高一立体几何期末题汇编.docx

1、高一立体几何期末题汇编 8. 如图所示， 在平面四边形ABCD中，ADCD， 6ADCD ，ACBC， o 60B ， 现将ACD沿AC边折起，并连接BD，当三棱锥DABC的体积最大时，其外接球的 表面积为（） A.4B.8C.12D.16 【答案】D 【解析】因为ABC的面积不变，要使体积最大，需 D 到平面 ABC 的距离最大， 即当平面 ACD平面 ABC 时，体积最大， 因为ACD等腰直角三角形， 取AC中点E,则DE平面ABC， 高为DE= 3最大， AC=2 3， 则 RtABC中 o 60B ，BC=2，AB=4，所以 EB= 7，故 RtBDE 中 BD= 10，所以 ABD中

2、 222 ADBDAB ，即得空间中 o 90ADBACB 即 AB 为球的直径，故半径 22 416RAB ，所以外接球的表面积 2 416SR . 12. 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为1， 1 2AA ，则（） A. 1 / /DC平面 11 ABCB. 异面直线 1 AB与AC所成角的余弦值为 4 5 C.AC 平面 11 BB D DD. 点 1 B到平面 11 ABCD的距离为 2 5 5 【答案】ACD 【解析】根据题意作图如下， A 选项：在正四棱柱 1111 ABCDABC D中，因为 11 / /DCAB， 1 DC 平面 11 ABC， 1 AB

3、平面 11 ABC，所以 1 / /DC平面 11 ABC，故 A 选项正确； B 选项：在正四棱柱 1111 ABCDABC D中，因为 11 / /DCAB， 所以异面直线 1 AB与AC所成角即为异面直线 1 DC与AC所成角 1 DCA，在 1 DCA中， 因为 1 5DC ， 1 5D A， 2AC ，所以 1 10 cos 10 DCA ，故 B 选项错误； C 选项：在正四棱柱 1111 ABCDABC D中，因为ACBD， 1 ACBB， 1 BDBBB， 所以AC 平面 11 BB D D，故 C 选项正确； D 选项：在正四棱柱 1111 ABCDABC D中，因为BC平面

4、 11 ABB A，在平面 11 ABB A内点 1 B到线段 1 AB的距离就是点 1 B到平面 11 ABCD的距离，在 11 ABB中， 1 B到线段 1 AB的距 离为 2 5 5 ，所以点 1 B到平面 11 ABCD的距离为 2 5 5 ，故 D 选项正确. 故选：ACD. 16. 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2， 则平面 11 AC D与平面ABCD所成角为_； 设P为 1 CC的中点，过点A，P， 1 D的平面截该正方体所得截面的面积为_. 【答案】(1). 4 (2). 9 2 【解析】连接 1 BC，在正方体 1111 ABCDABC D中，易知 11 /A

5、B C D且 11 ABC D，则四 边形 11 ABC D为平行四边形，即B平面 11 AC D， 因为正方体中，ABBC， 1 ABBB，且 1 ,BC BB 平面 11 BBC C， 则AB 侧面 11 BBC C，所以 1 ABBC， 又平面 11 AC D 平面ABCDAB， 则 1 C BC即等于平面 11 AC D与平面ABCD所成的角，所以 1 1 tan1 CC C BC BC ， 即 1 4 C BC ； 取BC中点为Q，连接PQ，AQ，因为P为 1 CC的中点，则 1 /PQ BC， 又 11 /ADBC，则 1 /PQ AD，即A， 1 D，P，Q四点共面， 即梯形 1

6、 AD PQ即为过点A，P， 1 D的平面截该正方体所得截面， 因为正方体棱长为2，则 22 111 2 2ADBCBCCC， 1 1PCBQ， 所以 1 1 2 2 PQBC， 22 215AQ ， 22 1 215PD ， 即梯形 1 AD PQ为等腰梯形，分别作 1 PMAD于点M， 1 PNAD于点N， 则 11 1 2 222 ADNMADPQ D MAN ， 所以 22 11 13 2 5 22 PMPDDM， 因此梯形 1 AD PQ的面积为 1 113 29 3 2 2222 SPQADPM . 故答案为： 4 ； 9 2 . 19. 在正三棱柱 111 ABCABC中，D为B

