1、大学物理学全册配套最完整大学物理学全册配套最完整 精品课件精品课件2 大学物理 什么是物理学什么是物理学(physics)? 物：物质结构、性质物：物质结构、性质 理：物质运动、变化规律理：物质运动、变化规律 绪绪 论论 空间尺度空间尺度 ( (相差相差101045 45 10 1046 46) ) 10 1026 26 m( m(约约150150亿光年亿光年) )( (宇宙宇宙) )1010 20 20 m m( (夸克 夸克) ) 时间尺度时间尺度 ( (相差相差101045 45) ) 10 1018 18s(150 s(150亿年亿年) )( (宇宙年龄宇宙年龄) )1010-27 -
2、27s s( (硬 硬 g g 射线周期射线周期) ) 速率范围速率范围 0 0( (静止静止) ) 3x103x108 8 m/s( (光速 光速) ) 研究研究对象对象十分广泛十分广泛 ( (一) )物理学的研究对象和研究方法物理学的研究对象和研究方法 不同尺度和速度范围的对象要用不同的物理学研究不同尺度和速度范围的对象要用不同的物理学研究 m1 3 10 6 10 9 10 12 10 15 10 18 10 21 10 24 10 27 10 的物质世界的物质世界 Hubble 半径半径 超星系团超星系团 星系团星系团 银河系银河系 太阳系太阳系 太阳太阳 山山 3 10 DNA长度长
3、度 最小的细胞最小的细胞 6 10 9 10 原子原子 12 10 15 10 原子核原子核 粒子粒子 0 Z W e 最近最近 星距星距 微微 观观 宏宏 观观 介介 观观 宇宇 观观 伽利略的研究方法 观察现象观察现象提出假设提出假设进行数学和逻辑推理进行数学和逻辑推理 实验验证实验验证 形成理论形成理论 开创了科学实验方法，并将实开创了科学实验方法，并将实 验、观察和理论思维相结合。验、观察和理论思维相结合。 提出了思想实验。提出了思想实验。 伽利略在解释其观察结论伽利略在解释其观察结论 爱因斯坦评价他说：爱因斯坦评价他说：“伽利略的发现以及他所伽利略的发现以及他所 用的科学推理方法是人
4、类思想史上最伟大的成就之用的科学推理方法是人类思想史上最伟大的成就之 一，而且标志着物理学真正的开端。一，而且标志着物理学真正的开端。” 伽利略被后人称为伽利略被后人称为“现代物理之父现代物理之父”。 罗马教庭对伽利略的审判罗马教庭对伽利略的审判 物理学的研究方法物理学的研究方法 提出命题提出命题 应用应用 修改理论修改理论 实验检验实验检验 理论预言理论预言 推测答案推测答案 物理学是一门理论和实验高度结合的精确科学，物理学是一门理论和实验高度结合的精确科学， 其研究方法可概括为：其研究方法可概括为： 物理上的直觉、物理上的直觉、 想象力、洞察力想象力、洞察力 也常常产生重大也常常产生重大
5、突破和发现突破和发现 具体地说，物理学还有许多有特色的方法：具体地说，物理学还有许多有特色的方法： 对称性分析对称性分析 守恒量的利用守恒量的利用 简化模型的选取简化模型的选取 概念和方法的类比概念和方法的类比 定性和半定量分析定性和半定量分析 量纲分析量纲分析 从方法论上讲，物理学的研究方法可分为：从方法论上讲，物理学的研究方法可分为： 演绎法演绎法: :基本定律基本定律推理、演算推理、演算新理论新理论 归纳法归纳法: :归纳实验、观测事实归纳实验、观测事实假设、模型假设、模型新理论新理论 2004年年6月月10日，联合国大会鼓掌通过决议，规定日，联合国大会鼓掌通过决议，规定2005年为年为
6、 “世界物理年世界物理年”。 决议确认：决议确认： 物理学是认识自然界的基础；物理学是认识自然界的基础； 物理学是当今众多技术发展的基石；物理学是当今众多技术发展的基石； 物理教育为培养人的发展提供了必要的科学基础。物理教育为培养人的发展提供了必要的科学基础。 科学对于人类事务的影响有两种方式，第一种方式科学对于人类事务的影响有两种方式，第一种方式 是大家都熟知的：科学直接地、并在更大程度上间接地是大家都熟知的：科学直接地、并在更大程度上间接地 生产出完全改变人类生活的工具；第二种方式是教育的生产出完全改变人类生活的工具；第二种方式是教育的 性质性质它作用于心灵。它作用于心灵。 爱因斯坦爱因斯
