1、20212021 年高考真题和模拟题分类汇编年高考真题和模拟题分类汇编 数数学学 专题专题 0707 解三角形解三角形 一、选择题部分 1.(2021河南开封三模理 T10)如图，A，B，C 是半径为 1 的圆周上的点，且， ，则图中阴影区域的面积为（） ABCD 【答案】A 【解析】取圆心为 O，连结 OA，OB，OC，BC， 因为，所以BOC，则OBCOCB， 所以 BC2BOcos， 在ABC 中，由余弦定理可得 （AC+AB） 23ACAB， 因为， 所以，解得 ACAB1， 所以， ， 扇形 OBC 的面积为， 所以图中阴影区域的面积为 SABC+S扇形OBCSOBC+ 2.(202
2、1四川内江三模理 T5)在ABC 中，AC3，AB2（） AB CD 【答案】B 【解析】AC3，AB8， 由余弦定理可得：cosA，可得 sinA ，设 AB 边上的高为 h，则ABh， 2h 3.(2021宁夏中卫三模理 T 11)设锐角 ABC 的三内角 A，B，C 所对边的边分别为 a，b，c， 且 a2，B2A，则 b 的取值范围为（） ABCD（0，4） 【答案】A 【解析】在锐角三角形中，02A，即 0A，且 B+A3A，则3A，即 A，综上A，则cosA，a2，B2A， 由正弦定理得，得 b4cosA，cosA，2 4cosA2，即 2b2，则 b 的取值范围是（2，2） 4.
3、(2021河南郑州二模文 T6)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，如果 a、b、 c 成等差数列，B30，ABC 的面积为，则 b 等于（） AB CD 【答案】A 【解析】由余弦定理得 b2a2+c22accosB（a+c）22ac2accosB， 又 SABCacsinBac，ac6， a、b、c 成等差数列，a+c2b，将代入得 b24b2126，化简整理 得 b24+2，解得 b1+ 二、填空题部分 5.(2021上海嘉定三模T7 )在ABC 中， AB2， AC3， 且 ABC 的面积为， 则BAC 【答案】30或 150 【解析】ABC 中，AB2，AC3，且
4、ABC 的面积为， ABACsinBAC，即23sinBAC， 整理得：sinBAC，则BAC30或 150 6.(2021高考全国乙卷文 T15) 记ABC的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 面积为 3， 60B ， 22 3acac ，则b _ 【答案】2 2 【解析】由题意， 13 sin3 24 ABC SacBac ，所以 22 4,12acac，所以 222 1 2cos122 48 2 bacacB ，解得 2 2b （负值舍去）.故答案为2 2. 7.(2021浙江卷T11) 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等 的直角三角形和中间
5、的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的 长分别是 3，4，记大正方形的面积为 1 S，小正方形的面积为 2 S，则 2 1 S S _. 【答案】25 【解析】由题意可得，大正方形的边长为： 23 345a ， 则其面积为： 2 1 525S ， 小正方形的面积： 2 1 2543 41 2 S ， 从而 2 1 25 25 1 S S .故答案为 25. 8.(2021浙江卷T14) 在ABC中，60 ,2BAB，M 是BC的中点， 2 3AM ， 则AC _，cosMAC_. 【答案】(1). 2 13； (2). 2 39 13 【解析】由题意作出图形，如图，
6、 在ABM中，由余弦定理得 222 2cosAMABBMBM BAB ， 即 2 1 12422 2 BMBM ，解得=4BM（负值舍去） ， 所以=2=2=8BCBMCM， 在ABC中，由余弦定理得 222 1 2cos4642 2 852 2 ACABBCAB BCB ， 所以 2 13AC ； 在AMC中，由余弦定理得 222 52 12 162 39 cos 2132 2 32 13 ACAMMC MAC AM AC . 故答案为：2 13； 2 39 13 . 9.(2021河南开封三模文 T15)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知， ，且ABC 的外接圆半径
