1、多边形截面 Part 01 三角形截面的做法三角形截面的做法 探究思路探究思路 A 做出三角形截面做出三角形截面 B 寻找三角形截面独有寻找三角形截面独有 的特点的特点 C 通过三角形截面独有通过三角形截面独有 的特点探究出三角形的特点探究出三角形 截面的做法截面的做法 如图所示，作一如图所示，作一 平面截正方形平面截正方形 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1， 截面为三角形截面为三角形 EFGEFG。 1.1.三角形截面并寻找三角形截面独有的特点三角形截面并寻找三角形截面独有的特点 从图中可以看出截面与从图中可以看出截面与 正方体棱的交点正方体棱的交点E,F,
2、GE,F,G分分 别在别在相互垂直且相交与相互垂直且相交与 同一点的三条棱上（包同一点的三条棱上（包 括棱上不重合的三个顶括棱上不重合的三个顶 点）点） A A1 D C B D1 C1 B1 A A1 D C B D1 C1 B1 A A1 D C B D1 C1 B1 E F G E F G E F G 并且，当将交点移并且，当将交点移 至其他棱上时，截至其他棱上时，截 面将会与不同的棱面将会与不同的棱 产生新的交点，无产生新的交点，无 法再构成三角形法再构成三角形 2.2.从探究出的特征中得出三角形截面的做法从探究出的特征中得出三角形截面的做法 1.1.在正方体在正方体ABCD-AABC
3、D-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱上做出的棱上做出 3 3个点个点E,F,GE,F,G。并且要求点。并且要求点E,F,GE,F,G分别分别 在相互垂直且相交与同一点的三条在相互垂直且相交与同一点的三条 棱上（包括棱上不重合的三个顶点）棱上（包括棱上不重合的三个顶点） 2 2. .依次连接依次连接EF,FG,GEEF,FG,GE，由于最少，由于最少3 3个个 点可以确定一个平面，易得出点可以确定一个平面，易得出E,F,GE,F,G 在同一平面内。在同一平面内。 3 3. .则则EFGEFG即为所求作的即为所求作的三角形截面三角形截面A A1 D C B D1C1 B1 G FE
4、 Part 02 截面与正方体各表面交线，截面截面与正方体各表面交线，截面 与正方体各棱交点的位置特征与正方体各棱交点的位置特征 探究思路探究思路 A 按照某一标准将三角按照某一标准将三角 形截面进行分类形截面进行分类 B 分别观察每一类分别观察每一类截面截面 与正方体各表面交线，与正方体各表面交线， 截面与正方体各棱交截面与正方体各棱交 点的位置特征点的位置特征 C 将其整理并发现共同将其整理并发现共同 规律特征规律特征 1.1.将三角形截面进行分类将三角形截面进行分类 （1 1）依照）依照将三角形截面在棱上交点的位置特将三角形截面在棱上交点的位置特 征分类征分类 A A1 D C B D1
5、 B1 G F E A A1 D C B D1 B1 G F E C1 C1 3 3个交点都在正方体的顶点上。个交点都在正方体的顶点上。2 2个交点在正方体的顶点上，另个交点在正方体的顶点上，另 一个交点在棱上。一个交点在棱上。 A A1 D C B D1 B1 G FE A A1 D C B D1 B1 G FE C1 C1 1 1个交点在正方体的顶点上，另个交点在正方体的顶点上，另 外两个交点在棱上。外两个交点在棱上。 3 3个交点都在正方体的棱上。个交点都在正方体的棱上。 2.2.观察总结每一类观察总结每一类截面与正方体各表面交线，截面与正方体各棱交点的位置特征截面与正方体各表面交线，截