7、坦 （二）物理学的发展（二）物理学的发展 17世纪后半期：世纪后半期： 诞生诞生。伽利略、开普伽利略、开普 勒和牛顿。勒和牛顿。16871687年牛顿发表了年牛顿发表了自然哲自然哲 学的数学原理学的数学原理，阐述并证明了以他命，阐述并证明了以他命 名的三大定律，标志着经典物理学正式名的三大定律，标志着经典物理学正式 诞生。诞生。 经典力学、热力学与统计物理以及电磁学经典力学、热力学与统计物理以及电磁学 构成了构成了“经典物理学经典物理学”的大厦的大厦 。 18世纪至世纪至19世纪：世纪：蓬勃发展的时期蓬勃发展的时期。焦耳、迈尔、。焦耳、迈尔、 开尔文和克劳修斯开尔文和克劳修斯热现象、聚集态的热
8、现象、聚集态的热力学基热力学基 础础 ；玻尔兹曼和吉布斯的；玻尔兹曼和吉布斯的统计物理学统计物理学；库仑；库仑 和法拉第和法拉第电磁学电磁学 ；麦克斯韦麦克斯韦方程组；麦克斯韦麦克斯韦方程组 ，预言了电磁波的存在，预言了电磁波的存在 。 狭义相对论、广义相对论和量子力学构成了狭义相对论、广义相对论和量子力学构成了 20世纪现代物理学的基础世纪现代物理学的基础 。 19世纪和世纪和20世纪世纪 ：三大发现（：三大发现（X射射 线、电子、放射性）以及经典物线、电子、放射性）以及经典物 理学在解释这些新发现时遇到的理学在解释这些新发现时遇到的 困难困难孕育着新的突破。孕育着新的突破。 1905年，爱
9、因斯坦创立了狭义相对年，爱因斯坦创立了狭义相对 论；论；1915年，他又创立了广义相对年，他又创立了广义相对 论；论； 爱因斯坦、玻尔、薛定谔、海森爱因斯坦、玻尔、薛定谔、海森 堡等共同建立了量子力学堡等共同建立了量子力学 。 物理学中最重大的基本理论有下面物理学中最重大的基本理论有下面5个：个： l牛顿力学或经典力学（牛顿力学或经典力学（Mechanics）研究物）研究物 体的机械运动；体的机械运动； l热力学（热力学（Thermodynamics）研究温度、热）研究温度、热 、能量守恒以及熵原理等等、能量守恒以及熵原理等等 l电磁学（电磁学（Electromagnetism）研究电、磁以）
10、研究电、磁以 及电磁辐射等等及电磁辐射等等 l相对论（相对论（Relativity）研究高速运动、引力、）研究高速运动、引力、 时间和空间等等时间和空间等等 l量子力学（量子力学（Quantum mechanics）研究微观）研究微观 世界世界 前沿：前沿： 粒子物理，宇宙学，高温超导，光子学，粒子物理，宇宙学，高温超导，光子学， 微结构物理，混沌，复杂微结构物理，混沌，复杂 . 物理学在不断发展物理学在不断发展 经典物理也在发展经典物理也在发展: : 波动光学波动光学信息光学信息光学 牛顿力学的决定性牛顿力学的决定性内在随机性内在随机性 （三）物理学与技术（三）物理学与技术 物理学基本规律渗
11、透在自然科学的一切领域，应物理学基本规律渗透在自然科学的一切领域，应 用于生产技术的各个部门，是许多自然科学的用于生产技术的各个部门，是许多自然科学的 基础，也是工程技术特别是高新技术的基础。基础，也是工程技术特别是高新技术的基础。 历史上历史上物理与技术的关系大致有物理与技术的关系大致有两种模式：两种模式： 技术物理技术技术物理技术( (以第一次工业革命为标志以第一次工业革命为标志) ) 物理技术物理物理技术物理( (以电气化进程为标志以电气化进程为标志) ) 本世纪本世纪两种模式并存、交叉，两种模式并存、交叉，但几乎所有重大的但几乎所有重大的 新技术的创立，都是以物理学的发展为先导的。新技
12、术的创立，都是以物理学的发展为先导的。 被誉为第二次工业革命的整个信息技术的发生、发展，被誉为第二次工业革命的整个信息技术的发生、发展， 其硬件部分几乎都以物理学成果为基础：其硬件部分几乎都以物理学成果为基础： 物理等基础科学与工程技术的关系可形象地物理等基础科学与工程技术的关系可形象地 用用“知识之树知识之树”表示：表示： 例如：例如： 爱因斯坦受激辐爱因斯坦受激辐 射理论（射理论（19171917） （物理）物理） 第一台激光器第一台激光器 诞生（诞生（19601960） （技术）技术） 现代光学现代光学 （物理）（物理） 量子力学量子力学 费米费米狄拉克统计狄拉克统计 固体能带理论固体能
13、带理论 （2020年代）年代） （物理）（物理） 晶体管诞生晶体管诞生(1947)(1947) 集成电路集成电路(1962)(1962) 大规模集成电路大规模集成电路 （7070年代后期）年代后期） （技术）（技术） 微结构微结构 物理物理 （物理）（物理） 物物 理理 物理学物理学 化学化学 生物学生物学 生理学生理学 心理学心理学 管理学管理学 经济学经济学 政治学政治学 社会学社会学 教育学教育学 自然科学和数学自然科学和数学 我已把哲学的原理确定下来了，但这些原理不是哲我已把哲学的原理确定下来了，但这些原理不是哲 学的，而是数学的。学的，而是数学的。 -牛顿牛顿 在这个世界上，除了空虚
