1、高考数学培优专题库教师版 第三十九讲圆锥曲线中的离心率问题求值与范围及综合 A 组 一 选择题 1.（2017 年高考浙江卷）椭圆+=1 的离心率是（） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 【解答】解：椭圆+=1，可得 a=3，b=2，则 c=， 所以椭圆的离心率为：= 故选：B 2.如图， 21,F F分别是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点，以坐标原点O为圆心， 1 OF为 半径的圆与该双曲线左支交于BA,两点，若ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（） （A）3（B）2（C）13 （D）13 【答案】D 【解析】 依题,22 ,3 12
2、112 AFFFcAFAF所以 112 ) 13(2AFAFAFa 3 5 , 13 ) 13( 2 1 1 AF AF a c e 高考数学培优专题库教师版 3.若双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是（） A. 2B. 3C. 3 4 D. 5 3 【答案】D 【解析】 若双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列 则cab2 所以 3 5 ,)(4)()(4,)(4 22222 a c ecaaccaaccab， 4.已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x E的右焦点为F，短轴的一
3、个端点为M，直线043: yxl交 椭圆E于BA,两点若4 BFAF，点M到直线l的距离不小于 5 4 ，则椭圆E的离心率的取值范围 是 A.A. 2 3 , 0(B. 4 3 , 0(C.) 1 , 2 3 D.) 1 , 4 3 【答案】A 解析：解析：设左焦点为 1 F,连接 11,BF AF.则四边形AFBF1是平行四边形,故BFAF 1 ，所以， aAFAF24 1 ， 所以2a， 设)0(bM， 则1, 5 4 5 4 b b ， 从而30 , 30 , 1 222 ccca， 所以椭圆E的离心率的取值范围是 2 3 , 0(，故选 A. 5.如图， 21,F F 是椭圆 1 4
4、: 2 2 1 y x C 与双曲线 2 C的公共焦点，BA, 分别是 21,C C 在第二、四象限 的公共点若四边形 21BF AF 为矩形，则 2 C的离心率是( ) A. 2 B.3C. 2 3 D. 2 6 【答案】D 【解析】 高考数学培优专题库教师版 设双曲线实半轴长为a， 焦半距为c，nAFmAF 21 ,， 由题意知3c， 12)2( 4 222 cnm nm ， 4)()(2 222 nmnmmn，82-)-( 222 mnnmnm，2,222anma，则双曲线 的离心率 2 6 2 3 a c e ，选择 D. 6.已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1(0,0)
5、xy ab ab 的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点 2 F 关于直线 bx y a 对称，则该双曲线的离心率为 （） A 5 2 B2C2D5 D 【解析】 bx y a 即双曲线的一条渐近线方程.过 焦 点 2 F且 垂 直 渐 近 线 的 直 线 方 程 为 ： y0(c a x b ），与 bx y a 联立，解之可得 2 xy aab cc ，故 2 PF的中点坐标为（ 2 aab cc ，）. 由中点坐标公式可得P点的坐标为 2 22aab c cc （，），将其代入双曲线的方程可得 22222 2222 (2)4 1 aca b a cb c ，结合 222 abc，化简
6、可得 22 c5a，故5 c e a =故选D. 7已知F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点，E是双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴 的直线与双曲线交于,A B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（） A(1,3)B(1, 3)C(1,2)D(1,2) 【答案】C 【解析】 由于ABE为等腰三角形，可知只需45ABE即可，即 2 , b AFEFac a 22 , cacaca acac aa ，又0,1,1 1,12 ca caee a ，故选 C 高考数学培优专题库教师版 二 填空题 8.点P为椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y
