1、一长方体和正方体 一、长方体的认识 1.认识长方体的面、棱、顶点。 (1)从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上,无论从哪个角度观察,最多只 能同时观察到长方体的三个面。 (2)长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相 交的点叫作长方体的顶点。 2.长方体的特征。 长方体是由 6 个长方形(也可能有 2 个相对的面是 正方形)围成的立体图形,它有 6 个面、12 条棱和 8 个顶 点。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度 相等。 3.长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度 , 分别叫作 它的长、宽、高。 4.长方体的长、 宽、
2、 高不是固定不变的,它与长方体 的摆放方式有关。长方体相交于同一顶点的三条棱中, 通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽,把竖直 方向的一条棱叫作它的高。 二、正方体的认识 1.正方体也叫立方体。 它是由 6 个完全相同的正方 形围成的立体图形。 它的 6 个面是完全相同的正方形,12 条棱的长度都相等,有 8 个顶点。 2.正方体的长、宽、高相等,都叫正方体的棱长。 3.长方体和正方体的特征的异同。 相同点:都有 6 个面、12 条棱、8 个顶点,相对的 面完全相同,相对的棱长度相等。 不同点:长方体的 6 个面都是长方形(也可能有 2 个相对的面是正方形);一般情况下,棱有3组,每组4条
3、棱 长度相等。 正方体的 6 个面是完全相同的正方形;每条棱 的长度都相等。 三、正方体、长方体的展开图 1.把一个正方体沿一条棱剪开,如下图所示。 正方体的展开图是由 6 个完全相同的正方形组成 的,可以通过观察、折叠找到 3 组相对的面。 2.沿长方体的棱把长方体剪开,展开图中有 3 组相 对的面,相对的面完全相同 , 相对的面完全隔开。 易错点:误认为一个长方体中 最多有 4 条相等的棱。 这是错误的, 一定要注意长方体的 6 个面不一 定都是长方形,也可能有 2 个相对 的面是正方形。 当长方体有 2 个相 对的面是正方形时,就有 8 条棱长 度相等。 直观图中的实线表示从某个 角度能
4、够看到的棱,虚线表示看不 到的棱。 长方体 12 条棱的长度和叫作 长方体的棱长总和。 长方体的棱长 总和=(长+宽+高)4。 易错点:误认为有 6 个面、12 条棱、8 个顶点的立体图形不是长 方体就是正方体。这是不正确的, 一定要注意有 6 个面、12 条棱、8 个顶点并不代表它就是长方体或 正方体,要看它是否具备长方体或 正方体的所有特征,如下图,这个立 体图形既不是长方体,也不是正方 体。 正方体的棱长总和:棱长 12。 正方体具有长方体的一切特 征,正方体是特殊的长方体。 同一个立体图形,沿不同的棱 剪开,得到的展开图不同。 技巧: 3.沿着正方体(或长方体)的棱将它剪开,可以把正
5、方体(或长方体)展开成一个平面图形,这个平面图形就 是正方体(或长方体)的展开图。在展开图中,正方体的 6 个面完全相同(长方体相对的面完全相同),相对的面完 全隔开。 四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法 1.表面积的意义:长方体 ( 或正方体 ) 6 个面的总面积 , 叫作它的表面积。 2.长方体和正方体表面积的计算方法。 (1)长方体的表面积 = 长 宽 2+ 长 高 2+ 宽 高 2= ( 长 宽 + 长 高 + 宽 高 ) 2 。 如果用S表示长方体的表面积,用a、b、h分别表示 长方体的长、宽、高,那么长方体表面积的计算公式是 S=2ab+2ah+2bh或S=(ab+ah+bh
6、)2。 (2)正方体的表面积 = 棱长 棱长 6 。 如果用S表示正方体的表面积,用a表示棱长,那么 正方体表面积的计算公式是S=6a 2。 五、 运用长方体和正方体表面积的计算方法解决实 际问题 1.求长方体和正方体物体的表面积时,最关键的是 要根据实际情况确定好求几个面的面积和。 2.在实际生活中,并不是所有长方体形状的物体都 有 6 个面,如长方体的鱼缸只有 5 个面,通风管只有 4 个 面。因此,在计算时要根据实际情况解题。 六、体积和容积的意义 1.物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.能盛装其他物体的都可以称为容器,不能盛装其 他物体的都不是容器。 3.容器所能容纳物体的体积叫作
