1、20212021 年高考真题和模拟题分类汇编年高考真题和模拟题分类汇编 数数学学 专题专题 1212 圆锥曲线圆锥曲线 一、选择题部分 1.(2021新高考全国卷T5)已知 1 F， 2 F是椭圆C： 22 1 94 xy 的两个焦点，点M在C 上，则 12 MFMF的最大值为（） A. 13B. 12 C. 9D. 6 【答案】C 【解析】由题， 22 9,4ab，则 12 26MFMFa， 所以 2 12 12 9 2 MFMF MFMF （当且仅当 12 3MFMF 时，等号成立） 2.(2021高考全国甲卷理 T5) 已知 12 ,F F是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且
2、 1212 60 ,3FPFPFPF，则 C 的离心率为（） A. 7 2 B. 13 2 C. 7 D. 13 【答案】A 【解析】根据双曲线的定义及条件，表示出 12 ,PFPF，结合余弦定理可得答案. 因为 21 3PFPF，由双曲线的定义可得 122 22PFPFPFa， 所以 2 PFa， 1 3PFa； 因为 12 60FPF,由余弦定理可得 222 492 3cos60caaaa ， 整理可得 22 47ca ，所以 2 2 2 7 4a c e ，即 7 2 e .故选 A 3.(2021高考全国乙卷文 T11)设 B 是椭圆 2 2 :1 5 x Cy的上顶点， 点 P 在
3、C 上， 则PB 的最大值为（） A. 5 2 B.6C.5D. 2 【答案】A 【解析】设点 00 ,P xy，因为0,1B， 2 2 0 0 1 5 x y，所以 2 222 222 0000000 125 15 114264 24 PBxyyyyyy ， 而 0 11y ，所以当 0 1 2 y 时，PB的最大值为 5 2 故选 A 4.(2021浙江卷T9) 已知,R,0a bab，函数 2 R()f xaxb x.若 (),( ),()f stf sf st成等比数列，则平面上点, s t的轨迹是（） A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线 【答案】C
4、【解析】 由题意得 2 () () ( )f st f stf s， 即 2 222 ()()a stba stbasb ， 对其进行整理变形： 2 22222 22asatastbasatastbasb， 22 2222 (2)0asatbastasb， 22222 2 2240asatb ata s t， 22 22 42 220a s ta tabt ， 所以 22 220asatb 或0t ，其中 22 1 2 st bb aa 为双曲线，0t 为直线.故选 C. 5.(2021江苏盐城三模T7)设双曲线 C：x 2 a2 y 2 b2 1(a，b0)的焦距为 2，若以点 P(m，n)
5、(m a)为圆心的圆 P 过 C 的右顶点且与 C 的两条渐近线相切，则 OP 长的取值范围是 A(0，1 2) B(0，1)C(1 2，1) D(1 4， 1 2) 【答案】B 【考点】圆锥曲线中双曲线的几何性质应用 【解析】 由题意可知， c1， 渐近线方程为： bxay0， 由圆 P 与渐近线相切可得， r|bman| c |bman| c ， 解得 n0， 所以圆的半径 rambm， 所以 m a b1， 则 m 2( a b1) 2 1b2 (b1)2 1b b11 2 b1，因为 b(0，1)，所以1 2 b1(0，1)，则 m(0，1)，所以 OP(0， 1)，故答案选 B 6.
