1、- 1 - 20212021 年高考真题和模拟题分类汇编年高考真题和模拟题分类汇编 数数学学 专题专题 1313 排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理 一、选择题部分 1.(2021河南开封三模理 T11)某校组织甲、 乙两个班的学生到 “农耕村” 参加社会实践活动， 某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、 下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安 排方案的种数为（） A126B360C600D630 【答案】D 【解析】 第一类， 上下午共安排 4 个活动 （上午 2 个， 下午 2 个） 分配给甲， 乙，
2、故有 A62A42 360 种， 第二类，上下午共安排 3 个活动，（上午 2 个下午 1 个，或上午 1 个下午 2 个）分配给甲， 乙，故有 A62A41A21240 第三类，上下午共安排 2 个活动，（上午 1 个，下午 1 个）分配给甲，乙，故有 A6230 种， 根据分类计数原理，共有 360+240+30630 种 2.(2021河南开封三模理 T6)（ax）（1+x）6的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 64， 则实数 a（） A4B3C2D1 【答案】B 【解析】（ax）（1+x）6的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 64， 设 f（x）（ax）（x+1）6a0+a
3、1x+a2x2+a6x6+a6x7， 令 x1，则 f（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7（a+1）（11）564（a1）， 令 x1，则 f（1）a0a1+a2a3+a4a5+a6a7（a1）（11）50； 得，2（a1+a3+a5+a7）64（a1），a1+a3+a5+a732（a1）64， 解得 a3 3.(2021河南焦作三模理 T7)为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲、乙、丙、丁、 戊五名志愿者参加 A，B，C 三个小区的防疫工作，每人只去 1 个小区，每个小区至少去 1 人，且甲、乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（） A24 种B36 种C48
4、种D64 种 【答案】B - 2 - 【解析】根据题意，分 2 步进行分析： 先将 5 人分成 3 组，要求甲乙在同一组， 若甲乙两人一组，将其他三人分成 2 组即可，有 C32种分组方法， 若甲乙两人与另外一人在同一组，有 C31种分组方法， 则有 C31+C326 种分组方法； 将分好的三组全排列，对应 A、B、C 三个小区，有 A336 种情况， 则有 6636 种不同的派遣方案 4.(2021河北张家口三模T7)（x+2y3z）5的展开式中所有不含 y 的项的系数之和为（） A32B16C10D64 【答案】A 【解析】在（x+2y3z）7的展开式中，通项公式为 若展开式中的项不含 y
5、，则 r65展开式中的所有项 令 xz1，得这些项的系数之和为（3）532 5.(2021江西上饶三模理 T10)现有语文、数学、英语、物理、化学、生物各 1 本书，把这 6 本书分别放入 3 个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学放在同一个 抽屉里，则不同的放法总数为（） A78B126C148D150 【答案】D 【解析】根据题意，分 2 步进行分析： 将 6 本书分为 3 组，要求语文和数学在同一组， 若分为 2、2、2 的三组，有C423 种分组方法， 若分为 3、2、1 的三组，有 C41+C41C3216 种分组方法， 若分为 4、1、1 的三组，有 C426 种分组
6、方法， 则有 3+16+625 种分组方法； 将分好三组全排列，放入三个不同的抽屉，有 A336 种情况， 则有 256150 种安排方法 6.(2021重庆名校联盟三模T5)已知（2x2+1）（1）5的展开式中各项系数之和为 0， 则该展开式的常数项是（） A10B7C9D10 【答案】C 【解析】（2x2+1）（）5开式中各数和为 3（a1）50，a1， - 3 - 则（）5，即，它的展开式的通项公式为 Tr+1（1）rx2r 10， 令 2r102，求得 r4；令 2r100，求得 r5， 故（2x2+1）（）5（2x2+1）（1）5的展开式中常数项是 2 9 7.(2021辽宁朝阳三模