7、容器的容积。 4.有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一 定有容积。 七、体积单位 正方体有 6 个相同的面,可以 通过观察、折叠找到 3 组相对的 面。 长方体有 3 组相对的面,可以 通过看是否完全隔开,完全隔开的 一组面就是相对的两个面。 当所求的长方体的表面积是 6 个面的面积时,先分别求出每组相 对的面中一个面的面积,相加后再 乘 2 较简便。 举例:大厅里有 8 根高为 5 米 的方柱需要涂油漆,方柱的横截面 是边长为 0.5 米的正方形,若 1 千 克油漆可以涂 5 平方米,则涂这 8 根方柱需要多少千克油漆? 错 解:(0.50.52+0.554)8 51=16.8(千克)
8、 答:涂这 8 根方柱需要 16.8 千 克油漆。 正 解:0.554851=16(千克) 答:涂这 8 根方柱需要 16 千克 油漆。 一个容器容积的大小与它所 能盛装物体的多少有关。 因为容器 都有一定的厚度,所以一个容器的 体积一般大于它的容积。 1.棱长是 1 厘米的正方体,体积是 1 立方厘米。 2.棱长是 1 分米的正方体,体积是 1 立方分米。 3.棱长是 1 米的正方体,体积是 1 立方米。 4.常用的体积单位有立方厘米 、 立方分米和立方米 , 用字母表示分别是 cm 3 、 dm 3和 m 3 。 八、容积单位 1.容积单位的使用方法。 计量容积,一般就用体积单位。计量液体
9、的体积,如 水、油等,通常用升或毫升作单位。升和毫升,用字母表 示分别为 L 和 mL,其中 1 L=1000 mL。 2.容积单位的换算。 1 dm 3 =1 L 1 cm 3 =1 mL 高级单位向低级单位转换用乘法计算;低级单位向 高级单位转换用除法计算。 3.“容积”与“体积”的区别。 (1)意义不同。 体积是指物体所占空间的大小,而容积是指容器所 能容纳物体的体积。一个物体有体积,但它不一定有容 积。 (2)测量方法不同。 求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高 进行计算,而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、 宽、高,然后计算。因此,对于同一个物体,一般来说,它的 容积要比
10、体积小。 (3)单位名称不完全相同。 体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固 体、 气体的容积单位与体积单位相同,而液体的容积单位 一般用升、毫升。 九、长方体体积公式的推导 1.以取 12 个 1 立方厘米的小正方体,摆出不同形状 的长方体为例,如下图: 每个小正方体的体积是 1 立方厘米,每个长方体是 由12个小正方体摆成的,所以每个长方体的体积都是12 立方厘米。 并不是只有棱长是 1 cm、 1 dm、 1 m 的正方体的体积才是 1 cm 3、1 dm 3和 1 m3。 易错点:误认为容积就是体积, 这是不对的,一定要注意“容积” 与“体积”的不同。如一本书有体 积,却没有容积
11、。 较大容器盛装液体时用“升” 作单位,较小容器盛装液体时用 “毫升”作单位。 巧记: 体积单位常用到,相邻进率是 1000。 高级单位化低级,要把此数乘 1000。 低级单位化高级,除以 1000 把 数算。 转换过程要细心,掌握进率是 关键。 明确摆成不同形状长方体的 长、宽、高分别是多少。 1 立方厘米的小正方体的边长 是 1 厘米。长方体的长、宽、高由 几个小正方体摆成,它的长、宽、 高就分别是几厘米,它的体积正好 等于摆成长方体所需小正方体的 个数。 2.填写表格。 长 /cm 宽 /cm 高 /cm 小正方体 的个数 体积 /cm 3 长方 体 12111212 长方 体 6211
12、212 长方 体 4311212 长方 体 3221212 3.(1)在摆成的长方体中,每排小正方体的个数相当 于长方体的长;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方 体的高。 (2)长方体所含小正方体(体积单位)的个数正好等 于长方体长、宽、高的乘积。 4.长方体体积公式的字母表达式。 如果用V表示长方体的体积,用a、b、h分别表示长 方体的长、宽、高,那么长方体的体积公式可以写成 V=abh。 长方体的体积 = 长 宽 高 , 字母公式为 V=abh 。 5.拓展提高。 当长方体的长、 宽、 高都扩大到原来的n倍时,它的 体积就扩大到原来的n 3(nnn=n3)倍;当长方体的长、 宽、高都缩小
