1、课时作业课时作业 8指数与指数函数指数与指数函数 一、选择题 1计算：2x 1 3 1 2x 1 3 x 4 3 (D) A3B2 C2xD12x 解析：原式2x 1 3 1 2x 1 3 2x 1 3 x 4 3 12x. 2已知函数 f(x)ax 14(a0，且 a1)的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是( A) A(1,5)B(1,4) C(0,4)D(4,0) 解析：令 x10 x1，又 f(1)5，故图象恒过定点 P(1,5) 3在同一直角坐标系中，函数 y 1 ax，ylog a x1 2 (a0，且 a1)的图象可能是(D) 解析：解法 1：若 0a1，则 y 1 ax是减函数
2、，而 ylog a x1 2 是增函数且其图象过点 1 2，0，结合选项可知，没有 符合的图象故选 D. 解法 2：分别取 a1 2和 a2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选 D. 4(2021福建质检)已知 a0.50.8，b0.80.5，c0.80.8，则(D) AcbaBcab CabcDac0.80.8，即 bc.因为函数 yx0.8在(0，)上为 增函数，所以 0.50.80.80.8，即 ac.所以 acb，故选 D. 5已知函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称，当 x1 时，函数 f(x)的单调递增 区间是(C) A(，0)B(1,2) C(2，)D
3、(2,5) 解析：如图所示，画出函数 yf(x)的图象，可知当 x1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(2，)，故选 C. 6已知函数 f(x)3x 1 3 x，则 f(x)( A) A是奇函数，且在 R 上是增函数 B是偶函数，且在 R 上是增函数 C是奇函数，且在 R 上是减函数 D是偶函数，且在 R 上是减函数 解析：易知函数 f(x)的定义域关于原点对称f(x)3 x 1 3 x 1 3 x3xf(x)，f(x)为奇函数又y3x 在 R 上是增函数，y 1 3 x在 R 上是增函数，f(x)3x 1 3 x在 R 上是增函数故选 A. 7已知函数 y4x32x3，若其值域为1,7，则
4、 x 可能的取值范围是(D) A2,4B(，0 C(0,12,4D(，01,2 解析：令 t2x(t0)，则 yt23t3 t3 2 23 4，其图象的对称轴为直线 t 3 2.当 x2,4时，t4,16，此时 y 7,211， 不满足题意； 当 x(， 0时， t(0,1， 此时 y1,3)， 不满足题意； 当 x(0,12,4时， t(1,24,16， 此时 y 3 4，17,211，不满足题意；当 x(，01,2时，t(0,12,4，此时 y1,7，满足题意故选 D. 8已知函数 f(x)，若在其定义域内存在实数 x 满足 f(x) f(x)，则称函数 f(x)为“局部奇函数”，若函数
5、f(x)4xm2x3 是定义在 R 上的“局部奇函数”，则实数 m 的取 值范围是(B) A2,2)B2，) C(，2)D4，2) 解析：根据“局部奇函数”的定义可知，方程 f(x)f(x)有解即可，即 4 xm2x3(4xm2x3)，所 以 4 x4xm(2x2x)60，化为(2x2x)2m(2x2x)80 有解，令 2x2xt(t2)，则有 t2mt80 在2， )上有解，设 g(t)t2mt8，则 g(2)0，得 m2，综上可得实数 m 的取值范围为2，) 二、填空题 9计算：8 2 3 7 8 04 34(2)6 1 2 8. 10已知常数 a0，函数 f(x) 2x 2xax的图象经
6、过点 P p，6 5 、Q q，1 5 ，若 2p q36pq，则 a6. 解析：根据题意，f(p)f(q)6 5 1 51，即 2p 2pap 2q 2qaq1，去分母化简得，2 pqa2pq，又2pq36pq， a236，a0，a6. 11(2021湖南四校联考)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f x5 2 f(x)0，当5 4x0 时，f(x)2 xa，则 f(16)1 2. 解析：由 f x5 2 f(x)0，得 f(x)f x5 2 f(x5)，所以函数 f(x)是以 5 为周期的周期函数，则 f(16)f(35 1)f(1)又 f(x)是定义在 R 上的奇函数所以 f(0
7、)0，即 1a0，解得 a1，所以当5 4x0 时，f(x)2 x 1，所以 f(1)1 2，则 f(1)f(1) 1 2，故 f(16) 1 2. 12若函数 f(x)ax(a0，且 a1)在1,2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14m) x在0，) 上是增函数，则 a1 4. 解析：函数 g(x)在0，)上为增函数，则 14m0，即 m1，则函数 f(x)在1,2上的最小值为 1 am， 最大值为 a24，解得 a2，m1 2，与 m 1 4矛盾；当 0a1 时，函数 f(x)在1,2上的最小值为 a 2m，最大值为 a 14，解得 a1 4，m 1 160， 3a4 a
8、 1， 解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)令 g(x)ax24x3，则 f(x) 1 3 g(x)，由指数函数的性质知要使 f(x) 1 3 g(x)的值域为(0，)，应使 g(x)ax2 4x3 的值域为 R，因此只能 a0(因为若 a0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R)故 f(x)的值域为(0， )时，a 的值为 0. 14已知定义域为 R 的函数 f(x)2 xb 2x 1a是奇函数 (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求 k 的取值范围 解：(1)因为 f(x)是 R 上的奇函
9、数， 所以 f(0)0，即1b 2a 0，解得 b1. 从而有 f(x)2 x1 2x 1a. 又由 f(1)f(1)知21 4a 1 21 1a ，解得 a2. (2)由(1)知 f(x)2 x1 2x 121 2 1 2x1， 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数，又因为 f(x)是奇函数，从而不等式 f(t22t)f(2t2k)0 等价于 f(t22t)2t2k.即对一切 tR 有 3t22tk0， 从而412k0，解得 k0， 21 ex，x0. (1)判断函数 f(x)的单调性，求出函数图象的对称中心； (2)若 x0 时，f(x)是增函数；x0 时，f(x)e x0，故 f(x)
10、在(，0上是增函数，又f(0)1e021 e0， f(x)在 R 上是增函数 f(x) 2ex，x0， e x，x0， x0 时，f(x)f(x)2exex2； x0 时，f(x)f(x)e x21 ex2， f(x)f(x)2，即 f(x)的图象关于点(0,1)中心对称 (2)由 f(xa)f(xlnx2)2 得 f(xlnx2)2f(xa)，即 f(xlnx2)f(ax)，故 xlnx2ax， a2xlnx2， 令 g(x)2xlnx2，则 ag(x)max. x0 时，g(x)2x2ln(x)，则 g(x)2 11 x ， 当 x(1,0)时，g(x)0，g(x)单调递增， g(x)maxg(1)2， a2.综上，a2，)