7、为 1，则ABC 的面积为 【答案】 【解析】由正弦定理及外接圆公式可得，其中 R 为ABC 的外接圆半径， 则 a2RsinA2，由余弦定理可得，b2+c22bccosAa2， 则，bc1， 则ABC 的面积为 10.(2021浙江杭州二模理 T13)设 a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边， 若 a1，则 C，ABC 的面积 【答案】C， 【解析】因为，整理得 a2+b2c2ab， 由余弦定理得 cosC，因为 C 为三角形内角，所以 C； 由 a2+b2c2ab 且 a1，c得 b2b60，解得 b3 或 b2（舍）， 所以，ABC 的面积 S 11.(2021河南郑州二
8、模文 T16)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a1， A，若b+c 有最大值，则实数的取值范围是 【答案】（，） 【解析】因为 a1，A，由正弦定理得：， 所以b+c（sinB+sinC）sinB+sin（B）sinB+（cosB sinB）（1）sinB+cosBsin（B+），其中 tan， 由 B（0，），b+c 存在最大值，即 B+有解，即（，），可得 10，解得，又1，解得，则实数的取值范围是（，） 12.(2021新疆乌鲁木齐二模文 T16 )在ABC 中， tanB2tanC， 则的取值范围为 【答案】（1，2） 【解析】如图，在ABC 中，设 tanC，
9、则 tanB，x（0，+）， 可得，令 f（x）4，x（0，+）， 因为 f（x）0，所以 f（x）在（0，+）上单调递增， 所以 f（x）（1，4），则（1，2） 13.(2021山西调研二模文 T16)? ? 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ?sin? i ?a? ? ，则? ? 面积的最大值为_ . 【答案】a ? 【解析】?sin? i ?a? ? i ?a ? i ? ? ? ? a ? ? ?， 所以 sin? ? a，当且仅当 ? ? ? i a ?，即 ? ? ? i a 时取等号， 所以 sin? i a，即 ? i ? ?，? ? ? i a， 所以 a
10、i ? ?i ? ? ? ? ?，当且仅当 ? i ? 时取等号， 所以 ? ? a ?，则? ? 面积 ? i a ? ? a ?，即面积的最大值 a ?故答案为： a ? ? 由已知结合基本不等式可求 sin? 的范围，结合正弦函数的有界性可求 sin?，进而可求 C，然 后结合基本不等式可求 ab 的范围，再由三角形面积公式可求 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，还考查了三角形面积公式，属于中档题 三、解答题部分 14.(2021新高考全国卷T19)记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 2 bac ，点D在边AC上，sinsinBDABCaC. （1）证明：BD
11、b； （2）若2ADDC，求cosABC. 【解析】 （1）由题设， sin sin aC BD ABC ，由正弦定理知： sinsin cb CABC ，即 sin sin Cc ABCb ， ac BD b ，又 2 bac ， BDb，得证. （2）由题意知： 2 , 33 bb BDb ADDC， 22 222 2 413 99 cos 2 4 2 3 3 bb bcc ADB b b b ，同理 22 222 2 10 99 cos 2 2 3 3 bb baa CDB b b b ， ADBCDB， 22 22 22 1310 99 42 33 bb ca bb ，整理得 2 22
12、 11 2 3 b ac，又 2 bac ， 42 2 2 11 2 3 bb a a ，整理得 4224 61130aa bb ，解得 2 2 1 3 a b 或 2 2 3 2 a b ， 由余弦定理知： 2222 2 4 cos 232 acba ABC acb ， 当 2 2 1 3 a b 时， 7 cos1 6 ABC不合题意；当 2 2 3 2 a b 时， 7 cos 12 ABC； 综上， 7 cos 12 ABC. 15.(2021江苏盐城三模T17)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，点 D 满足 3BDBC与ADAC0. (1)若 bc，求 A 的