13、到原来的1 ?时,它的体积就缩小到原来的 1 ?3 1 ? 1 ? 1 ? = 1 ?3 。 十、正方体体积公式的推导 1.长方体的体积=长 宽 高 正方体的体积 = 棱长 棱长 棱长 2.正方体体积的字母公式。 如果用V表示正方体的体积,用a表示正方体的棱 长,那么正方体体积的字母公式可以写成V=a a a=a 3 。 3.拓展提高。 举例:如果一个长方体的长、 宽、高都扩大到原来的 2 倍,那么 它的体积就扩大到原来的 2 3倍,即 8 倍;反之,如果一个长方体的长、 宽、高都缩小到原来的1 2,那么它的 体积就缩小到原来的 1 23,即 1 8。 aaa也可以写成“a 3”,即 aaa=
14、a 3,读作“a 的立方”,表示 3 个a相乘。 因此,正方体的体积公 式一般写成V=a 3。写 a 3时,“3”要 写在a的右上角,且要略小一些。 举例:如果一个正方体的棱长 扩大到原来的 2 倍,那么它的体积 就扩大到原来的 8 倍;反之,如果一 个正方体的棱长缩小到原来的1 2,那 么它的体积就缩小到原来的1 8。 在有些实际问题中,也可以用 “横截面的面积长”来计算体 积。 当正方体的棱长扩大到原来的n倍时,它的体积就 扩大到原来的n 3倍;当正方体的棱长缩小到原来的1 ?时, 它的体积就缩小到原来的 1 ?3。 十一、运用体积公式解决实际问题 如果长方体和正方体体积公式中的已知条件都
15、具 备,那么可直接利用公式计算体积。 十二、长方体和正方体体积的通用公式 1.长方体和正方体底面积的意义。 长方体和正方体无论怎样放置,总有一个面与平面 接触,通常把这个面叫作底面。 长方体和正方体底面的面 积 , 叫作它们的底面积。 2.长方体和正方体底面积的计算方法。 (1)长方体的底面积=长宽。 (2)正方体的底面积=棱长棱长。 3.长方体和正方体体积公式的推导。 长方体的体积 = 长 宽 高 底面积高 正方体的体积 = 棱长 棱长 棱长 底面积可看作高 长方体(或正 方体)的体积=底面积高 长方体 ( 或正方体 ) 的体积 = 底面积 高。 如果用V 表示体积,S表示底面积,h表示高,
16、那么长方体(或正方体) 的体积公式可以写成V=Sh。 十三、容积的计算方法 1.长方体或正方体物体容积的计算方法与体积的 计算方法相同,知道长、宽、高或棱长,即可根据体积公 式求出物体的容积。 2.体积和容积的区别与联系。 (1)不同点。 意义不同。 .物体所占空间的大小叫作物体的体积。 .容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 测量方法不同。 .求物体的体积是从物体的外部来测量长、宽、 高或棱长。 运用通用公式进行计算时,一 定要注意单位的统一。 如一个长方 体的底面积是 8 平方厘米,高是 3 分米,求体积。 错解:83=24(立方厘米) 正解:3 分米=30 厘 米,830=240(立方
17、厘米) 计算体积从外面测量长、宽、 高;计算容积从里面测量长、宽、 高。有的物体既有体积,也有容积, 如箱子、油桶、瓶子等。有的物体 有体积,却没有容积,如石头、木头 这类实心的物体。 既有体积又有容 积的物体,它的体积一定大于它的 容积。 只有在容器厚度忽略不计的 情况下,容积才可以看作与体积相 等。 巧记: 容积、体积孪兄弟,只是度量 不统一。 容积心中装物体,体积只想占 空间。 容积尺寸从里测,体积尺寸从 外量。 记住二者不同处,计算才能少 失误。 .求物体的容积是从容器的内部来测量长、宽、 高或棱长。 单位名称不完全相同。 .体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。 .容积一般用体积
18、单位,但在计量液体(如药水、 汽 油等)的体积时,常用升或毫升作单位。 (2)相同点。 计算公式相同。长方体(或正方体)的体积(或容积)= 底面积高。 二分 数 乘 法 一、分数与整数相乘的意义和计算方法 1.整数乘法的意义。 求几个相同加数的和的简便运算。 2. (1)分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都 是求几个相同加数的和的简便运算。 (2)分数与整数相乘的计算方法:用分数的分子和整 数相乘的积作分子 , 分母不变。能约分的要先约分 , 再计 算。 二、求一个数的几分之几是多少 1.求一个数的几分之几是多少 , 用乘法计算。 2.求一个数的几倍与求一个数的几分之几实质上 是相同的,它
