1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：合情推理 【例 1】迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了 630 万位的最大质数。小王发现 由 8 个质数组成的数列 41，43，47，53，61，71，83，97 的一个通项公式， 并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小 王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的 一个数是（） A1643B1679C1681D1697 【例 2】下面给出了关于复数的四种类比推理： 复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； 由向量 A 的性质|A|2=A2类比得到复数 z 的性质|z|2=z2； 方
2、程),(0 2 Rcbacbxax有两个不同实数根的条件是04 2 acb 可以类比得到：方程),(0 2 Ccbacbzaz有两个不同复数根的条件是 04 2 acb； 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比错误的是() A.B. C. D. 【例 3】定义ADDCCBBA,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)， 那么下图中的 （A） 、 （B） 所对应的运算结果可能是() （1）（2）（3）（4）（A）（B） A.DADB,B.CADB,C.DACB,D.DADC, 板块一.合情推理与 演绎推理 【学而思高中数学讲义】 【例 4】在平面几何里，有勾股
3、定理：“设ABC 的两边 AB，AC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥 ABCD 的 三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （） (A)AB2+AC2+AD2=BC2+ CD2+ BD2(B)BCDADBACDABCSSSS 2222 (C) 2222 BCDADBACDABC SSSS (D)AB2AC2AD2=BC2CD2BD2 【例 5】已知 2 ( ) (1),(1)1 ( )2 f x f xf f x *xN（），猜想(f x）的表达式为() A. 4 ( ) 22 x f x B. 2 ( ) 1 f x x
4、 C. 1 ( ) 1 f x x D. 2 ( ) 21 f x x 【例 6】观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,中 x,y,z 的值依次是() (A) 42,41,123;(B) 13,39,123;(C)24,23,123;(D)28,27,123. 【例 7】观察下列数的特点 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 中,第 100 项是() （A） 10（B） 13（C） 14（D） 100 【例 8】设 22 1 )( x xf，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 )6()5()0()4()5(fffff的值为（） A、2B、22C、
5、3 2D、42 【例 9】平面上有 n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面 分成)(nf块区域，有8)3(, 4)2(, 2) 1 (fff，则)(nf的表达式为（） A、 n 2B、2 2 nnC、)3)(2)(1(2nnn n D、4105 23 nnn 【例 10】在数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第 25 项为 （） A25B6C7D8 【学而思高中数学讲义】 【例 11】如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FBAB 时,其离心率为 51 2 ,此类 椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 （） A
6、. 51 2 B. 51 2 C.51D.51 O x A B F y 【例 12】观察式子： 4 7 4 1 3 1 2 1 1 , 3 5 3 1 2 1 1 , 2 3 2 1 1 222222 ，则可归纳出式子为 （） A、 12 11 3 1 2 1 1 222 n n B、 12 11 3 1 2 1 1 222 n n C、 n n n 121 3 1 2 1 1 222 D、 12 21 3 1 2 1 1 222 n n n 【例 13】公比为4的等比数列 n b中，若 n T是数列 n b的前n项积，则有 30 40 20 30 10 20 , T T T T T T 也成
7、等比数列，且公比为 100 4；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列 n a中，若 n S是 n a的前n项和，则数列也成等差数列, 且公差为。 【例 14】考察下列一组不等式： ,525252,525252,525252 32235533442233 . 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为 推广不等式的特例，则推广的不等式可以是_. 【例 15】如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正 四边形“扩展”而来，如此类推.设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 【学而思高中数学讲义】 n a，则 6 a ； 34599 111
8、1 aaaa . 【例 16】古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角数，它有一定的规律 性，第 30 个三角数与第 28 个三角数的差为。 【例 17】数列 n a是正项等差数列，若 n naaaa b n n 321 32 321 ，则数列 n b也 为等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列 n c，若 n d=，则 数列 n d也为等比数列. 【例 18】在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二 件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构 成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示
9、的正六边 形, 第五件首饰是由45 颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都 在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六 边形,依此推断第 6 件首饰上应有_颗珠宝;则前n件首饰所 用珠宝总数为_颗.(结果用n表示) 【例 19】在平面上， 我们如果用一条直线去截正方形的一个角， 那么截下的一个直角三 角形，按图所标边长，由勾股定理有：. 222 bac 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧 棱两两垂直的三棱锥 OLMN，如果用 321 ,sss表示三个侧面面积， 4 s表示截 面面积，那么你类比得到的结论是. 图 1图 2 图 3
