1、课时作业 25函数 yAsin(x) 的图象及三角函数模型的应用 一、选择题 1若将函数 y2sin2x 的图象向左平移 12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( B) Axk 2 6(kZ) Bxk 2 6(kZ) Cxk 2 12(kZ) Dxk 2 12(kZ) 解析: 将函数 y2sin2x 的图象向左平移 12个单位长度得到函数 y2sin 2 x 12 2sin 2x 6 的图象, 由 2x 6k 2(kZ),可得 x k 2 6(kZ)则平移后图象的对称轴为 x k 2 6(kZ),故选 B. 2已知函数 f(x)Asin(x)(A0,0,|)是奇函数,将 yf(x)的图象上所有
2、点的横坐标伸长到 原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为 g(x)若 g(x)的最小正周期为 2,且 g 4 2,则 f 3 8 (C) A2B 2 C. 2D2 解析: f(x)Asin(x)为奇函数, k, kZ, 又|0,|0,|0)在 2, 2 上单调递增,且图象关于直线 x对 称,则的值为(A) A.2 3 B.5 3 C2D.8 3 解析:由 2k 2x 62k 2可得函数 f(x)的单调递增区间为 2k 2 3, 2k 3 ,其中 kZ. 又 f(x)在区间 2, 2 上单调递增, 所以 2 3 2, 3 2, 解得 00, 0, 2 ,当 f(x1) f(x2)0
3、时,|x1x2|的最小值为 2,且 f(x)满足 f(x)f 6x,将 f(x)图象上所有的点向右平移 6个单 位长度,所得图象对应的函数为 g(x),则 g 6 (B) A. 3 2 1B. 31 C.3 2 D2 解析:f(x) 3sin(x)2cos2 x 2 2 3sin(x)cos(x)12sin x 6 1.当 f(x1)f(x2)0 时,|x1x2|的最小值为 2,f(x)的最小正周期为, 2 ,2.又f(x)f 6x, 直线 x 12是 f(x)图象的一条对称轴, 2 12 6 3k 2(kZ), k 6(kZ) 0, 2 , 6.f(x)2sin 2x 3 1, 将 f(x)
4、图象上所有的点向右平移 6个单位长度, 所得图象对应的函数为 g(x) 2sin2x1,g 6 31. 7(2021广东茂名适应性测试)设函数 f(x)sin(x)cos(x) 0,| 2 的最小正周期为,且 f(x)的图象过点(0, 2),则下列正确的是(A) f(x)在 0, 2 上单调递减; f(x)的一条对称轴为 x 2; f(|x|)的周期为 2; 把函数 f(x)的图象向左平移 6个单位长度得到函数 g(x)的图象,其解析式为 g(x) 2cos 2x 6 . AB CD 解析:f(x)sin(x)cos(x) 2sin x 4 ,由 T2 ,得2,由 f(x)的图象过点(0, 2
5、)得 f(0) 2sin 4 2, 又| 2,则 4,所以 f(x) 2sin 2x 2 2cos2x.f(x) 2cos2x 的单调递减区间满足 2k2x 2k,kZ,f(x)的单调递减区间为 k, 2k,kZ,所以 k0 时,f(x)在 0, 2 上单调递减,所以正 确;f(x) 2cos2x 的对称轴满足 2xk,kZ,所以 xk 2 ,kZ,当 k1 时,f(x)的一条对称轴为 x 2, 所以正确;f(|x|) 2cos|2x| 2cos2x,所以 f(|x|)的周期为,所以不正确;f(x)的图象向左平移 6个单位 长度得到 g(x)的函数图象的解析式为 g(x) 2cos 2 x 6
6、 2cos 2x 3 ,所以不正确故选 A. 8(2021安徽合肥调研)已知0,在函数 ysinx 与 ycosx 的图象的交点中,相邻两个交点的横 坐标之差的绝对值为 2,则(B) A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 解析:令 f(x)sinxcosx0, 可得2sin x 4 0,即x 4k,kZ. 当 k0 时,可得 f(x)的一个零点 x1 4,当 k1 时, 可得 f(x)的另一个相邻零点 x25 4, 则由|x1x2|2,0,可得 2. 二、填空题 9(2021江西九校联考)函数 yf(x)2sin(x) 0,0 2 的部分图象如图所示,该图象与 y 轴相 交于点 F(0,1)
