1、高考数学培优专题库教师版 第三十一讲第三十一讲 以数列为背景的取值范围问题专题以数列为背景的取值范围问题专题 一、选择题一、选择题 1 已知数列已知数列 ?为等差数列为等差数列， ? ?， ? th， 数列数列 h ? 的前的前 ? 项和为项和为?， 若对一切若对一切 ? ? ?， 恒有恒有?t? ? ? h?，则 ，则 ? 能取到的最大整数是（能取到的最大整数是（） A6 6B7 7C8 8D9 9 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 设数列an的公差为 d，由题意得， ?h? t? ? ? ?h? h? ? th ，解得 ?h? h ? ? h ， an=n，且 h ? ? h ?， S
2、n=1+h t ? h ? ? ? ? h ?， 令 Tn=S2nSn= h ?h ? h ?t ? ? ? h t?， 则?h? h ?t ? h ? ? ? ? h t?t， 即?h? ? h t?t ? h t?h ? h ?h h t?t ? h t?t ? h ?h=0 Tn+1Tn， 则 Tn随着 n 的增大而增大，即 Tn在 n=1 处取最小值， T1=S2S1=h t， 对一切 nN*，恒有?t? ? ? h?成立， h t ? h?即可，解得 m8， 故 m 能取到的最大正整数是 7 故选：B 2 已知等差数列已知等差数列?的前的前 ? 项和为项和为?， ? ? ?， ? ?
3、 ?， 则使则使?取得最大值时取得最大值时 ? 的值为的值为( () ) A5 5B6 6C7 7D8 8 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 由题意，等差数列?的前 ? 项和为?，? ? ?，? ? ?， 根据等差数列的性质和等差数列的前 n 项和公式， 可得? ? t? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? h， 则 ? ? ? ? h，可求得数列的通项公式为? h? t?， 令? ?，即 h? t? ? ?，解得 ? ? h? t ，又由 ? ? ?， 可得等差数列?中，当 h ? ? 晦 ? ? ?时，? ?，当 ? ? ? ? ?时，?晦 ?， 所以使?取得最大值时
4、? 的值为 8，故选 D. 3等差数列等差数列aan 中，中，?h?晦 ?，?h?h? ?, ,且且 ?h?晦 ?h?h，?为其前为其前 n n 项之和，则使项之和，则使?晦 ? 的最大的最大 正整数正整数 ? 是（是（） A198B199C200D201 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 由题意可得：? ?h?晦 ?h?h，则?h? ?h?h? ?， 结合等差数列前 n 项和公式和等差数列的性质可知： ?t? ?h?t?t? t ? ?h?h?h?t? t ? ?， 而?h? ?h?h?t? t ? t?h?晦 ?， 据此可得使?晦 ? 的最大正整数 ? 是 199. 本题选择 B 选项
5、. 4已知数列已知数列aan n 中，中，a an nn n 2 2 kn(nkn(nN N * *) )，且 ，且aan n 单调递增，则单调递增，则 k k 的取值范围是的取值范围是( () ) A( (，22B( (，2)2)C( (，33D( (，3)3) 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 数列an中? ?t? ? ? ?，且an单调递增 an+1an0 对于 nN*恒成立即（n+1）2k（n+1）（n2kn）=2n+1k0 对于 nN*恒成立 k2n+1 对于 nN*恒成立，即 k3 故选：D 5巳知集合巳知集合 P=? ? t? ? ?，Q=? ? t? h? ? ?，将将 P
6、Q 的所有元素从小到大依次排列的所有元素从小到大依次排列 构成一个数列构成一个数列?，记，记?为数列为数列?的前的前 n 项和，则使得项和，则使得?1000 成立的成立的 ? 的最大值为的最大值为 A9B32C35D61 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 数列an的前 n 项依次为：1，2，3，22，5，7，23， 高考数学培优专题库教师版 利用列举法可得：当 n=35 时，PQ 中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列an， 所以数列an的前 35 项分别 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25， ，69，2，4，8，16，32，64 Sn=29+t?t?h