7、C的中点. （1）求证：平面 1 ADC 平面 11 B BCC； （2）若 1 24ABAA，求点 1 A到平面 1 ADC的距离. 解： （1）正三棱柱 111 ABCABC， 1 CC 平面ABC, 1 CCAD, D为BC的中点，BCAD, 又 1 BCCCC,AD平面 11 B BCC， AD平面 1 ADC，平面 1 ADC 平面 11 B BCC. （2）过点D作DEAC，E为垂足，则 3DE ， 平面 11 A ACC 平面ABC，DE 平面 11 A ACC， 11 114 3 34 2 323 D A AC V ， 设点 1 A到平面 1 ADC的距离为h， 1111 AA

8、DCD A AC VV , 1 14 3 33 ADC hS , 由（1）可知 1 ADC为直角三角形 ，可求得， 1 1 11 2 3 2 22 6 22 ADC SADDC , 可得 2h ,点 1 A到平面 1 ADC的距离 2. 19. 在正三棱柱 111 ABCABC中，D为BC的中点. （1）求证：平面 1 ADC 平面 11 B BCC； （2）若 1 24ABAA，求点 1 A到平面 1 ADC的距离. 解： （1）正三棱柱 111 ABCABC， 1 CC 平面ABC, 1 CCAD, D为BC的中点，BCAD, 又 1 BCCCC,AD平面 11 B BCC， AD平面 1

9、 ADC，平面 1 ADC 平面 11 B BCC. （2）过点D作DEAC，E为垂足，则 3DE ， 平面 11 A ACC 平面ABC，DE 平面 11 A ACC， 11 114 3 34 2 323 D A AC V ， 设点 1 A到平面 1 ADC的距离为h， 1111 AADCD A AC VV , 1 14 3 33 ADC hS , 由（1）可知 1 ADC为直角三角形 ，可求得， 1 1 11 2 3 2 22 6 22 ADC SADDC , 可得 2h ,点 1 A到平面 1 ADC的距离 2. 21. 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是边长为2的菱形，PB PD

10、，M，N分别为PA， BC的中点. （1）求证：/MN平面PCD； （2）求证：BDPA； （3）若 o 60DABPAC ， o 90APC ，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦 值. 解： （1）证明：取PD得中点E，连接ME，CE， M为PA的中点， 1 / 2 MEAD且 1 2 MEAD， N为BC的中点且四边形ABCD为菱形， 1 / 2 NCAD且 1 2 NCAD， /ME NC且MENC， 四边形MNCE为平行四边形， /NM CE， 又MN 平面PCD，CE 平面PCD，/MN平面PCD. （2）连接AC交BD于点O， 四边形ABCD为菱形，BDAC， PBPD，BDPO

11、， 又,PO AC为平面PAC内的两条相交直线，BD 平面PAC， 又PA平面PAC，BDPA. （3）过P作PKAC，K为垂足，连接BK， 由（2）可知BD 平面PAC， 所以平面ABCD 平面PAC， 而平面ABCD平面PACAC， 所以PK 平面ABCD， 因此直线PB在平面ABCD的射影为KB， 即PBK为直线PB与平面ABCD所成角， 四边形ABCD为菱形边长为2，60DAB ， 3AO ，1BO , 由题意可知PAC为直角三角形，易得 3POAO ， 又60PAC ， 3PA ， 3 2 PK ， 由BD 平面PAC可知POB为直角三角形， 22 2PBPOOB ， 在Rt PKB

12、中， 3 3 2 sin 24 PBK ， 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 3 4 . 12. 如图，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（） A. 若点 M，N 分别是线段,A A A D 的中点，则 MNBC B 点 C 到平面ABC D 的距离为 2 C. 直线 BC 与平面ABC D 所成的角等于 4 D. 三棱柱AA DBB C 的外接球的表面积为 3 【答案】ACD 【解析】A 选项：在A AD中，点 M，N 分别是线段,A A A D 的中点， 所以/ /MNAD，在正方体ABCDA BC D 中，/ /ADBC， 所以 MNBC所以 A 选项

