1、运用导数运算法则构造函数的五种题型 导数与不等式都是高考中的重点与难点,以导数为背景的抽象函数与不等式交汇问题是高考中的热点, 求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的单调 性,最后由单调性研究不等式问题. 题型题型一、根据一、根据 fxgx构造函数构造函数 f xg xc 【例 1】已知函数 ( )f x的定义域为R, 11 22 f ,对任意的xR满足( )4fxx .当0,2 时,不等 式(sin)cos20f的解集为() A 711 , 66 B 45 , 33 C 2 , 33 D 5 , 66 【答案】D 【分析】根据题意构造函数
2、2 ( )( )21g xf xx,则( )( )40g xfxx ,所以得到( )g x在R上为增函 数,又 2 111 ( )( )2( )10 222 gf 然后根据(sin)cos20f可得 2 1 (sin)(sin)2sin1(sin)cos20( ) 2 gffg ,于是 1 sin 2 ,解三角不等式可得解集 【解析】由题意构造函数 2 ( )( )21g xf xx,则( )( )40g xfxx , 函数( )g x在R上为增函数 11 22 f , 2 111 ( )( )2( )10 222 gf 又(sin)cos20f, 2 1 (sin)(sin)2sin1(si
3、n)cos20( ) 2 gffg , 1 sin 2 ,02, 5 66 , 不等式(sin)cos20f的解集为 5 , 66 故选 D 【点评】解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后 根据所构造的函数的单调性求解一般地,若给出条件 fxk ,可构造函数 yfxkxb若给出 条件 fxkx ,可构造函数 2 1 2 yfxkxb 【变式训练】定义在R上的可导函数 fx满足 11f,且 2 1fx ,当 3 , 22 x 时,不等式 2 3 (2cos )2sin 22 x fx 的解集为() A 4 , 33 B 4 , 33 C0, 3
4、D, 3 3 【答案】D 【解析】令 11 ( )( ) 22 g xf xx,则 1 ( )( )0 2 g xfx, ( )g x在定义域R上是增函数,且 11 (1)(1)0 22 gf, 1 (2cos )(2cos )cos 2 gxfxx 2 3 = (2cos )2sin 22 x fx , 2 3 (2cos )2sin0 22 x fx 可转化成 (2cos )1gxg,得到 2cos1x ,又 3 , 22 x ,可以得到, 3 3 x ,故选 D 题型题型二、根据二、根据 xfxnf x(或或 xfxnf x)构造函数构造函数 【例 2】 已知奇函数 fx是定义在R上的可
5、导函数,其导函数为 fx,当0 x 时,有 2 2 f xxfxx, 则不等式 2 2018+2018420 xfxf的解集为() A, 2016 -B2016, 2012C , 2018 D2016,0 【答案】A 【分析】构造新函数 2 g xx f x,根据条件可得 g x是奇函数,且单调增,将所求不等式化为 2 2 2018+20184222xfxff ,即 20182g xg,解得20182x,即2016x 【解析】设 2 g xx f x,因为 fx为R上奇函数,所以 2 2 gxxfxx fx ,即 g x为 R上奇函数 对 g x求导,得 2gxxfxxfx ,而当 0 x 时
6、,有 2 20fxxfxx 故0 x 时, 0gx ,即 g x单调递增,所以 g x在R上单调递增 不等式 2 2018+2018420 xfxf, 2 2018+201842xfxf , 2 2018+201842xfxf,即 20182g xg 所以20182x,解得2016x ,故选 A. 【点评】一般地,若给出条件 2 xfxnf xkx,可构造函数 3 3 n k yx f xxb. 【变式训练】已知函数 ( )f x的导函数( )fx满足( )(1)( )0f xxfx 对xR恒成立,则下列判断一定 正确的是（） A(0)02 (1)ffB0(0)2 (1)ff C02 (1)(
7、0)ffD2 (1)0(0)ff 【答案】B 【解析】由题意设 1g xxf x,则 10gxf xxfx, 所以函数 g x在R上单调递增,所以 101ggg,即 0021ff 故选 B 题型题型三、根据三、根据 fxnf x(或或 fxnf x)构造函数构造函数 【例 3】设定义在R上的函数 fx的导函数为 fx,若 2f xfx, 02020f,则不等式 22018 xx e f xe（其中e为自然对数的底数）的解集为（） A0, B2018, C2020, D,02018, 【答案】A 【分析】 构造函数 2 xx g xe f xe,则可判断 0gx ,故 g x是R上的增函数,结合
8、 02018g即 可得出答案. 【解析】设 2 xx g xe f xe,则 2 xxx gxe f xe fxe 2 x ef xfx , 2f xfx,0 x e , 20 x gxef xfx , g x是R上的增函数,又 0022018gf, 2018g x 的解集为0,即不等式 22018 xx e f xe的解集为0,. 故选 A. 【点评】若 f xfxk ,可构造 x yf x ekx . 【变式训练】 定义在R上的奇函数 f x的导函数满足 fxf x ,且 4f xf x,若 2019fe , 则不等式 x f xe的解集为_ 【答案】 01, 【解析】 4f xf x,