7、? t ? t +t?t ?h） t-h =29 t+t?-t=9671000 所以 n 的最大值 35. 故选：C 6数列数列?满足满足t? t?h?h? h，且 ，且?h? h，若，若?晦 h ?，则 ，则 ? 的最小值为的最小值为( () ) A3 3B4 4C5 5D6 6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 t? t?h?h? h，即t?h?h? t? h， 数列2nan为公差是 1 的等差数列， 又 a1=1， 21a1=2，即其首项为 2， 2nan=2+（n1）1=n+1， an=?h t? a1=1，a2=? ?，a3= h t，a4= ? h? h ?，a5= ? ?t=
8、 ? h? ? h?= h ?， 若? h ?，则 n 的最小值为 5， 故选：C 7 对于数列对于数列 ?， 若任意若任意 ? ? ? ? ? ? ?， 都有都有? ? ? ? （? 为常数为常数） 成立成立， 则称数列则称数列 ? 具有性质具有性质 P（t） ，若数列若数列 ?的通项公式为的通项公式为? ?，且具有性质且具有性质 P（t） ，则则 t 的最大值为的最大值为 A6B3C2D1 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 由题意可得：? ? ? ? 对任意的 ? ? ? 恒成立， ? ?，且具有性质 P（t） ，则 ? ? ? ? 恒成立，即 ? ? ? ? ? ? 恒成立， 据此可
9、知数列 ? ? 是递增数列或常数列， 据此可得：?h? ? ? ? h ? ? ?，整理可得：? ? t ? ?恒成立， 由于 ? ? ?，故 t ? ? min? t ? ?h? ?， 故 ? ? ?，t 的最大值为 6. 本题选择 A 选项. 8 在 数 列在 数 列 ? 中 ，中 ， ?h? ? ， ? ?h? ? ? t? t? ? ? ? ? ? t? ， 若 数 列， 若 数 列 ? 满 足满 足 ? ? ?h? h? ? hh? ?，则数列 ，则数列?的最大项为的最大项为? A第第 ? ? 项项B第第 ? ? 项项C第第 ? ? 项项D第第 ? ? 项项 【答案】【答案】B 【解
10、析】【解析】 数列?中，?h? ?，? ?h? ? ? t? t?， 得到：? ?h? t? h， ?h? ?t? t? h? ?h， ?， ?t? ?h? t ? t ? h， 上边? h?个式子相加得： ? ?h? t?t? ? ? ? ? ? ? h?， 解得：? ?t? h 当 ? ? h 时，首项符合通项 故：? ?t? h 数列?满足? ? ?h? h? ? hh? ?， 则? ? h? ? hh? ?h， 由于 ? ?h ? ?h ， 故： ?t? ? ? ? ? hh? ?h ? ?t? ? ? ? ? hh? ?t ?t? ? ? ? ? hh? ?h ? ?t? ? t?
11、? ? ? hh? ? ， 解得：h? ? ? ? ? h? ? ， 由于 ? 是正整数， 故 ? ? ?故选 B 高考数学培优专题库教师版 9已知数列已知数列?的前的前 ? 项和为项和为?，且满足，且满足?h? h? ?ht? ? ? h，若不等式，若不等式 ?t? ? ? ? 晦 ? ?t? ?对任意的正整数对任意的正整数 ? 恒成立，则整数恒成立，则整数 ? 的最大值为（的最大值为（） A3 3B4 4C5 5D6 6 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 由题意，数列满足?ht? ? ? h，则当 ? ? t 时，?t? ?h? ? h? ? h， 两式相减可得?ht? ?t? ? ?
12、h? ? ? ? ? ?， 所以?ht? ?t? ? ? ? ? t?t，又由? ?，所以?h? ? t， 即?h? ? t，所以数列 ?表示首项?h? h，公差为 2 的等差数列，所以? t? h， 又由 ?t? ? ? ? 晦 ? ?t? ?，即 ?t? ? ? ? 晦 ? ?t? ?t? h?， 即?t? ?t? h? 晦 ? ?t? ?t? h?，即?t? ? 晦 ? ?t?对任意的正整数恒成立， 即 ? ? ? ? t? t? 对任意的正整数恒成立， 设? t? t? ，则?h? ? t?h t?h ? t? t? ? ?t? t?h ， 所以?h? ?t晦 ?晦 ?晦 ? 晦 ?，
13、当 ? ? t 时，?求得最大值，此时最大值为h ?， 所以 ? ? ? ? h ?，即 ? 晦 ? ? h ? ? h? ? ，所以 ? 的最大整数为 4，故选 B. 10（题文题文） 已知各项均为正数的递增数列已知各项均为正数的递增数列 ?的前的前 ? 项和为项和为?满足满足 t ? ? h， ? ? ? ? ? ?， 若若?h?t?成等差数列，则成等差数列，则 ? ?的最大值为 的最大值为 At ? B? ? C? ? D? ? 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 由题 t ? ? h，则 ? ? h?t?h? ?h? h?t，作差得?h? ? t， t ?h? ?h? h ? ?h?