13、值； (2)求 B 的最大值 【考点】解三角形与平面向量综合应用 【解析】(1)因为ADAC0，所以(AB1 3 BC)AC0， 即(2 3 AB1 3 AC)AC0，2 分 所以 2 3bccosA 1 3b 20， 因为 bc，所以 cosA1 2，4 分 因为 0A，所以 A2 3 5 分 (2)因为ADAC(2 3 AB1 3 AC)AC2 3bccosA 1 3b 20， 所以 b2c2a2b20，即 2b2c2a20，6 分 cosBa 2c2b2 2ac a2c2a 2c2 2 2ac a2 2 3c 2 2 2ac 3 2 ，8 分 因为 0B，所以 B 的最大值为 610 分
14、 16.(2021河南郑州三模理 T17)如图，在ABC 中，AB9，cosB，点 D 在 BC 边上，AD 7，ADB 为锐角 （）求 BD； （）若BADDAC，求 sinC 的值及 CD 的长 【解析】（1）ABD 中，由余弦定理得 AD2AB2+BD22ABBDcosB， 所以 4981+BD22， 解得 BD8 或 BD4， 当 BD4 时，cosADB，此时ADB，不符合题意，舍去， 当 BD8 时，cosADB，此时ADB，符合题意， （2）BAD 中，cosBAD， 所以 sinBAD， 又 sinADB， 所以 sinCsin （ADBCAD） sin （ADBBAD） ，
15、ACD 中，由正弦定理得， 所以 CD 17.(2021河南焦作三模理 T17)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsinC+asinAbsinB+csinC （）求 A； （）设 D 是线段 BC 的中点，若 c2，AD，求 a 【解析】（I）因为 bsinC+asinAbsinB+csinC，由正弦定理得 bcb2+c2a2，由余弦定理 得 cosA，由 A 为三角形内角得 A （II）因为 D 为 BC 的中点，所以（）， 则（+2）， 因为 c2，AD，所以 13（4+b2）， 整理得 b2+2b480，解得 b6，b8（舍）， 由余弦定理得 a236+4
16、26228，故 a2 18.(2021河北张家口三模T18)在四边形 ABCD 中，ABCD，AB1，BD2，且 sinDBC sinDCB （1）求 AD 的长； （2）求ABC 的面积 【解析】（1）因为在四边形 ABCD 中，ABCD 在DBC 中，由 sinDBCsinDCB 及正弦定理可得 BDCD2 设 ADx 在ABD 和ACD 中，由及余弦定理，得， 所以 5（x2+16）（x2+45） 解得，即 （2）在ACD 中， 得 AD8+CD2AC2，所以 ADCD， 所以所以ABC 的面积为 19.(2021山东聊城三模T17.)在? 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a，
17、b， c， 且 asin? ? ? i ? ? cos?， （1）求角 B 的大小； （2）已知点 D 满足?t ? ? i a ? ? ? ?，且 ? h ?t，若?ti ? ? ? ，?t i?，求 AC 【解析】 （1） 解： A， B， C 是三角形 ABC 的内角， 则 sin ? ? i cos ? ?， 又 asin ? ? i ?cos?， acos? ? ? i ?cos?，即 ? ? ?cos? i ?cos?a?，整理得 ?cos? ? ?cos? i ， cos? i a ?或 cos? i ?（舍） ，又 t ? t ?，? i ? ? （2）解：?ti a ? ?t
18、?sin? i ? ? ? ，可得 ?t? i ?， 在?t 中，?t?i ?t? ?t?cos? i ?， ?t? ?t? i ?，又 ? h ?t， ?t i a，? i ?，? i ?， 由余弦定理有 ?i ? ?cos? i a?， ? ia? 【考点】二倍角的余弦公式，诱导公式，余弦定理 【 解 析 】 【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 三 角 函 数 诱 导 公 式 和 余 弦 倍 角 公 式 已 知 可 化 为 ?cos? ? ?cos? i 解该方程可求得 B。 （2）由三角形面积公式得 ?t? i ?，再由余弦定理即可求得。 20.(2021重庆名校联盟三模T17)在b2+