6、(2021河南郑州三模理 T10)已知 A，B 是椭圆1（ab0）长轴的两个端点， P、Q 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，直线 AP，BQ 的斜率分别为 k1，k2（k1k20）若 椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（） A1BCD 【答案】B 【解析】设 P（t，s），Q（t，s），t0，a，s0，b，A（a，0），B（a，0）， k1，k2， |k1|+|k2|+|22， 当且仅当，即 t0 时等号成立 A，B 是椭圆1（ab0）长轴的两个端点，P，Q 是椭圆上关于 x 轴对称的 两点，P（t，s），Q（t，s），即 sb， |k1|+|k2|的最小值为， 椭圆的离心率为，
7、，即，得 ab， |k1|+|k2|的最小值为 7.(2021河南开封三模文理 T12)已知椭圆（ab0）的左、右焦点分别 为 F1（c，0），F2（c，0）若椭圆 C 上存在一点 P，使得，则椭 圆 C 的离心率的取值范围为（） ABCD 【答案】C 【解析】在PF1F2中，由正弦定理知， ， e，即|PF1|e|PF2|， 又P 在椭圆上，|PF1|+|PF2|2a， 联立得|PF2|（ac，a+c）， 即 aca+c， 同除以 a 得，1e1+e，得1e1 椭圆 C 的离心率的取值范围为 8.(2021河南开封三模文理 T3)“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件 为（） Am（，1）（
8、1，+）Bm（，2）（1，+） Cm（，2）Dm（1，+） 【答案】A 【解析】方程为双曲线时，（m+2）（m1）0 m（，2）（1，+）， （，2）（1，+）（，1）（1，+）， “方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为 m（，1）（1，+ ） 9.(2021河南焦作三模理 T12)已知双曲线1（a0，b0）过第一、三象限的 渐近线为 l，过右焦点 F 作 l 的垂线，垂足为 A，线段 AF 交双曲线于 B，若|BF|2|AB|， 则此双曲线的离心率为（） AB CD 【答案】C 【解析】由题意可得渐近线 l 的方程为 bxay0， 由，可得 A（，）， 又 BF2AB，即2， 又 F（c，
9、0）， 即有 B（，）， 将 B 的坐标代入双曲线的方程，可得（）2（）21， 由 e，可得（+）2（）21， 解得 e 10.(2021河北张家口三模T9)已知方程表示的曲线是双曲线，其离心率 为 e，则（） A B点（2，0）是该双曲线的一个焦点 C D该双曲线的渐近线方程可能为 x2y0 【答案】AC 【解析】因为方程表示的曲线是双曲线， 所以（m22）（m2+2）3，解得 ； 将化为，故选项 B 错误； 因为 2m3+24，所以 ； 因为双曲线的渐近线斜率的平方，所以选项 D 错误 11.(2021山东聊城三模T8.)已知 A，B，C 是双曲线? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10、 ?上的三点，直 线 AB 经过原点 O，AC 经过右焦点 F，若 ? ? ?t，且t? ? ? ? ? ? ? ? ?，则该双曲线的离心率为（） A. 犘 ? B. 犘 ? C.? ?D. ?犘 ? 【答案】 D 【考点】双曲线的简单性质 【解析】 【解答】设双曲线的左焦点为 ?，连接 ?t? 由题意知? ? ? ? ? ? ?t 四边形 ? 为矩形，令? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t?t? ? ? ? ?，t? ? ? ? ? ? ? ? ? 在 ?t?t 中，? ? ? ? ? ? ? ? ? 将 ? ? ? 带入可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在 ?t? 中，
11、? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? 可得 ? ? ? ? ? ?犘 ? 故答案为：D 【分析】设双曲线的左焦点为 ?，连接 ?t?，根据矩形判定可得四边形 ? 为矩形 令? ? ? ? ? ? ? ? ?，根据双曲线定义和勾股定理结合已知可求得 ? ? ? ? ? ? ? ?，再在 ?t? 中由勾股定理得 ? ? ?进而可得 ? ? ? ? ? ?犘 ? 。 12.(2021四川内江三模理 T11)已知椭圆 C：的右焦点 F，点 P 在椭圆 C 上（x+3）2+（y4）24 上，且圆 E 上的所有点均在椭圆 C 外，若|PQ|PF| 的最小值为 2，且椭圆 C 的长轴长恰与圆 E