19、们都表示两个数的倍比关系。 只是在用整数 或小数表示这种倍比关系时,要说成一个数是另一个数 的几倍,而在用分数表示时,要说成一个数是另一个数的 几分之几。 如一个数的 1.5 倍,也可以表示为一个数的3 2。 因此,求一个数的几倍是多少与求一个数的几分之几是 多少都可以用乘法计算。 三、分数乘分数的意义和计算方法 1.分数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是 多少。 2.分数和分数相乘 , 用分子相乘的积作分子 , 分母相 巧记: 分数乘整数,计算很简单; 分子乘整数,分母不用变; 计算想简便,约分要在先; 结果要想准,分数化最简。 在解决求一个数的几分之几 是多少的实际问题时,关键是要弄 清
20、哪个量是单位“1”。 当相乘的两个分数的分子和 分母能够约分时,可以先约分,再计 算。 找准每步计算的单位“1”是 解答连续求一个数的几分之几是 多少的实际问题的关键。 易错点:比较积与第一个因数 乘的积作分母。能约分的要先约分 , 再计算。 3.整数可以看成分母是 1 的分数,所以分数与整数 相乘,也可以看成是分数与分数相乘,即分数与分数相乘 的计算方法适用于分数与整数相乘。 四、连续求一个数的几分之几是多少的解题方法及 分数连乘的计算方法 1.连续求一个数的几分之几是多少的解题方法:先 求出中间的间接量,再求出最后要求的量。 2.分数连乘的计算方法:分子和分子相乘的积作分 子,分母和分母相
21、乘的积作分母。能约分的要先约分,再 计算。 五、积与因数的大小关系 积与因数的大小关系: ab=c(a不为 0),当b1 时,ca;当b1 时,ca;当b=1 时,c=a。 六、倒数的意义 1.意义。 乘积是 1 的两个数互为倒数。 2.理解“互为倒数”。 “互为倒数”是对两个数来说的,它们是相互依存 的,不能单独说某个数是倒数。 七、求倒数的方法 1.观察互为倒数的两个数的分子、 分母的特点,发现 互为倒数的两个数,它们分子、分母的位置是互换的。 2.求一个数的倒数的方法。 (1)求真分数、 假分数的倒数,可以直接调换这个分数 的分子、分母的位置。 3 7 7 3 3 2 2 3 (2)求一
22、个整数(0 除外)的倒数,先把整数看作分母是 1 的假分数,再调换这个分数分子、分母的位置。 (3)求小数的倒数,先把小数化成最简分数,再调换分 子、分母的位置,也可以根据倒数的意义来找。 例如:0.8 4 5 5 4,所以 0.8 的倒数是5 4,或 0.81.25=1,所以 0.8 的倒数是 1.25。 (4)求带分数的倒数,先把带分数化成假分数,再调换 的大小只考虑按第二个因数的大 小进行判断,这是不对的,一定要注 意前提条件是“第一个因数”不能 为 0。 单独一个数不能称为倒数。 因 为互为倒数的两个数是相互依存 的。 注意:互为倒数的两个数不能 用等号连接,即把一个数和它的倒 数不能
23、表示成相等关系。例如:求3 7 的倒数。 可写成3 7 7 3或 3 7的倒数是 7 3, 而不能写成3 7= 7 3。 巧记: 学习倒数需牢记 , 相互关系不可弃。 两数相乘积为 “ 1 ” , 子母颠倒即完毕。 分子、分母的位置。 例如:51 3 16 3 3 16,所以 51 3的倒数是 3 16。 3.特殊数的倒数。 (1)1 的倒数是 1 。 因为 11=1,所以 1 的倒数是 1。 (2)0 没有倒数。 因为 0 与任何数相乘都得 0,没有一个数与 0 相乘的积是 1,所以 0 没有倒数。 三分 数 除 法 一、分数除以整数和一个数除以分数的计算方 法 1.分数除以整数的计算方法。
24、 (1)整数除法的意义:已知两个因数的积和其中一个 因数,求另一个因数的运算。 (2)分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已 知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。 (3)分数除以整数 ( 0 除外 ), 等于分数乘这个整数的倒 数。 2.整数除以分数的计算方法。 整数除以分数 , 等于整数乘这个分数的倒数。 3.分数除以分数的计算方法。 分数除以分数,可以用被除数乘除数的倒数来计算。 4.推导分数除法的计算方法。 (1)利用商不变的规律进行推导。 被除数和除数同时乘除数的倒数,让除数变为 1。 (2)利用等式的基本性质进行推导。 5.分数除法的计算方法。 甲数除以乙数 ( 0
25、 除外 ), 等于甲数乘乙数的倒数。 6.商与被除数的大小关系。 一个数(0 除外)除以 小于 1 的数商大于被除数 1商等于被除数 大于 1 的数商小于被除数 二、“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的 解题方法 1.已知一个数的几分之几是多少,求这个数,是把这 个数看作单位“1”,单位“1”的量是未知的,可以设单 位“1”的量为x,根据乘法的意义列方程解答。 把除法转化为乘法,是由一种 形式变换成另一种形式,而其本身 的大小不变。 易错点:在进行计算时,把除号 变为乘号后忘记变为除数的倒数。 如4 5 2 5= 4 5 2 5= 8 25,应为 4 5 2 5= 4 5 5 2=2。