19、aca2+c2，acosBbsinA，sinB+cosB 2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_，A，b （1）求角 B； （2）求ABC 的面积 【解析】（1）若选b2+aca2+c2，由余弦定理可得，cosB， 故 B， 若选acosBbsinA， 由正弦定理可得，sinAcosBbsinBinA， 因为 sinA 0，所以 sinBcosB，即 tanB，因为 B 为三角形的内角，故 B， 由sinB+cosB2 可得 2sin（B+）2，所以 sin（B+）1，因为 B 为三角形的 内角，故 B； （2）
20、由正弦定理可得，所以 a， 所以 SABC 21.(2021安徽蚌埠三模文 T17)已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2+c2 a2sin2B+2accosB （1）求 sinA； （2）若角 A 为锐角，且ABC 的面积为，求 a 的最小值 【解析】（1）由 a2+c2a2sin2B+2accosB 得， 即 sin2B，因为 A，B 为三角形内角，sinB0，所以 sinA； （2）因为角 A 为锐角，由（1）可得 A， 因为ABC 的面积 S， 所以 bc4，由余弦定理得 a2b2+c2bc2bcbc4， 所以 a2，即 a 的最小值为 2，当且仅当 bc2 时
21、取等号 22.(2021上海嘉定三模T18 )在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a、 b、 c， 且 2cos2cosB sin（AB）sinB+cos（A+C） （1）求 cosA 的值； （2）若 a4，b5，求 B 和 c 【解析】（1）由， 得， 即，可得， 即 （2）由，得， 根据正弦定理，得 由题意 ab，则 AB，故 再由余弦定理 a2b2+c22bccosA，得 ，解之得 c1（c7 舍去） 23.(2021贵州毕节三模文 T17)已知函数，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（C）1 （）求 C； （）点 D 为 AB 边中点，且给出
22、以下条件：a2； 从中仅选取一个条件，求 b 的值 【解析】（） ， ， 0C， ， （）若选a2， ， ， 解得 b4 或 b6（舍去），b4； 若选c2，（cb）， 由 c2b2+a22abcosC， 得：12a2+b2ab， 由（1）得， 所以 a2+b220，ab8，解得：或， 由 cb，得 b4 24.(2021辽宁朝阳三模T17 )ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c 已知 a， b2 （1）若 A，求 cos2B； （2）若 c3，求ABC 的面积 【解析】（1）由正弦定理知，sinB， cos2B12sin2B12 （2）由余弦定理知，cosC， C（
23、0，）， sinC， ABC 的面积 SabsinC2 25.(2021河南济源平顶山许昌三模文 T17)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，且asinB2bcos2 （1）求角 A 的大小； （2）若 BC 边上的中线 AD4，求三角形 ABC 面积的最大值 【解析】（1）因为asinB2bcos2b（1cosA）， 所以， 因为 sinB0， 所以， 所以2sin（A+）1， 所以 sin（A+）， 由 A 为三角形内角可得，A， （2）由题意， 所以|8， 所以 64b2+c2bcbc，当且仅当 bc8 时取等号， 所以 bc 的最大值 64，此时三角形 ABC 面
24、积的最大值16 26.(2021四川泸州三模理 T18)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin （A+B）+2cos2 （）求角 C 的大小； （）若 a1，c，（0），且ACD 的面积为 2，求的值 【解析】（）因为 sin（A+B）+2cos2， 所以 sinC（2cos21），即 sinCcosC，即 tanC， 因为 C（0，）， 所以 C （）在ABC 中，因为 a1，c，C， 由余弦定理可得 b2b120，解得 b4，或3（舍去）， 因为 SABC41sinSADC2， 所以点 D 在 BC 延长线上，在ACD 中，AC4，ACD， 则 SACDACCD
