（2021新人教B版）高中数学必修第三册8.2 三角恒等变换 （课件+课后课时精练）.zip

A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1cos39cos(9)sin39sin(9)等于() A.B. 1 2 3 2 CD 1 2 3 2 答案B 解析cos39cos(9)sin39sin(9)cos(399)cos30. 3 2 2cos555的值是() A.B 6 4 2 4 ( 6 4 2 4) C.D. 6 2 2 2 2 2 6 2 答案B 解析cos555cos195cos15cos(4530) .故选 B. 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 4 3满足 coscossinsin 的一组 ， 的值为() 3 2 A，B ， 17 12 3 4 2 3 C ，D ， 2 6 3 6 答案A 解析原等式可化为 coscossinsin，即 cos()，经检验， 3 2 3 2 A 选项符合 4cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)等于() A.B 1 2 1 2 C.D 3 2 3 2 答案A 解析原式cos(4515)cos60 . 1 2 5已知点 P(4，3m)在角 的终边上，且 sin ，则 cos的值 3 5 ( 3) 为() AB 43 3 10 43 3 10 CD 4 33 10 4 33 10 答案A 解析由题意及正弦函数的定义可得 x4， y3m，r. 169m2 sin ，sin ， 3 5 y r 3m 169m2 3 5 y0，即 m0， 解得 m1， cos ， x r 4 5 coscoscos sinsin . ( 3) 3 3 ( 4 5) 1 2 3 5 3 2 43 3 10 6已知锐角 ， 满足 sin，cos，则 等于() 5 5 3 10 10 A.B. 3 4 4 C. 或D2k(kZ) 4 3 4 3 4 答案B 解析， 为锐角，且 sin，cos， 5 5 3 10 10 cos，sin ， 1sin2 2 5 51cos2 10 10 cos() coscossinsin. 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 6 50 50 50 50 10 2 2 又 0 ，0 ，0， . 2 2 4 二、填空题 7cos43cos77sin43cos167的值为_ 答案 1 2 解析原式cos43cos77sin43cos(9077)cos43cos77sin43 sin77cos(4377)cos120 . 1 2 8已知 cos() ，cos() ，则 coscos 的值为_ 1 7 1 7 答案0 解析cos()coscossinsin ， 1 7 cos()coscossinsin ， 1 7 由，得 2coscos0，coscos0. 三、解答题 9已知 sin ，cos ，求 cos() 2 3 ( 2，) 3 5 (， 3 2) 解sin ， 2 3 ( 2，) cos. 1sin2 5 3 cos ，sin . 3 5 (， 3 2)1cos2 4 5 cos()coscossinsin . ( 5 3) ( 3 5) 2 3 ( 4 5) 5 5 8 15 10已知 cos() ，sin() ， ，2，求证： 4 5 3 5 2 3 2 cos210. 证明cos() ， ， 4 5 2 sin() . 3 5 sin() ，2，cos() . 3 5 3 2 4 5 cos2cos()()cos()cos()sin()sin() 1. 4 5 ( 4 5) ( 3 5) 3 5 cos210. B 级：“四能”提升训练 1若 sinsinsin0，coscoscos0，且 02，则 _. 答案 2 3 解析coscoscossinsinsin0， coscoscos，sinsinsin. sin2cos21， (coscos)2(sinsin)21， 整理，得 22(coscossinsin)1， 即 coscossinsin ， 1 2 cos() . 1 2 02，02， 或. 2 3 4 3 同理可得 cos() ，解得 或. 1 2 2 3 4 3 cos() ，解得 或. 1 2 2 3 4 3 02， ，. 2 3 2 3 4 3 故 的值为. 2 3 2已知在ABC 中，sinA ，cosB，求 cosC 的值 3 5 5 13 解cosB，B且 sinB. 5 13 2 2 ( 4， 2) 12 13 sinA ，A. 3 5 2 2 (0， 4) ( 3 4 ，) 若 A，又 B，则 AB， ( 3 4 ，) ( 4， 2) (， 3 2) 这与 ABC 矛盾， A，故 A. ( 3 4 ，) (0， 4) 由 sinA ，得 cosA . 