1、上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 第一节第一节 样本空间、随机事件样本空间、随机事件 第二节第二节 概率、古典概型概率、古典概型 第三节第三节 条件概率、全概率公式条件概率、全概率公式 第四节第四节 独立性独立性 第一节第一节 样本空间样本空间 随机事件随机事件 在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事 先又不能预测是哪一种结果的现象称先又不能预测是哪一种结果的现象称随机现象随机现象。 1、随机试验、随机试验 概率论与数理统计概率论与数理统计是研究和揭示随机现象
2、统计是研究和揭示随机现象统计 规律性的一门基础学科。规律性的一门基础学科。 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 则把这一试验称为则把这一试验称为随机试验随机试验，常用，常用E表示。表示。 对随机现象进行的观察或实验称为对随机现象进行的观察或实验称为试验试验。 （2）每次试验的可能结果不止一个，并且事）每次试验的可能结果不止一个，并且事 先可以知道试验的所有可能结果。先可以知道试验的所有可能结果。 （3）进行一次试验之前，不能确定会出现）进行一次试验之前，不能确定会出现 哪一个结果。哪一个结果。 若一个试验具有下列三个特点：若一个试验具有下列三个特点： （1）在相同条件下可重复进行。）在相同
3、条件下可重复进行。 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 例例1 : 从一批产品中任取从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：则这一试验的样本空间为： =0，1，2，3，4，5，6，7，8 引入下列随机事件引入下列随机事件: A=正品件数不超过正品件数不超过3=0，1，2，3 B=取到取到2件至件至3件正品件正品=2，3 C=取到取到2件至件至5件正品件正品=2，3，4，5 D=取到的正品数不少于取到的正品数不少于2且不多于且不多于5=2，3，4，5 E=取到的正品数至少为取到的正品数至少为4=4，5，6，7，8 F=取到的正品数多于取到的
4、正品数多于4=5，6，7，8 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 2、随机事件与样本空间、随机事件与样本空间 随机事件（随机事件（简称简称事件）：事件）： 在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。 通常用大写字母通常用大写字母A、B,表示。表示。 基本结果：基本结果： （1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本 结果。结果。 （2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，）任何结果，都是由其中一些基本结果组成， 每个基本结果称样本点。每个基本结果称样本点。 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 随机事件中
5、有两个随机事件中有两个极端情况极端情况： 每次试验中都必然发生的事件，称为每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件必然事件 。 每次试验中都不发生的事件，称为每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件不可能事件 。 基本事件基本事件是样本空间的单点集。是样本空间的单点集。 复合事件复合事件是由多个样本点组成的集合。是由多个样本点组成的集合。 必然事件必然事件包含一切样本点，它就是样本空间包含一切样本点，它就是样本空间 。 不可能事件不可能事件不含任何样本点，它就是空集不含任何样本点，它就是空集 。 样本空间：样本空间： 随机试验随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为的全体基本事件组成的集合。记
6、为 。 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 表示事件表示事件A包含于事件包含于事件B或称事件或称事件B包含事件包含事件A,指指 事件事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生. BA 0 1 3、事件间的关系及其运算、事件间的关系及其运算 .,相等相等与事件与事件称事件称事件即即且且若若BABAABBA .,AA 都有对于任意事件 事件事件A1，A2，An 的和记为的和记为 ,或或A1 A2 An i n i A 1 表示事件表示事件A与事件与事件B中至少有一个事件发生中至少有一个事件发生,称此事称此事 件为事件件为事件A与事件与事件B的和（并）事件的和（并）事件,或记为或记为A+B