13、正确； B 选项：连接B C交BC于点E，如图，所以CE 平面ABC D ， 所以点 C 到平面 ABCD的距离为CE，解得： 2 2 CE ， 所以 B 选项错误； C 选项：由 B 选项知直线 BC 与平面ABC D 所成的角为 4 CBE ， 所以 C 选项正确； D 选项：三棱柱AA DBB C 的外接球就是正方体ABCDA BC D 的外接球， 所以半径为： 3 2 r ， 2 =43Sr 所以 D 选项正确. 故选：ACD. 16. 如图， 在三棱锥VABC中， 2 2AB ，VAVB，1VC ， 且AVBV，ACBC， 则二面角VABC的余弦值是_ 【答案】 3 4 【解析】取A

14、B的中点O，连接VO、OC，如下图所示： VAVB，O为AB的中点，则VOAB，且AVBV， 2 2AB ， 1 2 2 VOAB， 同理可得OCAB，且 2OC ，所以，二面角VABC的平面角为VOC， 由余弦定理得 222 3 cos 24 VOOCVC VOC VO OC ， 因此，二面角VABC的余弦值为 3 4 . 故答案为： 3 4 . 19. 在四面体ABCD中，点 E，F，M 分别是 AB，BC，CD 的中点，且 BDAC2，EM 1 （1）求证：/ /EF平面 ACD； （2）求异面直线 AC 与 BD 所成的角 解:证明：点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以EF是A

15、BC的中位线， 所以/EFAC， 1 1 2 EFAC， EF 平面 ACD，AC 平面 ACD，所以/ /EF平面 ACD； （2）解：F，M 分别是 BC，CD 的中点， 所以MF是DBC的中位线，所以 1 / /,1 2 MFDB MFDB， 所以异面直线 AC 与 BD 所成的角就是EF和MF所成的角， 又因为 EM1，所以EFM为正三角形，EF和MF所成的角为60 故异面直线 AC 与 BD 所成的角为60. 21. 如图， 在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，2PAABBC， D为线段AC的中点，E为线段PC上一点 （1）求证：平面BDE 平面PAC； （2）当/PA

16、平面BDE时，求三棱锥PBDE的体积 解： （1）PAAB，PABC，ABBCB，PA平面ABC， BD Q平面ABC，BDPA， ABBC，D为线段AC的中点，则BDAC， PAACAQI，BD平面PAC， BD Q平面BDE，平面BDE 平面PAC； （2）/PA平面BDE，PA平面PAC，平面PAC 平面BDEDE，/DE PA， DQ为AC的中点，则E为PC的中点， 2PAABBC，ABBC， 22 2 2ACABBC ， 1 2 2 2 PAC SPA AC ， 112 242 PDEPCDPAC SSS ， 由（1）可知，BD 平面PAC，DQ为AC的中点，则 1 2 2 BDAC

17、， 1121 2 3323 P BDEB PDEPDE VVSBD . 10. 正四棱锥ABCDP 的五个顶点在同一个球面上，若底面边长为 4，侧棱长62，则 此球的表面积为（） A18B.36C.72D.9 11. 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点P为AD的中点，点Q为 11 BC上的动点，下 列说法中： PQ可能与平面 11 CDDC平行；PQ与BC所成的角的最大值为 3 ； 1 CD与PQ一定垂直； 2PQAB PQ与 1 DD所成的最大角的正切值为 5 2 .其中正确个数为（） A2B3C4D5 1011 BC 16. 若正三棱锥底面的边长为a，且每两个侧面所成的角均

18、为 90，则底面中心到侧面的距 离为_ 16. 6 2a 20.（12 分）如图所示，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，BD是线段AC的中 垂线，BD与AC交于点O，8AC ，2PD ，3OD，5OB （1）证明：平面PBD 平面PAC； （2）求点B到平面PAC的距离 20. （1）因为PD 平面ABCD，所以PDAC 又因为BDAC，BDPDD，所以AC 平面PBD 又AC 平面PAC，所以平面PBD 平面PAC （2）因为8AC ，2PD ，3OD，5OB ， 所以由勾股定理得 22 435ADCD ， 22 5229APCP 所以 2 2 1 82944 13 2 PAC S