6、面与正方体各棱交点的位置特征 截面的种类截面的种类与正方体各表面交线与正方体各表面交线的的 特征特征 与正方体各棱与正方体各棱 交点的特征交点的特征 形成三角形的特形成三角形的特 征征 3 3个交点都在正方个交点都在正方 体的顶点上体的顶点上 等长都为正方体表面的等长都为正方体表面的 对角线，两两之间所成对角线，两两之间所成 角均为角均为6060 都在正方体的都在正方体的 顶点上顶点上 正三角形正三角形 2 2个交点在正方体个交点在正方体 的顶点上，另一个的顶点上，另一个 交点在棱上交点在棱上 一条为一条为正方体表面的对正方体表面的对 角线，另外两条等长。角线，另外两条等长。 2 2个交点在正
7、个交点在正 方体的顶点上方体的顶点上 等腰锐角三角形等腰锐角三角形 1 1个交点在正方体个交点在正方体 的顶点上，另外两的顶点上，另外两 个交点在棱上个交点在棱上 棱上两点之间的交线为棱上两点之间的交线为 所成三角形的最短边所成三角形的最短边 锐角三角形锐角三角形 3 3个交点都在正方个交点都在正方 体的棱上体的棱上 锐角三角形锐角三角形 3.3.三角形三角形截面与正方体各表面交线，与正方体各棱交点的位置特征及相关规律截面与正方体各表面交线，与正方体各棱交点的位置特征及相关规律 与正方体各表面交线的位置特征：与正方体各表面交线的位置特征： 1.1.两两交线之间夹角为锐角。两两交线之间夹角为锐角
8、。 2.32.3条交线不在相对的两个面上。条交线不在相对的两个面上。 3.3.交线的长度为（交线的长度为（0 0，2。 与正方体各棱交点的位置特征：与正方体各棱交点的位置特征： 1.1.交点分别在相互垂直且相交与同一点的三条棱上（包括棱上不交点分别在相互垂直且相交与同一点的三条棱上（包括棱上不 重合的三个顶点）。重合的三个顶点）。 2.32.3个交点不在相对的两个棱上。个交点不在相对的两个棱上。 截面多边形形 状和面积 六边形 研究过程 1.通过研究发现，可截出的面有：三角形（锐角三角形），四边形（矩形，梯形），五边形，六边形。进一步发现截面与 正方体的棱至少有3个交点。 2.提出问题：正六边
9、形是否为正方体界面中面积最大的图形。 3.观察、猜想论证与反驳分类与归类应用 4.研究方法：分类讨论，从特殊到一般。 5.器材：计算器，电脑 六边形截面特征 1.有三组对边平行 2.有且仅有正六边形 研究过程 1.找出所有可能的截面图形 2.按截面图形在两条平行边所在的正方体表面的投影形状分类 3.按可能得到最大面积的形状归类 4建立截面投影面坐标求最值 证明 设棱长为1 则S1=33/4 S2=2 S1S2 故猜想不成立 正方体截面五边形的特征猜想： 1.五边形一定有三个顶点一定在三条平行棱上 2.恰有两组对边平行。 3.不存在正五边形。 猜想的证明1 如果作出一个六边形，将其中一 条边缩短
10、至一个顶点，并将其与 另外两个之前六边形上的顶点 （不在同一个正方体的面上）连 接，则其所在平面必定会交于两 条与该顶点平行的棱上，若将该 顶点在棱上移动，会发现一定能 构成五边形，且若将另外几个顶 点缩小至一个点会导致变为四边 形，所以可证五边形一定有三个 顶点一定在三条平行棱上。 猜想的证明2 如图，五边形DEFGH为正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的五边形截面 在正方体中，相对的面两两平行 DEHG,EFGH(定理：一平面与 两平行平面相交,其交线互相平行) 即正五边形有两组对边互相平行。 猜想的证明3 如图，由五边形的性质可知：正 五边形每个角均为108，每条边 长度相等，即五边形的对边互不 平行。 由证明1可知：正方体的截面五 边形有两组对边互相平行，这与 正五边形的性质相悖。因此正方 体的截面中没有正五边形。 关 于 正 方 体 中 四 边 形 截 面 的 研 究 研究成果 2021-8-27