14、的弯曲空间之外，就什么在这个世界上，除了空虚的弯曲空间之外，就什么 也没有了。物质、电荷、电磁性和其他力场，只不过是也没有了。物质、电荷、电磁性和其他力场，只不过是 空间弯曲的几种不同的表现形式。物理学就是几何学。空间弯曲的几种不同的表现形式。物理学就是几何学。 -惠勒惠勒 力学力学 运动学：运动学： 导数，微分，积分，导数，微分，积分，1阶常微分方程，矢量（向量）点乘，阶常微分方程，矢量（向量）点乘， 矢量的导数，极坐标系，（微分几何，曲线论）矢量的导数，极坐标系，（微分几何，曲线论） 质心，转动惯量：质心，转动惯量： 面积分，体积分面积分，体积分 势能：势能： 矢量（向量）点乘，曲线（路径
15、）积分矢量（向量）点乘，曲线（路径）积分 力矩，角动量：力矩，角动量： 矢量（向量）叉乘矢量（向量）叉乘 振动：振动： 2阶常微分方程阶常微分方程 波：波： 偏导数，偏导数，2阶偏微分方程，（付里叶变换）阶偏微分方程，（付里叶变换） 分析力学：分析力学： 偏导数，全微分，变分法偏导数，全微分，变分法 热学热学 热力学（宏观）：热力学（宏观）： 偏导数，全微分偏导数，全微分 统计物理（微观）：统计物理（微观）： 概率论概率论 电磁学电磁学 场论场论 自然科学和宗教自然科学和宗教 拿破仑在读过拉普拉斯的拿破仑在读过拉普拉斯的天天 体力学体力学第一、二卷后曾问他说：第一、二卷后曾问他说： “在您写的
16、著作中怎么没有提到在您写的著作中怎么没有提到 上帝呢？上帝呢？” 拉普拉斯回答说：拉普拉斯回答说：“陛下，我陛下，我 不需要这个假设不需要这个假设 ” 拉普拉斯拉普拉斯 哲学哲学 哲学和具体科学又是密切联系的：哲学和具体科学又是密切联系的： 首先，哲学以具体科学为基础。但是，把哲首先，哲学以具体科学为基础。但是，把哲 学凌驾于具体科学之上，认为哲学是学凌驾于具体科学之上，认为哲学是“科学的科科学的科 学学”的观点也是错误的。的观点也是错误的。 其次，哲学为具体科学提供世界观和方法论其次，哲学为具体科学提供世界观和方法论 的指导。的指导。 学习哲学的好处是，你不会被更坏的哲学所影响。学习哲学的好
17、处是，你不会被更坏的哲学所影响。 爱因斯坦爱因斯坦 唯物论的认识思想唯物论的认识思想 被现代科学给驳倒了被现代科学给驳倒了 而基本粒子又是什么呢？这正是量子力而基本粒子又是什么呢？这正是量子力 学的困惑，科学家发现对基本粒子的存在学的困惑，科学家发现对基本粒子的存在 状态的必须依赖于人的认识过程和意识建状态的必须依赖于人的认识过程和意识建 构反映过程。因此，到了量子力学这里，构反映过程。因此，到了量子力学这里， 人们已经无法再重复唯物论这样的错误了，人们已经无法再重复唯物论这样的错误了， 因为人们发现人对于微观粒子认识状态取因为人们发现人对于微观粒子认识状态取 决于人的认识过程。决于人的认识过
18、程。 意识课程意识课程 从严谨的、科学的观点看来，如果不考从严谨的、科学的观点看来，如果不考 虑观察者的意识这个因素，是不可能明白物虑观察者的意识这个因素，是不可能明白物 质世界的。甚至，事实上正是意识在显现着质世界的。甚至，事实上正是意识在显现着 世界。但是，这个显现着世界的意识并非单世界。但是，这个显现着世界的意识并非单 个个体的意识个个体的意识, 而是非定域性的、普遍性的而是非定域性的、普遍性的 意识。意识。 朱清时 中国科学院院士、原中国科技大学校长 在弦论之中，情况发生了根本变化。过去认为是组成客 观世界的砖块的基本粒子，现在都是宇宙弦上的各种“音 符”。多种多样的物质世界，真的成了
19、“一切有为法，如梦 幻泡影，如露亦如电，应作如是观。（金刚经）”物理 学到此已进入了“自性本空”的境界！ 海水与波浪的关系，正是弦与音乐的关系。它们也正是 物质世界与宇宙本体的关系。当我弄懂了这个道理的时候， 心里充满了敬畏和震撼。 读到这里，你可能感到：“科学家千辛万苦爬到山顶时， 佛学大师已经在此等候多时了！” 物理学步入禅境：缘起性空 冯诺伊曼把测量仪器看作量子的是不对的。 切断了主观主义量子学派的逻辑源流。 宏观物体本身即是观察者，它使量子态退化 为经典态。从而无需人的意识作为观察者。 退相干过程得到了可控的实验观察和证明。 退相干理论评述 自学自学 数学和物理数学和物理 尽量多些参考