3 5 4 5 cosCcos(AB) cos(AB)cosAcosBsinAsinB . 4 5 5 13 3 5 12 13 16 65 课后课时精练课后课时精练 点击进入点击进入WordWord文稿文稿 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 解析解析 答案答案 解析解析 11 答案答案 解析解析 12 答案答案 13 答案答案 14 答案答案 解析解析 15 解析解析 16 答案答案 17 答案答案 本课结束本课结束 8.2.1两角和与差的余弦 (教师独具内容) 课程标准：1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意 义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.3.能用两角和与差的余弦 公式进行简单的恒等变换 教学重点：两角差的余弦公式的推导与运用 教学难点：两角差的余弦公式的推导过程. 【知识导学】 知识点一两角和与差的余弦公式 两角差的余弦公式：cos()coscossinsin；两角和的余弦公式： 01 cos()coscossinsin.两角 ， 的差(或和)的余弦公式右端是两角 02 ， 的余弦之积与正弦之积的和(或差) 03 知识点二角的变换：()；2()()， 01 02 2 . ( 2) 03 ( 2) 【新知拓展】 1两角和与差的余弦公式的结构特征 即公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和) 式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式 2公式的适用条件 公式中的 ， 不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体” ，如 cos 中的“”相当于公式中的角“” ， “”相当于公式中的角 ( 2 2 ) 2 2 “” 因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角 3 “给角求值” “给值求值”问题 “给角求值” “给值求值”问题求解的关键在于“变角” ，使其角相同或具 有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法 4解决“给值求角”问题的注意点 “给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角 的范围，最后确定角遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦 函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较 (0， 2) 好；若角的范围为，选正弦较好 ( 2， 2) 1判一判(正确的打“” ，错误的打“”) (1)对于任意的实数 ，cos()coscos 都不成立() (2)对任意的 ，R，cos()coscossinsin.() (3)coscossinsincos2.() ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) 答案(1)(2)(3) 2做一做 (1)cos45cos15sin15sin45的值为() AB. 3 2 3 2 C.D 2 2 2 2 (2)下列式子中，正确的个数为() cos()coscos；cossin； ( 2) cos()coscossinsin. A0B1 C2D3 (3)cos165_； 若 ，sin ，则 cos_. (0， 2) 3 52 ( 4) 答案(1)B(2)A(3) 6 2 4 1 5 题型一 给角求值 例 1求下列各式的值： (1)cos；(2)cos45cos15sin45sin15； ( 43 12) (3)sin163sin223sin253sin313. 解(1) coscoscoscos cos sin sin . ( 43 12) 5 12 ( 4 6) 4 6 4 6 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 4 (2)cos45cos15sin45sin15cos(4515)cos30. 3 2 (3)sin163sin223sin253sin313 sin(18017)sin(18043)sin(18073)sin(36047) sin17sin43sin73sin47 sin17sin43cos17cos43 cos(1743)cos60 . 