14、 h， ? t? h， 由?h?t?成等差数列， 可得? t?t? ?h， t?h t?h? ? ? ? ? h h? 分离 ? 化简得 ? ? ? ? ? ?h，故? ? ?t?，? ? ? ?max? ? ?，选 D. 11已知数列已知数列 ?的首项的首项?h? h，且满足且满足?h? ? ? h t ? ? ?， ，如果存在正整数如果存在正整数 ?，使得使得 ? ?h? ? 晦 ? 成立，则实数成立，则实数?的取值范围是的取值范围是 A? h t ?t?B? t ?h? C? h t?h? D? t ? ? ? ? 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 由题意 ? ? t 时， ? ?h
15、? ?t? ?h? ? ? ?t? ? ? ? ? ?h? ? h ? ? ? h t ? ? ? ? h t ?t? ? ? ? ? h t ?h ? t ? ?h? ? ? h t ?， 由? ?h? ? 晦 ?，即? ? ? ? ?h? 晦 ?， ?t晦 ? 晦 ?t?h且?t晦 ? 晦 ?t?h， ? ? ?， ?t? t ? ?h? ? ? h t ?t? ? t ? ?h ? h tt ?，其中最小项为?t? t ? ?h? ? ? ? ? h t， ?t?h? t ? ?h? ? ? h t ?t?h? ? t ? ?h? h tt?h ?，其中最大项为?h? h， 因此h t
16、晦 ? 晦 h 故选 C 二、填空题二、填空题 12已知数列已知数列?为正项的递增等比数列为正项的递增等比数列，?h? ? ?t， ，?t? ? ?h，记数列记数列? t ? ?的前的前 ? 项和为项和为?， 则使不等式则使不等式 t?h? h ? ? h? ? h 成立的正整数成立的正整数 ? 的最大值为的最大值为_. . 【答案】【答案】6 【解析】【解析】 数列?为正项的递增等比数列，?h? ? ?t，ata?h?aha?， 即 ?h? ? ?t ?h? ? ?h 解得 ?h? h ? ?h ，则公比 ? ? ?，? ?h， 则? t h ? t ? ? t ?t ? ? ? t ?h
17、? t ? h? h ? h?h ? ? ?h? h ? ?， t?h? h ? ? h? ? h，即 t?h? ? h ? ? h，得?晦 t?h?，此时正整数 ? 的最大值为 6. 故答案为 6. 13已知数列已知数列 ?的通项公式为的通项公式为? ?t? ?，请写出一个能说明请写出一个能说明“若若 ?为递增数列为递增数列，则则 ? h”是是 假命题的假命题的 的值的值_ 【答案】【答案】?h?内任意一个数均可 【解析】【解析】 由题意，数列 ?的通项公式为? ?t? ?，若 ?为递增数列， 则?h? ? ? h?t? ? h? ? ?t? ? ? t? h ? ? ? ? ?恒成立， 高
18、考数学培优专题库教师版 即 晦 t? h? ? ?恒成立，所以实数 晦 ?， 所以“若 ?为递增数列，则 ? h”是假命题的 的值可取?h?. 14 已已知知n nN N * *, ,? ? t?， ， ? t? h， ? max?h? ?h?t? ?t? ? ? ?， ， 其其中中 max?h?t? ? ? 表示表示?h?t? ? ?这这 ? 个数中最大的数数列个数中最大的数数列?的前的前n n项和为项和为?，若，若 ? ? ? 对任意的对任意的n nN N * *恒成立 恒成立， 则实数则实数?的最大值是的最大值是_ 【答案】【答案】? ? 【解析】【解析】 设? ? ? ? t? h ?
