求解，即得结果. 【详解】 解：由() 62 xkkZ ，得() 3 xkkZ ， 原函数的定义域为|, 3 x xkkZ . 【点睛】 本题考查正切函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 16 （1）见解析（2）见解析 【解析】 试题分析： （1）在单位圆中画出角, 2
15、 2 x 的正切线，观察随x增大正切线的值得变 化情况，再观察 3 , 22 x 时，正切线的值随x增大时的变化情况，发现正切函数 tanyx 在区间, 22 kkkZ 上单调递增.（2）当是锐角时，有 OPAOATPOA SSS 扇形 ，由此得到sintan. 解析： （1）当, 2 2 x 时，x增大时正切线的值越来越大；当 3 , 22 x 时，正切 线与区间 , 2 2 上的情况完全一样；随着角x的终边不停旋转，正切线不停重复出现，故 可得出正切函数 tanyx 在区间, 22 kkkZ 上单调递增；由题意知正切 函数 tanyx 的定义域关于原点对称，在坐标系中画出角x和 x ，它们的终边关于x轴 对称，在单位圆中作出它们的正切线，可以发现它们的正切线长度相等，方向相反，即 tantanxx ，得出正切函数 tanyx 为奇函数. （2）如图，当为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线MP ，正切线AT ，又因为1r ， 所以APr，又 111 ,1,1 222 OATOPAPOA SAT SSMP 扇形 ，而 OPAOATPOA SSS 扇形 ，故MPAT 即sintan. 点睛：三角函数线是研究三角函数性质（如定义域、值域、周期性、奇偶性等）的重要工具， 它体现了数形结合的数学思想，是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.