7、. BA 0 2 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 表示事件表示事件A与事件与事件B同时发生同时发生, 称为事件称为事件A与事件与事件B的的 积（交）事件，记为积（交）事件，记为AB。积事件。积事件AB是由是由A与与B的公共的公共 样本点所构成的集合。样本点所构成的集合。 可列个事件可列个事件A1 , A2 , , An 的积记为的积记为A1 A2 An 或或A1A2 An ，也可简记为，也可简记为 。 n i i A 1 1i i A 在可列无穷的场合，用在可列无穷的场合，用 表示事件表示事件“A1、A 2 、 、 诸 诸 事件同时发生。事件同时发生。” BA 0 3 上一页上一页 下
8、一页下一页 返返 回回 事件事件A发生但事件发生但事件B不发生不发生,称为事件称为事件A与事件与事件B的差的差 事件。事件。显然有：显然有： AAAAA, BA 0 4 BA 0 5 则称则称A和和B是互不相容的或互斥的是互不相容的或互斥的,指事件指事件A与与B不不 可能同时发生。可能同时发生。 基本事件是两两互不相容的基本事件是两两互不相容的。 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 AAABABABA AAAAAA , , 则称则称A和和B互为对立事件，或称互为对立事件，或称A与与B互为逆事件。互为逆事件。 事件事件A的逆事件记为的逆事件记为 , 表示表示“A不发生不发生”这一事件。这一事
9、件。 A BABA且 0 6 对于任意的事件对于任意的事件A，B只有如下分解：只有如下分解： )()(,BABABABABAABA 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 A B B A A BB A A B B A BA BA BA BA BA AA 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 事件的运算律事件的运算律 （1）交换律：）交换律：AB=AB，AB=BA （2）结合律）结合律（AB）C=A（BC） （3）分配律：）分配律：A （BC）= （AB）（ A C ） （AB）C=A（BC） A（B C）=（AB）（AC） （4）德）德摩根律（摩根律（De Morgan）：）： ., , 1
10、111 1111 i i i i i i i i i n i i n i i n i i n i AAAA AAAA 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 例例2: 设设A，B，C为三个事件，试用为三个事件，试用A，B，C表表 示下列事件：示下列事件： （1）A发生且发生且B与与C至少有一个发生；至少有一个发生； （2）A与与B都发生而都发生而C不发生；不发生； （3）A，B，C恰有一个发生；恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生；中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生；不都发生； （6）A，B，C中至少有两个发生。中至少有两个发生。 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回
11、. )6( ABCBCACBACAB BCACAB 或或 );()1(:CBA 解解 ;)2(CABCAB 或或 ;)3(CBACBACBA ; )4( BCACAB CBACBACBACBA 或或 ;)5(CBAABC 或或 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 第二节第二节 概率、古典概率概率、古典概率 1、概率、概率 n k Af n )( 定义定义1: 在相同条件下，进行了在相同条件下，进行了n次试验次试验.若随机事件若随机事件A在在 这这n次试验中发生了次试验中发生了k次，则比值次，则比值 称为事件称为事件A在在n次次 实验中发生的频率，记为实验中发生的频率，记为 nk 频率具有下
12、列频率具有下列性质性质： (1)对于任一事件对于任一事件A，有，有 1)(0 Afn (2)1)( n f 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 )()( , )()()( ,)3( 11 21 i m t n m t in m nnn AfAf AAA BfAfBAf BA 则则互互不不相相容容一一般般，若若 则则互互不不相相容容若若事事件件 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 历史上著名的统计学家蒲丰（历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon）和皮尔逊）和皮尔逊 （Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表 所示所示. 实验者实验者nkf
13、 德德摩根摩根204810610.5181 蒲丰蒲丰404020480.5069 K皮尔逊皮尔逊1200060190.5016 K皮尔逊皮尔逊24000120120.5006 可见出现正面的频率总在可见出现正面的频率总在0.5附近摆动附近摆动.随着试验次数随着试验次数 的增加的增加,它会逐渐稳定于它会逐渐稳定于0.5. 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 定义定义2: 设事件设事件A在在n次重复试验中发生了次重复试验中发生了k次次, n很大时很大时, 频率频率 稳定在某一数值稳定在某一数值p的附近波动的附近波动,而随着试验次数而随着试验次数 n的增加，波动的幅度越来越小，则称的增加，波动的