7、T8)在三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为侧棱 CC1的中点，从该三棱柱 的九条棱中随机选取两条， 则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率是 （） ABCD 【答案】B 【解析】在三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为侧棱 CC1的中点， 该三棱柱的九条棱中与 BD 异面的棱有 5 条， 从该三棱柱的九条棱中随机选取两条， 基本事件总数 n36， 这两条棱所在直线至少有一条与直线 BD 异面包含的基本事件个数为： m+26， 则这两条棱所在直线至少有一条与直线 BD 异面的概率 P 8.(2021辽宁朝阳三模T6)下列各项中，是（）6展开式中的项为（） A15B20 x2C15y4D
8、20 【答案】C 【解析】（）6展开式的通项公式为 Tr+1（1） r ， 由0 且0，此时 r 无解，故展开式中没有常数项，故 A 错误； 由2 且0，此时 r 无解，故展开式中不含 x2项，故 B 错误； 由0 且4，此时 r2，故 T3（1）2y415y4，故 C 正确； 由0 且，此时 r 无解，故展开式中不含项，故 D 错误 9.(2021湖南三模T9 )在 （3x） n的展开式中， 各项系数和与二项式系数和之和为 128， - 4 - 则（） A二项式系数和为 64B各项系数和为 64 C常数项为135D常数项为 135 【答案】ABD 【解析】（3x）n的展开式中，各项系数和与二
9、项式系数和之和为 2n+2n128，n 6，故二项式系数和为 2664，二项式系数和之和为 2n2664，故 A、B 正确； 故展开式的通项公式为 Tr+1（1）r36 r ，令 60，求得 r4， 故常数项为32135，故 D 正确 10.(2021福建宁德三模T7)周髀算经是中国最古老的天文学、数学 著作，公元 3 世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”?如图?，用 以证明其中记载的勾股定理.现提供 4 种不同颜色给右图中 5 个区域涂 色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方 法种数为? A.36B.48C.72D.96 【答案】C 【解析】根据题意，分 2 步进
10、行分析： 对于区域 ABE，三个区域两两相邻，有? ? ? t? 种涂色的方法， 对于区域 CD，若 C 区域与 A 颜色相同，D 区域有 2 种选法， 若 C 区域与 A 颜色不同，则 C 区域有 1 种选法，D 区域也只有 1 种选法， 则区域 CD 有 t t h ? ? 种涂色的方法， 则有 t? ? ? ? t 种涂色的方法， 故选：?t 根据题意，分 2 步依次分析区域 ABE 和区域 CD 的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答 案。 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题。 11.(2021安徽宿州三模理 T6)新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急
11、指挥部的 要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知某学校按市局通知要求，制定 了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施高三年级一层楼有 A、B、C、D、E、F 六个班排队吃 饭，A 班必须排在第一位，且 D 班、E 班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有 （） A20 种B56 种C72 种D40 种 【答案】C - 5 - 【解析】根据题意，A 班必须排在第一位，剩下 5 个班级安排在后面的 5 个位置即可， 分 2 步进行分析： 将 BCF 三个班级全排列，排好后有 4 个空位，有 A336 种排法， 在 4 个空位中选出 2 个，安排 D 班、E 班，有 A4212 种排
12、法， 则有 61272 种不同的方案 12.(2021安徽宿州三模理 T7)（x+2y）（2x+y）5的展开式中 x3y3项的系数为（） A80B160C200D240 【答案】C 【解析】（x+2y）（2x+y）5（x+2y）（2x）5+（2x）4y+（2x）3y2+（2x） 2y3+ （2x）y4+y5）， 故展开式中 x3y3项的系数为22+223200 13.(2021安徽马鞍山三模理 T6)的常数项为 25，则实数 a 的值为 （） A1B1C2D2 【答案】D 【解析】（2x1）6的展开式的通项公式为 Tr+1（1）r26 r x6 r， 所以的常数项为（1）52a+（1）6201