20、书，不要钻牛角尖尽量多些参考书，不要钻牛角尖 文字和数学公式的统一文字和数学公式的统一 物理学史和理论体系逻辑线条的互补物理学史和理论体系逻辑线条的互补 定理的推导定理的推导 掌握经典习题，一题多解掌握经典习题，一题多解 差生差生? 学习方法学习方法 题海的操练使学习物理的过程变成了题海的操练使学习物理的过程变成了 解题的过程解题的过程 后果：后果：思想方法僵化思想方法僵化 只知道结论而不知道这些结论是怎么得到的，只只知道结论而不知道这些结论是怎么得到的，只 会做题目而不会想问题会做题目而不会想问题 物理学习中的误区物理学习中的误区 表现：表现： 死记硬背、套用公式死记硬背、套用公式 概念模糊
21、、图像不清概念模糊、图像不清 应用数学工具解决物理问题的能力较差应用数学工具解决物理问题的能力较差 在学习物理学的过程中必需注在学习物理学的过程中必需注 意理论与客观世界的联系，切忌从意理论与客观世界的联系，切忌从 公式到公式，为解题而解题的倾向，公式到公式，为解题而解题的倾向， 不能把解题看作是学习物理的主要不能把解题看作是学习物理的主要 手段。在学习过程中应始终注意对手段。在学习过程中应始终注意对 物理学的基本概念和理论理解并加物理学的基本概念和理论理解并加 以融会贯通，并注意自觉地应用物以融会贯通，并注意自觉地应用物 理学的基本思想、基本方法分析问理学的基本思想、基本方法分析问 题解决问
22、题，这是学好物理的一条题解决问题，这是学好物理的一条 根本的途径。根本的途径。 探索和创造是科学研究的灵魂探索和创造是科学研究的灵魂 培养探索精神和创造能力不是孤立的，知培养探索精神和创造能力不是孤立的，知 识水平、科学素养、科学思维、洞察能力、识水平、科学素养、科学思维、洞察能力、 科学道德、评价能力、批评精神、合作精科学道德、评价能力、批评精神、合作精 神、敬业精神、严谨作风等，都应该在培神、敬业精神、严谨作风等，都应该在培 养之列。养之列。 在基础课教学中，也是可以有所作为的。在基础课教学中，也是可以有所作为的。 关键是一些关键是一些观念观念应该有所改变。应该有所改变。 物理思想与方法更
23、根本，学会物理思想与方法更根本，学会发现发现问题、问题、分析分析 问题的思路与方法更为重要，可以受用终生。问题的思路与方法更为重要，可以受用终生。 在需要的时候，可以从相关学科借鉴、移植或在需要的时候，可以从相关学科借鉴、移植或 自己自己创作创作。应该更多地从文献而不是同类教材。应该更多地从文献而不是同类教材 中取材。中取材。 根据自己的兴趣，学会搜索一定数量的文献，根据自己的兴趣，学会搜索一定数量的文献， 实行实行开放开放式的学习，进一步拓宽视野。式的学习，进一步拓宽视野。 著有著有中国科学技术史中国科学技术史的英国科学的英国科学 家李约瑟指出：家李约瑟指出： “ “作为一个整体的现代科学没
24、有发作为一个整体的现代科学没有发 生在中国，它发生于西方生在中国，它发生于西方欧美，欧美， 即欧洲文明的广大范围。这有什么原即欧洲文明的广大范围。这有什么原 因呢？我以为必须找出这个原因，因因呢？我以为必须找出这个原因，因 为如果我们不了解它，我们关于科学为如果我们不了解它，我们关于科学 技术史的观点就处于混乱之中。如果技术史的观点就处于混乱之中。如果 我们不了解过去，也就没有多少希望我们不了解过去，也就没有多少希望 掌握未来。掌握未来。” 李约瑟李约瑟 中国科学在历史上逐渐落后的原因中国科学在历史上逐渐落后的原因“李约瑟难题李约瑟难题” 社会制度社会制度：科举制度，思想禁锢，闭关锁国：科举制
25、度，思想禁锢，闭关锁国 文化传统文化传统：推崇：推崇“入世入世”，缺乏科学探索，理论思维的动，缺乏科学探索，理论思维的动 力。力。 科学方法科学方法：满足于表面现象，虽有演绎法的萌芽，但没有：满足于表面现象，虽有演绎法的萌芽，但没有 严格意义下的实验和归纳法。严格意义下的实验和归纳法。 审美观念审美观念：以简约、抽象、空灵、含蓄为美，在艺术表现：以简约、抽象、空灵、含蓄为美，在艺术表现 上有独特魅力，但不利于科学表述。上有独特魅力，但不利于科学表述。 哲学思想哲学思想：主张：主张“天人合一天人合一”，强调，强调“道道”，而忽视甚至，而忽视甚至 否认具体事物具体分析的必要性和可能性，有神秘主义否