19、， 11 8 520 22 ABC SAC OB 设点B到平面PAC的距离为h 由 B PACP ABC VV ，得 11 33 PACABC ShSPD ， 即 11 4 1320 2 33 h，解得 10 13 13 h 21.（12 分）如图，在几何体 PABCD 中，平面 ABCD平面 PAB ，四边形 ABCD 为矩 形，PAB 为正三角形，若 AB2，AD1，E，F 分别为 AC，BP 中点 （1）求证：EF平面 PCD； （2）求直线 DP 与平面 ABCD 所成角的正弦值 21. (1)因为 E 为 AC 中点，所以 DB 与 AC 交于点 E 因为 E，F 分别为 AC，BP

20、 中点，所以 EF 是BDP 的中位线， 所以 EFDP又 DP平面 PCD，EF平面 PCD，所以 EF平面 PCD (2)取 AB 中点 O,连接 PO，DO PAB 为正三角形，POAB， 又平面 ABCD平面 PABPO平面 ABCD,DP 在平面 ABCD 内的射影为 DO， PDO 为 DP 与平面 ABCD 所成角，3,5OPDP 在 RtDOP 中，sinPDO= 315 55 OP DP , 直线 DP 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 15 5 22.（12 分）如图：在四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，其它四个 侧面都是侧棱长为 5的等腰三角形.

21、（1）求二面角VABC的平面角的大小 （2）求四棱锥VABCD的体积. 22. （1）取AB的中点M，CD的中点N， 连MN， ABCD是边长为 2 的正方形,2MNAB MN又5VAVB VMABVMN是二面角VABC的平面角 在Rt VAM中，1,5AMVA2VM， 同理2VN VMN是正三角形60VMN， （2）由（1）知AB 平面VMN 所以平面ABCD 平面VMN 过V作VOMN, 则VO 平面ABCD 2VMMNVN，3VO， 所以 1 3 VABCDABCD VSVO ， 14 3 43 33 . 6已知三棱锥PABC中，2PAPB，7CACB，2 3AB ，3PC .有 以下结

22、论：三棱锥PABC的表面积为5 3；三棱锥PABC的内切球的半径 3 5 r ；点P到平面ABC的距离为 3 2 ；其中正确的是（） ABCD 【解析】 如图所示： 取AB的中点D，连接PD、CD，则ABCD，ABPD， 2PAPB，7CACB，2 3AB ，3PC ， 由题意可计算得出,CPPA CPPB PDAB，CDAB，以及各线段长度如图， 三棱锥PABC的表面积为 3332 35 3 ，即正确； 由题可得，CP平面ABP，由等体积法可得， 11 335 3 33 p ABC Vr ， 3 5 r ，即正确； ABCD，ABPD，CD、PD 平面PCD，AB平面PCD， 又AB平面AB

23、C，平面ABC 平面PCD， 点P到平面ABC的距离即为点P到CD的距离， 由三角形等面积法可知，在Rt PCDV中，点P到CD的距离为 3 2 ，即正确 7一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ABEF； AB 与 CM 所成的角为 60； EF 与 MN 是异面直线；MNCD 其中正确的个数为()个 A1B2C3D4 【答案】B 【解析】 还原正方体,以正方形NACF为底面有 对,因为ABCM,且CMEF有ABEF,故正确. 对,因为ABCM,所以错误. 对,由图可得显然正确. 对,MNCD,故错误. 11在正方体 1111 ABCDABC D中，点O为线段BD的中点

24、，设点P在直线 1 CC上，直线 OP与平面 1 ABD所成的角为，则sin的取值范围是（） A 6 ,1 3 B 3 ,1 3 C 6 2 2 , 33 D 36 , 33 【答案】A 【解析】 由题意可得：直线 OP 于平面 1 ABD所成的角的取值范围： 111 , 22 AOAC OA 不妨取2AB . 在 1 Rt AOA中， 1 1 2 1 26 sin 3 22 AA AOA AO . 111 sinsin2COAAOA 1 sin2 AOA 11 2sincosAOAAOA 632 26 2 3333 sin的取值范围是 6 ,1 3 . 故答案为 6 ,1 3 . 14如图，

25、在三棱锥VABC中，VC 底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且 2VCBCAC，则异面直线CD与VB所成角的余弦值为_. 设22VCBCAC，取线段VA的中点M，连MC，MD. 因为M，D分别VA，AB的中点，所以/MD VB， 所以异面直线CD与VB所成的角为MDC. 因为VC 底面ABC，所以VCAC，所以 15 22 CMVA . 因为ACBC，所以 15 22 CDAB . 因为MD为AVB的中位线，所以 1 2 2 MDVB， 所以在等腰MDC中， 12 10 22 cos 55 2 MD MDC CD . 故答案为： 10 5 16如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆上异

