1、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 层级一层级一学业水平达标学业水平达标 1直线直线 3x4y120 与圆与圆 C：(x1)2(y1)29 的位置关系是的位置关系是() A相交并且直线过圆心相交并且直线过圆心B相交但直线不过圆心相交但直线不过圆心 C相切相切D相离相离 解析：解析：选选 D圆心圆心 C(1,1)到直线的距离到直线的距离 d|3 14112| 3242 19 5 ，圆，圆 C 的半径的半径 r3， 则则 dr，所以直线与圆相离，所以直线与圆相离 2圆圆 x2y24x4y60 截直线截直线 xy50 所得的弦长等于所得的弦长等于() A. 6B. 6 2 C1D5 解析：解析：选
2、选 A圆的方程可化为圆的方程可化为(x2)2(y2)22，则圆的半径，则圆的半径 r 2，圆心到直线的，圆心到直线的 距离距离 d|2 25| 2 2 2 ，所以直线被圆截得的弦长为，所以直线被圆截得的弦长为 2 r2d2221 2 6. 3以点以点(2，1)为圆心，且与直线为圆心，且与直线 3x4y50 相切的圆的方程为相切的圆的方程为() A(x2)2(y1)23B(x2)2(y1)23 C(x2)2(y1)29D(x2)2(y1)29 解析：解析：选选 D圆心到直线圆心到直线 3x4y50 的距离的距离 d|6 45| 5 3，即圆的半径为，即圆的半径为 3，所，所 以所求圆的方程为以所
3、求圆的方程为(x2)2(y1)29. 4若直线若直线 xy2 被圆被圆(xa)2y24 所截得的弦长为所截得的弦长为 2 2，则实数，则实数 a 的值为的值为() A0 或或 4B0 或或 3 C2 或或 6D1 或或 3 解析：解析：选选 A由圆的方程，可知圆心坐标为由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径，半径 r2.又直线被圆截得的弦长又直线被圆截得的弦长为为 2 2，所以圆心到直线的距离，所以圆心到直线的距离 d22 2 2 2 2 2.又又 d|a 2| 2 ，所以，所以|a2|2，解得，解得 a 4 或或 a0.故选故选 A. 5若若 a2b22c2(c0)，则直线，则直线 ax
4、byc0 被圆被圆 x2y21 所截得的弦长为所截得的弦长为() A.1 2 B1 C. 2 2 D. 2 解析：解析：选选 D圆心到直线的距离圆心到直线的距离 d |c| a2b2 1 2，设弦长为 ，设弦长为 l，圆的半径为，圆的半径为 r，则，则 l 2 2 d2r2，即，即 l2 r2d2 2. 6已知直线已知直线 axy20 与圆心为与圆心为 C 的圆的圆(x1)2(ya)24 相交于相交于 A，B 两点，且两点，且 ABC 为等边三角形，则实数为等边三角形，则实数 a_. 解析解析：根据根据“半径半径、弦长弦长 AB 的一半的一半、圆心到直线的距离圆心到直线的距离”满足勾股定理可建
5、立关于满足勾股定理可建立关于 a 的方程，解方程求的方程，解方程求 a. 圆圆心心C(1， a)到直到直线线axy20的距离为的距离为|a a2| a21 .因为因为ABC为等边三角形为等边三角形， 所以所以|AB| |BC|2，所以，所以 |aa2| a21 2 1222， 解得解得 a4 15. 答案：答案：4 15 7 已知圆已知圆 C 的圆心是直线的圆心是直线 xy10 与与 x 轴的交点轴的交点， 且圆且圆 C 与直线与直线 xy30 相切相切， 则圆则圆 C 的方程为的方程为_ 解析：解析：令令 y0 得得 x1，所以直线，所以直线 xy10 与与 x 轴的交点为轴的交点为(1,0