26、认具体事物具体分析的必要性和可能性，有神秘主义 和不可知论的倾向。和不可知论的倾向。 你对你对“李约瑟难题李约瑟难题”是怎么看的？是怎么看的？ 结束语：结束语： “科学是一种科学是一种方法方法。它教导我们：一些事物是怎样被了。它教导我们：一些事物是怎样被了 解的，什么事情是已知的，现在了解到了什么程度，如何解的，什么事情是已知的，现在了解到了什么程度，如何 对待疑问和不确定性，证据服从什么法则；如何思考事物，对待疑问和不确定性，证据服从什么法则；如何思考事物， 做出判断，如何区别真伪和表面现象做出判断，如何区别真伪和表面现象”。 R.P费曼费曼 “我从我从不迷信权威不迷信权威，但命运捉弄了我，
27、但命运捉弄了我我自己变成了我自己变成了 权威权威” A.爱因斯坦爱因斯坦 学习课程除了掌握基本知识外，更重要的是学习一种科学习课程除了掌握基本知识外，更重要的是学习一种科 学的学的思维方法思维方法。正如一个古老的故事所讲的那样，学生从。正如一个古老的故事所讲的那样，学生从 老师那里得到的，应该是一个点石成金的老师那里得到的，应该是一个点石成金的法则法则，而不是一，而不是一 堆金子。堆金子。 打开http:/页面； 点击右上角“登录 Login”链接，如果出现有关证书安全的提示，点击继续浏览； 统一身份认证中输入自己的学号与URP密码，初始密码为身份证后六位； PHYS120011.02 大学物
28、理A(上) College Physics A I为我们的课程资源发布站点，点 击左侧“资源”工具进入相关页面下载课件； 有关课程的重要通知，如考试时间等，将发布在右侧“通知”工具中，请大家关注。 牛顿力学 参考教材：参考教材： 梁昆淼力学 赵凯华力学（新概念物理） 郑永令力学 英国著名诗人英国著名诗人Pope写道：写道： 自然界和自然界的规律隐自然界和自然界的规律隐 藏在黑暗中，藏在黑暗中， 上帝说：上帝说：“让牛顿去！让牛顿去！” 于是一切成为光明。于是一切成为光明。 质点运动学质点运动学 质点质点理想模型理想模型 1. 物体的大小、形状可忽略时物体的大小、形状可忽略时 2. 运动过程中，
29、物体各部分运动相同运动过程中，物体各部分运动相同 （在研究地球公转时）（在研究地球公转时） (物体的平动物体的平动 ) “点点”具有该物体相同的质量具有该物体相同的质量 真实物体真实物体无穷多质点的集合无穷多质点的集合 物体物体质点质点 运动 静静动（依赖于参考系）动（依赖于参考系） 运动：运动：物体位置不断改变的现象物体位置不断改变的现象 此此刻刻在此在此处处，彼刻在彼处。，彼刻在彼处。 时间：时间：1 维参数维参数 t 空间空间: 3 维坐标维坐标 r (x, y, z) 直线运动直线运动 x 芝诺悖论 阿喀琉斯追不上乌龟阿喀琉斯追不上乌龟：阿喀琉斯是古希腊神话中跑得最快的人， 但芝诺证明
30、了阿喀琉斯永远也追不上乌龟 证明如下：阿喀琉斯从A点出发，追赶在他前面从A1点出发的乌龟。他 若要追上乌龟，必须先到达乌龟开始跑的位置A1 当阿喀琉斯到达乌龟开 始跑的位置A1时，乌龟已经前进了一段距离，到达A2 所以阿喀琉斯要追 上乌龟，又必须先到达位置A2，等他跑到了A2，同样的问题又摆在他的面 前所以阿喀琉斯虽然跑得快，也只能一点一点逼近乌龟，却永远也追 不上乌龟 芝诺的论证严密，假设阿喀琉斯从芝诺的论证严密，假设阿喀琉斯从A跑到跑到A1用的时间是用的时间是t1， 从从A1跑到跑到A2用的时间是用的时间是t2，阿喀琉斯要追上乌龟就必须阿喀琉斯要追上乌龟就必须 经历经历无穷多段无穷多段的时
31、间，芝诺认为这就意味着阿喀琉斯永远也的时间，芝诺认为这就意味着阿喀琉斯永远也 追不上乌龟追不上乌龟 无穷多段的时间是否就一定意味着无穷多段的时间是否就一定意味着无限长无限长的时间呢？的时间呢？ 阿喀琉斯到阿喀琉斯到A1的时间：的时间： )/( 1211221 vvAAtvAA 111 /vAAt 设阿喀琉斯和乌龟的速度分别为：设阿喀琉斯和乌龟的速度分别为：v1和和v2 此时乌龟到达此时乌龟到达A2： 阿喀琉斯到阿喀琉斯到A2的时间：的时间： 11211212 / )/(/vvvAAvAAt 此时乌龟到达此时乌龟到达A3： 2 1212232 )/(vvAAtvAA 追上乌龟的时间：追上乌龟的时
32、间： .1/. 2 1 2 1 2 11321 v v v v vAAtttt 等比数列求和公式等比数列求和公式 21 1 1(1) 1 n n n q Sqqqq q 1 2 1 2 11 1 1 / v v v v vAAt n 0, 1/ 1 2 12 n v v nvv当 )/( 211 vvAAt 无穷项的求和得到了有限值！无穷项的求和得到了有限值！ 设阿喀琉斯和乌龟的速度分别为：设阿喀琉斯和乌龟的速度分别为：10和和1， 的距离为的距离为9。 1 AA 9 . 0/ 111 vAAt 09. 0/ )/( 11212 vvvAAt 009. 0/)/( 1 2 1213 vvvAA
