1、第第五五章章 函数的应用（二）函数的应用（二） 学习目标学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点) 2.能建立函数模型解决实际问题(重点、难点) 3.了解拟合函数模型并解决实际问题(重点) 4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学 建模，数据分析的能力(重点) 我们知道 ， 函数是描述客观世界变化规律的数学模型 ， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画 面临一个实际问 题 ， 该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 温故知新温故知新 （ ） 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 （ 精确到 0.0001）， 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在
2、这一时期的具体人口增长模型 ， 并检验所得模型与实 际人口数据是否相符 ； （ ） 如果按上表 的增长趋势 ， 那么大约在哪一年我国的人口数达到 13 亿？ 典例解析典例解析 事实上 ， 我国 1989年的人口数为 11.27亿 ， 直到 2005年才突破13 亿 对由 函数模型所得的结果与实际情况不符 ， 你有何看法 ？ 因为人口基数较大 ， 人口增长过快 ， 与我国经济发展 水平产生了较大矛盾 ， 所以我国从 世纪 年代逐步实施了 计划生育政策 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口 增长模型的条件 ， 自然就出现了依模型得到的结果 与实际不符的情况 例4. 2010年 ,考古学家
3、对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进 行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2 ， 能否以此推断此 水坝大概是什么年代建成的？ 典例解析典例解析 归纳总结归纳总结 例5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择， 这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ 问题中涉及哪些数量关系？问题中涉及哪些数量关系？ 如何用函数描述这些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？ 投资天数、回报金额投资
4、天数、回报金额 日日 回回 报报累计回报累计回报 典例解析典例解析 40404040 40 10 10+10 =102 10+10+10 =103 10+10+10+10 =104 10+10+10+10+10 =105 0.4 0.42 0.422 =0.422 0.4222 =0.423 0.42222 =0.424 方案一方案一 方案二方案二 方案三方案三 123 45 则方案一可以用函数则方案一可以用函数_进行描述；进行描述； 方案二可以用函数方案二可以用函数_描述；描述； 方案三可以用函数方案三可以用函数_描述。描述。 设第设第x天的回报是天的回报是y元，元， y=40 (xN*)
5、y=10 x (xN*) y=0.42x-1 (xN*) 三种方案每天回报表三种方案每天回报表 x/x/天天 方案方案1 1方案方案2 2方案方案3 3 y/y/元元增加量增加量/ /元元y/y/元元增加量增加量/ /元元y/y/元元增加量增加量/ /元元 1 1404010100.40.4 2 240400 0202010100.80.80.40.4 3 340400 0303010101.61.60.80.8 4 440400 0404010103.23.21.61.6 5 540400 0505010106.46.43.23.2 6 640400 06060101012.812.86.4
6、6.4 7 740400 07070101025.625.612.812.8 8 840400 08080101051.251.225.625.6 9 940400 090901010102.4102.451.251.2 101040400 01001001010204.8204.8102.4102.4 303040400 03003001010214748365214748365107374182.4107374182.4 x y 4 40 0y y 20 40 60 80 100 120 140 42681012 1 1x x 2 20 0. .4 4y y 1 10 0 x xy y 我
7、们看到，底为我们看到，底为2 的指数函数模型的指数函数模型 比线性函数模型比线性函数模型 增长速度要快得增长速度要快得 多多.从中你对从中你对“指指 数爆炸数爆炸”的含义的含义 有什么新的理解？有什么新的理解？ 1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111 3030 方案一方案一40408080120120160160200200240240280280320320360360400400440440 12001200 方案二方案二101030306060100100150150210210280280360360450450550550660660 46504650
8、 方案三方案三0 01 12.82.86 61212252550.850.8102102204204409409819819 429496729.2429496729.2 例5 累计回报表 投资投资16天，应选择方案一；天，应选择方案一； 投资投资7天，应选择方案一或方案二；天，应选择方案一或方案二； 投资投资810天，应选择方案二；天，应选择方案二； 投资投资11天（含天（含11天）以上，应选择方案三。天）以上，应选择方案三。 假如某公司每天给你投资1万元，共投资30天。公司要求你给他的 回报是：第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱 都是前一天的2倍，共30天，你认为这样的
9、交易对你有利吗？ 你你30天内给公司的回报为天内给公司的回报为: 0.01+0.012+0.0122+0.01229 =10737418.23 1074(万元万元) 30万元万元解答如下：公司解答如下：公司30天内为你的总投资为天内为你的总投资为: 上述例子只是一种假想情况上述例子只是一种假想情况 ， 但从中可以看到但从中可以看到 ， 不同的函数增长不同的函数增长 模型模型 ， 增长变化存在很大差异增长变化存在很大差异 一次函数，一次函数，对数型函数，对数型函数，指数函数。指数函数。 例例6 6涉及了哪几类函数模型？涉及了哪几类函数模型？ 你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗你能用数学语
10、言描述符合公司奖励方案的条件吗? ? 例6. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方 案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销 售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过 利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求？ 典例解析典例解析 分析 ： 本例提供了三个不同增长方式的奖励模型 ， 按要求选择其中一个函数作为刻画 奖金总数与销售利润的关系 由于公司总的利润目标为 1000万元 ， 所以销售人员的销 售 利润一般不
11、会超过公司总的利润 于是 ， 只需在区间 10 ，1000 上 ， 寻找并 验证所选函数是否满足两条要求 ： 第一 ， 奖金总数不超过 万元 ， 即最大值不大于 ； 第二 ， 奖金不超过利润的 ， 即 Y0.25X 不妨先画出函数图象 ， 通过观察函数图象 ， 得到初步的结论 ， 再通过具体计算 ， 确认结 果 解 ： 借助信息技术画出函数 y ， y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x 的图象 观察图象发现 ， 在区间 10， 1000 上 ， 模型 y=0.25x, y=1.002x的图象都有一部分在直线 y 的上方 ， 只有模型 y=log7x+1的图象始终在 y 的下
12、方 ， 这说明只有按模型 y=log7x+1进行奖励时才符 合公司的要求 对于模型 y=log7x+1， 它在区间 10 ，1000 上单调递增 ， 而且当 x1000 时 ， y=log71000+14.55 ， 所以它符合奖金总数不超过 万元的要求 再计算按模型 y=log7x+1奖励时 ， 奖金是否不超过利润的25 ， 即当 x 10 ，1000 时 ， 是否有 y 0.25x， 即y=log7x+1 0.25x成立 令 f(x) y=log7x+1-0.25x， x 10 ，1000 , 利用信息技术画出它的图象 由图象可知函数 f(x)在区间10 ，1000 上单调递减 ， 因此f(x) f(10)0.3167 ， 即y=log7x+10.25x 所以 ， 当 x 10 ，1000 时 ， y 0.25x， 说明按模型y=log7x+1 奖励 ， 奖金不会超过利润的 25 综上所述 ， 模型 y=log7x+1确实能符合公司要求 归纳总结归纳总结 当堂达标当堂达标 实际应用问题实际应用问题 审 题 （设设） 分析、联想、抽象、转化分析、联想、抽象、转化 构建数学模型构建数学模型 数学化 （列列） 寻找解题思路 （解解） 解答数学问题解答数学问题 还原 （答答） 课堂小结课堂小结