1 2 金版点睛 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 (1)非特殊角型：把非特殊角转化为特殊角的和或差(如 154530或 15 6045)，直接应用公式求值 (2)逆用结构型：把两角的和与差的展开式中的角视为一个整体，借助诱导 公式等工具，构造两角和与差的余弦公式的展开式，然后逆用公式求值 求值： 跟踪训练1 (1)cos105sin195； (2)cos(x27)cos(18x)sin(x27)sin(18x) 解(1)cos105sin195cos105sin(90105) 2cos1052cos(13530) 2(cos135cos30sin135sin30) 2. ( 2 2 3 2 2 2 1 2) 2 6 2 (2)cos(x27)cos(18x)sin(x27)sin(18x) cos(x27)(18x) cos45. 2 2 题型二 给值求值 例 2已知 ，sin() ， ( 3 4 ，) 3 5 sin，求 cos的值 ( 4) 12 13 ( 4) 解由条件，得2， ， 3 2 2 4 3 4 cos() ，cos， 4 5 ( 4) 5 13 coscoscos()cossin() ( 4) ( 4) ( 4) sin . ( 4) 4 5 ( 5 13) ( 3 5) 12 13 56 65 金版点睛 给值求值的解题步骤 (1)找角的差异已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值， 先注意观察已知角与所求表达式中角的差异 (2)拆角与凑角根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换，常见角的变换有： ()，()，(2)()， ()()， 1 2 ()()等 1 2 (3)求解结合公式 C求解便可 已知 sin ， ，则 cos 的值是() 跟踪训练2 ( 6) 3 5 3 5 6 A.B. 34 3 10 43 3 10 C.D. 2 33 5 32 3 5 答案A 解析 ， . 3 5 6 2 6 cos . ( 6) 1sin2( 6) 4 5 coscoscoscos sinsin ( 6) 6 ( 6) 6 ( 6) 6 4 5 3 2 3 5 1 2 . 34 3 10 题型三 给值求角 例 3已知 ， 为锐角，sin，sin()，求 cos 的值及 的 4 3 7 5 3 14 大小 解 为锐角，且 sin， 4 3 7 cos . 1sin2 1(4 3 7 )2 1 7 又， 为锐角，(0，) sin()sin，. 5 3 14 ( 2，) 即 cos() 1sin2 . 1(5 3 14)2 11 14 coscos() cos()cossin()sin . ( 11 14) 1 7 5 3 14 4 3 7 1 2 又 为锐角， . 3 金版点睛 解答给值求角问题的步骤 (1)求角的某一个三角函数值 (2)确定角所在的范围 (3)根据角的范围写出所求的角 已知 A，B 均为钝角且 sinA，sinB，则 AB 的大 跟踪训练3 5 5 10 10 小为_ 答案 7 4 解析A，B 均为钝角且 sinA，sinB， 5 5 10 10 cosA， 1sin2A 2 5 5 cosB. 1sin2B 3 10 10 A， B，AB2. 2 2 cos(AB)cosAcosBsinAsinB . 2 5 5 ( 3 10 10 ) 5 5 10 10 2 2 AB. 7 4 题型四 证明三角恒等式 例 4证明：cos()cos()cos()cos() 4coscoscos. 证明原式左边cos()cos()cos() cos() cos()cossin()sincos()cossin() sincoscos()sinsin()coscos()sinsin() 2cos()cos2cos()cos 2coscos()cos() 2cos2coscos 4coscoscos右边， 所以等式成立 金版点睛 证明三角恒等式遵循的原则 由繁到简，化异为同常用的方法有：由一边到另一边(即由等式的一边开 始逐步化简到与另一边相同为止)；左右归一(左右两边同时化简为一个相同的 式子)等 证明：cos()cos()cos2sin2. 跟踪训练4 证明原式左边(coscossinsin)(coscossinsin) cos2cos2sin2sin2 cos2(1sin2)(1cos2)sin2 cos2cos2sin2sin2cos2sin2 cos2sin2右边，所以等式成立 1coscos sinsin 的值为() 12 6 12 6 A.B. 1 2 2 2 C.D1 3 2 答案B 解析原式coscos . ( 12 6) 4 2 2 2计算 cos70cos335sin110sin25的结果是() A1B. 2 2 C.D. 3 2 1 2 答案B 解析原式cos70cos25sin70sin25cos(7025)cos45. 