26、举例:7 9 14 15= 7 9 15 14 14 15 15 14 =5 61= 5 6 被除数(0 除外)与商的大小关 系取决于除数与 1 的大小关系。 技巧: (1)找出单位“1”的量。 (2)看谁和单位“1”的量相比, 找出比较量和比较量对应的几分 之几。 注意:有时一道题中的单位 “1”不止一个,有两个或多个。一 个数量在某一个条件中是单位 “1”,在另一个条件中有可能就不 2.可以用算术法解答“已知一个数的几分之几是多 少,求这个数”的应用题。算术解法和方程解法都要根据 数量之间的相等关系来列式。 3.比较分数乘法应用题与分数除法应用题的异同: 应用题类 型 结构特征 计算方法单
27、位 “1” 比 较 量 比较量 对应 的几分 之几 求一个 数的几 分之几 是多少 已知 未 知 已知 乘法:单位 “1”的量 几分之 几=比较量 求一个 数是另 一个数 的几分 之几 已知 已 知 未知 除法:比较 量单位 “1” 的量= 几分之几 已知一 个数的 几分之 几是多 少,求这 个数 未知 已 知 已知 除法:比较 量几分 之几=单位 “1”的量 方程:单位 “1”的量 几分之 几=比较量 三、分数连除和乘除混合运算 1.乘除混合运算的计算方法。 计算分数乘除混合运算时,先把其中的除法转化为 乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。 2.连除运算的计算方法。 计算分数连除时 , 先把
28、其中的除法转化为乘法 , 再按 照分数连乘的方法进行计算。 四、比的意义 1.比的意义及各部分名称。 (1)比的意义:两个数相除又叫作两个数的比。 (2)比的读、写方法。 “比”可以用比号“”来代替,也可以写成分数的 形式,两种形式的比都读 “几比几” 。 如 3 比 2,写作 32 或3 2,读作 3 比 2。 (3)比的各部分名称。 是单位“1”,解题时要认真比较, 找准几分之几对应的单位“1”, 才能正确解答。 巧记: 解决问题并不难,读懂题意最 关键。 重点找准单位“1”,画出线段 破难关。 根据等量列方程,解答完毕要 检验。 注意:计算分数连除时,一定要 连续地乘除数的倒数,不要只把
29、第 一个除数变成它的倒数,其他除数 只变符号不变数。 (1)两个数的比可以表示两个 数之间的倍数关系。如果汁有 2 杯,牛奶有 3 杯,果汁与牛奶杯数的 比是 2 比 3,可以理解为果汁有 2 份,牛奶有 3 份;也可以理解为果汁 的杯数相当于牛奶的2 3,牛奶的杯 数相当于果汁的3 2。 (2)两个数的比可以表示两个 数相除。 举例:鱼缸里有 3 条红金鱼,5 条黑金鱼,黑金鱼和红金鱼的数量 比是()。 错解:35 正解:53 (4)比是有序的。 求一个量和另一个量的比,则前一个量是比的前项, 后一个量是比的后项。 2.比值的意义和求法。 (1)比值的意义:比的前项除以后项所得的商。 (2)
30、求比值的方法:用比的前项除以后项。 3.比和比值的联系与区别。 (1)比和比值的联系:都可以用分数形式表示。 (2)比和比值的区别:比表示两个数的倍比关系,比 值是一个数值;比只能写成ab或? ?的形式,而比值可 以是分数、小数或整数。 4.比与分数、除法的关系。 联系:比的前项相当于分子、被除数;比号相当于分 数线、除号;比的后项相当于分母、除数;比值相当于分 数值、商。 区别:比是一种关系;分数是一类数;除法是一种运 算。 5.比与除法、分数之间的区别。 (1)意义不同:比是表示两个量(或数)的一种关系;除 法是一种运算;分数则是一类数。 (2)表示方法不同:作为一种运算,除法算式不能用分
31、 数表示;比可以用分数表示;分数不一定表示两个量的 比。 (3)结果表达不同:除法一般要求出商;比只有要求计 算时才求出比值;分数本身就是一个数值,无需计算。 6.反比:把一个比的前项作为后项,后项作为前项,所 得的比和原来的比互成反比。如 35 是 53 的反 比,53 也是 35 的反比。互成反比的两个比的比值互 为倒数。 7.复比:把两个(或两个以上)比的前项相乘的积作为 前项,后项相乘的积作为后项,所成的比叫作这些比的复 比。如甲、乙两人的速度比是 34,时间比是 56,那么 他们所行的路程比就是(35)(46)=58,路程比就 是速度比和时间比的复比。复比的比值等于组成它的各 个单比