19、 ?t? ?h? ? t? h ? ? ? h t?h? t? h ? ?t? t ? t? ?， 即?h? ?t? ? ? ? ? ? ? ?h? ?h? ?h? ? h ? t? ? ?h?h?t? ? t ? ?t 即t? ?t? ?，? ? t? ?t 由 y ? ?t与 y ? t?图象可知：在第一象限 n 取正整数时，仅有 n=3 时，t?t 即t ? ?t ? ? ? ? ? ? ?，即实数?的最大值是 ? ? 故答案为：? ? 15若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为 ?，则实数，则实数 ? 的取值
20、范围是的取值范围是 _ 【答案】【答案】 t? ? ? 【解析】【解析】 钝角三角形内角?的度数成等差数列，则? ? +? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t? ? ， 可设三个角分别为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t cos?h t? ? t cos?h t? ? ?tan? ?tan? ，又? ? 晦 ? 晦 ? ? ? ? ? ? 晦 tan? 晦?，令? ? tan?，且 ? ? 晦 ? 晦?，则? ? ? ? ，在? ? ? ，?上是增函数，? ? ? t，故 答案为?t? ? ?. 16 已
21、知数列已知数列 ?的前的前 ? 项和为项和为?， 对任意对任意 ? ? ?， ， ? ? h ? ? h t? ? ? ? ?， 且且 ? ? ?h? ? ?晦 ? 恒成立，则实数恒成立，则实数 ? 的取值范围是的取值范围是_ 【答案】【答案】 ? ? ? ? hh ? 【解析】【解析】 由? ? h ? ? h t? ? ? ? ?,令 ? ? h,得?h? ? ?； 当 n2 时,? ? ?h? ? h ? ? h t? ? ? ? ? ? ? ? h ?h?h ? h t?h ? ? ? h ? ? ? ? h ? ? ? h ?h ? h t? ? h， 若 n 为偶数,则?h? h
22、t? ? h,? h t?h ? h(n 为正奇数)； 若 n 为奇数,则?h? t? h t? ? h ? t? h t?h ? h? ? h t? ? h ? ? ? h t?h ? ? ? h t?(n 为正偶数). 函数? h t?h ? h (n 为正奇数)为减函数,最大值为?h? ? ?， 函数? ? ? h t? (n 为正偶数)为增函数,最小值为?t? hh ? ， 若 ? ? ?h? ? ?晦 ? 恒成立， 则?h晦 ? 晦 ?t,即? ? ? 晦 ? 晦 hh ? . 故答案为： ? ? ? ? hh ? . 17已知首项为已知首项为 2 的正项数列的正项数列?的前的前 n
23、 项和为项和为?，且当 ，且当 ? ? t 时，时，t? ? t ? t?h?若若 ? t?h ? ? 恒恒 成立，则实数成立，则实数 m 的取值范围为的取值范围为_ 【答案】【答案】? ? ? ? ? ? 【解析】【解析】 首项为 2 的正项数列?的前 n 项和为?，且当 ? ? t 时，t? ? t ? t?h 可得 t?h? ?t? ? ?t t ? t?h，由?h? t，解得?t? ?， 又 t?h? ?t? ? ? ? t ? t?h? ?t?，由?h? ?t? ?，可得? ?， 当 ? ? ? 时，t?h? ?h t ? t?t， 又 t? ? t ? t?h， 两式相减可得 t?
24、 ? t ? ?h t ? t?h， 即有 t? ?h? ? ? ?h? ?h?，由? ?h? ?. 可得? ?h? t? ? ?，又?t? ?h? ? ? t ? t. 正项数列?为首项为 2，公差为 2 的等差数列， 可得? t ? t? h? ? t?； 高考数学培优专题库教师版 ? h t ?t? t? ? ? h?， 设? ? t?h ? ?h? t?h ， ?h ? ? ?h?t? t?t ? t?h ?h? ? ?t t? ， 可得?h晦 ?t? ? ? ? ? ?， 即有?t? ? ? ?，为最大项 若 ? t?h ? ? 恒成立， 可得 ? ? ? ?， 故答案为：? ? ?
