1、课时作业 25函数 yAsin(x) 的图象及三角函数模型的应用 一、选择题 1若将函数 y2sin2x 的图象向左平移 12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( B) Axk 2 6(kZ) Bxk 2 6(kZ) Cxk 2 12(kZ) Dxk 2 12(kZ) 解析： 将函数 y2sin2x 的图象向左平移 12个单位长度得到函数 y2sin 2 x 12 2sin 2x 6 的图象， 由 2x 6k 2(kZ)，可得 x k 2 6(kZ)则平移后图象的对称轴为 x k 2 6(kZ)，故选 B. 2已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，将 yf(x)的图象上所有
2、点的横坐标伸长到 原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 g(x)若 g(x)的最小正周期为 2，且 g 4 2，则 f 3 8 (C) A2B 2 C. 2D2 解析： f(x)Asin(x)为奇函数， k， kZ， 又|0，|0，|0)在 2， 2 上单调递增，且图象关于直线 x对 称，则的值为(A) A.2 3 B.5 3 C2D.8 3 解析：由 2k 2x 62k 2可得函数 f(x)的单调递增区间为 2k 2 3， 2k 3 ，其中 kZ. 又 f(x)在区间 2， 2 上单调递增， 所以 2 3 2， 3 2， 解得 00， 0， 2 ，当 f(x1) f(x2)0
3、时，|x1x2|的最小值为 2，且 f(x)满足 f(x)f 6x，将 f(x)图象上所有的点向右平移 6个单 位长度，所得图象对应的函数为 g(x)，则 g 6 (B) A. 3 2 1B. 31 C.3 2 D2 解析：f(x) 3sin(x)2cos2 x 2 2 3sin(x)cos(x)12sin x 6 1.当 f(x1)f(x2)0 时，|x1x2|的最小值为 2，f(x)的最小正周期为， 2 ，2.又f(x)f 6x， 直线 x 12是 f(x)图象的一条对称轴， 2 12 6 3k 2(kZ)， k 6(kZ) 0， 2 ， 6.f(x)2sin 2x 3 1， 将 f(x)
4、图象上所有的点向右平移 6个单位长度， 所得图象对应的函数为 g(x) 2sin2x1，g 6 31. 7(2021广东茂名适应性测试)设函数 f(x)sin(x)cos(x) 0，| 2 的最小正周期为，且 f(x)的图象过点(0， 2)，则下列正确的是(A) f(x)在 0， 2 上单调递减； f(x)的一条对称轴为 x 2； f(|x|)的周期为 2； 把函数 f(x)的图象向左平移 6个单位长度得到函数 g(x)的图象，其解析式为 g(x) 2cos 2x 6 . AB CD 解析：f(x)sin(x)cos(x) 2sin x 4 ，由 T2 ，得2，由 f(x)的图象过点(0， 2
5、)得 f(0) 2sin 4 2， 又| 2，则 4，所以 f(x) 2sin 2x 2 2cos2x.f(x) 2cos2x 的单调递减区间满足 2k2x 2k，kZ，f(x)的单调递减区间为 k， 2k，kZ，所以 k0 时，f(x)在 0， 2 上单调递减，所以正 确；f(x) 2cos2x 的对称轴满足 2xk，kZ，所以 xk 2 ，kZ，当 k1 时，f(x)的一条对称轴为 x 2， 所以正确；f(|x|) 2cos|2x| 2cos2x，所以 f(|x|)的周期为，所以不正确；f(x)的图象向左平移 6个单位 长度得到 g(x)的函数图象的解析式为 g(x) 2cos 2 x 6
6、 2cos 2x 3 ，所以不正确故选 A. 8(2021安徽合肥调研)已知0，在函数 ysinx 与 ycosx 的图象的交点中，相邻两个交点的横 坐标之差的绝对值为 2，则(B) A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 解析：令 f(x)sinxcosx0， 可得2sin x 4 0，即x 4k，kZ. 当 k0 时，可得 f(x)的一个零点 x1 4，当 k1 时， 可得 f(x)的另一个相邻零点 x25 4， 则由|x1x2|2，0，可得 2. 二、填空题 9(2021江西九校联考)函数 yf(x)2sin(x) 0，0 2 的部分图象如图所示，该图象与 y 轴相 交于点 F(0,1)