6、)因为直线因为直线 x y30 与圆相切，与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，所以圆心到直线的距离等于半径， 即即 r| 103| 2 2， 所以圆所以圆 C 的方程为的方程为(x1)2y22. 答案：答案：(x1)2y22 8点点 M，N 在圆在圆 x2y2kx2y40 上，且点上，且点 M，N 关于直线关于直线 xy10 对称，对称， 则该圆的半径是则该圆的半径是_ 解析：解析：由题知，直线由题知，直线 xy10 过圆心过圆心 k 2， ，1 ， 即即k 2 110，k4. r 16416 2 1. 答案：答案：1 9一圆与一圆与 y 轴相切，圆心在直线轴相切，圆心在直线 x3y0
7、上，且直线上，且直线 yx 截圆所得弦长为截圆所得弦长为 2 7，求，求 此圆的方程此圆的方程 解：解：因为圆与因为圆与 y 轴相切，且圆心在直线轴相切，且圆心在直线 x3y0 上，上， 故设圆的方程为故设圆的方程为(x3b)2(yb)29b2. 又因为直线又因为直线 yx 截圆得弦长为截圆得弦长为 2 7， 则有则有 |3bb| 2 2 ( 7)29b2， 解得解得 b1，故所求圆的方程为，故所求圆的方程为 (x3)2(y1)29 或或(x3)2(y1)29. 10设圆上的点设圆上的点 A(2,3)关于直线关于直线 x2y0 的对称点仍在圆上的对称点仍在圆上，且圆与直线且圆与直线 xy10
8、相交的弦长为相交的弦长为 2 2，求圆的方程，求圆的方程 解：解：设所求圆的方程为设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心为，则圆心为(a，b)，半径长为，半径长为 r. 点点 A(2,3)关于直线关于直线 x2y0 的对称点的对称点 A仍在这个圆上仍在这个圆上，圆心圆心(a，b)在直线在直线 x2y 0 上上 a2b0， 且且(2a)2(3b)2r2. 又又直线直线 xy10 与圆相交的弦长为与圆相交的弦长为 2 2， r2d2r2 |ab1| 2 2 ( 2)2. 解由方程解由方程组成的方程组，组成的方程组， 得得 a 6，b3，r252或 或 a 14，b7，r2244. 所求圆
9、的方程为所求圆的方程为(x6)2(y3)252 或或(x14)2(x7)2244. 层级二层级二应试能力达标应试能力达标 1直线直线 l：mxy1m0 与圆与圆 C：x2(y1)21 的位置关系是的位置关系是() A相交相交B相切相切 C相离相离D无法确定，与无法确定，与 m 的取值有关的取值有关 解析：解析：选选 A圆心到直线的距离圆心到直线的距离 d| 1m1| m21 |m| m21 1r，故选，故选 A. 2直线直线 x7y50 截圆截圆 x2y21 所得的两段弧长之差的绝对值是所得的两段弧长之差的绝对值是() A. 4 B. 2 CD.3 2 解析：解析：选选 C圆心到直线的距离圆心
10、到直线的距离 d|0 05| 149 2 2 .又圆的半径又圆的半径 r1，直线直线 x7y5 0 被圆被圆 x2y21 截得的弦长为截得的弦长为 2，直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为 90，劣弧劣弧 是整个圆周的是整个圆周的1 4， ，直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即即1 2 2r . 3直线直线 l 与圆与圆 x2y22x4ya0(a3)相交于相交于 A，B 两点两点，若弦若弦 AB 的中点为的中点为 C( 2,3)，则直线，则直线 l 的方程为的方程为() Axy50Bxy10 C
11、xy50Dxy30 解析：解析：选选 A由圆的一般方程可得圆心为由圆的一般方程可得圆心为 M(1,2)由圆的性质易知由圆的性质易知 M(1,2)与与 C( 2,3)的连线与弦的连线与弦 AB 垂直，故有垂直，故有 kABkMC1kAB1，故直线，故直线 AB 的方程为的方程为 y3x2， 整理得整理得 xy50. 4与圆与圆 C：x2y24x20 相切，且在相切，且在 x，y 轴上的截距相等的直线共有轴上的截距相等的直线共有() A1 条条B2 条条 C3 条条D4 条条 解析：解析：选选 C圆圆 C 的方程可化为的方程可化为(x2)2y22.可分为两种情况讨论：可分为两种情况讨论： (1)直