25、 ? ? ? 18在等比数列在等比数列?中中，已知已知?h? ? ? ?t? ? ? ?，若若?h? ? ? ?，则则? ?的最小值是的最小值是 _ 【答案】【答案】12 【解析】【解析】 在等比数列?an?中， ? ?ah? a? ? ?at? a? ? ?， ? ah?h? q? ? ah?q ? qt? ? ?， 化为：ah?q ? h? ? ? qt?h 若 q ? h，则a? a? ah?q ? h?q? ?q? qt?h ? ?q?h? qt?h ? ?qt? h ? h qt?h ? t? ? ?t ?qt? h? ? h qt?h ? t? ? ht，当且仅当 q ?t时取等号
26、 若 ? 晦 q 晦 h，则a? a? ?，与an?h? an?n ? N?矛盾，不合题意 综上可得，? ?的最小值是 ht，故答案为 12 19已知数列已知数列?，令令? h ? ?h? t?t? ? ? t?h? ? ?，则称则称?为为?的的“伴随数列伴随数列”，若，若 数列数列?的的“伴随数列伴随数列”?的通项公式为的通项公式为? t?h? ? ?+?，记数列记数列? ?的前的前 ? 项和为项和为?，若若? ?对任意的正整数对任意的正整数 ? 恒成立恒成立，则实数则实数 取值范围为取值范围为_ 【答案】【答案】? ht ? ? ? t ? 【解析】【解析】 由题意得?h? t?t? ?
27、? t?h? ? ? t?h,所以?h? t?t? ? ? t?t?h? ? ? h ? t? ? t?, 相减 得t?h? ? ? t?h- ? ? h ? t?，所以? t? t,? ? h 也满足. 因此数列? ?的前 ? 项和为? ? h t ? ? t? t ? ? ? h t ? ? t? ? , ? t ? 晦 ? ? t ? ? t?t? ? ? t ? ht ? ? ? ? t ? 20数列数列 ?是首项是首项?h? ?，公差为，公差为 ? 的等差数列，其前的等差数列，其前 ? 和为和为?，存在非零实数，存在非零实数 ?，对任意，对任意 ? ? ? 有有? ? ? h? ?
28、?恒成立，则恒成立，则 ? 的值为的值为_ 【答案】【答案】h 或h t 【解析】【解析】 当 ? ? h 时，? ? ? h? ? ?恒成立，当 ? ? t 时： 当数列的公差 ? ? ? 时，? ? ? h? ? ?即 ?h? ?h? ? ? h ? ? ?h， 据此可得 ? ? h ?h? ? ? h ? ? ? ?h，则 ? ? h， 当数列的公差 ? ? ? 时，由题意有：? ? ? h? ? ?，?h? ?h? ? ? t ? ? ?h， 两式作差可得：? ? ?h? ? ? h ? ? ? t ?h， 整理可得： ? ? h ? ? ? ? ?h? h ? ? ?h，即：?h?
29、? ? h ? ? h? ?， 则? ? ? ? h? ?， -整理可得：? ?h? ? h? ? ? ? 恒成立， 由于 ? ? ?，故 ? h? ? h，据此可得：? ? h t， 综上可得：? 的值为 h 或h t. 21等差数列等差数列 ?中，已知中，已知? h?，? h?，则，则aht的取值范围是的取值范围是_。 【答案】【答案】 ? ? 【解析】【解析】 依题意有 ?h? ? ? h? ?h? ? ? h? ，目标函数为?ht? ?h? hh?，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数 在点 ? t? ?t 处取得最大值为 t? hh ? ? t ? ?，没有最小值，故取值范围为
30、? ? . 高考数学培优专题库教师版 22已知首项为已知首项为 2 的正项数列的正项数列?的前的前 n 项和为项和为?，且当 ，且当 n2 时，时，3?2? t 3?h若若 ? t?hm 恒 恒 成立，则实数成立，则实数 m 的取值范围为的取值范围为_ 【答案】【答案】 h? h?， ? ? 【解析】【解析】 由题意可得： ? t ? ? t ? ?h ?h? t ? ?h t ? ? ，两式相减可得：?h t ? ? t ? ?h? ? ?， 因式分解可得：?h? ?h? ? ? ? ?，由与数列为正项数列， 所以?h? ? ? ? ?，故数列?为以 2 为首项，3 为公差的等差数列， 所以