7、 a x 1 上一点， 21,F F为椭圆的焦点，如果75 21F PF， 75 12F PF，则椭圆的离心率为_ 【答案】 6 3 【解析】 由题意得75sin2,75cos2,90 2121 cPFcPFPFF，所以 3 6 75cos75sin 1 ,2)75cos75(sin2 a c eac. 9.椭圆 )0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x E 的左.右焦点分别为 21,F F ,焦距为c2,若直线)(3cxy与椭 圆E的一个交点M满足 1221 2FMFFMF ,则该椭圆的离心率等于_ 【答案】 1-3 【解析】由直线方程)(3cxy直线与x轴的夹角 3 2 3 21
8、 orFMF ，且过点 ）（0 , 1 cF 1221 2FMFFMF 3 2 1221 FMFFMF 即 MFMF 21 在 21MF FRt 中， cMFcMFcFF3,2 2121 由椭圆的第一定义可得13 31 2 32 a c ecca 10.已知双曲线的渐近线与圆有交点， 则该双曲线的离 心率的取值范围是_ 答案： 【解析】 由双曲线的方程为，可得它的渐近线方程为，由圆的方程 可得，所以它是以为圆心，以为半径，又因为圆与渐近 高考数学培优专题库教师版 线有交点，由点到直线距离公式可得，又因为，从而可得 ，双曲线的离心率为，又因为双曲线的离心率大于 1，所以双曲线的离心 率的取值范围
9、为 B 组题 一 选择题 1.（2017 年高考新课标理）已知椭圆 C：=1（ab0）的左、右顶点分别为 A1， A2， 且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为（） A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】 【解答】解：以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切， 原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2 椭圆 C 的离心率 e= 故选：A 2.已知双曲线左右焦点分别为 21,F F ，点P为其右支上一点， 60 21PF F ，且 32 21 PFF S ，若 | 2211 , 4 1 ,PFFFPF 成等差数列，则该双曲线的
10、离心率为() A.3B32C2D. 2 【答案】A 【解析】 设)(, 21 nmnPFmPF，双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x ，因此有 高考数学培优专题库教师版 32 2 3 2 1 ,2,2 21 21 nmScFFanm FPF ，8nm 又 4222 4)(24 2 1 cnmccnm 由余弦定理 2 1 2 4 2 cos 222 21 2 21 2 2 2 1 21 mn cnm PFPF FFPFPF PFF 222 48cnm 244)( 22 cnm 两式联立解得33 2 cc， 所以3, 1, 22 2 4 6 8 a c eaa n m nm mn 3.如
11、图， 21,F F是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右焦点，过 1 F的直线l与双曲线的左右两支分别 交于点A、B.若 2 ABF为等边三角形，则双曲线的离心率为() A.4B. 7 C. 3 32 D. 3 【答案】B 【解析】根据双曲线的定义，可得aBFBF2 21 ，若 2 ABF为等边三角形，即ABBF 2 ， aBFBF2 21 ，即aAFABBF2 11 ，又 aAFAF2 12 ，aaAFAF42 12 ， 21F AF中，aAF2 1 ，aAF4 2 ，120 21AF F，120cos2 21 2 2 2 1 2 21 AFAFAFAFFF
12、，即 2222 28) 2 1 (4221644aaaaac， 解之得：ac7，由此可得双曲线的离心率为7 a c e. 高考数学培优专题库教师版 4.设直线)0(03mmyx与双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两条渐近线分别交于点BA,若点 )0 ,(mP满足PBPA ，则该双曲线的离心率是() （A） 2 5 （B） 2 3 （C） 2 5 （D）15 【答案】A 【解析】由双曲线的方程可知，渐近线为x a b y ，分别于 )0(03mmyx 联立，解得 ) 3 , 3 (), 3 , 3 ( ba bm ba am B ba bm ba am A ，由PB