12、 的直径长相等，则椭圆 C 的标准方程为 （） A B C D 【答案】C 【解析】由题意可得 2a24，所以 a2，4），设左焦点 F6，则|PF1|2a|PF|，所 以|PQ|PF|PQ|（7a|PF1|）|PQ|+|PF1|6|EF1|r4， 而|EF7|取最小时为 E，Q，P，F1三点共线时，且为：|EF1|r5 6 3，解得 c1，所以 b2a2c2413，所以椭圆的方程为： +1 13.(2021四川内江三模理 T7)已知点 A 为抛物线 C：x24y 上的动点（不含原点），过 点 A 的切线交 x 轴于点 B，设抛物线 C 的焦点为 F（） A一定是直角B一定是锐角 C一定是钝角
13、D上述三种情况都可能 【答案】A 【解析】由 x24y 可得 yx2，yx， 设 A（x0，），则 过 A 的切线方程为 yx0（xx7）， 令 y0，可得 xx0，B（x0，0）， F（5，1）， （x0，），（x0，1）， 6， ABF90 14.(2021重庆名校联盟三模T7)已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点为 F1、F2，虚轴长为 2，若其渐近线上横坐标为 1 的点 P 恰好满足0，则双 曲线的离心率为（） A2BC4D 【答案】A 【解析】由已知可得 2b2，则 b， 不妨设双曲线的一条渐近线方程为 y， 取 x1 可得 P（1，），即 P（1，）， ， 由0，得， 又 c2a
14、2+3，解得 a1，c2，则 e 15.(2021安徽蚌埠三模文 T12)已知圆 C：（x+）2+y2（p0），若抛物线 E： y22px 与圆 C 的交点为 A，B，且 sinABC，则 p（） A6B4C3D2 【答案】D 【解析】设 A（，y0），则 B（，y0）， 由圆 C：（x+）2+y2（p0），得圆心 C（，0），半径 r， 所以 CD+，因为ABCBAC， 所以 sinABCsinBAC，所以 cosBAC， 即，解得 y03，p2 16.(2021上海嘉定三模T14)设抛物线 y28x 的焦点为 F，过点 F 作直线 l 交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的中点 E
15、到 y 轴的距离为 3，则弦 AB 的长为（） A等于 10B大于 10 C小于 10D与 l 的斜率有关 【答案】A 【解析】抛物线方程可知 p4， 由线段 AB 的中点 E 到 y 轴的距离为 3 得， |AB|x1+x2+410 17.(2021贵州毕节三模文 T11)已知点 F 为双曲线的右 焦点，过点 F 的直线 l 与曲线 C 的一条渐近线垂直，垂足为 N，与 C 的另一条渐近线的交 点为 M，若，则双曲线 C 的离心率 e 的值为（） A B C2D 【答案】A 【解析】设 F（c，0），双曲线的渐近线方程为 yx， 设直线 l 与渐近线 yx 垂直，可得直线 l 的方程为 y（
16、xc）， 联立，可得 yN， 联立，可得 yM， 由3，可得 yNyM3yN， 即 yM2yN，可得 ， 可得 2a22b2c2a2+b2，即有 a23b2， 所以 e 18.(2021辽宁朝阳三模T5)明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山 水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆 盘的外轮廓均为椭圆已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 为，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为 e1，e2，e3，则 （） Ae1e3e2Be2e3e1Ce1e2e3De2e1e3 【答案】A 【解析】图（1），（2），（3
17、）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为， 图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为 e1，e2，e3， 所以 e1 e2， e3， 因为，所以 e1e3e2 19.(2021河南济源平顶山许昌三模文 T10)设 F1，F2分别为双曲线1（a0， b0）的左、右焦点，O 为坐标原点，过 F1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于 A， B 两点，且满足，则该双曲线的离心率为（） ABC2D2 【答案】C 【解析】由， 可得BOF1为等腰三角形，且 A 为底边 BF1的中点， 由 F1（c，0）到渐近线 yx 的距离为 db， 由 OABF1，可得|OA|a， 由AOF1AOBBOF260，可得 c