14、幅度越来越小，则称p为事件为事件A发生的发生的 概率，记为概率，记为 pAP )( nk 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 .)( )()(, )3( 1)()2( 0)()1( )( 11 21 的的概概率率为为事事件件则则称称实实数数 有有多多个个事事件件 互互不不相相容容的的可可列列无无穷穷可可列列可可加加性性：对对于于两两两两 规规范范性性： 非非负负性性： ，且且满满足足以以下下公公理理：赋赋予予一一个个实实数数事事件件 为为事事件件，对对于于每每一一个个为为样样本本空空间间，设设 AAP APAPAA P AP APA A n n n n 定义定义3： 2、概率的公理化定义、
15、概率的公理化定义 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 n k k n k k n APAP AAA 11 21 )()( ,2 则则有有为为两两两两互互不不相相容容事事件件，：若若性性质质 概率的性质：概率的性质： 0)(1 P：性性质质 （单单调调性性） ；（可可减减性性） ，则则有有是是两两个个事事件件，若若：设设性性质质 ).()( )()()( ,3 BPAP APBPABP BABA . 1)(4 APA，：对对任任一一事事件件性性质质 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 ).(1)( 5 APAP A ，有有：对对任任一一事事件件性性质质 )()()()( ,6 ABPBP
16、APBAP BA ，有，有：对于任意两个事件：对于任意两个事件性质性质 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 3、古典概型、古典概型 定义定义4： 设随机试验设随机试验E满足如下满足如下条件条件: (1)试验的样本空间只有有限个样本点，即试验的样本空间只有有限个样本点，即 (2) 每个样本点的发生是等可能的，即每个样本点的发生是等可能的，即 则称试验为则称试验为古典概型古典概型，也称为，也称为等可能概型等可能概型。 n , 21 )()()( 21n PPP 古典概型古典概型 中事件中事件A的概率计算公式为的概率计算公式为 中样本点总数 所包含的样本点数 A n k AP)( 上一页上一页
17、下一页下一页 返返 回回 例例3：从：从0,1,2, ,9共共10个数字中随机地有放回地接连取个数字中随机地有放回地接连取 4个数字个数字,并按其出现的先后排成一行并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概试求下列事件的概 率率 .04)3( ;4)2( ;4)1( 3 2 1 恰恰好好出出现现两两次次个个数数字字中中 个个数数字字排排成成一一个个四四位位数数 个个数数字字排排成成一一个个偶偶数数 A A A .,4 .10, 4 即即可可则则只只需需末末位位数数字字为为偶偶数数个个数数字字组组成成偶偶数数若若使使 总总数数为为所所以以样样本本空空间间中中样样本本点点因因为为是是有有放放回回抽
18、抽样样 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 0486. 0 10 9C )( 9 . 0 10 10C )( 5 . 0 10 10C )( 4 22 4 3 4 31 9 2 4 31 5 1 AP AP AP .10, , 8 , 6 , 4 , 2 , 0:5 3 种种取取法法有有而而前前三三位位数数字字是是任任意意的的 种种可可能能这这有有 从而中样本点的个数为 中样本点的个数为类似地可知 个样本点中含有于是 ,9C ,10C .10C 22 43 31 92 31 51 A A A 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 例例4： (一个古老的问题一个古老的问题)一对骰子连掷一对
19、骰子连掷25次次.问出现双问出现双6 与不出现双与不出现双6的概率哪个大的概率哪个大? 因因此此 种种结结果果有有而而至至少少有有一一次次出出现现双双 种种结结果果共共有有次次不不出出现现双双掷掷种种结结果果 共共有有不不出出现现双双种种结结果果只只有有掷掷一一次次出出现现双双 种种结结果果次次共共有有掷掷 种种结结果果有有次次一一对对骰骰子子掷掷 不不出出现现双双出出现现双双解解：设设 .35366 ,35625,35 6,16 ,3625 .3666,1 ,6,6 2525 25 25 BA 的的概概率率大大所所以以出出现现双双 6 5055. 0)(1)( 4945. 0)( 25 25
20、25 25 25 36 3536 36 35 BPAP BP 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 4、几何概型、几何概型 若试验具有如下特征若试验具有如下特征: ).(),( ) 1 ( m的度量记作，并把面积、体积等如长度度量 区域大小可以是一个几何区域，这个样本空间 )( )( )( m Am AP .也也称称为为几几何何概概率率 .)( , )2( 的位置和形状无关与成正比的度量能性与 内的可中的区域或者设落在处都是“等可能的” 在区域内任一点内任意投掷一个点，落向区域 A，AmA A 的概率为 内”的事件，那么事件表示“掷点落在用AAA 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 例例