10、图 4 【学而思高中数学讲义】 【例 20】对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等 或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:。 【例 21】依次有下列等式： 222 576543 ,3432 ,11，按此规律下去， 第 8 个等式为。 【例 22】在等差数列 n a中，若0 10 a，则有等式 n aaa 21 ),19( 1921 Nnnaaa n 成立，类比上述性质， 相应地：在等比数列 n b中，若1 9 b，则有等式成立. 【例 23】将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图所示的 0-1 三角数表从 上往下数，第 1 次全行的数都为
11、 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3行， ， 第n次全行的数都为1的是第_行； 第61行中1的个数是_ 第 1 行11 第 2 行101 第 3 行1111 第 4 行10001 第 5 行110011 【例 24】在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形 的高的 1 3 ”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半 径等于这个正四面体的高的。 【例 25】已知： 2 3 150sin90sin30sin 222 ； 2 3 125sin65sin5sin 222 通 过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： _= 2
12、3 （ * ）并给出（ * ）式的证明。 【例 26】观察以下各等式： 202000 3 sin 30cos 60sin30 cos60 4 【学而思高中数学讲义】 202000 3 sin 20cos 50sin20 cos50 4 202000 3 sin 15cos 45sin15 cos45 4 ，分析上述各式的共同特点，猜想出反 映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。 【例 27】在ABC 中， 若C=90， AC=b,BC=A， 则ABC 的外接圆的半径 2 22 ba r ， 把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。 【例 28】请你把不等式“若 12 ,a a是正实数，
13、则有 22 12 12 21 aa aa aa ”推广到一般情形，并证 明你的结论。 【例 29】二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果 它是偶数就用 2 除它，如果是奇数，则将它乘以 3 后再加 1，反复进行这样两 种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。 【例 30】圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能 推广到椭圆吗？设 AB 是椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的任一弦，M 是 AB 的中点， 设 OM 与 AB 的斜率都存在， 并设为 KOM、 KAB， 则 KOM与 KAB之间有何关系？ 并
14、证明你的结论。 【学而思高中数学讲义】 【例 31】已知椭圆 C：1 2 2 2 2 b y a x 具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点， 点 P 是椭圆 C 上任意一点， 当直线 PM、 PN 的斜率都存在， 并记为 KPM、 KPN 时， 那么 KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值。 试对双曲线1 2 2 2 2 b y a x 写 出具有类似特性的性质，并加以证明。 【例 32】观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题： （）求第六行的第一个数 （）求第 20 行的第一个数 （）求第 20 行的所有数的和 1 35 7911 13151719 【例 33】
15、（2004 年上海春招高考题）在DEF 中有余弦定理： DFEEFDFEFDFDEcos2 222 . 拓展到空间，类比三角形的余弦 定理，写出斜三棱柱 ABC- 111 CBA的 3 个侧面面积与其中两个侧面所成二面角 之间的关系式，并予以证明. 【例 34】已知数列 3021 ,aaa，其中 1021 ,aaa是首项为 1，公差为 1 的等差数列； 201110 ,aaa是公差为d的等差数列； 302120 ,aaa是公差为 2 d的等差数列 （0d）. （1）若40 20 a，求d； （2）试写出 30 a关于d的关系式，并求 30 a的取值范围； 【学而思高中数学讲义】 （3）续写已知
16、数列，使得 403130 ,aaa是公差为 3 d的等差数列，依次 类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（ （2）应当作为特 例） ，并进行研究，你能得到什么样的结论？ 【例 35】已知椭圆具有性质：若MN，是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭 圆上任意一点，当直线PMPN，的斜率都存在，并记为 PM k、 PN k时，那么 PM k 与 PN k之积是与点 P 的位置无关的定值试对双曲线 22 22 1 xy ab 写出具有类似 特性的性质，并加以证明 【例 36】已知数列 n a(n为正整数)的首项为 1 a，公比为q的等比数列 求和： 012 122232
17、 a Ca Ca C； 0123 13233343 a Ca Ca Ca C 由的结果，概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明 题型二：演绎推理 【例 37】由正方形的对角线相等； 平行四边形的对角线相等； 正方形是平行四边 形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（） (A) 正方形的对角线相等(B) 平行四边形的对角线相等 (C) 正方形是平行四边形(D)其它 【例 38】下列表述正确的是（） 。 【学而思高中数学讲义】 归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理； 演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理； 类比推理是由特殊到特殊的推理。 （A）