18、os60， 可得 e2 20.(2021河南济源平顶山许昌三模文 T8)设 P，Q 分别为圆（x1）2+y22 和椭圆 上的点，则 P，Q 两点间的最短距离是（） ABCD 【答案】B 【解析】如图， 圆（x1）2+y22 的圆心 C（1，0），半径为， 设 Q（x，y）是椭圆上的点， 则|QC| 5x5，当 x时， P，Q 两点间的最短距离是 21.(2021安徽马鞍山三模理 T9)已知双曲线的左，右焦 点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 C 的渐近线上，且 PF1与 x 轴垂直， 则双曲线的离心率为（） ABC2D 【答案】C 【解析】双曲线的左，右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双
19、 曲线 C 的渐近线上，不妨设 P 在第二象限，则 P（c，），F1 （c，0），F2（c，0）， 因为，所以（0，）（2c，）3c2，b23a2， 所以 c24a2，可得离心率为：e2 22.(2021安徽马鞍山三模文 T11)已知椭圆经过点（3，1），当 该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（） A B C D 【答案】D 【解析】由题意椭圆经过点（3，1），可得：（ab 0），该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长 l4 a2+b2（a2+b2）（）10+10+216，当且仅当 a2 9b2时，即 b，a3取等号 周长 l 的最小值：4416椭圆方程： 23.(2021四川
20、泸州三模理 T7)“m5”是“双曲线 C：1 的虚轴长为 2”的 （） A充分但不必要条件B必要但不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 m5 时，双曲线为1，b1，虚轴长为 2b2，充分性 成立，若双曲线为+1 虚轴长为 2， 当焦点在 x 轴上时，则，m5， 当焦点在 y 轴上时，则，m1，m5 或 m1，必要性不成立， m5 是双曲线+1 虚轴长为 2 的充分不必要条件 24.(2021上海浦东新区三模T15)已知两定点 A（1，0）、B（1，0），动点 P（x，y） 满足 tanPABtanPBA2，则点 P 的轨迹方程是（） Ax21Bx21（y0） C
21、x2+1Dx2+1（y0） 【答案】D 【解析】两定点 A（1，0）、B（1，0），动点 P（x，y）满足 tanPABtanPBA2， 则：2，其中 y0，化简可得，x2+1（y0） 25.(2021湖南三模T4)已知抛物线 C：ymx2（m0）上的点 A（a，2）到其准线的距 离为 4，则 m（） AB8CD4 【答案】C 【解析】抛物线 C：ymx2（m0）开口向上，直线方程为 y， 抛物线 C：ymx2（m0）上的点 A（a，2）到其准线的距离为 4， 可得：+24，解得 m 26.(2021湖南三模T7)P 为双曲线 C：1（a0，b0）上一点，F1，F2分别 为其左、右焦点，O 为
22、坐标原点若|OP|b，且 sinPF2F13sinPF1F2，则 C 的离心 率为（） ABC2D 【答案】B 【解析】由 sinPF2F13sinPF1F2，以及正弦定理可得|PF1|3|PF2|， 因为|PF1|PF2|2a，所以|PF1|3a，|PF2|a， 因为|OF2|c，|OP|b，所以OPF2，所以 cosOF2P， 在F1F2P 中，cosF1F2PcosOF2P 化简可得 ca，所以 C 的离心率 e 27.(2021福建宁德三模T4) 如图， 抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射， 通过聚光获取热量 进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶?旋转抛物
23、 面?的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反 射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就 在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径 AB 为 ? ?，灶深 CD 为 t?，则焦点 到灶底?抛物线的顶点?的距离为? A.3mB.t?C.1mD.t犘? 【答案】B 【解析】由题意建立如图所示的平面直角坐标系：O 与 C 重合，设抛物线的方程为? ? ? ?， 由题意可得 ?t? ?，将 A 点坐标代入抛物线的方程可 得：? ? ? ? t?， 解得 ? ? ?，所以抛物线的 方程为：? ?， 焦点的坐标为? ? ?
