1、调和点列： 一道 年北京高考题的背景分析及应用 曾 建 国 （ 江西省赣州市赣南师范大学数学与计算机科学学院， ） 近年来， 命题者开始挖掘高等几何中的一些素 材来命制高考圆锥曲线试题 ， 此类试题也逐渐引 起老师们的关注， 其中被关注得较多的是具有极线 背景的圆锥曲线试题， 人们热衷于揭示其背景、 研究 其变式 事实上， 高等几何中可用来命题的素 材还有很多， 调和点列就是可供挖掘的素材之一本 文通过分析一道 年北京高考卷圆锥曲线试题， 揭示其调和点列的背景， 并举例说明其应用 有关概念和性质 定义 对于线段 的内分点与外分 点， 若 ， 则称、调和分割线段 （ 或 线段 被、调和分割） ，
2、 或称点列、 为调和点列 根据定义易知， 若线段 被、调和分 割， 则线段 也被、 调和分割 调和点列与圆锥曲线的极线概念密切相关事 实上， 根据高等几何知识我们有： 定义 设两点 、的连线与圆锥曲线 相交于、 ， 若线段 被、调和分割， 则称、 是关于圆锥曲线的一对调和共轭点 定义 一点 关于圆锥曲线的所有调和 共轭点的轨迹为一条直线， 称为点（ 关于） 的极线， 点称为直线（ 关于） 的极点（ 简称为 极） 特别地， 圆锥曲线焦点的极线就是与之对应的 准线当在外时， 其极线是从点所引曲线 的两条切线的切点所确定的直线（ 即切点弦所在 直线） 如图， 过一点作圆锥曲线的割线分别与 曲线及点的
3、极线交于点、 及， 则根据上述 定义易知， 、为调和点列 定义 如图 ， 若、为调和点 图 列， 过此点列所在直线 外 任 一 点作 射 线 、 、 、， 则称 这四 条 射 线 为 调 和 线 束反过来， 任一直线与 调和线束相交所截的四 个点构成调和点列 图图 调和点列有一个特殊性质（ 参见图） ： 性质 如果 、 、 、为调和线 束， 且平行于 ， 则 必平分线段 北京试题剖析 试题（ 年北京卷理科 题）已知抛物线 ： 过点（ ，）过点（， ） 作直线与 抛物线交于不同的两点， 过点作轴的 垂线分别与直线 ， 交于点， 其中为原 点 （）求抛物线的方程， 并求其焦点坐标和准 线方程； （
4、）求证： 为线段的中点 此题似乎并未引起人们的研究兴趣这大概是 因为： 一方面试题难度不大（ 问题（） 只需验证 为线段的中点， 涉及的都是很普通的计算） ； 另 一方面， 调和点列和极线在试题中都比较隐蔽， 不易 被发现事实上， 第（） 题的结论正体现了前文的性 质 课外园地 数学通讯 年第 期（ 下半月） 分析与证： （） 易求得抛物线的方程为 图 （） 如图， 容易验 证： 抛物线上点（ ，） 处 的切线恰过点（ ， ） 又过点的另一条切线 为轴、 切点为， 根据前 文有关定义知： 是 点的极线， 设直线交 于， 则， ，是调 和点列由定义知， 射 线 ， ，为 调 和 线 束， 注 意
5、 到 ， 根据性质就知：为线段的中点 应用举例 如果去掉抛物线、 切线等“ 包装” ， 上面试题（） 的结论实质上就是： 图 命题 如图， 若，是调和 点列， 是直线外 一点， 过作直线 ， 设 ，分别 交于， 则 为线段的中点 依据 命 题来 编 制试题时， 我们只需变 换不同的圆锥曲线为载体（ 以下仅以椭圆为例） ， 另 外还可以在调和点列的构造方法上变换花样 例 若， 分别是椭圆 （ ） 的短轴（ 长轴） 的两个端点，为椭圆上的任意一 点（ 不与， 重合） ， 直线 ， 交长轴（ 短轴） 所 在直线于， 则椭圆在点处的切线平分线段 注； 图中， 设切线 交轴于， 点的极 线（ 平行于轴）
6、 交轴于， 则， 是 调和点列， 依据命题知结论成立 例 设椭圆 （ ） 上点 处的切线和长轴所在直线的交点为， 长轴的两端 点分别为， ， 过作长轴的垂线和直线 ， 图图 分别交于， ， 则 例中的调和点列 是， 而 按照上述思路， 还可以编出许多问题（ 如文 ） ， 这里就不再赘述了 参考文献： 曾建国圆锥曲线高考命题热点的变迁中学数学 研究， （） ： 邵琼极点与极线背景下高考圆锥曲线试题研究 中小学数学（ 高中版） ， （） ： 王文彬极点、 极线与圆锥曲线试题的命制数学通 讯（ 下半月刊） ， （） ： 王雅琪高观点下的北京高考解析几何试题数学 通报， （ ） ： 朱德祥高等几何北京： 高等教育出版社， 沈毅与调和点列有关的平面几何问题中等数学， （） ： 郑春筱调和点列的一个特殊性质及应用数学通 讯（ 上半月） ， （） ： 楼可飞调和点列在高考试题中的应用中学数学 （ 高中版） ， （） ： 徐文春关于有心圆锥曲线切线的一组性质数学 通讯（ 下半月） ， （ ） ； （ 日） 部贞市郎编， 高清仁、 舒玉兴等译几何学辞 典 问题解法上海教育出版社， ： 曾建国有心圆锥曲线切线的一个性质的推广数 学通讯（ 下半月） ， （） ； 曾建国有心圆锥曲线切线的一个性质再推广数 学通讯（ 下半月） ， （ ） ； （ 收稿日期： ） 数学通讯 年第 期（ 下半月） 课外园地
