1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 3.2.2奇偶性 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.理解奇函数、偶函数的定义理解奇函数、偶函数的定义. 2.了解奇函数、偶函数的图象特征了解奇函数、偶函数的图象特征. 3.掌握判断函数的奇偶性的方法掌握判断函数的奇偶性的方法,能够利用函数能够利用函数 的奇偶性解决简单的问题的奇偶性解决简单的问题. 4.体会数学抽象的过程体会数学抽象的过程,感受直观想象在解决问感受直观想象在解决问 题中的应用题中的应用,培养学生的运算能力以及逻辑推理培养学生的运算能力以及逻辑推理 能
2、力能力. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、偶函数和奇函数的定义一、偶函数和奇函数的定义 【问题思考】【问题思考】 1.试分别针对上述函数计算试分别针对上述函数计算f(-x),并判断并判断f(-x)与与f(x)具有怎样具有怎样 的关系的关系. 提示提示:满足满足f(-x)=f(x);满足满足f(-x)=-f(x);既不满足既不满足 f(-x)=f(x)也不满足也不满足f(-x)=-f(x). ？ 2.填空填空:(1)一般地一般地,设函数设函数f(x)的定义域为的定义域
3、为I,如果如果 xI,都都有有 -xI,且且f(-x)= f(x) ,那么函数那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数; (2)一般地一般地,设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I,如果如果 xI,都有都有-xI,且且 f(-x)= -f(x) ,那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数. ？ 3.做一做做一做:下列函数中是奇函数的是下列函数中是奇函数的是() A.f(x)=x+1 B.f(x)=|x3| C.f(x)=-2x D.f(x)=x2+x 答案答案:C ？ 二、偶函数和奇函数的图象特征二、偶函数和奇函数的图象特征 【问题思考】【问题思考】 1.f(x)和和g(x)分别是
4、偶函数还是奇函数分别是偶函数还是奇函数?它们的图象有何对称它们的图象有何对称 性特征性特征? 提示提示:f(x)是偶函数是偶函数,图象关于图象关于y轴对称轴对称;g(x)是奇函数是奇函数,图象关于图象关于 原点对称原点对称. ？ 2.填空填空:偶函数的图象关于偶函数的图象关于 y轴轴对称对称,奇函数的图象关于奇函数的图象关于原点原点对对 称称. 3.做一做做一做:下列函数中下列函数中,图象关于图象关于y轴对称的是轴对称的是() 答案答案:A ？ 三、函数的奇偶性三、函数的奇偶性 【问题思考】【问题思考】 提示提示:定义域是定义域是2,-2,是奇函数是奇函数,也是偶函数也是偶函数. 2.填空填空
5、:如果函数如果函数f(x)是是奇函数奇函数或或偶函数偶函数,那么就说函数那么就说函数f(x)具具 有奇偶性有奇偶性. ？ 3.函数按照奇偶性可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、函数按照奇偶性可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、 既奇又偶函数既奇又偶函数,其中既奇又偶函数的解析式可以有多种形式其中既奇又偶函数的解析式可以有多种形式, 但其定义域一定关于原点对称但其定义域一定关于原点对称,且解析式经化简后一定为零且解析式经化简后一定为零. ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)若函
6、数的定义域关于原点对称若函数的定义域关于原点对称,则该函数是奇函数或偶函则该函数是奇函数或偶函 数数.( ) (2)奇函数的图象一定经过原点奇函数的图象一定经过原点.( ) (3)偶函数的图象一定与偶函数的图象一定与y轴相交轴相交.( ) (4)若若f(x)是奇函数是奇函数,则必有则必有f(x)+f(-x)=0.( ) (5)若若f(x)是偶函数是偶函数,则必有则必有f(x)=f(-x)=f(|x|).( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 判断判断函数的奇偶性函数的奇偶性 ？ 解解:(1)因为函数因为函数f(x)的定义域为的定义域为x|x-1,不关于原点对称不关于原点
7、对称,所以所以 函数函数f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数. (2)函数函数f(x)的定义域为的定义域为R,因为对因为对 xR,都有都有-xR,且且f(-x)= (-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x),所以函数所以函数f(x)是奇函数是奇函数. ？ 反思感悟反思感悟 给给出函数的解析式出函数的解析式,判断函数奇偶性的方法步骤如下判断函数奇偶性的方法步骤如下: ？ 【变式训练【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2+1,x-2,2); (2)f(x)=|x-1|+|x+1|; (3)f(x)=0,xR. 解解:(1)f(x)的
8、定义域的定义域-2,2)不关于原点对称不关于原点对称, f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数. (2)f(x)的定义域为的定义域为R,关于原点对称关于原点对称, 又又f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x),故故f(x)为偶函数为偶函数. (3)f(x)=0,xR,f(-x)=f(x),且且f(-x)=-f(x), 故故f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数. ？ 探究探究二二 奇函数奇函数、偶函数图象对称性的应用、偶函数图象对称性的应用 ？ ？ 反思感悟反思感悟 根据根据奇函数、偶函数图象的对称性奇函数、偶函数图象的对称性,可以解决作图问题可以解决作