24、?，即? ? ?， 所以焦点到灶底?抛物线的顶点?的距离为 ? ? t 故选：?t 建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的方程，由题意可得 A 的坐标，将 A 点的坐标代入 求出参数的值，进而求出所求的结果 本题考查抛物线的性质及建立适当的坐标系的应用，属于基础题 28.(2021江西南昌三模理 T10)如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时， 首先在以月球球心 F 为圆心的圆形轨道上绕月球飞行，然后在 P 点处变轨进以 F 为一个 焦点的椭圆轨道绕月球飞行，最后在 Q 点处变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月球飞 行，设圆形轨道的半径为 R，圆形轨道的半径为 r，则下列结论中正确的序
25、号为（） 轨道的焦距为 Rr； 若 R 不变，r 越大，轨道的短轴长越小； 轨道的长轴长为 R+r； 若 r 不变，R 越大，轨道的离心率越大 ABCD 【答案】C 【解析】由题意可得知，圆形轨道的半径为 R， 设轨道的方程为+1，则 a+cR， 因为圆心轨道的半径为 r，则 acr， 联立，解得 2cRr， 所以轨道的焦距为 2cRr，故正确； 由于 a，c， 故焦距为 2cR+r， 2b22， 所以 R 不变，r 增大，b 增大，轨道的短轴长增大，故不正确； 长轴 2aR+r，故正确； 所以离心率 e1，r 不变，R 越大，e 越大，即轨道的离心率越大，故 正确所以正确， 29.(2021
26、江西上饶三模理 T7 )已知双曲线 C：1 （a0， b0） 的离心率为， 则点 M（3，0）到双曲线 C 的渐近线距离为（） A2BCD2 【答案】C 【解析】双曲线 C：1（a0，b0）的离心率为， 可得 ab，所以双曲线的渐近线方程为：xy0， 点 M（3，0）到双曲线 C 的渐近线距离为： 30.(2021安徽宿州三模理 T10)已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分 别为 F1，F2，圆 x2+y2a2+b2与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为 A，B，四边 形 AF1BF2的周长 p 与面积 S 满足，则该双曲线的离心率为（ ） AB CD 【答案】A 【解析】由题知，|AF
27、1|AF2|2a，四边形 AF1BF2的是平行四边形，|AF1|+|AF2|， 联立解得，|AF1|a+，|AF2|a，又线段 F1F2为圆的直径， 由双曲线的对称性可知四边形 AF1BF2为矩形，S|AF1|AF2|， ，p2S，即 p2（a2），解得 p264a2， 由|AF1|2+|AF2|2|F1F2|2，得 2a2+ 4c2，即 5a22c2，可得 e 31.(2021安徽宿州三模文 T11)已知 F1，F2是双曲线1（a0，b0）的左、 右焦点，焦距为 2c，以原点 O 为圆心，|OF2|为半径的圆与双曲线的左支交于 A，B 两点， 且|AB|c，则该双曲线的离心率为（） AB C
28、D 【答案】D 【解析】如图： 设 AB 与 x 轴交于点 D， 由对称性的 ADOF1，且 ADBD， OD，DF1， AF1c，AF2， AF2AF12a， 32.(2021安徽宿州三模文 T9)抛物线 C：y28x 的焦点为 F，其准线 l 与 x 轴交于点 K， 点 M 在抛物线 C 上，当|MK|MF|时，MFK 的面积为（） A4B4C8D8 【答案】C 【解析】作 MM1l，垂足为 M1，则 MM1MF， 由|MK|MF|得MM1K 为等腰直角三角形， RtMM1KRtMFK， MFFK 且 MFFKp4， MFK 的面积 S 33.(2021河北邯郸二模理 T8)设双曲线 C：
29、的焦距为 2c（c0），左、右焦 点分别是 F1， F2， 点 P 在 C 的右支上， 且 c|PF2|a|PF1|， 则 C 的离心率的取值范围是 （） A（1，）B（，+）C（1，1+D1+，+） 【答案】C 【解析】c|PF2|a|PF1|，P 在双曲线的右支上，可设 P 的横坐标 为 x0（x0a），由双曲线焦半径公式，可得|PF1|a+ex0，|PF2|ex0a， 则，a，即，解得e 又 e1，C 的离心率的取值范围是（1，1+ 34.(2021江西鹰潭二模理 T11)已知 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，P 为椭圆 C 上一动点，PA，PB 与直线 x3 交于 M，N 两点，PMN