25、sinACD2， 所以 CD2，即 BDBC+CD3， 所以3 27.(2021江苏常数三模T17)已知ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 ，cos2AcosA （1）求ABC 接圆的半径大小； （2）若，求ABC 的面积 【解析】（1）因为bcosA, 所以 acosB+bcosAac, 由正弦定理得 sinAcosB+sinBcosAacsinC, 即 sin(A+B)sinCasinC, 因为 sinC0, 所以 a 因为 cos2A2cos2A1cosA, 解得 cosA或 cosA1(舍）， 由 A 为三角形内角得 A， 由正弦定理得 2R, 所以 R；
26、（2）因为 a，A， 由余弦定理得 a2b2+c22bccosAb2+c2+bc, 所以 7(b+c)2bc8bc, 所以 bc1, ABC 的面积 S 28.(2021上海浦东新区三模T18)已知函数 f（x）Asin（x+）（0，0） 的部分图象如图所示 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 f（）2，a2，求ABC 周长的取值范围 【解析】（1）根据函数的图象，函数的周期 T， 故2 由于点（）满足函数的图象， 所以 Asin（）0， 由于 0， 所以 由于点（0，1）在函数的图象上， 所以 A2 故函数 f（x）2sin（2
27、x+） （2）由于 f（）2sin（A+）2， 所以 A 由正弦定理：，整理得 b， 同理 c，由于， 所以， 由于， 所以， 所以 所以：lABC（4，6 29.(2021湖南三模T17)a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a3bsinA，a 3，c3 （1）若 bc，求 b； （2）求 cos2C 【解析】（1）因为 a3bsinA， 所以 sinA3sinBsinA， 因为 sinA0，所以 sinB， 因为 bc，所以 BC，所以 B 为锐角，可得 cosB， 由余弦定理可得 b （2）由（1）可知，cosB， 当 cosB时，b，cosC，可得 cos2C2cos
28、2C1； 当 cosB时， b， cosC， 可得 cos2C2cos2C1 30.(2021福建宁德三模T18) 在? ? 中，? i?，? i?，? i ? ? ? ?a?求? ? 的面积； ?在边 BC 上取一点 D，使得 cos?t? i ? ?，求 tan?t? 【解析】法一： ?a?由余弦定理得 ?i ? ? ? ? ? ? cos?， 由题设知，? i ? ? ? ? ? ? ? ? cos? ?， 所以 ? ? ? ? i ，又 ? h ， 所以 ? i ?， 所以?i a ? ? ? ? ? sin? i a ? ? ? ? ? ? ? i ? ? ? ?在? ? 中，由正弦
29、定理得 ? sin? i ? sin?， 所以 sin? i ?sin? ? i ? ? ? ? i a ?， 又 ? t ?，所以 t ? t ? ?，所以 tan? i a ?， 在? ?t 中，cos?t? i ? ?， 所以 tan?t? i ? ?， 因为?t? i ?t? ? ?， 所以 tan?t? i tan?t? ? ? i tan?t?tan? a?tan?t?tan? i ? ? a ? a? ? a ? i ? aa? 法二： ?a?同解法一 ?在? ? 中，由正弦定理得 ? sin? i ? sin?， 所以 sin? i ?sin? ? i ? ? ? ? i ?
30、a a ， 因为 ? t ?r? i ? ?，所以 t ? t ? ?，所以? h ? ? ? 所以 tan? i? ?， 在? ?t 中，因为 cos?t? i ? ?，所以 tan?t? i ? ? ? 在? ?t 中，?t i ? ? ? ? ?t?， 所以 tan?t i? tan? ? ?t? i? tan?tan?t? a?tan?tan?t? i? a? ? a?a? ? i? ?， 因为?t? i ? ?t， 所以 tan?t? i tan? ?t? i tan?tan?t a?tan?tan?t i ? a? i ? aa? 【解析】法一：?a?由已知利用余弦定理可得 ? ?