7、，与 x 轴的两个相邻交点为 B，C，点 M 为最高点，且三角形 MBC 的面积为，则 f(x)图象的 一个对称中心是 6，0满足 k 6，0，kZ 的任意一个即可 .(写出一个符合题意的即可) 解析：SMBC1 22BCBC，周期 T2 2 ，1.由 f(0)2sin1，得 sin1 2，又 00，0，|0，0 2 图象上相邻两个对称中心的距离为3 2，且 f(1) 3，则函数 yf(x)的图象与函数 y 1 x2(5x9，且 x2)的图象所有交点的横坐标之和为 12. 解析： 由已知得 f(x)tan(x)的最小正周期为 3， 即 3， 3， 则 f(x)tan 3x.又 f(1) 3，
8、即 tan 3 3， 3 2 3 k，kZ.0 2， 3，f(x)tan 3x 3 .又 f(2)tan 2 3 3 0， yf(x)的图象关于点(2,0)中心对称，作出 yf(x)和 y 1 x2(5x9，且 x2)的图象如图所示，可知两函 数图象共有 6 个交点，且都关于点(2,0)中心对称，故这 6 个交点的横坐标之和为 3412. 三、解答题 12(2021湖北黄冈调研)已知函数 f(x) 3cos 2x 2 12sin2x. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数 f(x)在0，上的图象； (2)先将函数 yf(x)的图象向右平移 6个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长
9、为原来的 4 倍，纵坐 标不变，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)图象的对称中心 解：(1)f(x) 3cos 2x 2 12sin2x 3sin2xcos2x2sin 2x 6 . 列表如下： x0 6 5 12 2 3 11 12 f(x)120201 描点、连线函数 f(x)在区间0，上的图象如图 (2)将函数 f(x)2sin 2x 6 的图象向右平移 6个单位后得到 y2sin 2 x 6 6 2sin 2x 6 的图象， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)2sin x 2 6 的图象， 由x 2 6k(kZ)得 x2k 3(kZ)
10、，故 g(x)图象的对称中心为 2k 3，0(kZ) 13设函数 f(x)sin x 6 sin x 2 ，其中 03.已知 f 6 0. (1)求； (2)将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 4个 单位，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)在 4， 3 4 上的最小值 解：(1)因为 f(x)sin x 6 sin x 2 ， 所以 f(x) 3 2 sinx1 2cosxcosx 3 2 sinx3 2cosx 3 1 2sinx 3 2 cosx 3sin x 3 . 因为 f 6 0，所以 6 3k，kZ. 故6k2，k
11、Z，又 00)，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象若函数 g(x)在 2， 3 2 上没有零点， 则的取值范围是(A) A. 0，2 9 2 3， 8 9B. 0，2 9 C. 0，2 9 8 9，1D(0,1 解析：函数 f(x)cosx 的图象先向右平移5 6 个单位长度，可得 ycos x5 6 的图象，再把所得图象上 各点的横坐标变为原来的1 (0)，纵坐标不变，得到函数 g(x)cos x5 6 的图象，g(x)的最小正周期 T 2 .由函数 g(x)在 2， 3 2 上没有零点， 得3 2 2 T 2 ， 01. 2x 3 2 ， 2 5 6 x5 6 3 2 5 6 ， 2k 2 5 6 ， 2k 3 2 5 6 kZ，解得 2k2 3 2k 3 8 9(kZ)，当 k0 时， 2 3 8 9；当 k1 时，结 合 01，可得 0cos2x|cos2x|的解集为 x|k 1 8xcos2x|cos2x|在一个周期内的解集，取区间0,2， 因 为 sin2x|sin2x|cos2x|cos2x| f(2x)f 2x 2 ， 则 2x 4， 2x 2 42k， 2x 2 7 4 2k， 解得 k1 8xk 5 8，kZ，故正确综上，正确