21、5 (约会问题约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间甲、乙两人相约在某一段时间T内在预内在预 定地点会面。先到者等候另一人，经过时间定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(t0,则有则有 P(AB)=P(A)P(BA) 同样同样,当当P(B)0时时,有：有： P(AB)=P(B)P(AB) )()()()( )( , 0)( 121213121 21 121 nn n n AAAAPAAAPAAPAP AAAP AAAP 则有则有设设 2、乘法定理、乘法定理 乘法定理可推广至任意有限个事件的情形乘法定理可推广至任意有限个事件的情形: 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 例例2： 设袋中有设
22、袋中有a只白球只白球,b只黑球只黑球.任意取出一球后放回任意取出一球后放回, 并再放入与取出的球同色的球并再放入与取出的球同色的球c只只,再取第二次再取第二次,如此继如此继 续续,共取了共取了n次次,问前问前n1次取出黑球次取出黑球,后后n2 =n -n1 次取白球次取白球 的概率是多少的概率是多少? cba cb AAP ba b AP )( )( 12 1 则则次次取取到到黑黑球球第第设设解解, 2 , 1,:niiAi 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 )( )()()( )( 11 21 21121 21 1 1 1 1 1 1 11 nn n n n n n AAAAAAP A
23、AAAPAAPAP AAAAAP n n 于是所求的概率为 cnba cna AAAAAAPnn nn )1( )1( )( 2 11 21 1 1 cnba a AAAAP cnba cnb AAAAP nn nn 1 211 1 1 121 )( )1( )1( )( 11 11 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 cnba cna cnba a cnba cnb cba cb cba cb ba b AAAAAAP AAAAPAAPAP nn n n n n ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( 2 2 )( )()()( 2 1 1 1 11 21 21121 1 1 1 1 1
24、 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 3、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与贝叶斯公式 n i i ji n A njijiAA AAA 1 0 0 21 2 , 2 , 1,1, , 若若满满足足一一组组事事件件 的的为为，为为样样本本空空间间设设 的的一一个个划划分分。为为则则称称 n AAA, 21 :6定定义义 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 n i ii n i i n n i i ABPAPBAPBP BABABA BAB 11 21 1 )()()()( , : 可可得得 由由概概率率公公式式及及乘乘法法定定理理两两两两互互斥斥且且 因因为为证证明明 .)()()(
25、 ., 2 , 1, 0)(, , 1 21 ，称称为为全全概概率率公公式式 则则有有且且的的一一个个划划分分为为 中中任任一一事事件件，为为样样本本空空间间设设 n i ii i n ABPAPBP niAP AAAB 全概率公式全概率公式 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 . , 2 , 1 )()( )()( )( ., 2 , 1, 0)(0)( , 1 21 逆逆概概率率公公式式称称为为贝贝叶叶斯斯公公式式，也也称称 则则，且且 的的一一个个划划分分为为 中中的的任任一一事事件件，为为，设设样样本本空空间间为为 ni APABP APABP BAP niAPBP AAA B n
26、 j jj ii i i n 贝叶斯公式贝叶斯公式 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 例例3：某工厂由甲：某工厂由甲,乙乙,丙三台机器生产同一型号的产品丙三台机器生产同一型号的产品, 它们的产量各占它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为废品率分别为 5%,4%,3%.产品混在一起产品混在一起.(1)从该厂的产品任取一件从该厂的产品任取一件,求求 它是废品的概率它是废品的概率.(2)若取出产品是废品若取出产品是废品,求它是由甲求它是由甲,乙乙, 丙三台机器生产的概率各是多少丙三台机器生产的概率各是多少? %,3)(%,4)(%,5)( %,35)(%,35)(%,30)( .