31、 ? ? i ，解方程可得 BC 的值，进而 根据三角形的面积公式即可求解?在? ? 中，由正弦定理得 sin? 的值，利用同角三角函 数基本关系式可求 tan?， tan?t? i ? ?， 进而根据两角差的正切公式即可求解 tan?t? 的值 法二：?a?同解法一?在? ? 中，由正弦定理可求 sin?，利用同角三角函数基本关系 式可求 tan?，tan?t? i ? ?，进而利用两角和与差的正切公式即可求解 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识，考查运算求解能力考查 化归与转化思想等，属于中档题 31.(2021江西南昌三模理 T17)如图，在梯形 ABCD 中，AB
32、CD，BCD135，BD CD （）求 sinCBD 的值； （）若ABD 的面积为 4，求 AD 的长 【解析】（）在BCD 中，由正弦定理知， 所以 BDsinCBDCDsinBCD， 因为， 即 （）因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以 AD2AB2+BD22ABBDcosABD10， 所以 32.(2021江西上饶三模理 T17)已知在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c， （sinA sinB）2sin2C3sinAsinB （1）求角 C 的大小； （2）若 a2b，求 cos（B+）的值 【解析】（1）因为（sinAsinB）2sin2C3sinAsi
33、nB， 由正弦定理得（ab）2c23ab， 即 a2+b2c2ab， 由余弦定理得 cosC， 由 C 为三角形内角可得 C； （2）因为 a2b， 由正弦定理得 sinA2sinB， 所以 sin（）2sinB， 所以2sinB， 所以 tanB， 所以 B（0，），cosB，sinB， 所以 cos（B+）cos（B+） 33.(2021河南开封三模文 T 17)在ABC 中，D 为 BC 边上一点，且 BD3 （1）求 AD； （2）若，求 sinC 【解析】（1）在ABD 中，因为，BD3， 由余弦定理得 AD2AB2+BD22ABBDcosB， ，所以 （2）在ABC 中，因为， 由
34、正弦定理得， 所以 34.(2021安徽宿州三模文理 T17)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，asinB bsin（A）+b （）求角 A 的大小； （）若 a，求边 BC 的中线 AD 长度的最小值 【解析】（）由正弦定理得， 因为 asinBbsin（A）+b， 所以 sinAsinBsinBsin（A）+sinB， 因为 sinB0，所以 sinAsin（A）+， 所以 sinAcosAsinA+，即sinAcosA1， 所以 sin（A）1， 又 0A，所以A， 所以 A，即 A （）因为ADB+ADC， 所以+0，化简得 2AD2b2+c2， 在ABC 中，由
35、余弦定理得，a2b2+c22bccosA， 所以b2+c2+bc， 因为 bc，当且仅当 bc 时，取等号， 所以 3b2+c2+bc（b2+c2）， 所以 b2+c22， 所以 2AD22， 所以 AD 长度的最小值为 35.(2021安徽马鞍山三模理 T17)如图，在ABC 中，D 为 AC 边上一点且 ABBD，BD2 （1）若，求BCD 的面积； （2）求的取值范围 【解析】（1），且 ABBD， CBD， 在BCD 中，由余弦定理知，CD2BC2+BD22BCBDcosCBD， 2BC2+42BC2cos，即 BC22BC+20， 解得 BC1， 由图知，BDCC，BCBD2， BC
36、+1， BCD 的面积 SBCBDsinCBD（+1）2sin （2）在ABD 中，由正弦定理知，sinA， 在BCD 中，由正弦定理知，即， CD， 又 A+CABC， sinA+sinCsinA+sin（A）sinA+cosAsinAsin（A+）， A（0，）， A+（，）， sin（A+）（，1， 故的取值范围为（，1 36.(2021安徽马鞍山三模文 T17 )已知 a， b， c 分别是ABC 内角 A， B， C 的对边， 且 asinB 2csinA （1）若，求 A； （2）若 c2，且点 D 在 BC 的延长线上，满足 BC2CD4，求 AD 【解析】（1）因为 asinB
37、2csinA， 由正弦定理得 sinAsinB2sinCsinA， 因为 sinA0， 所以 sinB2sinC，即 b2c， 因为， 由余弦定理得 cosA， 由 A 为三角形内角得 A； （2）因为 c2，b2c4，a4， 由余弦定理得 cosACB， 故 cosACD， ACD 中，由余弦定理得，34， 故 AD 37.(2021江西鹰潭二模理 T17)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a2 3c2ac，sinAcosCsinC（2cosA） （1）求角 B 的大小； （2）若ABC 的外接圆半径是，求ABC 的周长 【解析】（1）因为 sinAcosCsin