26、于 A、B 的点，PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 POOB 2 ，BC2，点 E 在线段 PB 上，则 CE+OE 的最小值为_ 【答案】 26 2 【解析】 在POB 中，POOB 2 ，POB90， 所以 PB 22 ( 2)( 2)2， 同理 PC2，所以 PBPCBC， 在三棱锥 PABC 中，将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BCP，使之与平面 ABP 共面，如图所示， 当 O，E，C共线时，CE+OE 取得最小值， 又因为 OPOB，CPCB， 所以 OC垂直平分 PB，即 E 为 PB 中点 从而 OCOE+EC 2626 222 亦即 CE+OE 的最小值为： 26 2

27、 故答案为： 26 2 18从一张半径为 3 的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图 1 阴影部分） ，并卷成一个深 度为h米的圆锥筒（如图 2）.若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为 2 3 rad . （1）求圆锥筒的容积； （2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为x的内接圆柱（如图 3） ，求内接圆柱侧面积 最大时x的值. （1）设圆锥筒的半径为r，容积为V， 所裁剪的扇形铁皮的圆心角为 2 3 ， 2 23 3 r ，解得1r ， 2 92 2hr ， 112 2 2 2 333 VSh . 圆锥筒的容积为 2 2 3 . （2）设内接圆柱高为h则有，由圆锥内接圆柱的轴截面图， 得 2 2 2

28、 2 1 12 2 xh hx ， 所以内接圆柱侧面积 22 1 24 2=4 2 ()2 ,01 2 Sxhxxxx， 所以当 1 2 x 时内接圆柱侧面积最大. 20如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，2AB ，120ABC，AC与BD相 交于点O，四边形BDEF为直角梯形，/DE BF，BDDE，33DEBF，平面 BDEF 平面ABCD. （1）证明：平面AEF 平面AFC； （2）求三棱锥EADF的体积. 【答案】 （1）见解析（2） 3 【解析】 （1）连接OE，OF， 四边形ABCD为菱形，ACBD， 又平面BDEF 平面ABCD，平面BDEF 平面ABCDBD， AC 平面

29、BDEF，则ACEF 四边形BDEF为直角梯形，/ /DEBF，BDDE，33DEBF，1OAOB， 10OE ， 2OF ， 2 2EF ，则 222 OEOFEF ，得EFOF， AC、OF 平面AFC，且ACOFO， EF平面AFC，又EF 平面AEF，平面AEF 平面AFC （2）/DEBF，/ /BF平面ADE， ABD 111 2333 332 EAFDFADEB ADEEABD VVVVSDE 21在四棱锥PABCD中，已知PA平面 /,/ABCD AD BC， ,4,2 3 3 ADCPAAD ， 3BC ，点M为线段PD的中点 （1）求证：/CM平面PAB； （2）求直线PA

30、与平面PCD所成角的正弦值 （1）如图，取PA的中点N，连接,MN NB 在 PAD 中，,M N分别为,PD PA的中点， / 1 2 MNAD 在四边形ABCD中， /,3,2 3BC AD BCAD， / 1 2 BCAD， / BC MN， 四边形BCMN为平行四边形， /CM BN， 又CM 平面PAB，BN 平面PAB， /CM平面PAB （2）过点A作AQCD交CD于点Q，连接PQ，过点A作AHPQ于点H PA平面 ,ABCD CD 平面ABCD， PACD，又CDAQ，,PA QA平面,PAQ PAQAA， CD平面PAQ， CD 平面PCD， 平面PCD 平面PAQ， 又AH

31、PQ，平面PAQ平面PCDPQ， AH平面PCD， PA在平面PCD内的射影为PH， APH为直线PA与平面PCD所成的角 在Rt PAQ中，4,sin3 3 PAAQAD ， 3 tan 4 APQ， 3 sin 5 APH， 直线PA与平面PCD所成角的正弦值为 3 5 22如图，已知圆柱内有一个三棱锥ABCD，AD为圆柱的一条母线，DF，BC为下 底面圆O的直径，2ADBC （）在圆柱的上底面圆内是否存在一点E，使得/EF平面ABC？证明你的结论 （）设点M为棱AC的中点， 2DNNC ，求四棱锥BADNM体积的最大值 （）当点E为上底面圆的圆心时，/EF平面ABC 如图，取上底面圆的圆