33、t 1 .999999. 0. 321 tttt 找不到找不到一个数在一个数在0.999999.和和1之间之间 当n趋于无穷大时，an的极限趋于0. limit: 极限 不论给定一个正数多么小，总能找到一个n, 使得an更小。 100lim aa n n 数列的极限 0 1 lim x x x x 1 lim 0 y x O x x lim 0lim 0 x x 2 lim x x 函数的极限 无穷小量 定义：若定义：若 时为无穷小时为无穷小 量，简称无穷小。量，简称无穷小。 0 lim( )0( )f xf xxxx ，则称当（或 23 0,sin ,xxxx例 当时，均为无穷小 11 ,
34、1 x x x 当时，均为无穷小 性质性质1：有限个无穷小的代数和还是无穷小。：有限个无穷小的代数和还是无穷小。 性质性质2：有界函数与无穷小的乘积还是无穷小。：有界函数与无穷小的乘积还是无穷小。 性质性质3：常数与无穷小的乘积还是无穷小。：常数与无穷小的乘积还是无穷小。 性质性质4：有限个无穷小的乘积还是无穷小。：有限个无穷小的乘积还是无穷小。 例（例（1） 均为无穷小，均为无穷小， 由性质由性质1 1得结果。得结果。 （2 2） 当当 时，时，x为无穷小为无穷小, ,而而 即即 有界有界, , 由性质由性质2 2得结果。得结果。 0 1 lim sin0 x x x 0 x 1 |sin|
35、 1 x 1 sin x sin1 3 limlimsin0 2 xx x x xx （ ）， （由性质 ） 2 21 lim()0 x xx 2 21 x xx 时， 与当 无穷大量 0 11 0lim x x xx 例 当时， 是无穷大， 1 1 1lim 1 x x x 1 当时，是无穷大， x-1 0 lim x x xe x 当时，e 是无穷大， . , )()(,)(lim: 0 简称无穷大时为无穷大量 或当则称若定义xxxxfxf 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系: 倒数倒数 无穷小的比较 若两个无穷小相除，会是什么结果呢？若两个无穷小相除，会是什么结果呢？ 2 0,3
36、,xxx x例1 当时，都是无穷小。 2 2 000 33 1 lim0 2 lim 3 lim3 3 xxx xxx xxx （），（ ）（ ） 定义：设在定义：设在 自变量的同一变化过程中均为无穷小，即自变量的同一变化过程中均为无穷小，即 和 lim0 lim0， 若若 ，则称，则称 是比是比 高阶的无穷小，记作高阶的无穷小，记作 lim0 ( ) 若若 ，则称，则称 是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小 lim 若若 （c为常数），则称为常数），则称 与与 同阶无穷小。同阶无穷小。 lim0c 速度：速度： 位置的移动（位移）位置的移动（位移）/时间间隔时间间隔 位置位置x随时间随时间t的
37、变化率的变化率 加速度：速度的变化加速度：速度的变化/时间间隔时间间隔 速度速度v随时间随时间t的的变化率变化率 t x tt xx v 12 12 t v tt vv a 12 12 运动的描述运动的描述 如何精确描述变化率变化率？ 导数 时间间隔足够小：时间间隔足够小：t0 t x t x v t d d lim 0 x t x (t) tt+t 切线：割线的极限，切线：割线的极限， 只有只有1个交点个交点 t0 t v t v a t d d lim 0 导数导数 微商微商 存在？存在？ 唯一？唯一？ 割线割线 简称导数。 或记作的导函数 存在一个函数叫做对应着 . d )(d d d
38、),(,.)( )( x xf x y xfyxf xfy x xfxxf y x )()( lim 0 即 . )()( lim)( 0 h xfhxf xf h 或 导数 求导数的方法 步骤步骤:);()() 1 (xfxxfy求增量 ; )()( )2( x xfxxf x y 算比值 .lim d d )3( 0 x y x y y x 求极限 例例 求常数函数求常数函数y=C(C为常数为常数)的导数的导数 解解 (1)求增量求增量: CyxCy都等于取什么值时不论因为, 0y所以 0 x y (2)算比值算比值 (3)取极限取极限:0lim d d 0 x y x y y x 0)(