32、比值的乘积。 8.连比:三个(或三个以上)量组成的比叫作连比。如 果甲与乙的比是ab,乙与丙的比是bc,那么甲、乙、 丙三个量的比可以写作abc,abc就叫作甲、 乙、 比值是一个数,它可以是分 数、小数或整数。 注意:求两个不同单位的同类 量的比,要先把单位统一。如小明 看一本漫画书用了 1 小时,小东看 同一本漫画书用了43分钟,小明和 小东所用的时间比是()。 错解:143 正解:6043 因为除数和分母都不能为 0 , 所以 比的后项也不能为 0 。 知识巧记: 比的意义很重要,记忆方法有 诀窍。 两数相除即为比,除号变点挺 奇妙。 前项后项和比值,位置顺序不 能调。 分数除法比相联,
33、相互关系要 记牢。 丙三个量的连比。 可以把几个比组成连比,也可以把连比 分成几个比。 比可以看作比的前项除以后项,但是连比不 能看作组成连比的几个数连除。连比与连除的含义是不 同的。 五、比的基本性质 1.比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数 ( 0 除外 ), 比 值不变。这是比的基本性质。 2.化简比。 分数比 比的前项和后项 同时乘两分数分 母的最小公倍数 小数比 比的前项和后项 的小数点向右移 动相同的位数 整数比 比的前项和后项 同时除以它们的 最大公因数 最简单的 整数比 化简比的结果是一个比 , 不是一个数。 3.化简比与求比值的区别: 计算(化 简)依据 方法结
34、果 化 简 比 比的基本 性质 把比的 前项和 后项同 时乘或 除以相 同的数(0 除外) 是一个最 简单的整 数比 求 比 值 比的意义 用比的 前项除 以比的 后项 是一个数, 可以是分 数、小数 或整数 六、按比分配问题的意义及解题方法 1.在工农业生产和日常生活中 , 常常需要把一个数 量按照一定的比来进行分配 , 这种分配方法通常叫作按 比分配。 2.按比分配问题的解题方法。 (1)用整数乘、除法解决问题:求出总份数;求出 每份是多少;求出各部分的数量。 (2)用分数乘法解决问题:先根据比求出总份数; 化简比的方法:可以用求比值 的方法化简比。 判断一个比是不是最简单的 整数比的方法
35、:看这个比的前项和 后项是不是只有公因数 1。 举例:化简比1 2 1 6。 错解:1 2 1 6= 1 2 6 1 6 6 =3 正 解:1 2 1 6= 1 2 6 1 6 6 =31 易错点:误认为化简同类量的 比时只要化为最简整数比就是正 确的。一定要注意先统一单位,再 化简,但化简后的比不能有单位。 如化简 0.8 L1.4 mL。 错解:4 L7 mL 正解:40007 解答按比分配的问题时,一定 要找准分配的总量和分配的份数。 如一个长方形的周长是 84 厘米, 长与宽的比是 43,这个长方形的 长和宽各是多少厘米? 因为周长是两个长与两个宽 的和,所以应该先用周长 84 除以
36、2 后,再按比分配。 再求出各部分量占总量的几分之几;最后求出各部分 的数量。 3.解决按比分配问题时,无论总数分成几部分,解题 方法都是相同的。 四解决问题的策略 用假设的策略解决实际问题 在解决两个或两个以上的未知数量的问题时,按照一般 的解题思路不易找到正确的解答方法,此时可以采用 “假 设”的策略来解决问题。先假设全部为一种量,并从假设 后数量关系的变化情况出发,结合示意图先推算出其中 一种量,再求另一种量。 在保证满足总量的前提下,也 可以假设两种量分别是多少进行 推理。 五分数四则混合运算 一、分数四则混合运算 1.分数四则混合运算的运算顺序。 (1)分数四则混合运算的运算顺序与整
37、数四则混合运算的 运算顺序相同。 (2)在一个算式里,如果只含有同级运算,要按照从左往右的 顺序进行计算。 (3)在一个算式里,如果含有两级运算,要先算二级运算(乘法 或除法),后算一级运算(加法或减法)。 (4)在一个算式里,如果有括号,要先算小括号里面的,再算中 括号里面的,最后算中括号外面的。 2.分数四则混合运算的简便运算。 (1)整数的运算律或运算性质对于分数同样适用。 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba 乘法结合律:(ab)c=a(bc) 乘法分配律:(a+b)c=ac+bc (2)恰当地运用运算律或运算性质可以使计算简便
38、。 在加减混合运算中,加括号或去括号时要注意括号前面的 符号,如果是加号,括号里面不变号;如果是减号,括号里面加变 减、减变加。 二、用乘法和加、减法解决稍复杂的实际问题 1.已知总量及一个部分量占总量的几分之几,求另一个部 当算式中含有多个二 级运算时,二级运算可以同 时运算。如 7 84+ 4 11 11 16 =7 2+ 1 4 =15 4 举例:计算5 6- 3 5+ 1 5。 错解: 5 6- 3 5+ 1 5 =5 6- 3 5 + 1 5 = 1 30 正解: 5 6- 3 5+ 1 5 =5 6- 3 5 - 1 5 =13 30 分量时,可以列形如a-a? ?或 a1- ?