2 2 3计算：cos(40)cos20sin(40)sin(20)_. 答案 1 2 解析原式cos40cos20sin40sin20cos60 . 1 2 4若 cos ，则 cos 的值为_ ( 4) 1 3 (0， 2) 答案 4 2 6 解析 ，cos ，sin，coscoscos (0， 2) ( 4) 1 3 ( 4) 2 2 3 ( 4 4) ( 4) cos sinsin . 4 ( 4) 4 1 3 2 2 2 2 3 2 2 4 2 6 5已知 sin ，cos ，求 cos()的值 2 3 ( 2，) 3 4 (， 3 2) 解sin ，cos. 2 3 ( 2，) 5 3 又cos ，sin. 3 4 (， 3 2) 7 4 cos()coscossinsin ( 5 3)( 3 4) 2 3( 7 4) . 3 52 7 12 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂巩随堂巩固训练固训练课后课时精练课后课时精练 8.2.18.2.1两角和与差的余弦两角和与差的余弦 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂巩随堂巩固训练固训练课后课时精练课后课时精练 课前自主学习课前自主学习课堂合作研究课堂合作研究随堂基础巩固随堂基础巩固课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 课前自主学习课前自主学习课堂合作研究课堂合作研究随堂基础巩固随堂基础巩固课后课时精练课后课时精练 核心素养形成核心素养形成 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 课前自主学习课前自主学习课堂合作研究课堂合作研究随堂基础巩固随堂基础巩固课后课时精练课后课时精练 随堂水平达标随堂水平达标 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 课前自主学习课前自主学习课堂合作研究课堂合作研究随堂基础巩固随堂基础巩固课后课时精练课后课时精练 课后课时精练课后课时精练 点击进入点击进入PPT课件课件 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂巩随堂巩固训练固训练课后课时精练课后课时精练 本课结束本课结束 A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1sin105sin15() A.B. 3 2 4 6 2 C.D. 3 2 4 2 2 答案B 解析sin105sin15sin(4560)sin(6045)sin45cos60 cos45sin60sin60cos45cos60sin45 . 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 2 2 6 2 2化简 sin()coscos()sin 的结果是() AsinBsin Csin(2)Dcos 答案A 解析sin()coscos()sinsin()sin()sin. 3函数 ysinxcosx 的最小正周期是() A.B 2 C2D4 答案C 解析ysinxcosx 2( 2 2 sinx 2 2 cosx) sin， 2(cos 4sinxsin 4cosx)2 (x 4) 该函数的最小正周期为 2. 4.的值为() sin30sin30 cos A1B2 C3D4 答案A 解析原式 sincos30cossin30sincos30cossin30 cos 2sin301. 2cossin30 cos 5sinsinsin的值为() ( 2 3) ( 4 3) A0B. 1 2 C1D2 答案A 解析原式 sinsincoscossinsincoscossinsin sincos si 2 3 2 3 4 3 4 3 1 2 3 2 1 2 ncos0. 3 2 6在ABC 中，3sinA4cosB6,3cosA4sinB1，则 C 的大小为() A.B. 6 5 6 C. 或D. 或 6 5 6 3 2 3 答案A 解析Error! 由22，得 91624sin(AB)37， sin(AB) . 1 2 在ABC 中，sinC ，C 或 C. 1 2 6 5 6 若 C，则 AB . 5 6 6 13cosA4sinB0，cosA . 1 3 又 . 1 3 1 2 3 此时 AC，不符合题意，C，C . 5 6 6 二、填空题 7化简：cossin_. ( 3) ( 6) 答案cos 解析原式cos cossin sinsin coscos sincos. 