1、 人教人教A A版必修版必修4 兰州一中兰州一中 魏亦婷魏亦婷 情境引入情境引入 OB=20cos150=？ 某工厂的一条生产线需要安装一个坡度为某工厂的一条生产线需要安装一个坡度为15度的度的 传送带运送产品来减少人工投资（如图），传送传送带运送产品来减少人工投资（如图），传送 带带OA长为长为20米，请问该生产线基座至少得多宽？米，请问该生产线基座至少得多宽？ 000 cos15cos(4530 )? cos()? 问题提出问题提出 000 cos15cos(4530 )cos45cos30 ? 探究一：利用三角函数线发现两角差的余弦公式 发现公式发现公式 思考思考1：如何单位圆中构造角：
2、如何单位圆中构造角 ，才能，才能 在图中更容易出现在图中更容易出现 的余弦线？的余弦线？ 思考思考2：为了表示角：为了表示角 的三角函数，需的三角函数，需 要什么样的三角形，如何作图？要什么样的三角形，如何作图？ 思考思考3：如何作图才能使：如何作图才能使 与与 的三角函数值建立联系？的三角函数值建立联系？ cos 1 P P M O A B C x y 不妨设不妨设 均为锐角均为锐角. .如图所示：如图所示： 角角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 . . , , 1 P 思考思考 证明公式证明公式 cos()coscossinsin x1 x2+y1 y2向量的数量积向量的数量积 探究
3、二：向量法推导两角差的余弦公式 a b 证明公式证明公式 cos()coscossinsin sinsincoscosOBOA )sin,(cos),sin,(cosOBOA cosOBOAOBOA )( 2Zkk )( 2Zkk sinsincoscoscos )cos(cos cos()coscossinsin 探究二：向量法推导两角差的余弦公式 B(cos ，sin ) ( cos ,sin) ,( cos ,sin)ab A(cos ，sin ) cos()coscossinsin 证明公式证明公式 )( 2Zkk )( 2Zkk )cos(cos )( 2Zkk )( 2Zkk )c
4、os(cos 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 () C C( )： ：cos()cos cos sin sin . 公式的特征公式的特征 思考：两角差的余弦公式有什么特征？思考：两角差的余弦公式有什么特征？ (1)(1)适用条件：公式适用条件：公式中的中的角角 都是都是任意角任意角. . (2)(2)公式结构：公式左边是两角差的余弦，公式右公式结构：公式左边是两角差的余弦，公式右 端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边 角的连接符号角的连接符号相反相反. . ， 数学史数学史 三角函数弦表三角函数弦表 两千多年前亚历山大的数学家两千多年前亚历
5、山大的数学家希帕霍斯希帕霍斯 ( (HiHip pparhcsuparhcsu ) ) 利利 用相当于三角函数和差角公式的结果制作了目前所知的用相当于三角函数和差角公式的结果制作了目前所知的第一个弦第一个弦 表表, , 可惜未能流传下来。后来可惜未能流传下来。后来托勒密托勒密也利用相当于和差角公式也利用相当于和差角公式 , , 制成制成现存最早的三角函数的弦表现存最早的三角函数的弦表, , 弦表在后来的天体测量与测量弦表在后来的天体测量与测量 中有着非常重要的应用。中有着非常重要的应用。 数学史数学史 古埃及天文学家古埃及天文学家托勒密托勒密在在三角函数弦表三角函数弦表中的方法如图中的方法如图
6、1 1， 公元公元3 3世纪亚历山大数学家世纪亚历山大数学家帕普斯数学汇编帕普斯数学汇编中给出的证法中给出的证法 如图如图2.2. 图图1.三角函数弦表三角函数弦表图图2.数学汇编数学汇编 拓展思考拓展思考 三角形面积推导两角差的余弦公式三角形面积推导两角差的余弦公式 中国科学院张景中先生从上世纪中国科学院张景中先生从上世纪8080年代就开始研究用面年代就开始研究用面 积法解决几何证明问题，进而形成了几何学中的新体系，积法解决几何证明问题，进而形成了几何学中的新体系， 并创造了几何定理机器证明的并创造了几何定理机器证明的“消点法消点法”，下面我们就从，下面我们就从 三角形面积出发进行证明三角形
7、面积出发进行证明. . )( 2 O A CB b a b BC sinb O O a A B cosa cosb sina 1.某工厂的一条生产线需要安装一个坡度为某工厂的一条生产线需要安装一个坡度为15度的度的 传送带运送产品来减少人工投资（如图），传送传送带运送产品来减少人工投资（如图），传送 带带OA长为长为20米，请问该生产线基座至少得多宽？米，请问该生产线基座至少得多宽？ 巩固应用巩固应用 62 20 cos152056219.32 4 OBm 巩固应用巩固应用 2 回顾小结回顾小结 回顾小结回顾小结 1.数学知识：数学知识： 2.数学方法数学方法： 作业作业 (2)(2)运用课堂上所提的面积法及图形，推导两运用课堂上所提的面积法及图形，推导两 角差的余弦公式角差的余弦公式； (3)(3)通过查阅相关资料，自主研究公式的其他通过查阅相关资料，自主研究公式的其他 推导方法推导方法. 2.2.思考思考： (1)(1) 用用“三角函数线三角函数线”发现两角差的余弦公式发现两角差的余弦公式 过程中将角推广到任意角的情形过程中将角推广到任意角的情形； 1.1.课本课本P137P137习题习题A A组第组第2,32,3题；题；