39、? 的算式解题(b0)。 2.已知一个量及另一个量比它多(或少)几分之几,求另一个 量时,可以列形如aa? ?或 a1 ? ? 的算式解题(b0)。 找准单位 “1” 是关键。 分析问题时,先抓住关 键词语,如是、比、多、少、 增加、减少、提高、降低、 扩大、缩小等,再根据题意 进行正确解答。 六百分数 一、百分数的意义和读写方法 1.意义:一个数是另一个数的百分之几的数 , 叫作百 分数。百分数又叫作百分比或百分率。 2.百分数通常不写成分数形式,而是在原来的分子 后面加上“%”来表示。 3.百分数的读法:先读百分号(分母),读成“百分之”; 再读百分号前面的数(分子),是几就读几。 4.分
40、数与百分数的区别: 分数百分数 意 义 分数是把单 位“1”平均 分成若干份, 表示这样的 一份或几份 的数,它既可 以表示两个 数量间的倍 比关系,又可 以表示具体 数值 表示一个数是另 一个数的百分之 几的数,叫作百分 数。百分数又叫 作百分比或百分 率。它只表示两 个数量间的倍比 关系 表 现 形 式 分数的表现 形式有真分 数、假分数和 带分数,计算 结果一般要 化成最简分 数 百分数的分母固 定是 100,并且用 百分号表示;分子 可以是整数或小 数;分子可以大于 分母,也可以小于 或等于分母;百分 数不能约分,也不 能写成带分数的 形式 单 位 如果表示具 体的数量,就 百分数只表
41、示两 个数量间的倍比 写“%”时,两个圈要写得小些, 以免与数字“0”混淆。 百分数读作“百分之几”,不 读作“一百分之几”。 注意:百分数只表示两个数量 间的倍比关系,不能用来表示具体 的数量,后面不带单位名称。如把 20 100千克写成 20%千克是错误的,因 为具体的数量不能用百分数表示。 名 称 要带单位名 称;如果表示 两个数量间 的倍比关系, 就不带单位 名称 关系,后面不带单 位名称 应 用 范 围 分数主要是 在测量和计 算得不到整 数结果时使 用 百分数主要用于 日常生活中特定 的百分率及调 查、统计、分析 和比较 二、百分数和小数的互化 1.小数改写成百分数 , 把小数点向
42、右移动两位 , 如果 位数不够 , 用 “ 0 ” 补位 , 同时在后面添上百分号。 2.百分数改写成小数 , 把百分号去掉 , 同时把小数点 向左移动两位 , 如果位数不够 , 用 “ 0 ” 补位。 3.百分数和小数可以互化,这只是从数值上看,在具 体运用时,这两者的意义不完全一样,不能互相代替。如 一个数的 75%是 75 不能写成一个数的 0.75 是 75。又如 “求比 68 多 25%的数”和“求比 68 多 0.25 的数”的意 义完全不同。 这是因为百分数是表示两个数的倍比关系, 而小数表示的是数值。如比 68 多 25%的数表示为 68(1+25%),而比 68 多 0.25
43、 的数表示为 68+0.25。 三、百分数和分数的互化 1.分数改写成百分数 , 一般先把分数改写成小数 ( 除 不尽时 , 一般保留三位小数 ), 再把小数改写成百分数。 2.把百分数改写成分数时,可以先把百分数改写成 分母是 100 的分数,再进行化简;分子是小数时,先利用分 数的基本性质把分子、分母同时扩大到原来的若干倍, 把分子化成整数,再进行约分。 3.能化成有限小数的分数,分母中只含有质因数 2 和 5,否则就不能化成有限小数。判断一个分数能不能改 写成有限小数,先要看这个分数是不是最简分数,不是最 简分数的,要把它化成最简分数后再运用这一规律来判 断。 四、求一个数是另一个数的百
44、分之几的实际问题 1.求一个数是另一个数的百分之几的解题方法。 (1)百分数表示一个数是另一个数的百分之几,也就 是“一个数是另一个数的几分之几”的特殊的表示方法, 因此,求一个数是另一个数的百分之几的解题方法与求 一个数是另一个数的几分之几的解题方法相同,都用除 法计算。 当小数点向右移动两位时,得 到的数就扩大到原来的 100 倍,再 添上百分号,又缩小到得到的数的 1 100,所以当添上百分号时,百分号 前的数要扩大到原来的 100 倍。 不是所有的分数都能改写成 分母是 100 的分数,只有能改写成 有限小数的分数,才可以改写成分 母是 100 的分数。 一个百分数去掉百分号后,所 得