30、 与PAB 的外接圆的 周长分别为 L1，L2，则的最小值为（） AB CD 【答案】A 【解析】根据题意可得 A（2，0），B（2，0），设 P（x0，y0），则+y021， 所以 kPAkPB ， 设直线 PA 的方程为 yk（x+2），直线 PB 的方程为 y（x2）， 令 x3 得 yM5k，yN， 不妨设 k0，则 MN5k+， 设PMN 和PAB 外接圆的半径分别为 r1，r2， 由正弦定理得 2r1，2r2， 又MPN+APB180， 所以 35.(2021江西上饶二模理 T11)双曲线 E：的右焦点为 F2，A 和 B 为双曲线上关于原点对称的两点，且 A 在第一象限连结 AF
31、2并延长交双曲线于点 P，连结 BF2、BP，若BF2P 是等边三角形，则双曲线 E 的离心率为（） ABCD 【答案】D 【解析】因为BF2P 是等边三角形，不妨设|BF2|PF2|n， 由双曲线的定义知，|BF2|BF1|2a，|PF1|PF2|2a， 所以|BF1|n2a，|PF1|n+2a， 由双曲线的对称性知，四边形 AF1BF2为平行四边形， 所以|AF2|BF1|n2a，|AF1|BF2|n，F1AF2PF2B60， 所以|AP|AF2|+|PF2|n2a+n2（na）， 在PAF1中，由余弦定理知，+|AP|22|AF1|AP|cosF1AF2， 所以（n+2a）2n2+4（n
32、a）22n2（na），即 n5a， 在AF1F2中， 由余弦定理知，+2|AF1|AF2|cosF1AF2， 所以 4c2n2+ （n2a） 22n （n2a） ， 即 4c2n22na+4a225a210a2+4a219a2， 所以 ca，所以离心率 e 36.(2021河北秦皇岛二模理 T11)已知方程 C：1，nN*，则下列选项 正确的是（） A当 n1 时，|x|+|y|的最小值为 B当 n1 时，方程 C 所表示的曲线围成封闭图形的面积为 S，则 S2 C当 n3 时，|x|y|的最小值为 D当 n3 时，方程 C 所表示的曲线围成封闭图形的面积为 S，则 2S 【答案】ABD 【解
33、析】当 n1 时，由原方程可得， 则|x|+|y|，当且仅当|x|y|时等号成立，故 A 正确； 对于 B，由方程 C 所表示的曲线关于原点与坐标轴对称，因此只需考虑 0 x1 且 0y 1 的部分即可，此时原方程为，而 y， 曲线位于直线 y1x 的下方， 它与坐标轴围成的封闭曲线的面积小于， 则方程 C 表示的曲线的面积 S， 故 B 正确；当 n3 时， |x|y|，故 C 错误；对于 D，由方程 C 所表示的曲线关于 原点与坐标轴对称，因此只需考虑 0 x1 且 0y1 的部分即可， 此时，即， 而1x， 曲线（0 x1，0y1）位于直线 y1x 的上方，圆 x2+y21（0 x1，0
34、y1）的下方，它与坐标轴围成的封闭曲线的面积大于小于， 当 n3 时，方程 C 所表示的曲线围成封闭图形的面积为 S，则 2S，故 D 正确 37.(2021河北秦皇岛二模理 T8)椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1， F2， 过点F1的直线l交椭圆C于A， B两点， 已知， 则椭圆 C 的离心率为（） AB CD 【答案】A 【解析】设|F1F2|2c， 因为（）（）0， 所以|AF2|F1F2|2c，所以|AF1|2a2c， 因为，所以|BF（ac），所以|BF2|， 设 AF1的中点为 H，则 F2HAB，|AH|ac，|BH| ， |F2A|，即 4c， 整理可得 7c21
35、2ac+5a20，即 7e212e+50， 解得 e或 1（舍去），所以离心率为 38.(2021浙江杭州二模理 T7)已知 F1，F2是双曲线 C：的 两个焦点，以线段 F1F2为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线上，则双曲线 C 的离心率为（） A4+2B1CD 【答案】D 【解析】依题意可知双曲线的焦点为 F1（c，0），F2（c，0） F1F22c，三角形高是cM（0，c） 所以中点 N（，c），代入双曲线方程得：1， 整理得：b2c23a2c24a2b2 b2c2a2所以 c4a2c23a2c24a2c24a4 整理得 e48e2+40求得 e242 e1，e+1
36、39.(2021北京门头沟二模理 T9) 已知抛物线 C：y? ?px?p ? ?的焦点为 F，过 F 且斜率 为 ?的直线与抛物线 C 上相交于 P，Q 两点，且 P，Q 两点在准线上的投影分别为 M，N 两 点，则? ? 的面积为? A. ? ? ?B. ? ? ? ?C. ? ? ? ?D. ? ? ? ? 【答案】D 【解析】抛物线 C：? ? ? ?的焦点坐标为 ? ? ? ?，由题意可得直线 PQ：? ? ? ? ?， 联立 ? ? ? ? ? ? ? ?， 得： ? ? ? ? ? ， 解得：? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ?， 则 ? ? ? ? ? ? ? ?