32、心为 1 O，连接AO， 1 AO， 1 OO， 1 O F， 则 1/ OOAD， 1 OOAD 所以四边形 1 ADOO为平行四边形， 所以 1 AO /DO，所以 1 AO /OF 又 1 AOOF，所以四边形 1 AOFO为平行四边形， 所以 1 AO/O F 因为AO 平面ABC， 1 O F 平面ABC， 所以 1 O F/平面ABC 故点E为上底面圆的圆心 1 O时，/EF平面ABC； （）在底面圆O中，由BDCD得 22 4BDCD 11 332 BADNMA BCDMBNCBCDBNC AD VVVAD SS 111 3323 BCDBCD AD AD SS 22 55155

33、545 992181821829 BCD BDCD SBD CDBD CD ， 当且仅当 2BDCD 时等号成立，所以四棱锥BADNM体积的最大值为 5 9 5 已知四面体PABC的外接球的球心O在AB上， 且PO 平面ABC，23ACAB， 若四面体PABC的体积为 3 2 ，则该球的表面积为（） A12B4 3 C16D8 【答案】A 【解析】 因球心O在AB上，则AB为球的直径，90BCA 设2ABR，又因为2 3ACAB ，则 3ACR ，BCR，POR 又因为PO 平面ABC，所以 2 1133 3322 P ABCABC R VSPOR ，得 3R 则球的表面积为 2 4312 7

34、如图，多面体 1111 ABCDA B C D为正方体，则下面结论正确的是() A 11 A B/ /B C B平面 11 CB D 平面 1111 A B C D C平面 11 CB D / /平面 1 A BD D异面直线AD与 1 CB所成的角为30 【答案】C 【解析】 在 A 中，若 11 A B/ /B C，由 11 A B/ /CD，得 11 B C/ /CD，矛盾，故 A 错误； 在 B 中， 1 BB 平面 1111 A B C D，平面 11 BB D D 平面 1111 A B C D， 则平面 11 CB D 平面 1111 A B C D也是错误的，故 B 错误； 在

35、 C 中， 11 A B/ /CD， 11 A D/ /CB，平面 11 CB D / /平面 1 A BD，故 C 正确； 在 D 中，多面体 1111 ABCDA B C D为正方体， 1 BCB 0 45 ， 又AD/ /BC，AD与 1 CB所成角为 0 :45，故 D 错误 8在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G，H 四点，如 EF 与 HG 交 于点 M，那么() AM 一定在直线 AC 上 BM 一定在直线 BD 上 CM 可能在直线 AC 上，也可能在直线 BD 上 DM 既不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上 【答案】A 【解析】 如

36、图，因为 EFHG=M， 所以 MEF，MHG， 又 EF平面 ABC，HG平面 ADC， 故 M平面 ABC，M平面 ADC， 所以 M平面 ABC平面 ADC=AC. 选 A. 12将正方形ABCD沿对角线BD对折，使得平面ABD 平面BCD，则（） AACBD BADC为等边三角形 CAB与CD所成角为 60 DAB与平面BCD所成角为 60 【答案】ABC 【解析】 解：由题意可构建棱长均为a的正四棱锥CABED， 对于选项 A，显然有BD 面AEC,又AC 面AEC,则ACBD，即选项 A 正确， 对于选项 B，由题意有ADACCD,即ADC为等边三角形，即选项 B 正确， 对于选项

37、 C，因为ABDE,则CDE为异面直线AB与CD所成角，又EDC为等边三 角形，即 60CDE ，即选项 C 正确， 对于选项 D，由图可知，ABD为AB与平面BCD所成角，又45ABD ，即 AB与平 面BCD所成角为45，即选项 D 错误， 故选：ABC. 14如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点O为线段BD的中点.设点P在线段 1 CC上， 直线OP与平面 1 ABD所成的角为，则sin的取值范围是_. 【答案】 6 ,1 3 【解析】 由题意可得：直线 OP 于平面 A1BD 所成的角的取值范围是 111 , 22 AOAC OA ， 不妨取 AB=2在 RtAOA1中，

