1、5.2平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲考情考向分析 1.了解平面向量基本定理及其意义 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3.会用坐标表示平面向量的加法、 减法与数 乘运算 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、 数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表 示， 考查向量线性运算的综合应用，考查学生的 运算推理能力、 数形结合能力，常与三角函数综 合交汇考查， 突出向量的工具性 一般以选择题、 填空题形式考查， 偶尔有与三角函数综合在一起 考查的解答题，属于中档题. 1平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的
2、两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有 一对实数1，2，使 a1e12e2. 其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)， a(x1，y1)，|a| x21y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x 2x1，y2y1)，|AB | x 2x12y2y12. 3平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)
3、，b(x2，y2)，其中 b0.a，b 共线x1y2x2y10. 知识拓展 1若 a 与 b 不共线，ab0，则0. 2设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果 x20，y20，则 abx1 x2 y1 y2. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底() (2)若 a，b 不共线，且1a1b2a2b，则12，12.() (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表 示() (4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1 x2 y1 y2.( ) (
4、5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标() (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变() 题组二教材改编 2 P97 例 5已知ABCD 的顶点 A(1， 2)， B(3， 1)， C(5,6)， 则顶点 D 的坐标为_ 答案(1,5) 解析设 D(x，y)，则由AB DC ，得(4,1)(5x,6y)， 即 45x， 16y， 解得 x1， y5. 3P119A 组 T9已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若 manb 与 a2b 共线，则m n _. 答案1 2 解析由向量 a(2,3)，b(1,2)， 得 manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1) 由
5、 manb 与 a2b 共线， 得2mn 4 3m2n 1 ，所以m n 1 2. 题组三易错自纠 4设 e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12_. 答案0 5已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC (4，3)，则向量BC_. 答案(7，4) 解析根据题意得AB (3,1)， BC AC AB (4，3)(3,1)(7，4) 6(2016全国)已知向量 a(m,4)，b(3，2)，且 ab，则 m_. 答案6 解析因为 ab，所以(2)m430，解得 m6. 题型一题型一平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 1在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是()
6、 Ae1(0,0)，e2(1,2) Be1(1,2)，e2(5，2) Ce1(3,5)，e2(6,10) De1(2，3)，e2(2,3) 答案B 解析方法一设 ak1e1k2e2， A 选项，(3,2)(k2,2k2)， k23， 2k22， 无解； B 选项，(3,2)(k15k2,2k12k2)， k15k23， 2k12k22， 解得 k12， k21. 故 B 中的 e1，e2可以把 a 表示出来； 同理，C，D 选项同 A 选项，无解 方法二只需判断 e1与 e2是否共线即可，不共线的就符合要求 2(2017济南模拟)如图，在ABC 中，AN 1 3NC ，P 是 BN 上的一点，
7、若AP mAB2 11AC ， 则实数 m 的值为_ 答案 3 11 解析AN 1 3NC ，AC 4AN ， AD mAB 2 11AC mAB8 11AN ， 又 P，B，N 三点共线，m 8 111，即 m 3 11. 思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加、减或数乘运算 (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论 表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 题型二题型二平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 典例 (1)已知 a(5，2)，b(4，3)，
8、若 a2b3c0，则 c 等于() A. 1，8 3B. 13 3 ，8 3 C. 13 3 ，4 3D. 13 3 ，4 3 答案D 解析由已知 3ca2b (5,2)(8，6)(13，4) 所以 c 13 3 ，4 3 . (2)(2017北京西城区模拟)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(， R)，则 等于( ) A1B2C3D4 答案D 解析以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)， 则 A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)， aAO (1,1)，bOB (6,2)，cBC (1，3) cab， (1，3)(1