12、线在直线在 x， y 轴上的截距均为轴上的截距均为 0， 易知直线斜率必存在易知直线斜率必存在， 设直线方程为设直线方程为 ykx， 则则 |2k| 1k2 2，解得，解得 k1； (2)直线在直线在 x，y 轴上的截距均不为轴上的截距均不为 0，则可设直线方程为，则可设直线方程为x a y a 1(a0)，即，即 xya 0(a0)，则，则|2 a| 2 2，解得，解得 a4(a0 舍去舍去)因此满足条件的直线共有因此满足条件的直线共有 3 条条 5过直线过直线 xy40 与圆与圆 x2y24x2y40 的交点且与的交点且与 yx 相切的圆的方程为相切的圆的方程为 _ 解析：解析：设所求 圆
13、的方程为设所求 圆的方程为 x2y24x2y4(x y4)0.联立方 程组联立方 程组 y x，x2y24x2y4 xy4 0，得 得 x2(1)x2(1)0.因为圆与因为圆与 yx 相切，所以相切，所以0，即，即(1)28(1)0，则，则3，故所求圆的方程为，故所求圆的方程为 x2y27xy8 0. 答案：答案：x2y27xy80 6过原点过原点 O 作圆作圆 x2y26x8y200 的两条切线，设切点分别为的两条切线，设切点分别为 P，Q，则线，则线段段 PQ 的长为的长为_ 解析：解析：圆的方程化为标准方程为圆的方程化为标准方程为(x3)2(y4)25，示意图如图，示意图如图 所示则圆心
14、为所示则圆心为 O(3,4)，r 5. 切线长切线长|OP| |OO|2|OP|22 5. |PQ|2|OP|O P| |OO| 22 5 5 5 4. 答案：答案：4 7已知点已知点 A(1，a)，圆，圆 O：x2y24. (1)若过点若过点 A 的圆的圆 O 的切线只有一条，求实数的切线只有一条，求实数 a 的值及切线方程；的值及切线方程； (2)若过若过点点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线被且在两坐标轴上截距相等的直线被圆圆 O 截得的弦长截得的弦长为为 2 3， 求实求实数数 a 的值的值 解解：(1)由于过点由于过点 A 的圆的圆 O 的切线只有一条的切线只有一条，则点则点 A 在
15、圆上在圆上，故故 12a24，a 3. 当当 a 3时，时，A(1， 3)，切线方程为，切线方程为 x 3y40； 当当 a 3时，时，A(1， 3)，切线方程为，切线方程为 x 3y40. (2)设直线方程为设直线方程为 xyb. 直线过点直线过点 A，1ab，即，即 ab1. 又圆心到直线的距离又圆心到直线的距离 d|b| 2， ， |b| 2 2 2 3 2 2 4， 由由，得，得a 21，b 2或 或a 21，b 2. 8已知直线已知直线 l：2mxy8m30 和圆和圆 C：x2y26x12y200. (1)mR 时，证明时，证明 l 与与 C 总相交；总相交； (2)m 取何值时，取
16、何值时，l 被被 C 截得的弦长最短？求此弦长截得的弦长最短？求此弦长 解：解：(1)证明：直线的方程可化为证明：直线的方程可化为 y32m(x4)， 由点斜式可知，直线过点由点斜式可知，直线过点 P(4，3) 由于由于 42(3)26412(3)20150， 所以点所以点 P 在圆内，故直线在圆内，故直线 l 与圆与圆 C 总相交总相交 (2)圆的方程可化为圆的方程可化为(x3)2(y6)225.如图，当圆心如图，当圆心 C(3，6) 到直线到直线 l 的距离最大时，线段的距离最大时，线段 AB 的长度最短的长度最短 此时此时 PCl，又，又 kPC 3 6 43 3， 所以直线所以直线 l 的斜率为的斜率为1 3， ， 则则 2m1 3，所以 ，所以 m1 6. 在在 RtAPC 中，中，|PC| 10，|AC|r5. 所以所以|AB|2 |AC|2|PC|22 15. 故当故当 m1 6时， 时，l 被被 C 截得的弦长最短，最短弦长为截得的弦长最短，最短弦长为 2 15.