38、sinAOA1= 1 1 26 342 AA AO ， sinC1OA1= 1111 sin2sin22sincosAOAAOAAOAAOA 632 26 2 3333 ， sin的取值范围是 6 ,1 3 . 19如图， 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，PA 平面ABCD. （1）求证：/PB平面AEC； （2）若四边形ABCD是矩形且PAAD，求证：AE平面PCD. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 （1）连接BD交AC于O，因为ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点， 因为E为PD的中点，所以/OE PB， 又因为PB平面AE

39、C，OE 平面AEC，所以/PB平面AEC； （2）因为PAAD且E是PD的中点，所以AEPD， 又因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD， 因为四边形ABCD是矩形，所以CDAD， 因为PA、AD平面PAD且PAADA， 所以CD 平面PAD，又因为AE 平面PAD，所以CDAE， PD、CD平面PCD且PDCDD，所以AE平面PCD. 21如图 1，在梯形ABCD中，/AB CD，且24ABCD，ABC是等腰直角三角形， 其中BC为斜边.若把ACD沿AC边折叠到ACP的位置，使平面PAC 平面ABC， 如图 2. （1）证明：ABPA； （2）若E为棱BC的中点，求点B到平面

40、PAE的距离. 【答案】 （1）见解析； （2） 2 6 3 . 【解析】 （1）证明：ABC是等腰直角三角形，BC为斜边， ABAC. 平面PAC 平面ABC，平面PAC平面ABCAC，AB平面ABC AB 平面PAC， PA平面PAC， ABPA； （2）解：由（1）知ABAC，PC 平面ABC， 由题意可得2PC ，4ACAB，ACAB， 则 4 2BC ， 4162 5PA ， E为棱BC的中点， 1 2 2 2 AECEBC， 482 3PE ， 在PAE中， 2 2AE ， 2 5PA ， 2 3PE ， 222 AEPEPA ， 即AEPE， 则PAE的面积为 1 2 22 32

41、 6 2 ， 设点B到平面PAE的距离为h B PAEPABE VV ， 2 1111 2 642 3322 h， 2 6 3 h . 3瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包 含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数 V棱数 E 及面数 F 满 足等式2VEF，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公 式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体， 它是由 m 块黑色正五边形面料和32m块白色正六边形面料构成的则m （） A20B18C14D12 【答案】D 【解析】 依题意，设足

42、球顶点数 V棱数 E 及面数 F， 则3232Fmm， 每条棱被两个面公用，故棱数 56(32)192 22 mm E m ， 每个顶点 3 条棱公用，故顶点数 56(32)192 33 mm V m 所以由2VEF，得 192192 322 32 mm ， 解得12m 5如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，4ACBC，ACBC， 1 5CC ，D、E分 别是AB、 11 BC的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（） A 3 3 B 1 3 C 58 29 D 3 87 29 【答案】C 【解析】 取 11 AC的中点F，连接DF、EF、CF. 易知EF是 111 A B C

43、的中位线，所以 11 /EF AB且 11 1 2 EFAB. 又 11 /AB AB且 11 ABAB，D为AB的中点， 所以 11 /BD AB且 11 1 2 BDAB， 所以/EF BD 且EFBD. 所以四边形BDFE是平行四边形，所以/DF BE，所以CDF就是异面直线BE与CD所 成的角. 因为4ACBC，ACBC， 1 5CC ，D、E、F分别是AB、 11 BC、 11 AC的中点， 所以 111 1 2 2 C FAC， 111 1 2 2 B EBC且CDAB. 由勾股定理得 22 444 2AB ，所以 44 2 2 4 2 AC BC CD AB . 由勾股定理得 2

44、222 11 5229CFCCC F， 2222 11 5229DFBEBBB E. 在CDF中，由余弦定理得 222 292 229 58 cos 292292 2 CDF . 故选：C. 10如图两正方形ABCD，CDFE所在的平面垂直，将EFC沿着直线FC旋转一周，则 直线EC与AC所成角的取值范围是（） A 5 , 12 12 B 7 , 12 12 C, 12 2 D, 6 2 【答案】C 【解析】 如下图所示， 连接AF，因为正方形ABCD和CDFE，则ADCD，FDCD，ADDCDF又 因为面ABCD 面CDFE，面ABCD面CDFECD， 则AD面CDFE， 因此ADDF. 因