9、图问题.如果如果 一个函数是偶函数一个函数是偶函数,那么已知其在那么已知其在y轴一侧的图象轴一侧的图象,可以作其关可以作其关 于于y轴对称的图象轴对称的图象,即得即得y轴另一侧的图象轴另一侧的图象;如果一个函数是奇如果一个函数是奇 函数函数,那么已知其在那么已知其在y轴一侧的图象轴一侧的图象,可以作其关于原点对称的可以作其关于原点对称的 图象图象,即得即得y轴另一侧的图象轴另一侧的图象. ？ 【变式训练【变式训练2】 已知奇函数已知奇函数f(x)的定义域为的定义域为-5,5,其其y轴右侧轴右侧 图象如图所示图象如图所示,写出使写出使f(x)0的的x的取值集合的取值集合. 解解:由于由于f(x)
10、为奇函数为奇函数,y轴右侧图象已知轴右侧图象已知, 结合奇函数图象关于原点对称结合奇函数图象关于原点对称,作出作出y轴轴 左侧图象左侧图象,如图所示如图所示,由图象知由图象知,当当x(0,2) 时时,f(x)0;当当x(-5,-2)时时,f(x)0,所以使所以使 f(x)0的的x的取值集合为的取值集合为(-5,-2)(0,2). ？ 探究探究三三 函数函数奇偶性的应用奇偶性的应用 【例【例3】 (1)已知函数已知函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数为偶函数,则实数则实数a= . 解析解析:因为函数因为函数f(x)为偶函数为偶函数, 所以所以f(-x)=f(x),即即(-x+a)(-x-4
11、)=(x+a)(x-4), 即即x2+(4-a)x-4a=x2-(4-a)x-4a,故故4-a=-(4-a),解得解得a=4. 答案答案:4 ？ (2)若若f(x)是定义在是定义在R上的奇函数上的奇函数,当当x0时时,-x0时的解时的解 析式析式? 解解:设设x0,则则-x0时时,f(x)=-x(1+x). ？ 反思感悟反思感悟 1.利用函数的奇偶性求参数值的常见类型及求解策略利用函数的奇偶性求参数值的常见类型及求解策略: (1)函数的定义域含参数函数的定义域含参数:奇奇(偶偶)函数函数f(x)的定义域为的定义域为a,b,根据根据 定义域关于原点对称定义域关于原点对称,可以利用可以利用a+b=
12、0求参数求参数. (2)函数的解析式含参数函数的解析式含参数:根据根据f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)列式列式,比较比较 系数可解系数可解. 2.已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式,求该函数在求该函数在 与已知区间关于原点对称的区间上的解析式时与已知区间关于原点对称的区间上的解析式时,首先设出所首先设出所 求区间上的自变量求区间上的自变量,利用奇、偶函数的定义域关于原点对称利用奇、偶函数的定义域关于原点对称 的特点的特点,把它转化到已知解析式的区间上把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式代入已知的解析式, 然后利用函数的奇偶性
13、求解即可然后利用函数的奇偶性求解即可. ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 判断函数的奇偶性时忽视函数的定义域致错判断函数的奇偶性时忽视函数的定义域致错 ？ 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? 提示提示:错解中忽视了对函数定义域的分析错解中忽视了对函数定义域的分析,事实上事实上,由于定义域由于定义域 是是(-1,1,不关于原点对称不关于原点对称,此时再去研究此时再去研究f(-x)与与f(x)的关系是的关系是 多余的多余的,该函数一定是非奇非偶函数该函数一定是非奇非偶函数. ？ 即函数即函数f(x)的
14、定义域是的定义域是x|-1x1.因为函数的定义域不关于因为函数的定义域不关于 坐标原点对称坐标原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数所以该函数既不是奇函数又不是偶函数. ？ 防范措施防范措施 给定给定函数的解析式判断其奇偶性时函数的解析式判断其奇偶性时,必须先求出函数的定义必须先求出函数的定义 域域,考查定义域是否关于原点对称考查定义域是否关于原点对称,如果关于原点对称如果关于原点对称,那么再那么再 研究研究f(-x)与与f(x)的关系的关系,最后结合奇函数与偶函数的定义得出最后结合奇函数与偶函数的定义得出 结论结论;否则否则,若定义域不关于原点对称若定义域不关于原点对称,则该函数就是非
15、奇非偶则该函数就是非奇非偶 函数函数. ？ 【变式训练】【变式训练】 若函数若函数f(x)是定义在区间是定义在区间(6-m2,-5m)内的奇函内的奇函 数数,则实数则实数m的值等于的值等于. 答案答案:-6 ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 答案答案:D ？ 2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是下列图象表示的函数中具有奇偶性的是() 答案答案:B ？ A.0B.1C.-1D. 1 解析解析:由已知得由已知得f(x)为奇函数为奇函数,且在且在x=0时有意义时有意义,故故f(0)=0,解得解得 m=1. 答案答案:B ？ 4.若若f(x)为奇函数为奇函数,且且f(-3)=6,则则f(3)-f(-3)=. 解析解析:f(3)-f(-3)=-f(-3)-f(-3)=-2f(-3)=-12. 答案答案:-12 ？