38、C（2cosA）， 所以 sinAcosC2sinCsinCcosA， 所以 sinAcosC+sinCcosA2sinC， 所以 sin（A+C）2sinC， 所以 sinB2sinC 由正弦定理，得 b2c 因为 a23c2ac， 由余弦定理，得， 又因为 B（0，），所以 （2）因为ABC 的外接圆半径是， 则由正弦定理，得解得 b4 所以 c2 将 c2 代入 a23c2ac 中，得 a2122a， 解得（舍去）或 所以ABC 的周长是 38.(2021河北秦皇岛二模理 T17 )在ABC 中， （sinAsinC） 2sin2B （ 2） sinAsinC， 点 D 在线段 AB 上
39、，且 BDDC，BC2 （1）求B； （2）在cos（CB），AD，sinA，这三个条件中任选一个，补 充在上面的问题中，求 AC 边长 【解析】（1）因为（sinAsinC）2sin2B（2）sinAsinC， 所以由正弦定理可得 a2+c22acb2（2）ac，即 a2+c2b2ac， 所以由余弦定理可得 cosB， 因为 B（0，）， 所以 B （2）若选，因为 B，BDDC，BC2， 在BCD 中，由正弦定理，解得 CD， 所以在ACD 中，ADC，ACDCB， 由 cos （CB） ， 可得 sin （CB） ， 可得 sinAsin （+ ACD）+， 在ACD 中，由，解得 AC
40、 若选，AD，由（1）可得 B， 因为 BDDC，可得BDCB，BDC， 在BCD 中，由正弦定理，所以 CD， 在ACD 中，由余弦定理 AC2CD2+AD22ADCDcosADCCD2+AD2+2ADCDcos BDC+3+2（），解得 AC 若选，sinA，由（1）可得 B，BC2， 在ABC 中，由正弦定理，可得， 解得 AC 39.(2021江西上饶二模理 T17)请在，c2，2sinA5sinC 这三个条件中任 选两个，将下面问题补充完整，并作答 问题：在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且， _，_，计算ABC 的面积 【解析】由正弦定理知， bcosAcos
41、CasinBsinCb， sinBcosAcosCsinAsinBsinCsinB， sinB0， cosAcosCsinAsinC，即 cos（A+C）， A+CB，cos（A+C）cosB，即 cosB， 又 B（0，），B 若选，由余弦定理知，b2a2+c22accosB， 19a2+44a，即 a22a150， 解得 a5 或3（舍负）， ABC 的面积 SacsinB52 若选，2sinA5sinC，2a5c10，a5， ABC 的面积 SacsinB52 若选，2sinA5sinC，2a5c， 由余弦定理知，b2a2+c22accosB， 19a2+（）22a，即 a225， 解得
42、 a5， ABC 的面积 SacsinB52 40.(2021北京门头沟二模理 T16) 已知? ? 满足_，且 ? i ?，? i ? ?，从条件、条件 、条件中选择一个作为已知填在横线上，并求解下列问题： ； 求? ? 的面积. 条件tan? i ?， 条件? ? ?i ? ?， 条件? i? 【解析】?选tan? i ?，A 为锐角，所以 cos? i ? ? ，sin? i ? ? ? ， sin? i sin? ? i sin?cos? ? sin?cos? i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i ? a a ； 选? ? ?i ? ?， 由余弦定理得，cos? i ?
43、? i ? ? ， 故 A 为锐角，sin? i ? ? ? ， 所以 sin? i sin? ? i sin?cos? ? sin?cos? i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i ? a a ； 选? i? i a?， 所以 ? i ? ?，? i ?，? i ? ?， 由正弦定理得， ? sin? i ? sin?， 所以 sin? i ? ? ? ? ? i ? a a ； ?由?知 cos? i? a a ，因为 ? h ?，所以 ? h ?，故 C 有两解， 又 sin? i sin? ? i sin?cos? ? sin?cos? i? a a ? ? ? ? ? a
44、 a ? ? ? ， 即 sin? i ? ? 或 sin? i ? ? ? ， 当 sin? i ? ? 时，?i a ? ?sin? i a ? ? ? ? ? ? ? ? ? i a? ? ， 当 sin? i ? ? ? 时，?i a ?sin? i a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i a? 【解析】?选tan? i ?，结合同角基本关系先求出 cos?，sin?，进而可求 sin?，然后结合 余弦定理可求 cos?，sin?，结合诱导公式及和角正弦可求 sin?； 选? ? ?i ? ?，由余弦定理可求 cos?，进而可求 sin?，结合诱导公式及和角正 弦可求 sin?