31、? ?h? t ，所以?h? t?t ? ? 恒成立，即其最大值小于等于 m. 由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当 n 较大时，函数值越来越小，n 较小时存在最大 值，经代入验证，当 ? ? ? 时有最大值h? h?，所以 ? ? h? h?. 23设设 ?是公差不为零的等差数列，是公差不为零的等差数列，?为其前为其前 ? 项和，满足 项和，满足?tt? ?t? ?t? ?t，? ?,若若?h ?t 为数列为数列 ?中的项，则所有的正整数中的项，则所有的正整数 ? 的取值集合为的取值集合为_ 【答案】【答案】 t 【解析】【解析】 由?tt? ?t? ?t? ?t得：t?h+5d=
32、0， 由? ? 得：?h+3d=1， 联立解得?h? ? ? t，所以? t? ?，?+h ?t ? ?t?t? t? ? t? ?， 令 ? ? t? ?，得到 ? ? ? ? ? ? ? t? ?，所以? ?为偶数且 ? ? h 且 ? 为奇数，故 ? ? h 或 ? ? h，进而 得到 ? ? h 或 ? ? t，当 ? ? h 时，n 不为整数，舍去，故 ? ? t. 24已知数列已知数列 ?满足满足? ?h? ? ? h? ?h? t ? ? ? t?,?是其前是其前 ? 项和，若项和，若?t?h? h? ?， （其中（其中?h? ? ?） ，则，则 t ?h ? ? ?的最小值是
33、的最小值是_. 【答案】【答案】? ? t ? 【解析】【解析】 根据题意，由已知得：? ?t? ?，? ? ?，?t?h? ?t?h? t?h?， 把以上各式相加得：?t?h? ?h? h?， 即：?h? h? ? h? ?，? ?h? ? ? h， 则 t ?h ? ? ? ?（ t ?h ? ? ? ） （?h? ?）? ? ? t? ?h ? ?h ? ? ? ? t t? ?h ? ?h ? ? ? ? t ?， 即 t ?h ? ? ?的最小值是 ? ? t ?， 故答案为：? ? t ? 25已知函数已知函数 ? ? ?t? ? h? ? ? ? ?h? ? ? ? ? ? ，记
34、记? ? ? ?，若若 ?是递减数列是递减数列，则实数则实数 ? 的的 取值范围是取值范围是_ 【答案】【答案】 ? ? ? 【解析】【解析】 要使函数 ? ? ? ?t? ? ? h? 在 ? ? ? ? ? ?时单调递减， ? t ? ? ? t，解得 ? ? ? ?， 要使函数 ? ? ? ? ?h? ? ?在 ? ? ? 单调递减， 则必须满足 ? ?h? 晦 ?，解得 ? 晦 h?， 又函数 ? ? 在 ? ? ?时，单调递减， 则 ? ? ? t? ? ? ? ? = ? ?h? ? ? ?，解得 ? 晦 ?， 故实数 ? 的取值范围是 ? ? ? ，故答案为 ? ? ? . 26
35、已知数列已知数列 ?的前的前 ? 项和为项和为?，满足，满足?h? h，且对任意，且对任意 ? ? ?都有都有 t? ?h? ?，函数，函数 ? ? ? t? h? ? ? 晦 h t? ? ? h ? ? h ，方程，方程 ? ? ? h t的根从小到大组成数列 的根从小到大组成数列 ?，则，则 ? t?h?h的取值范围是 的取值范围是_ 【答案】【答案】 h t ? ? ? t ? ? ?. 【解析】【解析】 t? ?h? ?， t?h? ? ? ? t， t? t?h? t? ?h? ?， 整理得?h? ?，? ? t 高考数学培优专题库教师版 又 t?h? t?h? ?t? ?,?h?