3 3 6 6 8计算：(sin15cos15)_. 2 答案 3 解析(sin15cos15)2 2 ( 2 2 sin15 2 2 cos15) 2(cos45sin15sin45cos15)2sin60. 3 三、解答题 9求证：1. sinsin sin2cos2 tan2 tan2 证明左边 sincoscossinsincoscossin sin2cos2 1右边， sin2cos2cos2sin2 sin2cos2 tan2 tan2 原式成立 10已知 ，0 ，cos ， 4 3 4 4 ( 4) 3 5 sin，求 sin()的值 ( 3 4 ) 5 13 解 ， . 4 3 4 2 4 又cos ， ( 4) 3 5 sin . ( 4) 1cos2( 4) 4 5 0 ，0)有最大值 1 和最 2 2 ( 4x) 小值4，求 a，b 的值 解f(x)(cosxsinx)sin2asinxb (cos2xsin2x) 2 2 ( 4x) 1 2 2asinxb (12sin2x)2asinxb(sinxa)2 a2b. 1 2 1 2 当 a1 时，f(x)的最小值等于 f，最大值等于 f，依题意，得Error! ( 2) ( 2) 解得Error! 当 0a1 时，依题意可得Error! 解得 a1(舍去)或 a1(舍去) 55 综上可得 a ，b1. 5 4 2设函数 f(x)sincos x. ( 4x 6) 4 (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若函数 yg(x)与 yf(x)的图像关于直线 x1 对称，求当 x时， 0， 4 3 yg(x)的最大值 解(1)f(x)sin xcos cos xsin cos x 4 6 4 6 4 sin x cos xsin， 3 2 4 3 2 43 ( 4x 3) 故 f(x)的最小正周期为 T8. 2 4 (2)解法一：在 yg(x)的图像上任取一点(x，g(x)，它关于直线 x1 的对 称点为(2x，g(x) 由题设条件，知点(2x，g(x)在 yf(x)的图像上，从而 g(x)f(2x) sin 3 42x 3 sincos. 3 ( 2 4x 3)3 ( 4x 3) 当 0 x 时， x ，因此 yg(x)在区间上的最大值为g(x) 4 3 3 4 3 2 3 0， 4 3 max cos . 3 3 3 2 解法二：因区间关于直线 x1 的对称区间为，且 yg(x)与 0， 4 3 2 3，2 yf(x)的图像关于直线 x1 对称，故 yg(x)在上的最大值为 yf(x)在 0， 4 3 上的最大值 2 3，2 由(1)，知 f(x)sin， 3 ( 4x 3) 当 x2 时， x . 2 3 6 4 3 6 因此 yg(x)在上的最大值为g(x)maxsin . 0， 4 33 6 3 2 课后课时精练课后课时精练 点击进入点击进入WordWord文稿文稿 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 12 答案答案 13 答案答案 14 答案答案 15 答案答案 16 答案答案 17 答案答案 18 答案答案 19 答案答案 本课结束本课结束 8.2.2两角和与差的正弦、正切 第 1 课时两角和与差的正弦 (教师独具内容) 课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.能运 用两角和与差的正弦公式进行简单的恒等变换 教学重点：两角和与差的正弦公式的推导过程及运用 教学难点：两角和与差的正弦公式的灵活运用. 【知识导学】 知识点一两角和与差的正弦公式 S：sin()sincoscossin； 01 S：sin()sincoscossin. 02 知识点二有关点(向量)的一组旋转公式 已知点 P(x，y)，与原点的距离保持不变，绕原点逆时针旋转 角到点 P(x，y)，则Error! 知识点三函数 yasinxbcosx 的最值和周期 函数 yasinxbcosx 可化为 ysin(x)的形式，其中 cos a2b2 01 ，sin，最大值是 ，最小值是，周 a a2b2 02 b a2b2 03 a2b2 04 a2b2 期是2. 