39、C 即即 常数函数斜率为常数函数斜率为0 例例 求函数求函数y=x2的导数的导数 解：解： (1)求增量求增量: 222 2)(xxxxxxy x x xx x y 2 2 (2)算比值算比值 (3)取极限取极限:x x y x y y x 2lim d d 0 高阶无穷小可忽略高阶无穷小可忽略 导数的基本公式 xxxx x xee xxC xx sin)(coscos)(sin 1 )(ln)( )(0)( 1 运算法则运算法则 )( )()()()( )( )( )4( )()()()( )()()3( )( )()2( )()( )()() 1 ( 2 xv xvxuxvxu xv xu
40、 xvxuxvxuxvxu xuCxCu xvxuxvxu 复合函数求导 ),(),(xguufy设 . d d d d d d )( x u u y x y xgfy 的导数为则复合函数 .sinln的导数例：求函数xy 解解.sin,lnxuuy x u u y x y d d d d d d x u cos 1 x x sin cos 函数的极值 y x O 极值点处：极值点处： 切线的斜率为切线的斜率为0 即即导数为导数为0 .2sin的极值：求函数xy 例例 解：解： x x y 2cos2 d d 02cos2x1, 4 1 yx 2 , 0 x 2阶导数 例： 2 2 d d d
41、 d d d d d t x t x tt v a )cos( d d ),sin( d d ),cos( d d , d d , d d , d d , 2 1 2 2 t t v at t x vtx e t v ae t x vex g t v agt t x vgtx ttt 加速度是位移对时间的加速度是位移对时间的2阶导数阶导数 tvxv t x dd d d 分子和分母可以拆开写分子和分母可以拆开写 微分微分(方程方程) v x v t t x a v d d d d d d 可以约掉可以约掉 rrS r r S rrS d2d 2 d d )( 2 r rd rrrr rrrrS
42、 d2)(d )d()d( 22 2 rrrSrrSd2)()d( rrV r r V rrV d4d 4 d d 3 4 )( 2 2 3 原函数 的原函数。就称为那么函数 ，如果有 )()( )()( xfxF xfxF xxcos)(sin x x 1 )(ln 的原函数。是xxcossin 的原函数。是kxkx 2 2 1 kxkx ) 2 1 ( 2 的原函数。是 x x 1 ln 0)()( )()( 的导数原函数。因为都是 ，原函数，则对任意常数是如 CxfCxF CxfxF 不定积分 。的不定积分，记作称为 的全体原函数则 的一个原函数，是设函数 xxfxf CxFxf xfx
43、F d)()( )()( )()( 任意常数任意常数 积分号积分号 被积函数被积函数 CxFxxf )(d)( 被积表达式被积表达式 积分变量积分变量 原函数原函数 基本积分表 由于积分运算和微分运算是互逆的，因此由于积分运算和微分运算是互逆的，因此 可以根据求导公式得出积分公式。可以根据求导公式得出积分公式。 实例实例 x x 1 1 . 1 d 1 C x xx )1( kCkxxk(d) 1 (是常数是常数); );1( 1 d)2( 1 C x xx ;|ln d )3( Cx x x xxdcos)4(;sinCx xxdsin)5(;cosCx xe xd )6(;Ce x 定积分
44、：求曲边梯形的面积 x y=f(x) y O a b 在区间在区间a,b中任取若干分点：中任取若干分点： bxxxxxxxa nnii 11210 把曲边梯形的底把曲边梯形的底a,b分成分成n个小区间个小区间 ： ), 3 , 2 , 1( 1 nixxx iii , 1ii xx 过各分点作垂直于过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分轴的直线段，把整个曲边梯形分 成成n个小曲边梯形个小曲边梯形，其中第，其中第i个小曲边梯形的面积记为个小曲边梯形的面积记为 i A x y O y=f(x) 0 xa 1 x 3 x 1i x i x 1n xbxn 2 x （1）分割：将曲边梯形分成许