45、； 选? i?，然后结合正弦定理可求 sin?； 所以 ? i ? ?，? i ?，? i ? ?， ?由?可求 cos?，然后求出 sin?，结合三角形面积公式可求 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及同角平方关系，三角形面积公式在求 解三角形中的应用，属于中档题 41.(2021河北邯郸二模理 T18)在四边形 ABCD 中，ADBC，AD6，BC4，CD2， CBD30 （）求 BD 的长； （）求 A 【解析】（I）因为 ADBC，AD6，BC4，CD2，CBD30， 由余弦定理得 cos30， 解得 BD2； （II）因为 ADBC， 所以CBDADB30， 由余弦定理得
46、AB2BD2+AD22ADBDcos30， 12+36212， 故 AB2， 因为 BD2， 所以AADB30 42.(2021江西九江二模理 T17)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosA 2sin（C）cosB （）求角 B 的大小； （）若ABC 的周长为 3，且 a，b，c 成等比数列，求 b 【解析】（）因为 cosA2sin（C）cosB， 所以 cosA2（sinCcoscosCsinB）cosB，可得 cosAsinCcosBcosCcosB， 因为 cosAcos（B+C）sinBsinCcosBcosC， 所以 sinBsinCcosBcos
47、CsinCcosBcosBcosC，可得 sinBsinCsinCcosB， 因为 sinC0， 所以 sinBcosB，可得 tanB， 因为 B（0，）， 所以 B （）由余弦定理可得 b2a2+c22accos，即 b2a2+c2ac， 因为 a，b，c 成等比数列， 所以 b2ac， 所以 aca2+c2ac，可得 ac， 所以ABC 是等边三角形， 又 a+b+c3， 所以 b1 43.(2021天津南开二模T16)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， csinAacosC （）求角 C 的大小； （）求边 c 的长； （）求 cos（C2A）的值 【解析】（I
48、）因为 csinAacosC，由正弦定理得，sinCsinAsinAcosC， 因为 sinA0，所以 sinCcosC，即 tanC1，由 C 为三角形内角得，C； （II）因为 a3，C， 由余弦定理得，c29+24， 所以 c； （III）由余弦定理得，cosA， 所以 sinA，sin2A8sinAcosA 8A1 ， 所以 cos（C2A）cos（5A） 44.(2021广东潮州二模T17)已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，现给出 两个条件： 2cosC（acosC+ccosA）+b0，3bcosC+2csinCsinB0； 要求你从中选出一个条件（选出其中一
49、个条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分）， 并以此为依据求解下面问题问题： （1）求角 C； （2）若 c2，SABC，求 a+b 的值 【解析】若选，2cosC（acosC+ccosA）+b0， （1）由正弦定理可得 2cosC（sinAcosC+sinCcosA）+sinB0， 所以 2cosCsin（A+C）+sinB2cosCsinB+sinB0， 因为 sinB0， 所以可得 cosC， 因为 C（0，）， 所以 C （2）因为 c2，SABC，C， 所以absinCab，解得 ab4， 由余弦定理可 c2a2+b22abcosC，可得 12a2+b2+ab（a+b）2ab（a+
50、b）24，解 得 a+b4 若选，3bcosC+2csinCsinB0； （1）由正弦定理可得 3sinBcosC+2sin2CsinB0， 因为 sinB0，可得 3cosC+2sin2C3cosC+2（1cos2C）0，可得 2cos2C3cosC20， 解得 cosC，或 2（舍去）， 因为 C（0，）， 所以 C （2）因为 c2，SABC，C， 所以absinCab，解得 ab4， 由余弦定理可 c2a2+b22abcosC，可得 12a2+b2+ab（a+b）2ab（a+b）24，解 得 a+b4 45.(2021辽宁朝阳二模T17)在（b+ac） （ba+c）ac；cos（A+B