13、2a+125， 解得 a2 14.(2021河北邯郸二模理 T6)（x2x）（1+x）6的展开式中 x3项的系数为（） A9B9C21D21 【答案】A 【解析】因为根据（1+x）6展开式的通项 Tr+1， 所以（x2x）（1+x）6的展开式中 x3项为9x3， 所以含 x3项的系数9 15.(2021河北秦皇岛二模理 T10)已知（2x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则下列选项正 确的是（） Aa3360 B（a0+a2+a4+a6）2（a1+a3+a5）21 Ca1+a2+a6（2）6 D展开式中系数最大的为 a2 【答案】BD - 6 - 【解析】令 x0 得 a026， 令 x1
14、 得 a0+a1+a2+a6（2）6， 则 a1+a2+a6（2）626，故 C 错误， 令 x1，得 a0a1+a2a3+a4a5+a6（2+）6， 则（a0+a2+a4+a6）2（a1+a3+a5）2（a0+a1+a2+a6）（a0a1+a2a3+a4a5+a6）（2 ）6（2+）6（2）（2+）61，故 B 正确， a323（）3480，故 A 错误， 展开式中偶数项系数为负值，奇数项系数为正值， 则系数最大的在 a0，a2，a4，a6中， 展开式的通项公式 Tk+126 k（ x）k， 则 a2720，a4540，a627， 则系数最大的为 a2 16.(2021辽宁朝阳二模T6)今年
15、我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著 效果，功不可没“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方” 分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出 2 种， 则恰好选出 1 药 1 方的方法种数为（） A15B30C6D9 【答案】D 【解析】根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出 2 种，恰好选出 1 药 1 方， 则 1 药的取法有 3 种，1 方的取法也有 3 种， 则恰好选出 1 药 1 方的方法种数为 339 17.(2021山东潍坊二模T4)2021 年是中国共产党百年华诞某学校社团将举办庆祝中国共 产党成立 100 周
16、年革命歌曲展演现从歌唱祖国英雄赞歌 唱支山歌给党听 毛 主席派人来4 首独唱歌曲和没有共产党就没有新中国我和我的祖国2 首合唱歌曲 中共选出 4 首歌曲安排演出， 要求最后一首歌曲必须是合唱， 则不同的安排方法共有 （） A14B48C72D120 【答案】D 【解析】根据题意，在 2 首合唱歌曲中任选 1 首，安排在最后，有 2 种安排方法， 在其他 5 首歌曲中任选 3 首，作为前 3 首歌曲，有 A5360 种安排方法， 则有 260120 种不同的安排方法 18.(2021浙江丽水湖州衢州二模T8)某市抽调 5 位医生分赴 4 所医院支援抗疫，要求每位 医生只能去一所医院，每所医院至少
17、安排一位医生由于工作需要，甲、乙两位医生必须 安排在不同的医院，则不同的安排种数是（） - 7 - A90B216C144D240 【答案】B 【解析】根据题意，分 2 步进行分析： 将 5 位医生分为 4 组，要求甲乙不在同一组，有 C5219 种分组方法， 将分好的 4 组安排到 4 所医院支援抗疫，有 A4424 种安排方法， 则有 924216 种安排种数 二、填空题部分 19.(2021山东潍坊二模T13)设（x+1）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则 a1+a2+a3+a4 【答案】15 【解析】（x+1）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4， 令 x1 得：
18、2416a0+a1+a2+a3+a4， 令 x0 得：1a0，a1+a2+a3+a416115 20.(2021辽宁朝阳二模T13)在（x2y+z）7的展开式中，所有形如 xaybz2（a，bN）的项 的系数之和是 【答案】21 【解析】因为（x2y+z）7（x2y）+z7， 所以展开式中含 z2的项为 C， 令 xyz1，则所求系数之和为 C （12）51221 21.(2021广东潮州二模T13)（x）6的展开式的常数项是用数字作答） 【答案】20 【解析】（x）6的展开式的通项公式为 Tr+1（1）rx6 2r， 令 62r0，求得 r3，可得展开式的常数项为（1）20 22.(2021