05 【新知拓展】 1公式 C与 S的联系 四个公式 C，S虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的， 其内在联系为 cos()cos() sin() 以换 sin()，这样我们只要牢固掌握“中心”公式 cos()的由来及表 以换 达方式，也就掌握了其他三个公式 2注意公式的结构特征和符号规律 (1)对于公式 C，C，可记为“同名相乘，符号反” (2)对于公式 S，S，可记为“异名相乘，符号同” 3两角和与差的正弦公式中 ， 的特征 ， 可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的 和或差视为一个整体 4应用两角和与差的正弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值 (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的正弦公式的结构形 式，然后逆用公式求值 5求形如 asinbcos 的最值公式 公式 asinbcossin()(或 asinbcoscos() a2b2a2b2 将形如 asinbcos(a，b 不同时为零)的三角函数式收缩为一个角的一种三角 函数式 6三角函数化简求值的注意点 在三角函数化简求值时，要注意“三看” ，即：(1)看角把角尽量向特殊 角或可计算的角转化，如果条件中的角不是单角要把它看作一个整体，用它 表达目标中的角；(2)看名称把一道题中出现的三角函数名称尽量化成同一名 称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦；(3)看式子看式子是否 满足三角函数的公式，如果满足直接运用，如果不满足，用诱导公式转化一下 角或转换一下名称，然后再运用 1判一判(正确的打“” ，错误的打“”) (1)sin()sinsin 一定不成立() (2)对任意实数 ，sin()sincoscossin 都成立() (3)sin54cos24sin36sin24sin30.() 答案(1)(2)(3) 2做一做 (1)sin47cos43cos47sin43等于() A0B1 C1D. 1 2 (2)已知 为锐角，且 sin ，则 sin(45)() 3 5 A.B 7 2 10 7 2 10 C.D 2 10 2 10 (3)函数 f(x)2sinxcosx 的最大值为_ 答案(1)B(2)A(3) 5 题型一 给角求值 例 1计算： (1)cos285cos15sin255sin15； (2)sin7cos37sin83cos307； (3)sin(x60)2sin(x60)cos(120 x) 3 解(1)原式cos(27015)cos15sin(27015)sin15 sin15cos15cos15sin15sin(1515) sin30 . 1 2 (2)原式sin7cos37cos7cos(27037) sin7cos37cos7sin37sin(737) sin(30) . 1 2 (3)原式sinxcos60cosxsin602sinxcos602cosxsin60cos120 3 cosxsin120sinx 3 3sinxcos60cosxsin60cos60cosxsin60sinx 33 sinxcosxcosx sinx0. 3 2 3 2 3 2 3 2 金版点睛 解决给角求值问题的策略 解决此类问题一般是先用诱导公式把角化小，化切为弦，统一函数名称， 然后观察角的关系以及式子的结构特征，选择合适的公式进行求值 注意角之间的关系，特别是与特殊角之间的关系是解题的关键 求值：. 跟踪训练1 sin47sin17cos30 cos17 解原式 sin3017sin17cos30 cos17 sin30cos17cos30sin17sin17cos30 cos17 sin30 . sin30cos17 cos17 1 2 题型二 给值求值 例 2(1)已知 sin，求 sin； 12 13 ( 2，) ( 3) (2)已知 sin，求 sin. ( 4) 7 2 10 ( 2， 3 4) 解(1)，sin，cos， ( 2，) 12 13 5 13 sinsincos cossin ( 3) 3 3 . 12 13 1 2 ( 5 13) 3 2 125 3 26 (2)， ， ( 2， 3 4) 4 ( 4， 2) 又 sin， ( 4) 7 2 10 cos， ( 4) 1sin2( 4) 2 10 sinsin( 4) 4 sincos cossin ( 4) 4 ( 4) 4 . 7 2 10 2 2 2 10 2 2 4 5 金版点睛 给式(值)求值的解题策略 (1)当“已知角”有两个或多个时， “所求角”一般可以表示为其中两个 “已知角”的和或差的形式 (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或 差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角” (3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式 设 ，若 cos ，sin() ，则 跟踪训练2 (0， 2) ( 2，) 1 3 7 9 sin 的值为() A.B. 1 27 5 27 C.D. 1 3 23 27 答案C 解析由 cos ，sin() 可得 sin，cos().