13、PA 得，设 AB 的中点为Q，则 ）（ 2 33 , 2 33ba bm ba bm ba am ba am Q ，PQ 与已知直线垂直，故 3 Q Q x y ，则 2 5 a c e . 故选 A. 5.斜率为 1 的直线l与椭圆1 4 2 2 y x 相交于BA,两点，则AB的最大值为() A、 2B、 5 54 C、 5 104 D、 5 108 【答案】 C 【解析】【解析】弦长 5 104 5 54 2 2 t AB 6F 是双曲线 C： 22 22 1 xy ab (0,0)ab的右焦点，过点 F 向 C 的一条渐近线引垂直，垂足为 A， 交另一条渐近线于点 B，若2AFFB
14、，则 C 的离心率是（） A2B 2 3 3 C2D 14 3 【答案】B 高考数学培优专题库教师版 【解析】 由已知渐近线为 1: b lyx a ， 2: b lyx a ，由条件得，F 到渐近线的距离|FAb，则| 2FBb， 在Rt AOF中，|OFc， 则 22 |OAcba， 设 1 l的倾斜角为， 即AOF， 则2AOB， 在Rt AOF中，tan b a ，在Rt AOB中， 3 tan2 b a ，而 2 2tan tan2 1tan ，即 2 2 2 3 1 b b a ba a ，即 22 3ab， 222 3()aca， 2 2 2 4 3 c e a ，即 2 3 3
15、 e . 7已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一个焦点到一条渐近线的距离为c 3 5 （c为双曲线的半焦 距长） ，则双曲线的离心率为（） A 3 7 B 2 73 C 7 73 D73 【答案】C 【解析】 任取一焦点)0 ,(cF到一条渐近线x a b y 的距离为b，则cb 3 2 ，有cb23 22 29cb 7 73 7 9 972)(9 2 2 22222 e a c accac 二 填空题 8. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，右焦点为F，右准线 为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距
16、离为 1 d，F到l的距离为 2 d.若 12 6dd ，则椭圆C 的离心率为_ 【答案】 3 3 【解析】 由题意知 )0 , cF（ ， c a xl 2 ： ， 不妨设），（bB0， 则直线1 b y c x BF： 即 0bccybx 于是 a bc cb bc d 22 1 - ， c b c ca c c a d 2222 2 高考数学培优专题库教师版 由 12 6dd ， 22 2 )(6 a bc c b ）（ ， 化简得06 4224 acac 即016 24 ee ， 解得 3 1 2 e 或 2 1 - 2 e （舍去） 故 3 3 e，故椭圆C的离心率为 3 3 . 9
17、.如图，在平面直角坐标系xOy中， 2121 ,BBAA为椭圆 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的四个顶点，F为其右焦点， 直线 21B A 与直线FB1相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的 中点，则该椭圆的离心率为. 【答案】572e 【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程 直线 21B A的方程为：1 b y a x ； 直线FB1的方程为：1 b y c x 。二者联立解得：) )( , 2 ( ca cab ca ac T w则) )(2 )( ,( ca cab ca ac M 在椭圆 )0( 1 2 2 2 2
18、ba b y a x 上， 0310, 0310, 1 )(4 )( )( 222 2 2 2 2 eeaacc ca ca ca c 解得：572e C 组题 一选择题 1.已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C， 21,F F为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点， 21PF F 的重心为G，内心I，且有 21F FIG（其中为实数） ，椭圆C的离心率e A 2 1 B 3 1 C 3 2 D 2 3 【答案】A 高考数学培优专题库教师版 【解析】 方法一：设),( 00 yxP由G为 21PF F的重心得：G的坐标为), 3 , 3 ( 00 yx G再由 21F F
19、IG可知IG平 行于x轴，所以I点的纵坐标为 3 0 y ，在 21PF F中，cFFaPFPF2,2 2121 ，所以 21PF F的面积 为 021 2 1 yFFS ，又因为I为 21PF F的内心，所以I点的纵坐标即为内切圆的半径，所以 3 )( 2 1 0 2211 y PFFFPFS，所以 021 0 2211 2 1 32 1 yFF y PFFFPF）（，即 0 0 2 2 1 3 22 2 1 yc y ca）（，所以ca2，所以椭圆C的离心率 2 1 e，故应选A. 方法二： （个人观点）特殊化法，取A为上顶点），（b0，G在y轴上，又 21F FIG ，所以 GI, 重