18、；（B）；（C）；（D）。 【例 39】有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数 是真分数”结论显然是错误的，是因为（） 。 A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 【例 40】（4）有一段演绎推理是这样的： “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线； 已知直线b 平面，直线a 平面，直线b平面，则直线b直线a” 的结论显然是错误的，这是因为 （） 。 A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 【例 41】小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。 小王说：“我肯定考上重点大学。” 小刘说：“重点大学我是考不上了。”
19、小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。” 发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并 且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相 反。可见： （） （A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学 （B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学 （C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学 （D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上 【例 42】已知直线 l、m，平面、，且 l，m ，给出下列四个命题： （1）若，则 lm；（2）若 lm，则； （3）若，则 lm；（4）若 lm，则； 其中正确命题的个数是
20、（） （A）1（B）2（C）3（D）4 【例 43】给出下列三个命题：若 b b a a ba 11 , 1 则；若正整数nm和满足 nm ，则 2 )( n mnm；设9:),( 22 111 yxOyxP为圆上任意一点， 圆 2 O以),(baQ为圆心且半径为 1。 当1)()( 2 1 2 1 ybxa时， 圆 21 OO 与圆 【学而思高中数学讲义】 相切。 其中假命题的个数是（） （A） 0（B ） 1（C）2（D）3 【例 44】给定集合 A、B，定义,|BnAmnmxxBA，若 A=4,5,6,B=1,2,3,则集合BA中的所有元素之和为（） A.15B.14C.27D.-14
21、【例 45】有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知 直线b 平面，直线a 平面，直线b平面，则直线b直线a”的结 论显然是错误的，这是因为（） A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 【例 46】为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文 明文(解密),已知加密规则为:明文, , ,a b c d对应密文2 ,2,23 ,4abbccdd, 例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密 得到的明文为（） A4,6,1,7B7,6,1,4 C6,4,1,7D1,6
22、,4,7 【例 47】下面几种推理过程是演绎推理的是（） A、两条直线平行，同旁内角互补，如果A 和B 是两条平行直线的同旁内 角，则A+B=180 B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质 C、某校高三共有 10 个班，1 班有 51 人，2 班有 53 人，三班有 52 人，由此推 测各班都超过 50 人 D、在数列 n a中，)2)( 1 ( 2 1 , 1 1 11 n a aaa n nn ，由此推出 n a的通项公式 【例 48】设函数 22 1 )( x xf，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可 求得( 5)(0)(5)(6)ffff的值为. 【例 49】函数 yf
23、（x） 在 （0， 2） 上是增函数， 函数 y=f(x+2)是偶函数， 则 f(1),f(2.5),f(3.5) 【学而思高中数学讲义】 的大小关系是. 【例 50】在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指 数函数中可抽象出)()()( 2121 xfxfxxf的性质；从对数函数中可抽象出 )()()( 2121 xfxfxxf的性质。那么从函数(写出一个具 体函数即可)可抽象出)()()( 2121 xfxfxxf的性质。 【例 51】“AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线，AC,BD 互相垂直且平分。”补充以上推 理的大前提是。 【例 52】由正方形的对角线
24、相等； 平行四边形的对角线相等； 正方形是平行四边 形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是。 【例 53】已知数列 n a的第 1 项 1 1a ，且 1 12 n n n a a a (1,2,)n ，试归纳出这个数列 的通项公式_ n a 【例 54】（1）在演绎推理中，只要是正确的，结论必定是正确的。 （2）用演绎法证明 y=x2 是增函数时的大前提是。 【例 55】如图，S 为ABC 所在平面外一点，SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC。 求证：ABBC。 【例 56】已知：空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 的中点，判断直线 EF 与 平面 ABD
25、的关系，并证明你的结论. 直线 BD 和平面 ABD 的位置关系是平行 【例 57】设二次函数 f(x)=Ax2+bx+c (A,b,cR,A0)满足条件： 当 xR 时，f(x-4)=f(2-x)，且 f(x)x；当 x(0,2)时，f(x) 2 ) 2 1 ( x f(x)在 R 上的最小值为 0。 求最大值 m(m1)，使得存在 tR，只要 x1,m，就有 f(x+t)x. 【学而思高中数学讲义】 【例 58】规定： (1)(1) ! m x x xxm C m ，其中xR，m是正整数，且 0 1 x C ，这是组 合数( m n Cnm，是正整数，且)mn的一种推广 求 5 15 C的
26、值； 组合数的两个性质( 1 1 , mn mmmm nnnnn CCCCC )是否都能推广到 m x C(xmR， 是正整数)的情形？说明理由； 已知组合数 m n C是正整数，证明：当xZ，m是正整数时， m x C Z 【例 59】指出下面推理中的大前提和小前提。 （1）5 与 22可以比较大小；（2）直线cabcbacba/,/,/,则若。 【例 60】已知函数)(xfy ，对任意的两个不相等的实数 21,x x，都有 )()()( 2121 xfxfxxf成立， 且0)0(f， 求)2006()2005()2005()2006(ffff的值。 【例 61】已知、是锐角， 2 ，且满足)2sin(sin3。 （1）求证：tan2)tan(； 【学而思高中数学讲义】 （2）求证： 4 2 tan，并求等号成立时tan,tan的值。