所以 1 3 7 9 2 2 3 4 2 9 sinsin() . 7 9 ( 1 3) ( 4 2 9 ) 2 2 3 1 3 题型三 利用三角变换研究旋转变换 例 3已知向量(3,4)，绕原点逆时针旋转 30到的位置求点 OP OP P(x，y)的坐标 解设xOP，|OP|r， 则 r5，cos ，sin . x r 3 5 y r 4 5 xrcos(30)r(coscos30sinsin30) xcos30ysin3034 ； 3 2 1 2 3 34 2 yrsin(30)r(sincos30cossin30) 43 . 3 2 1 2 4 33 2 点 P的坐标为. ( 3 34 2 ，4 33 2 ) 金版点睛 对于旋转变换要结合任意角的三角函数的定义求解 已知向量(5,2)，绕原点逆时针旋转 30，60到， 跟踪训练3 OP OP1 的位置，求点 P1，P2的坐标 OP2 解设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，|r，xOP，则 cos ，sin . OP 5 r 2 r 由任意角的三角函数的定义，得 x1rcos(30)r(coscos30sinsin30)5cos302sin301. 5 3 2 y1rsin(30)r(sincos30cossin30)2cos305sin30 . 3 5 2 所以点 P1的坐标为. ( 5 3 2 1， 35 2) x2rcos(60)r(coscos60sinsin60)5cos602sin60 ； 5 23 y2rsin(60)r(sincos60cossin60)2cos605sin601. 5 3 2 所以点 P2的坐标为. ( 5 2 3，1 5 3 2 ) 题型四 “asinbcos”型函数的最值问题 例 4已知 RtACB 中，两垂直边 ACb，BCa，斜边 ABc，周长为 定值 l，求斜边 c 的最小值 解在 RtACB 中，C90，ACb，BCa，ABc. 则 acsinA，bccosA， labcc(1sinAcosA)， c. l 1sinAcosA l 1 2sin(A 4) sin1， (A 4) cl(1)， l 1 2sin(A 4) l 1 22 即当 sin1，A 时，斜边 c 最小，最小值为 l(1) (A 4) 42 金版点睛 辅助角公式及其运用 (1)应用三角函数解决实际应用题的最值问题，必须先写出函数关系式(三角 形式)，再求最值 (2)型如 f(x)acosxbsinx 的函数均可化为 f(x)sin(x)( 为确定 a2b2 数值)，或化为 f(x)cos(x)( 为确定数值)，再利用三角函数的值域 a2b2 求最值 求函数 f(x)sinxcosx 的最值、周期 跟踪训练43 解f(x)sinxcosx2 3 ( 1 2sinx 3 2 cosx) 2(sinxcos60cosxsin60) 2sin(x60) f(x)max2，f(x)min2， 周期 T2. 题型五 证明三角恒等式 例 5已知 sin(2)5sin， 求证：2tan()3tan. 证明sin(2)5sinsin()5sin()sin() coscos()sin5sin()cos5cos()sin2sin() cos3cos()sin2tan()3tan. 金版点睛 证明三角恒等式的常用方法 (1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明的过程中， 时刻“盯”着目标，分析其特征，时刻向着目标“奔” ； (2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； (3)把要证的等式进行等价变形； (4)作差法，证明其差为 0. 求证：2cos(). 跟踪训练5 sin2 sin sin sin 证明sin(2)2cos()sin sin()2cos()sin sin()coscos()sin2cos()sin sin()coscos()sin sin()sin， 2cos(). sin2 sin sin sin 1计算 sin43cos13cos43sin13的结果等于() A.B. 1 2 3 3 C.D. 2 2 3 2 答案A 解析sin43cos13cos43sin13sin(4313)sin30 . 1 2 2.cosxsinx 等于() 26 A2cosB2cos 2 ( 6x)2 ( 3x) C2sinD2sin 2 (x 3)2 ( 6x) 答案D 解析cosxsinx2 262( 2 2 2cosx 6 2 2sinx) 22sin. 2( 1 2cosx 3 2 sinx) 2 ( 6x) 3下面各式中，不正确的是() Asinsin cos cos ( 4 3) 4 3 3 2 4 Bcossin