20、合，所以 21F AF 为正三角形，所以 211 FFAF ,而 cFFaAF2,2 211 ， 2 1 ,2 a c eca 2.如图，已知双曲线C：)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右顶点为OA,为坐标原点，以A为圆心的圆与双 曲线C的某渐近线交于两点QP,若60PAQ且OPOQ4，则双曲线C的离心率为() A 3 32 B 2 7 C 5 132 D3 【答案】C 【解析】确定QAP为等边三角形，设RAQ6，则ROP3，利用勾股定理，结合余弦定理，即 可得出结论 因为60PAQ且OPOQ4，所以QAP为等边三角形，设RAQ2，则ROP ，渐近线方 程为x a b
21、y ，)0 ,(aA， 取PQ的中点M，则 22 ba ab AM ，由勾股定理可得 2 22 22 )(36 ba ab RR ）（）（，)(27 2222 baRab）（ 高考数学培优专题库教师版 在OQA中， 2 1 362 )3()6( 222 RR aRR , 22 27aR 结合 222 bac，可得 5 132 a c e 方法二： （个人观点）以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点QP,若60PAQ ，则 PAQ 为正三角形，所以 rPQ ， OPOQ4 ，所以 3 4 3 r OQ r OP， ，由圆的切割线定理， 9 4 )()( 2 22 r rarararOArOA
22、OQOP 3 13 , 9 13 2 2 r a r a ，渐近线方程为 x a b y A到渐近线的距离 c ab ba ab d 22 0 而由 PAQ 为正三角形，可知 A到渐近线的距离ard 13 3 2 3 2 3 所以 13 3 2 3 , 13 3 2 3 c b a c ab mcmb132,33 ，则 5 132 ,5 a c ema 3.已知 21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 3 21 PFF ，椭圆的离心率 为 1 e，双曲线的离心率 2 e，则 2 2 2 1 31 ee A.4B. 3 4 C. 4 3 D.2 【答案】A 【解析】 解
23、法 1： 试题分析： 设 1 1 a c e ， 2 2 a c e ， 则 2 2 2 2 1 2 2 2 1 331 c aa ee ， 又 2 2121 2 2 2 1 3 cos2FFPFPFPFPF ， 所以， 2 2121 2 21 3FFPFPFPFPF）（ , 2 2121 2 21 )(FFPFPFPFPF ,即 2 21 2 1 434cPFPFa , 2 21 2 2 44cPFPFa 高考数学培优专题库教师版 ，因此 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 43,16124caacaa ，. 4 31 2 2 2 1 ee 解法 2：椭圆 2 1 2 1 2 2 1 2
24、 2 1 2 -1bac b y a x ， 双曲线： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1bac b y a x ， 根据椭圆定义： 121 2aPFPF 根据双曲线定义： 221 2-aPFPF ，不妨设 221 2-aPFPF 则 212211 ,aaPFaaPF ，在 21F PF 中， 2 1 )(2)()(4 2121 2 21 2 21 2 aaaaaaaac 则 2 2 2 1 2 34aac 化简得 . 4 31 2 2 2 1 ee 4.知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右焦点分别为)0 ,(2),0 ,( 1 cFcF ，若椭圆上存在
25、一点P使 1221 sinsinFPF c FPF a ，则该椭圆的离心率的取值范围为（） A.) 1 , 1-2(B.) 1 ,2(C.) 1 ,22( D.），1-20( 【答案】A 【解析】 解法 1：因为在 21F PF中，由正弦定理得 12 1 21 2 sinsinFPF PF FPF PF 则由已知，得 12 PF c PF a ，即 21 cPFaPF 设点）（ 00, y x由焦点半径公式，得 0201 ,exaPFexaPF， 则)()( 00 exacexaa 记得 ) 1( ) 1( )( )( 0 ee ea ace aca x由椭圆的几何性质知ax 0 ，则a ee