45、此 222 AFADDF ， 222 ACADDC ， 222 CFCDDF ， 则AFACCF， 因此 3 ACF 因为 4 ECF ， 则当EFC沿着直线FC旋转一周， 7 12 CEAECFFCA 12 CEFACFECF ， 当CEF为锐角或直角时，直线EC和AC所成角的等于CEF 当CEF为钝角时，直线EC和AC所成的角等于CEF的补角 因此直线EC和AC所成的角的取值范围是, 12 2 12如图所示，在直角梯形BCEF中，90CBFBCE ，, A D分别是,BF CE上的 点，ADBC，且22ABDEBCAF().将四边形ADEF沿AD折起，连接 ,BE BF CE().在折起的

46、过程中，下列说法中正确的是（） AAC平面BEF B,B C E F四点不可能共面 C若EFCF，则平面ADEF 平面ABCD D平面BCE与平面BEF可能垂直 【答案】ABC 【解析】 选项 A 中，连接AC，取AC的中点O，BE的中点M， 连接,MO MF，MODE且 1 2 MODE， 而AFDE且 1 2 AFDE， 所以AFMO且AFMO 所以四边形AOMF是平行四边形， 所以ACFM，而AC 平面BEF，FM 平面BEF， 所以AC平面BEF， 所以 A 正确； 选项 B 中，设,B C E F四点共面， 因为BCAD，BC 平面ADEF，AD平面ADEF， 所以BC平面ADEF，

47、 而BC 平面BCEF，平面BCEF 平面ADEFEF， 所以BCEF， 所以ADEF，这与已知相矛盾， 故BCEF， ， ，四点不可能共面， 所以 B 正确； 选项 C 中，连接,CF DF， 在梯形ADEF中，易得EFFD， 又EFCF，,FD CF 平面CDF，FDCFF， 所以EF 平面CDF 而CD平面CDF，所以CDEF， 而CDAD，,EF AD 平面ADEF，且EF与AD必有交点， 所以CD 平面ADEF， 因为CD平面ABCD， 所以平面ADEF 平面ABCD， 所以 C 正确； 选项 D 中，延长AF至G，使得AFFG，连接,BG EG， ADAF，ADAB， ,AF AB

48、 平面ABF，AF ABA， 所以AD平面ABF， 而BCAD，所以BC平面ABF， 因为BC 平面BCE，所以平面BCE 平面ABF， 过F作FNBG于N，FN 平面ABF，平面BCE平面ABFBG， 所以FN 平面BCE， 若平面BCE 平面BEF， 则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上， 故前后矛盾， 所以 D 错误. 18 四棱锥PABCD中,AP 平面ABCD， 1 2 2 ADDCBCAB，3AP ，E 为AP的中点，/ /ABCD，过点A作AFBP于F. (1) 求证：/ /DEBCP平面； (2) 求三棱锥PEFC的体积. 【答案】 （1）见解析（2） 9 3 25 【

49、解析】 (1)证明:取PB的中点M，连接,EC MC. E是AP的中点 / /EMAB, 1 2 EMAB / /EMCD,EMCD 四边形 CDEM 为平行四边形， / /EDMC CMCBP 面，DECBP 面 / /DEBCP平面 (2)过C作CNAB交 AB 于 N 点. AP 平面ABCD APCN，则CNABP 面. CN为点C到面PEF的距离， 22 3CNCBBN 在直角ABP中，AFBP，3AP ，4AB . 5BP ， 12 5 AB AP AF BP ， 22 9 5 PFAPAF 1127 2425 PEFPAF SSAF PF ， -PEF 19 3 325 PEFC

50、 VCN S 三棱锥 -PEFP EFCC VV 三棱锥三棱锥 三棱锥PEFC的体积 9 3 25 21如图所示，正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD 所成的角的正切值为 6 2 （1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小； （2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值； （3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF侧面PBC，若存在，试确定点F的位置； 若不存在，说明理由 【答案】 （1）60； （2） 2 10 5 ； （3）点F为AD的四等分点. 【解析】 （1）取AD中点M，设PO 面ABCD，连,MO MP， 则PMO为二面角的平面角，