9、f x的周期为4, 2019fe ,2019505 4 11fffe , 定义在R上的奇函数 f x, 11ffe , 1 0f x 时,令 x f x g x e ,则 x fxf x gx e , fxf x , 0gx ,即 g x单调递减,又 1 11 f g e , 11g xg ,1x,不等式 x f xe的解集为1, 20 x 时, 0 100fe,0 x 时,不等式成立, 综上所述, 01,x. 题型题型四、根据四、根据 tanf xfxx(或或 tanf xfxx)构造函数构造函数 【例 4】已知定义在(0,) 2 上的函数 f(x),f(x)是它的导函数,且对任意的(0,)
10、 2 x ,都有( )( )tanf xfxx 恒成立,则（） A3 ()2 () 43 ff B2 ()() 64 ff C3 ()() 63 ff D(1)2 ()sin1 6 ff 【答案】D 【分析】构造函数 ( ) ( ) sin f x g x x ,求函数导数,利用函数单调性即可得大小关系. 【解析】由题得( )cos( )sinf xxfxx,即( )cos( )sin0f xxfxx,令 ( ) ( ) sin f x g x x (0,) 2 x ,导函数 2 ( )sin( )cos ( )0 sin fxxf xx g x x ,因此 g(x)在定义域上为增函数.则有(
11、)()(1)() 643 gggg ,代 入函数得 (1)2 2 ()2 ()() 64sin133 f fff ,由该不等式可得(1)2 ()sin1 6 ff ,故选 D. 【 点 评 】 若 给 出 条 件 tan0f xfxx, 可 构 造 函 数 sinyf xx, 若 给 出 条 件 tan0f xfxx ,可构造函数 sin f x y x . 【题型训练】已知函数 ( )f x的定义域为, 2 2 ,其导函数为( )fx .若( )tan ( )fxxf xx ,且 (0)0f,则下列结论正确的是（） A ( )f x是增函数 B ( )f x是减函数 C ( )f x有极大值
12、 D ( )f x有极小值 【答案】A 【解析】设函数g xf xx( )( )cos 因为 tanfxxf xx 化简可得 x fxf xx x sin ( ) ( ) cos , 即为fxxxf xxx( )cossin( )sin, 故g xxx( )sin, 因为x 22 (,) 所以g xxx0( )sin恒成立, 所以( )yg x在x 22 (,)上单调递增, 又因为(0)0f, 所以g 0f 000( )( )cos, 所以当(,0) 2 x 时,( )0g x , 当(0,) 2 x 时,( )0g x , 2 g xg xxg xx fx xx ( )( )cos( )si
13、n ( ) coscos , 当(,0) 2 x 时,( )0g x ,( )0g x,cos0 x ,sin0 x , 故 2 g xg xxg xx fx0 xx ( )( )cos( )sin ( ) coscos 恒成立； 当(0,) 2 x 时,( )0g x ,( )0g x ,cos0 x ,sin0 x , 故 2 g xg xxg xx fx0 xx ( )( )cos( )sin ( ) coscos 恒成立； 所以yfx0( )在x 22 (,)上恒成立, 故( )yf x在x 22 (,)上单调递增, 故函数没有极值,不可能单调递减,故选 A. 题型题型五、根据五、根据
14、 f xfxg x构造函数构造函数 【例 5】设函数 ( )f x在R上存在导函数( )fx ,xR ,有 3 ( )()f xfxx,在(0,)上有 2 2( )30fxx,若 2 (2)( )364f mf mmm ,则实数m的取值范围为（） A 1,1B(,1C1,)D( , 11,) 【答案】B 【分析】由题,构造新函数 3 ( )( ) 2 x g xf x,再由题判断出新函数 ( )g x的奇偶性和单调性,再利用 2 2364f mf mmm 可得出(2)( )g mg m,即可求得 m 的取值. 【解析】因为 3 f xfxx,所以 33 () ( )() 22 xx f xfx
15、 令 3 ( )( )( )() 2 x g xf xg xgx 即函数( )g x为偶函数,因为0,上有 2 230fxx, 所以 2 3 ( )( )0 2 x g xfx 即函数( )g x在(0,)单调递增； 又因为 2 2364f mf mmm 所以 33 (2) (2)( )(2)( ) 22 mm g mg mf mf m 2 (2)( )3640f mf mmm 即(2)( )g mg m,所以2mm,解得1m ,故选 B. 【点评】求解本题的关键是根据 3 fxfxx,构造偶函数 3 2 x g xfx,一般地,若给出 fxfxg x可构造偶函数或奇函数. 【变式训练】.已知
16、定义在 R 上的函数 f x的导数为 fx,且满足 2sinf xfxx,当0 x 时 sincosfxxxx ,则不等式 2 2 fxfx sin2cosxx的解集为 A. , 2 B. , 6 C. , 2 6 D. , 26 【答案】C 【解析】设 sing xfxx,则singxfxx,所以 g xgx = fxfx2sin0 x,所以 g x是偶函数,设 sin0h xxx x,则 1cos0h xx , 所以 0h xh,即sin0 xx, 所以0 x 时 sincoscosfxxxxx 所以0 x 时 cos0gxfxx, g x在0,上是增函数, 所以 2 2 fxfx sin2cosxx2sin2fxx sin 22 fxx 2 2 gxg x 2 2 gxgx 2 2 xx 2 2 2 2 xx 30 22 xx 26 x ,故选 C.