45、到的数就扩大到原来的 100 倍。 百分数化成分数要约分成最简分 数。百分数、小数、分数之间相互 转化,只是数的表示方式发生变化, 数的大小不变。 举例: 判断:10 克糖溶解在 100 克水 中,糖占糖水的 10%。() 错解: 此题错在单位“1”(标准量) 找错了。此题中的单位“1”应该 是糖水的总质量,而不是水的质 量。 正解: 出勤率是百分率的一种,公式 本身应该用百分数的形式表示。 如 果不乘 100%,公式只是分数形式, 乘 100%既保持数值不变,又是百分 数的形式。计算时,“100”参与计 算,“%”保留。 出勤率、 成活率、 发芽率等生 活中特定的百分率不能超过 (2)解“求
46、一个数是另一个数的百分之几”的实际问 题,用除法计算,用一个数 另一个数 。 (3)求一个数是另一个数的百分之几,必须找准单位 “1”。 2.求简单的百分率。 (1)求出勤率等百分率的问题,实际上就是求一个数 是另一个数的百分之几。 (2)常见的百分率。 出勤率= 实际出勤人数 应出勤人数 100% 成活率= 成活棵数 种植总棵数100% 发芽率= 发芽种子数 试验种子总数100% 合格率= 合格产品数 产品总数 100% 五、求一个数比另一个数多(或少)百分之几的实际 问题 1.求甲数比乙数多百分之几的实际问题的解题方 法:( 甲数 - 乙数 ) 乙数或甲数 乙数 -1 。 2.求甲数比乙数
47、少百分之几的实际问题的解题方 法:( 乙数 - 甲数 ) 乙数或 1- 甲数 乙数 。 3.解题关键:确定单位 “ 1 ” 。 六、纳税和利息问题 1.应纳税额的计算方法。 (1)求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是 多少 , 用乘法计算 , 即应纳税额 = 收入额 税率。 (2)当纳税的方法不同且税率也不同时,要先判断应 纳税额是按哪个税率缴纳的税款。如果收入中有不纳税 的部分,那么应纳税额税率=应纳税所得额,收入额=应 纳税所得额+不纳税金额。 2.“本金”“利息”及“利率”的含义。 (1)本金:存入银行的钱叫作本金。 (2)利息:取款时银行除还给本金外 , 另外付的钱叫作 利息 ,
48、也叫应得利息。 (3)利率:利息占本金的百分率叫作利率 ,按年计算的 叫作年利率,按月计算的叫作月利率。 100%。 巧记: 各种率,挺简单,计算形式记心 间。 除法结果是小数,最后化成百 分数。 百分数实际问题的解题思路与分 数实际问题的解题思路相同。 求一 个数比另一个数多(或少)百分之 几,就是求两个数的差量占另一个 数(单位“1”)的百分之几。 应缴纳营业税税额=营业额 营业税税率 注意:任何一种存款,在计算利 息时,都要乘存入时间。如王叔叔 把 2000 元存入银行,存期三年,年 利率为 3.75%。到期后可得利息多 少元?应是 20003.75%3=225(元),而不是 20003
49、.75%=75(元)。 易错点:误认为打几折就是减 少(降低)百分之几。如一件上衣原 价 180 元,现在打七折出售,比原价 降低了多少元?列式为 18070%=126(元),这样是不对的, 只求出了现价,没有求出现价比原 价降低了多少元,应为 180-18070%=54(元)。 3.利息的计算方法。 利息=本金利率时间 4.本息的计算方法。 本息=本金+利息 七、折扣问题 1.折扣问题的解题方法。 商店有时要把商品按原价的百分之几出售,通常称 为打折出售。 几折就是原价的百分之几十 , 几几折就是原 价的百分之几十几。 2. “已知一个数的百分之几是多少,求这个数”的 实际问题的解题方法:可
50、以列方程解答,先找出单位“1” 的量,并设为x,再根据等量关系列方程。 3.表示一个数是另一个数十分之几的数,叫作成数。 通常用在工农业生产中表示生产的增长状况。“一成” 就是十分之一,改写成百分数就是 10%;“二成五”就是十 分之二点五,改写成百分数就是 25%。 八、列方程解决稍复杂的百分数实际问题 1.稍复杂的百分数实际问题的解题方法。 在实际问题中,单位“1”未知时,通常设单位“1” 为x,先找出题中的等量关系,再列方程解决问题。 2.解决有关百分数的实际问题,在找准单位“1”的同时, 还要看清所要求的问题与单位“1”的关系。 商品打折后,比原价降低的金 额=原价-现价。 找准等量关