26、 ea ) 1( ) 1( ，整理得 012 2 ee，解得12 e或12 e，又) 1 , 0(e，故椭圆的离心率) 1 , 1-2(e 高考数学培优专题库教师版 解 法 2 ：由 解 析 1 知 21 PF a c PF 由 椭 圆 的 定 义 知aPFPF2 21 则aPFPF a c 2 22 即 ac a PF 2 2 2 ，由椭圆的几何性质知caPF 2 ，则ac ac a 2 2 即，即02 22 acc 所以012 2 ee以下同解析 1. ) 1 , 1-2(e 5已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 12 ,F F，这两条曲线在第一 象限的交点为
27、12 ,PPFF是以 1 PF为底边的等腰三角形。 若 1 10PF ， 椭圆与双曲线的离心率分别为 12 ,e e， 则 1 2 e e的取值范围是（） AB 1 , 3 C 1 , 5 D 1 , 9 【答案】B 【解析】 设椭圆与双曲线的半焦距为 c， 1122 PFrPFr，利用三角形中边之间的关系得出 c 的取值范围， 再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据 c 的范围即可求出 12 e e的取值范围是 设椭圆与双曲线的半焦距为c， 1122 PFrPFr，由题意知 121221 1022rrcrrrr， ， ， 210 2210ccc ， ， 2 525 5,14 2
28、c c ， 21 1212 222222 2102521025 cccccccc ee arrccarrcc 双椭 ； 2 12 2 2 11 25 253 1 c e e c c ，故选 B 二 填空题 6. 2017 年高考北京卷理）若双曲线 x2=1 的离心率为，则实数 m=_ 【答案】2 【解析】双曲线 x2=1（m0）的离心率为， 可得：， 高考数学培优专题库教师版 解得 m=2 故答案为：2 7.椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线 段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 y x O A F
29、P 【答案】1 2 1 e 【解析】 解法解法 1 1：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PAPF ， 而c c a FA 2 ，caPF， 所以cac c a 2 ，所以 22 2caca。 又 a c e ，所以12 2 ee，所以01-2 2 ee， 即011-2ee，又10e，所以1 2 1 e * *解法解法 2 2： 设点),(yxP。 由题意， 椭圆上存在点P， 使得线段AP的垂直平分线过点F， 所以PAPF ， 由椭圆第二定义，e x c a PF 2 ，所以exaex c a ePF 2 ， 而c c a FA 2 ， 所以c c a exa 2 ，
30、解出)( 1 2 c a ca e x， 由于axa-，所以a c a ca e a)( 1 - 2 ，又 a c e ，所以01-2 2 ee， 高考数学培优专题库教师版 即011-2ee，又10e，所以1 2 1 e 8.我们把离心率 2 15 e的双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 称为黄金双曲线如图是双曲线 )0, 0( 1 22 2 2 2 2 bacba b y a x ，的图象，给出以下几个说法： 双曲线1 15 2 2 2 y x是黄金双曲线； 若acb 2 ，则该双曲线是黄金双曲线； 若 21,F F为左右焦点， 21, A A为左右顶点，), 0(
31、), 0( 21 bBbB且90 211 ABF，则该双曲线是黄 金双曲线； 若MN经过右焦点 2 F且 21F FMN ,90MON，则该双曲线是黄金双曲线 其中正确命题的序号为_ 【答案】 【解析】对于， 2 15 , 1 22 ba，则 2 35 222 bac， 2 2 2 2 ) 2 15 ( 2 35 a c e， 2 15 e，所以双曲线是黄金双曲线； 对于，acacb 222 整理得01 2 ee，解得 2 15 e所以双曲线是黄金双曲线； 对于 22 2 21 22 2 11 ,abABbcBF， 2 2 21 )(caAF， 由勾股定理得 22222 )(caabbc， 整理得acb 2 由可知 2 15 e所以双曲线是黄金双曲线； 对于由于）（ 0 , 2 cF，把cx 代入双曲线方程得1 2 2 2 2 b y a c ，解得 a b y 2 ， a b NF 2 2 ，由对称 高考数学培优专题库教师版 关系知 2 ONF为等腰直角三角形， a b c 2 ，即acb 2 由可知 2 15 e所以双曲线是黄金双曲线；