36、 h， ?t? ? ?t? ?h， ? h? ? h t ? ?h? ? t 设 ? ? h ? ? 晦 ?，则 ? ? ? ? ? h? 晦 h， ? ? ? t? ? ? h ? tt? ? ? t ? ? ? t?h? ? ? ? ? h ? t?h?t?h? h? ? t? t?h t?晦 t? h 晦 t?h， ? ? ?tt? h ? h ? ? h?， 即方程 ? ? ? h t在? h?内有且仅有一个实数根， ? ?tt? h ? h ? t?h?h ? ? t? 当 n ? h 时，? t ? h t； 当 ? ? t 时，t? ?h t? ? ? ? t ?h? ? t 综
37、上可得 ? t?h?h的取值范围是 h t ? ? ? t ? ? ? 27设设?为数列为数列 ?的前的前 ? 项和项和, ,已知已知?h? t, ,对任意对任意 ?、? ? N?, ,都有都有? ? ?, ,则则 ? ? ? ?h? ?h?t ?t? ? ? ? N? 的最小值为的最小值为_ 【答案】【答案】30 【解析】【解析】 ：当 ? ? h 时，?h? ? ?h? t?，数列?是首项为 t，公比为 t 的等比数列， ? t? t?t?h? t?h ? t?h? t，?h? t? t，?h? ?h? t ? t? t ? t?， ? ? ? t?t t?t? t? ? t? t ? t
38、? t? ? t t? ? t ? ? 当且仅当t? h?即 ? ? ? 时，等号成立， ? ? min? ? 三、解答题三、解答题 28已知数列已知数列 ?的前的前 n 项和为项和为?，? t? t （）求数列）求数列 ?的通项公式；的通项公式； （）设数列）设数列 ?的前的前 n 项和为项和为?，?h? h，点，点 ?h?在直线在直线 ? ?h ? ? ? ? h t上，若存在 上，若存在 ? ? ?，使不，使不 等式等式t?h ?h ? t?t ?t ? ? ? t? ? ? ? 成立，求实数成立，求实数 m 的最大值的最大值 【解析】【解析】 （）? t? t ?h? t?h? t 得
39、?h? t?h? t? ? h ?h? t?，即?h ? ? t， ?成等比数列，公比为 2 ? t? （）由题意得，?h ?h ? ? ? ? h t， ? ? 成等差数列，公差为h t 首项?h h ? ?h h ? h，? ? ? h ? ? ? h h t ? ?h t ，? ? ?h t ， 当 ? ? t 时，? ? ?h? ? ?h t ? ? ?h t ? ?， 当 ? ? h 时，?h? h 成立，? ?t? ? ? t? t? ? ? t?h ? ? ? h t ?h， 令? t?h ?h ? t?t ?t ? ? ? t? ? ，只需 ? max? ? ? h ? t ?
40、 h t ? ? ? h t t ? ? ? ? ? h t ?h h t ? h t ? t ? h t t ? ? ? h t ? ? ? ? ? ? h t ? 得，h t? ? h ? h t ? h t t ? h t ? ? ? ? h t ?h ? ? ? h t ? ? h? h t ? h?h t ? ? ? h t ? ? t ? ? ? t h t ? ? ? ? ? ? t h t ?h ?h? ? ? ? ? ? ? h t ? ? ? ? ? ? t h t ?h ? ?h t? ? ? ?为递增数列，且 ? ? t h t ?h ? ?，?晦 ? ? ? ?，实数
41、 m 的最大值为 4 29已知数列已知数列an中，中，a1=1，a1+2a2+3a3+nan=?h t ?h（nN*） （）证明当）证明当 n2 时，数列时，数列nan是等比数列，并求数列是等比数列，并求数列an的通项的通项 an； 高考数学培优专题库教师版 （）求数列）求数列n2an的前的前 n 项和项和 Tn； （）对任意）对任意 nN*，使得，使得 ? ?h ?h? ? ? 恒成立，求实数恒成立，求实数的最小值的最小值 【解析】【解析】 （）证明：由 a1+2a2+3a3+nan=，得 a1+2a2+3a3+（n1）an1=（n2） ， ：，即（n2） ，当 n2 时，数列nan是等比数
42、列， 又 a1=1，a1+2a2+3a3+nan=，得 a2=1，则 2a2=2， （n2） ，； （）解：由（）可知， Tn=1+2230+2331+2432+2n3n2，则， 两式作差得：，得：?t?h? ?h?h t ； （）解：由（n+6），得（n+6）， 即对任意 nN*恒成立 当 n=2 或 n=3 时 n+ 有最小值为 5，有最大值为 ，故有 ，实数的最小值为 30已知数列已知数列 an的前的前 n n 项和为项和为?n, , 其中其中ah=2，an+1=?n? t n ? ?，数列，数列 bn满足满足bn=logtan. (1) )求数列求数列 bn的通项公式的通项公式; ;