45、多细长条 小区间长度记为： iii iii iiiii xfA fxf xxxxi )( )(,).( ), 11 曲边梯形的面积，即面积来近似代替这个小 的小矩形长为用相应的宽为它所对应的函数值是 （上任取一点个小曲边梯形的底在第 （2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形 x y O y=f(x) 0 xa 1 x 2 x 1i x i x 1n x bxn i )( i f （3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值 把把n个小矩形的面积相加得和个小矩形的面积相加得和 式式 i
46、n i i xf )( 1 它就是曲边梯它就是曲边梯形面积形面积A的近似值，即的近似值，即.)( 1 i n i i xfA x y O y=f(x) 0 xa 1 x 2 x 1i x i x 1n x bxn i )( i f （4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之 和的极限就是曲边梯形面积和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。的精确值。 i n i i xf )( 1 分割越细，分割越细， 就越接近于曲边梯形的面积就越接近于曲边梯形的面积A，当，当 可见，曲边梯形的面积是一和式的极限可见，曲边梯形的面积是一和式的极限 小区间长度最大值趋近于零
47、，即小区间长度最大值趋近于零，即 0 （ 表示表示 i n i i xf )( 1 这些小区间的长度最大者）时，和式这些小区间的长度最大者）时，和式 的的 极限就是极限就是A，即，即 i n i i xfA )(lim 1 0 b a i n i i xxfxfd)()(lim 1 0 定积分定积分 ，则的任一原函数是 上连续，在区间如果函数 )()( ,)( xfxF baxf b a aFbFxxf)()(d)( b a b a xFxxf )(d)( 可以利用原函数直接求出定积分！可以利用原函数直接求出定积分！ 牛顿牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式 （微积分基本定理）（微积分基本定理）
48、 1 0 2d xx求例 解 1 0 2dx x 1 0 3 3 1 x 3 1 , 3 1 23 的一个原函数是因xx所以 形的面积。 与 成的平面图 轴所围上0, 在sin 计算正弦曲线 例xxy 2 0coscos cos dsin 0 0 x xxA解 A O x y xysin 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度 是时间 间隔 上t的连续函数，计算在此段时间内物 体经过的路程x。 )(tvv , fi tt 思想方法思想方法 （1）分割：）分割： 在区间在区间 中任取若干分点：中任取若干分点： f1110i tttttttt nnii , fi tt 把把 分成分成n个
49、小区间个小区间 ： ), 3 , 2 , 1( 1 nittt iii , 1ii tt 小区间长度记为： , fi tt （2）近似求和：）近似求和： .)( 1 i n i i tvx （3）取极限：）取极限： )()()( d)()(lim if 1 0 f i f i txtxtx ttvtvx t t t t i n i i 的原函数。函数 是速度，即位置函数因为 )( )()()( tv txtvtx 运动学的基本框架 g t v agt t x vgtx d d , d d , 2 1 2 导数导数 导数导数 积分积分 积分积分 位移位移速度速度加速度加速度 微积分的完美应用微积
50、分的完美应用 例子：自由下落例子：自由下落0, 00 xvt时， g t v a d d gtv gtv tgv tv 00 | dd gt t x v d d 2 0 2 0 2 1 | 2 1 | dd gtx gtx tgtx tx 加速度求速度加速度求速度速度求位移速度求位移 tx tgtx 00 dd tv tgv 00 dd 例：例：质点沿质点沿x轴正向运动，加速度轴正向运动，加速度a=-kv，k为常数。为常数。 设从原点出发时速度为设从原点出发时速度为v0， 求：求：运动方程运动方程 x=x(t)。 解：解： kt kt tv v tv v vv v v kt v v ktv t