37、 ? ? ?， 在? ? 中，MN 边上的高 ? ? ?， 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t故选：?t 求出直线 PQ 的方程，与抛物线? ? 联立，求出 P，Q 的坐标，得到 MN，然后求解 三角形的面积本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，是中档题 40.(2021江西九江二模理 T12)已知双曲线1（a，b0）的左、右焦点分 别为 F1，F2，过点 F1且倾斜角为的直线 1 与双曲线的左、右支分别交于点 A，B，且 |AF2|BF2|，则该双曲线的离心率为（） ABC2D2 【答案】A 【解析】过 F2作 F2NAB 于点 N，设|AF2|BF2|m，因
38、为直线 l 的倾斜角为， 所以在直角三角形 F1F2N 中，|NF2|c，|NF1|c，由双曲线的定义可得|BF1|BF2| 2a，所以|BF1|2a+m，同理可得|AF1|m2a，所以|AB|BF1|AF1|4a， 即|AN|2a，所以|AF1|c2a，因此 mc， 在直角三角形 ANF2中，|AF2|2|NF2|2+|AN|2， 所以（c）24a2+c2，所以 ca， 则 e 41.(2021江西九江二模理 T8)已知抛物线 E：y22px（p0），斜率为 1 的直线 l 过抛 物线 E 的焦点，若抛物线 E 上有且只有三点到直线 l 的距离为，则 p（） A4B2C1D 【答案】B 【解
39、析】设 l：yx，设 l1：yx+m 与抛物线 E 相切， 由，可得 x2+2（mp）x+m20， 4（mp）24m20，解得 p2m，且 m0， 平行线 l1与 l 的距离为：d，所以 p2 42.(2021山东潍坊二模T11)已知双曲线 C：x21，其左、右焦点分别为 F1，F2， 过点 F2作一直线与双曲线 C 的右支交于点 P，Q，且 0，则下列结论正确的是 （） APF1Q 的周长为 4 BPF1F2的面积为 3 C|PF1|+1 DPF1Q 的内切圆半径为1 【答案】BCD 【解析】如图， 由双曲线方程 x21，得 a21，b23， 可得，则|F1F2|4， 由双曲线定义可得：|P
40、F1|PF2|QF1|QF2|2， 0，F1PQ90，则16， |PF1|+|PF2| 从而 RtF1PQ 的内切圆半径：r 故PF1Q 的内切圆半径为 ，故 D 正确； 联立，解得|PF1|+1，|PF2|1，故 C 正确； ，故 B 正确； 由|PF1|PF2|QF1|QF2|2， ， 且|PF1|+1，|PF2| 1，解得：， PF1Q 的周长为，故 A 错误 43.(2021辽宁朝阳二模T8)已知双曲线 C：1（a0，b0）的一个焦点为 F， 点 A，B 是 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左 支于 M，N 两点，若|MN|2，ABF 的面
41、积为 8，则 C 的渐近线方程为（） AyByCy2x Dy 【答案】B 【解析】设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的对称性，可得四边形 AFBF是矩形， SABFSABF，即 bc8， 由，可得 y， 则|MN|2，即 b2c，b2，c4，a2， C 的渐近线方程为 yx 44.(2021辽宁朝阳二模T3)过抛物线 C：y24x 的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A（x1， y1）、B（x2，y2）两点，且 x1+x2，则弦 AB 的长为（） AB4CD 【答案】C 【解析】由题意知，p2，由抛物线的定义知，|AB|x1+x2+p+2 45.(2021广东潮州二模T5)已知双曲线1（a0
42、，b0）的一条渐近线平行 于直线 l：x+2y+50，则双曲线的离心率为（） A2BCD 【答案】D 【解析】双曲线1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线 l：x+2y+50， 可得，所以 e 46.(2021天津南开二模T7)已知双曲线 C：的离心率为 2，左、右焦 点分别为 F1，F2点 A 在双曲线 C 上，若AF1F2的周长为 10，则AF1F2的面积为（） AB C15D30 【答案】A 【解析】双曲线 C：的离心率为 2，解得 a1， 因为点 A 在双曲线 C 上，不妨设 A 在第一象限5F2的周长为 10，|F1F3|+|AF1|+|AF2|10， |AF7|AF2|2，所以三角
43、形的边长为|F7F2|4，|AF8|4，|AF2|4， 所以三角形的面积为： 47.(2021吉林长春一模文 T10.)已知抛物线 2 20ypx p，过其焦点F的直线l与抛 物线分别交于A、B两点(点A在第一象限)，且4,ABFB 则直线l的倾斜角为 A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 3 【答案】C 【解析】如图,过 A,B 作 AA,BB垂直准线 2 p x ,垂足为 A,B，过 B 作 AA垂线,垂足为 C, 由 抛 物 线 定 义 知| |,|,3| | |BFBBAAAFFBFA 2|,|FBAC所 以 1 cos 2 BAC, 3 BAC ,所以直线l倾斜角为 3 ,故选 C