43、(2) )令令cn= h bnbn+1， ，数列数列 cn的前的前 n n 项和为项和为?n，若若 n ? t? k ? Tn对一切对一切 n ? ?恒成立恒成立，求实数求实数 k k 的最小值的最小值. . 【解析】【解析】 （1）由?h? t?h? ? t ? ? ?可得 ? ? t时?n=3S?h? t， 两式相减得: ?h? ? ? ?h? ? ? ? ? t ， 又由?h? t?h? ? t ? ? ?可得?t? ? ? ?t? ?h， 数列 ?n是首项为 2，公比为 4 的等比数列，从而? t ? ?h? tt?h， 于是? logt? logttt?h? t? h. （2）由（1
44、）知? h ?h ? h t?ht?h ? h t h t?h ? h t?h ， 于是?n= h t h ? h ? ? h ? ? h ? ? ? ? h tn-1 ? h tn+1 = n tn?h ， 依题意 k ? n tn+1n+20 对一切 ? ? ?恒成立， 令 f n = n tn+1n+20 ，则 f n+1 ? f n = n+1 tn+3n+21 ? n tn+1n+20 = n+1tn+1n+20 ?n tn+3n+21 tn+3n+21tn+1n+20 = ? t nt? n ? 10 tn+3n+21tn+1n+20 由于 ? ? ?易知 n?时?f n+1f n
45、 ?n ? ?时?f n+1f n ， 即有 f hf tf ?f ?f ?， 只需 k ? ? n max=? ? = ? h?h， 从而所求 k 的最小值为 ? h?h. 31公差不为零的等差数列公差不为零的等差数列?中，中，?h，?t，?成等比数列，且该数列的前成等比数列，且该数列的前 1010 项和为项和为 100100，数列，数列? 的前的前n n项和为项和为?，且满足，且满足? t? h? ? ? ?求数列求数列?，?的通项公式；的通项公式； ?令令? h? ? ，数列，数列?的前的前n n项和为项和为?，求，求?的取值范围的取值范围 【解析】【解析】 ?依题意，等差数列?的公差
46、? ? ?， ? ?h，?t，?成等比数列， ? ?t t ? ?h? ?，即?h? ?t? ?h?h? ?， 整理得：?t? t?h，即 ? ? t?h， 又?等差数列?的前 10 项和为 100， ? h?h?h? t ? h?，即?h? ?h? ? ? t， 整理得：?h? h h?，? ? h ?， ? ? h h? ? h ? h? ? t?h h? ； ? ? t? h? ? ?， ? ?h? t?h? h，即?h? h， 当 ? ? t 时，? ? ?h? ?t? h? ?t?h? h? ? t? t?h，即? t?h， ?数列?是首项为 1、公比为 2 的等比数列， 高考数学培
47、优专题库教师版 ? ? t?h； ?由?t?可知? h? ? ? h?t?h h? ?t?h ? h t? ? t? t? ? h h? ? ? t? ? ? t? ? h t?， 记数列? ? t? ?的前n项和为?，数列? h t? ?的前n项和为?，则 ? h t ? h? h t? h?h t ? h ? h t?， ? ? h ? h t ? t ? h tt ? ? ? ? ? h t?， h t? ? h ? h tt ? t ? h t? ? ? ? ? h? ? h t? ? ? ? h t?h， ? h t ? h t ? h tt ? h t? ? ? ? h t? ?
48、? ? h t?h， ? ? h ? h t ? h tt ? h t? ? ? ? h t?h ? ? ? h t? ? h ? h t? h ? h t ? ? ? h t? ? t ? h t?h ? ? ? h t? ? t ? ? t? ? h t?， ? ? h h? ? ? ? t? ? ? ? h h? ? ?t? ? t? ? h t? ? ? ? t? ? ?h? h t? ? ? h? t? ? h t? ? t?h? t? ， 记 ? ? t?h? t? ，则 ?癦? ? t?h?t?h?lnt?t? ? 晦 ?， 故数列? t?h? t? ?随着n的增大而减小， 又? ?h? h?h ?，? ? ? lim ? h? t?， ? h?h ? ? ?晦 h? t?