9、,1)(6,2)， 即 61， 23， 解得2，1 2， 4. 引申探究 在本例(2)中，试用 a，c 表示 b. 解建立本例(2)解答中的平面直角坐标系，则 a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，设 b xayc， 则(6,2)x(1,1)y(1，3) 即 xy6， x3y2， 解得 x4， y2， 故 b4a2c. 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端 点的坐标， 则应先求出向量的坐标， 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 跟踪训练 (1)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2)，C(3，1)，且BC 2AD
10、 ，则 顶点 D 的坐标为() A. 2，7 2B. 2，1 2 C(3,2)D(1,3) 答案A 解析设 D(x，y)，AD (x，y2)，BC (4,3)， 又BC 2AD ， 42x， 32y2， x2， y7 2， 故选 A. (2)已知平面向量 a(1,1)，b(1，1)，则向量 1 2a 3 2b 等于( ) A(2，1)B(2,1) C(1,0)D(1,2) 答案D 解析 1 2a 1 2， 1 2 ，3 2b 3 2， 3 2 ， 故 1 2a 3 2b(1,2) 题型三题型三向量共线的坐标表示向量共线的坐标表示 命题点 1利用向量共线求向量或点的坐标 典例 已知点 A(4,0
11、)，B(4,4)，C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为_ 答案(3,3) 解析方法一由 O， P， B 三点共线， 可设OP OB (4， 4)， 则AP OP OA (44,4) 又AC OC OA (2,6)， 由AP 与AC 共线，得(44)64(2)0， 解得3 4， 所以OP 3 4OB (3,3)， 所以点 P 的坐标为(3,3) 方法二设点 P(x，y)，则OP (x，y)，因为OB (4,4)，且OP 与OB 共线，所以x 4 y 4，即 xy. 又AP (x4，y)，AC(2,6)，且AP与AC共线， 所以(x4)6y(2)0，解得 xy3， 所以点 P 的
12、坐标为(3,3) 命题点 2利用向量共线求参数 典例 已知向量 a(1sin ，1)，b 1 2，1sin ，若 ab，则锐角_. 答案45 解析由 ab，得(1sin )(1sin )1 2， cos21 2，cos 2 2 或 cos 2 2 ， 又为锐角，45. 思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a(x1， y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1”解题比较方便 (2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设 所求向量为a(
13、R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a 即可得到所 求的向量 跟踪训练 (1)(2017北京海淀区模拟)已知向量 a(1,1)，点 A(3，0)，点 B 为直线 y2x 上的 一个动点若AB a，则点 B 的坐标为_ 答案(3，6) 解析设 B(x,2x)，则AB (x3,2x) AB a，x32x0，解得 x3， B(3，6) (2)若三点 A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数 a 的值为_ 答案5 4 解析AB (a1,3)，AC(3,4)， 根据题意AB AC， 4(a1)3(3)0，即 4a5，a5 4. 解析法(坐标法)在向量中的应用 典例 (12 分
14、)给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB ， 它们的夹角为2 3 .如图所示， 点 C 在以 O 为圆心的 AB 上运动若OC xOA yOB ，其中 x，yR，求 xy 的最大值 思想方法指导建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显 向量的代数特征 规范解答 解以 O 为坐标原点， OA 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 如图所示， 则 A(1,0)，B 1 2， 3 2 .4 分 设AOC 0，2 3，则 C(cos ，sin )， 由OC xOA yOB ，得 cos x1 2y， sin 3 2 y， 所以 xcos 3 3 sin ，y2 3 3
15、 sin ，8 分 所以 xycos 3sin 2sin 6 ，10 分 又 0，2 3 ， 所以当 3时，xy 取得最大值 2.12 分 1如果 e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量 的一组基底的是() Ae1与 e1e2 Be12e2与 e12e2 Ce1e2与 e1e2 De12e2与e12e2 答案D 2(2018郑州质检)设平面向量 a(1,0)，b(0,2)，则 2a3b 等于() A(6,3)B(2，6) C(2,1)D(7,2) 答案B 解析2a3b(2,0)(0,6)(2，6) 3(2018河南中原名校联考)如图所示，矩形 ABCD
16、的对角线相交于点 O，E 为 AO 的中点， 若DE AB AD (，为实数)，则22等于() A.5 8 B.1 4 C1D. 5 16 答案A 解析DE 1 2DA 1 2DO 1 2DA 1 4DB 1 2DA 1 4(DA AB )1 4AB 3 4AD ， 所以1 4， 3 4，故 225 8，故选 A. 4已知 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则 c 等于() A1 2a 3 2b B.1 2a 3 2b C3 2a 1 2b D3 2a 1 2b 答案B 解析设 cab，(1,2)(1,1)(1，1)， 1， 2， 1 2， 3 2， c1 2a 3 2b. 5已知平面