44、. 48.(2021吉林长春一模文 T4.)已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的渐近线方程为 2 ,yx 则其离心率为 A.3B.5C. 5 2 D. 2 3 3 【答案】B 【解析】由渐近线方程可知 2 222 22 2,15. bccabb e aaaaa 故选 B. 49.(2021新疆乌鲁木齐二模文 T11 )已知双曲线1 的右焦点为 F， 点 M 在双曲 线上且在第一象限，若线段 MF 的中点在以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线 MF 的斜率是（） ABCD 【答案】A 【解析】如图所示，设线段 MF 的中点为 H，连接 OH， 设双曲线的右焦点为 F
45、，连接 MF双曲线的左焦点为 F，连接 MF，则 OHMF 又|OH|OF|c3，|FH|MF|（2a2c）ac1 设HFO，在OHF 中，tan，直线 MF 的斜率是 50.(2021新疆乌鲁木齐二模文 T7)已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，B1，B2是椭圆短轴 的两个端点，若四边形 F1B1F2B2的面积是 8，则椭圆长轴长的最小值为（） A2B4C4D8 【答案】C 【解析】不妨设椭圆方程，F1，F2是椭圆的两个焦点（c，0），B1，B2是 椭圆短轴的两个端点，若四边形 F1B1F2B2的面积是 8，因为 a2b2+c22bc，所以 8 2bca2，所以 a2，当且仅当 bc 时取等号
46、，所以椭圆长轴长的最 小值为 4 51.(2021安徽淮北二模文 T10)如图，F1，F2是双曲线1（a0，b0）的左、 右焦点，A，B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足|AB|2|OF1|，ABF1，则 双曲线的离心率为（） ABCD 【答案】A 【解析】 F1、 F2是双曲线1 （a0， b0） 的左、 右焦点， 在 RtABF1中， |OF1| c，|AB|2c，在直角三角形 ABF1中，ABF1，可得|AF1|2csin，|BF1|2ccos， 连接 AF2，BF2，可得四边形 AF2BF1为矩形， |BF2|AF2|AF1|AF2|2c|cossin|2a， e， ，cos（+）
47、cos，e 52.(2021宁夏银川二模文 T9)已知抛物线 y28x 的焦点为 F，经过点 P（1，1）的直线 l 与该曲线交于 A，B 两点，且点 P 恰为 AB 的中点，则|AF|+|BF|（） A4B6C8D12 【答案】B 【解析】抛物线 y28x 的焦点为 F（2，0），准线方程为 x2，过 A、B、P 作准线的 垂线段，垂足分别为 M、N、R，点 P 恰为 AB 的中点，故|PR|是直角梯形 AMNB 的中位 线，故|AM|+|BN|2|PR|由抛物线的定义可得|AF|+|BF|AM|+|BN|2|PR|2|1（2） |6 53.(2021山西调研二模文 T11)已知 F 为双曲
48、线 C：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的右焦点，以 点 F 为圆心，1 为半径的圆与 C 的渐近线相切于点 ? ? ? ? ?t?，则 C 的离心率为? A. ? ? B. ? ? C.2D.3 【答案】A 【解析】由题意，?，不妨设双曲线的渐近线方程为 ? ? ? ? ?， 则 F 到 ? ? ? ? ? 的距离为 ? ? ? ? ? ? ? ? ， 直线 FP 所在直线方程为 ? ? ? ? ? ?， 联立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，得 ? ?，则 ? ? ? ? ? ?t ? ?
49、? ? ? ? ? ? t故选：?t 由 F 到一条渐近线的距离等于 1 求得 b，写出 FP 所在直线方程，与已知渐近线方程联立求 得 P 点横坐标，由横坐标的值为 ? ? ? 求得 c，则 a 可求，离心率可求 本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题 54.(2021山西调研二模文 T5.)若椭圆? ? ? ? ? ? ? 与双曲线? ? ? ? ? 有相同的焦点， 则实 数 m 的值为? A.3B.6C.12D.15 【答案】C 【解析】解：双曲线? ? ? ? ? 的焦点坐标? ? ?， 椭圆? ? ? ? ? ? ? 与双曲线? ? ? ? ? 有相同的焦点， 所以?
50、? ? ? ?，? ? ?t 故选：tt 求出双曲线的焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，然后求解 m 即可 本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题 55.(2021河南郑州二模文 T9)已知双曲线1（a0，b0）的两个焦点分 别为 F1（c，0），F2（c，0）（c0），过点 P（，0）的直线与双曲线的左、右 两支分别交于 A，B 两点，且3，则双曲线的离心率为（） ABCD 【答案】A 【解析】由3可知，F1AF2B，所以AF1PBF2P，且， 即，化简可得，即 e22，所以 e（负值舍去） 二、填空题部分 56.(2021新高考全国卷T14) 已知O为坐标原点