19、广东潮州二模T15)根据中央关于精准脱贫的要求，我市农业经济部门随机派遣 4 位专家对 3 个县区进行调研，每个县区至少派 1 位专家，则专家派遣的方法的种数为 【答案】36 【解析】根据题意，分 2 步进行分析： 将 4 位专家分为 3 组，有 C426 种分组方法， 将分好的三组全排列，分到 3 个县区进行调研，有 A336 种情况， 则有 6636 种派遣方法 23.(2021天津南开二模T11)的二项展开式中，x3的系数等于 【答案】15 - 8 - 【解析】的二项展开式的通项公式为 Tr+1（1） r ，令 6r3 且，解得 r2，所以 x3的系数等于（5）215 24.(2021浙
20、江卷T13) 已知多项式 34432 1234 (1)(1)xxxa xa xa xa，则 1 a _， 234 aaa_. 【答案】(1). 5; (2).10. 【解析】 332 (1)331xxxx， 4432 (1)4641xxxxx， 所以 12 145,363aa ， 34 347,1 10aa ， 所以 234 10aaa.故答案为：5,10. 25.(2021江苏盐城三模T13)文旅部在 2021 年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神” “走进 大国重器、感受中国力量” “体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百 年红色旅游百条精品线路” 这些精品线路中包含上海大会
21、址、嘉兴南湖、井冈山、延安、 西柏坡等 5 个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、 “中国天眼” 、 “两弹 一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等 7 个展现改革开放和新时代发展成 就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区为安排旅游路线，从上述 12 个景区中选 3 个景区， 则至少含有 1 个传统红色旅游景区的选法有种 【答案】185 【考点】排列组合 【解析】由题意，可用间接法，总体情况为从 12 个景区中选 3 个景区，从 7 个非传统红色旅 游景区中选 3 个景区，则至少含有 1 个传统红色旅游景区的选法有185 26.(2021河南郑州三模理 T14)展开式
22、中的 a 与 b 指数相同的项的表 达式为 【答案】84a 【 解 析 】 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tr+1 C C，令 6，解得 r3， 所以展开式中的 a 与 b 指数相同的项的表达式为 C84a 27.(2021四川内江三模理 T14)二项式（2x2）6的展开式中的常数项是（用数 - 9 - 字作答） 【答案】60 【解析】（2x2）6的展开式的通项公式为 Tr+1（1）r27rx123r， 令 123r6，求得 r42260 28.(2021上海嘉定三模T8)展开式中的常数项为19 【答案】19 【解析】依题意，（1x）6展开式的通项是， 当 r0 时，； 当 r3 时，
23、展开式的常数项是 29.(2021四川泸州三模理 T13)（x+1）（x1）6展开式中 x3项的系数为 【答案】5 【解析】由题意可得展开式中含 x3项为 x+1（1520） x35x3 30.(2021江苏常数三模T13)的展开式中常数项为 【答案】7 【解析】（1+x）4展开式的通项公式为 Tr+1xr， 故令 r0，1，可得展开式中常数项为+（2）7 31.(2021福建宁德三模T14) 已知?体t h ? ?ht ?展开式中的所有项的系数和为 64，则实数 体 ?_ ；展开式中常数项为_ . 【答案】1 ；6 【解析】解：令 ? ? h，可得?体 t h ? ?ht ?展开式中的所有项
24、的系数和为 ?t?体t h? ? ?， 则实数 体 ? ht展开式中常数项为 体 ? ? ? t ? h ? h t ? ? ?，故答案为：1；?t 由题意令 ? ? h，可得二项式的各项系数和，求出 a 的值，再利用二项展开式的通项公式，求 得展开式的常数项本题主要考查二项式定理的应用，求二项式的各项系数和，二项展开式 的通项公式，属于中档题 32.(2021江西九江二模理 T14)（2x）6展开式中常数项为（用数字作答） - 10 - 【答案】60 【 解 析 】 （ 2x ） 6 展 开 式 的 通 项 为 令得 r4 故展开式中的常数项 33.(2021浙江杭州二模理 T12)已知（x+a）3（x+1）4的展开式中所有项的系数之和为 16， 则 a，x4项的系数为 【答案】0；4 【解析】已知（x+a） 3（x+1）4的展开式中所有项的系数之和为 16（1+a）316，则 a0 故 知（x+a）3（x+1）4x3（x+1）4，故 x4项的系数为4 34.(2021江西上饶二模理 T14)若（2x1）7a0+a1x+a2x2+a7x7，则 a1+a2+a3+a7 【答案】2 【解析】（2x1）7a0+a1x+a2x2+a7x7， 令 x0，得 a01； 令 x1，则 a0+a1+a2+a3+a71， a1+a2+a3+a72