7、,与 x 轴的两个相邻交点为 B,C,点 M 为最高点,且三角形 MBC 的面积为,则 f(x)图象的 一个对称中心是 6,0满足 k 6,0,kZ 的任意一个即可 .(写出一个符合题意的即可) 解析:SMBC1 22BCBC,周期 T2 2 ,1.由 f(0)2sin1,得 sin1 2,又 00,0,|0,0 2 图象上相邻两个对称中心的距离为3 2,且 f(1) 3,则函数 yf(x)的图象与函数 y 1 x2(5x9,且 x2)的图象所有交点的横坐标之和为 12. 解析: 由已知得 f(x)tan(x)的最小正周期为 3, 即 3, 3, 则 f(x)tan 3x.又 f(1) 3,
8、即 tan 3 3, 3 2 3 k,kZ.0 2, 3,f(x)tan 3x 3 .又 f(2)tan 2 3 3 0, yf(x)的图象关于点(2,0)中心对称,作出 yf(x)和 y 1 x2(5x9,且 x2)的图象如图所示,可知两函 数图象共有 6 个交点,且都关于点(2,0)中心对称,故这 6 个交点的横坐标之和为 3412. 三、解答题 12(2021湖北黄冈调研)已知函数 f(x) 3cos 2x 2 12sin2x. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中,画出函数 f(x)在0,上的图象; (2)先将函数 yf(x)的图象向右平移 6个单位,再将得到的图象上各点的横坐标伸长
9、为原来的 4 倍,纵坐 标不变,得到函数 yg(x)的图象,求 g(x)图象的对称中心 解:(1)f(x) 3cos 2x 2 12sin2x 3sin2xcos2x2sin 2x 6 . 列表如下: x0 6 5 12 2 3 11 12 f(x)120201 描点、连线函数 f(x)在区间0,上的图象如图 (2)将函数 f(x)2sin 2x 6 的图象向右平移 6个单位后得到 y2sin 2 x 6 6 2sin 2x 6 的图象, 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)2sin x 2 6 的图象, 由x 2 6k(kZ)得 x2k 3(kZ)
10、,故 g(x)图象的对称中心为 2k 3,0(kZ) 13设函数 f(x)sin x 6 sin x 2 ,其中 03.已知 f 6 0. (1)求; (2)将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移 4个 单位,得到函数 yg(x)的图象,求 g(x)在 4, 3 4 上的最小值 解:(1)因为 f(x)sin x 6 sin x 2 , 所以 f(x) 3 2 sinx1 2cosxcosx 3 2 sinx3 2cosx 3 1 2sinx 3 2 cosx 3sin x 3 . 因为 f 6 0,所以 6 3k,kZ. 故6k2,k
11、Z,又 00),纵坐标不变,得到函数 g(x)的图象若函数 g(x)在 2, 3 2 上没有零点, 则的取值范围是(A) A. 0,2 9 2 3, 8 9B. 0,2 9 C. 0,2 9 8 9,1D(0,1 解析:函数 f(x)cosx 的图象先向右平移5 6 个单位长度,可得 ycos x5 6 的图象,再把所得图象上 各点的横坐标变为原来的1 (0),纵坐标不变,得到函数 g(x)cos x5 6 的图象,g(x)的最小正周期 T 2 .由函数 g(x)在 2, 3 2 上没有零点, 得3 2 2 T 2 , 01. 2x 3 2 , 2 5 6 x5 6 3 2 5 6 , 2k 2 5 6 , 2k 3 2 5 6 kZ,解得 2k2 3 2k 3 8 9(kZ),当 k0 时, 2 3 8 9;当 k1 时,结 合 01,可得 0cos2x|cos2x|的解集为 x|k 1 8xcos2x|cos2x|在一个周期内的解集,取区间0,2, 因 为 sin2x|sin2x|cos2x|cos2x| f(2x)f 2x 2 , 则 2x 4, 2x 2 42k, 2x 2 7 4 2k, 解得 k1 8xk 5 8,kZ,故正确综上,正确