17、直角坐标系内的两个向量 a(1,2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量 c 都可 以唯一的表示成 cab(，为实数)，则实数 m 的取值范围是() A(，2)B(2，) C(，)D(，2)(2，) 答案D 解析由题意知向量 a，b 不共线，故 2m3m2，即 m2. 6(2018厦门调研)已知|OA |1，|OB | 3，OA OB 0，点 C 在AOB 内，且OC 与OA 的夹 角为 30，设OC mOA nOB (m，nR)，则m n 的值为() A2B.5 2 C3D4 答案C 解析OA OB 0，OA OB ， 以OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系
18、(图略)， OA (1,0)，OB (0， 3)，OC mOA nOB (m， 3n) tan 30 3n m 3 3 ，m3n，即m n3，故选 C. 7在ABCD 中，AC 为一条对角线，AB (2,4)，AC (1,3)，则向量BD 的坐标为_ 答案(3，5) 解析AB BCAC，BCACAB(1，1)， BD AD AB BCAB(3，5) 8(2018雅安模拟)已知向量 a( 3，1)，b(0，1)，c(k， 3)，若 a2b 与 c 共线，则 k_. 答案1 解析a2b( 3，3)，且 a2bc， 3 33k0，解得 k1. 9(2017福建四地六校联考)已知 A(1,0)，B(4
19、,0)，C(3,4)，O 为坐标原点，且OD 1 2(OA OB CB )，则|BD |_. 答案2 2 解析由OD 1 2(OA OB CB )1 2(OA OC )知， 点 D 是线段 AC 的中点， 故 D(2,2)， 所以BD (2,2)， 故|BD | 22222 2. 10(2018洛阳质检)在平行四边形 ABCD 中，AB e 1，AC e2，NC 1 4AC ，BM 1 2MC ，则MN _.(用 e1，e2表示) 答案2 3e 1 5 12e 2 解析如图，MN CN CM CN 2BM CN 2 3BC 1 4AC 2 3(AC AB) 1 4e 22 3(e 2e1) 2
20、 3e 1 5 12e 2. 11已知 A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)，若 A，B，C 三点共线，则 a，b 的关系式为_ 答案ab2 解析由已知得AB (2，2)，AC (a1，b1)， A，B，C 三点共线，AB AC . 2(b1)2(a1)0，即 ab2. 12已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设AB a，BCb，CAc，且CM 3c，CN 2b. (1)求 3ab3c； (2)求满足 ambnc 的实数 m，n； (3)求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标 解(1)由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8) 3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)
21、(1563，15324)(6，42) (2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)， 6mn5， 3m8n5， 解得 m1， n1. (3)设 O 为坐标原点，CM OM OC 3c， OM 3cOC (3,24)(3，4)(0,20)， M(0,20) 又CN ON OC 2b， ON 2bOC (12,6)(3，4)(9,2)， N(9,2)，MN (9，18) 13(2018河南三市联考)已知点 A(1,3)，B(4，1)，则与AB 同方向的单位向量是_ 答案 3 5， 4 5 解析AB OB OA (4，1)(1,3)(3，4)， 与AB 同方向的单位向量为AB |AB | 3 5，
22、4 5 . 14(2017杭州五校联盟一诊)在矩形 ABCD 中，AB 5，BC 3，P 为矩形内一点，且 AP 5 2 ，若AP ABAD (，R)，则 5 3的最大值为_ 答案 10 2 解析建立如图所示的平面直角坐标系，设 P(x，y)，B( 5，0)， C( 5， 3)，D(0， 3) AP 5 2 ，x2y25 4. 点 P 满足的约束条件为 0 x 5， 0y 3， x2y25 4， AP ABAD (，R)， (x，y)( 5，0)(0， 3)， x 5， y 3， xy 5 3. xy 2x2y225 4 10 2 ， 当且仅当 xy 时取等号， 5 3的最大值为 10 2 .
23、 15(2018河北石家庄一模)如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D，若OC mOA nOB ，则 mn 的取值范围是_ 答案(1,0) 解析由题意得，OC kOD (k0)， 又|k|OC | |OD | 1，1k0. 又B，A，D 三点共线，OD OA (1)OB ， mOA nOB kOA k(1)OB ， mk，nk(1)， mnk，从而 mn(1,0) 16(2018开封调研)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3，平面 ABC 内的动点 P，M 满足|AP | 1，PM MC ，则|BM |2的最大值是_ 答案 49 4 解析建立平面直角坐标系如图所示，则易知 B( 3，0)，C( 3，0)，A(0,3) 设 M(x，y)，P(a，b)， PM MC ， xa 3x， yb0y， 解得 a2x 3， b2y， 即 P(2x 3，2y)，又|AP |1. P 点在圆x2(y3)21 上， 即(2x 3)2(2y3)21， 整理得 x 3 2 2 y3 2 21 4(记为圆)， 即 M 点在该圆上， 求|BM |的最大值转化为 B 点到该圆上的一点的最大距离，即 B 到圆心的距离再加上该圆的 半径： |BM |2 3 2 3 2 3 2 21 2 249 4 .