27、., ,: 321 321 321 ABPABPABP APAPAP B AAA 则取出的产品为废品表示事件 丙机器生产的乙取出的产品分别由甲事件 分别表示设解 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 %95 . 3 %3%35%4%35%5%30 )()()()()()()( , 332211 ABPAPABPAPABPAPBP 得得由全概率公式由全概率公式 %58.26 %95.3 %3%35 )( %44.35 %95.3 %4%35 )( %98.37 79 30 %95.3 %5%30 )( , 3 2 1 BAP BAP BAP 得得由由贝贝叶叶斯斯公公式式 上一页上一页 下一页下
28、一页 返返 回回 例例4： 对以往的数据分析结果表明对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时当机器调整良好时, 产品的合格率为产品的合格率为90%,而机器未调整良好时而机器未调整良好时,其合格率为其合格率为 30%.每天机器开动时每天机器开动时,机器调整良好的概率为机器调整良好的概率为75%.试试 求已知某日生产的第一件产品是合格品求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好机器调整良好 的概率是多少的概率是多少? 9 . 0 3 . 025. 09 . 075. 0 9 . 075. 0 )()()()( )()( )( ),( ABPAPABPAP ABPAP BAP BAP由由贝贝
29、叶叶斯斯公公式式得得依依题题意意需需求求的的概概率率为为 解解: 设设A=机器调整良好机器调整良好,B=生产的第一件产品为生产的第一件产品为 合格品合格品.已知已知 75. 0)(, 3 . 0)(, 9 . 0)( APABPABP 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 第四节第四节 独立性独立性 ).()()( , 1)(0 BPABPABP APBA 则则相相互互独独立立，且且，若若事事件件 1、事件的独立性、事件的独立性 定理定理 ., )()()(, 21 212121 是相互独立的则称事件 满足若事件 AA APAPAAPAA定义定义7: ., )()()()( )()()( )
30、()()()()()( , 321 3213213131 31312121 321 为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称 如如果果满满足足是是三三个个事事件件设设 AAA APAPAPAAAPAPAPAAP APAPAAPAPAPAAP AAA 定义定义8: 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 ., )()()()( ;1)()()()( ;1)()()( 12, 21 2121 21 是相互独立的则称 ， ， 个等式成立：若以下个事件对 n nn kjikji jiji n n AAA APAPAPAAAP nkjiAPAPAPAAAP njiAPAPAAP nAAAn 定义定义9:
31、 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 例例1： 假设我们掷两次骰子假设我们掷两次骰子,并定义事件并定义事件A=第一次掷得第一次掷得 偶数偶数,B=第二次掷得奇数第二次掷得奇数,C=两次都掷得奇数或偶数两次都掷得奇数或偶数, 证明证明A,B,C两两独立两两独立,但但A,B,C不相互独立不相互独立. 0)(, 4 1 )( 4 1 )(, 4 1 )(, 2 1 )()()( ABCPACP BCPABPCPBPAP 证明证明： 容易算容易算 出出 )()()( )()()(),()()( CPAPACP CPBPBCPBPAPABP 从而有等式从而有等式 ., )()()()( ., 不不是
32、是相相互互独独立立的的因因此此 但但是是 两两两两独独立立所所以以 CBA CPBPAPABCP CBA 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 例例2： 甲、乙两射手射击同一目标甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概他们击中目标的概 率分别为率分别为0.9与与0.8,求在一次射击中求在一次射击中(每人各射一次每人各射一次)目标目标 被击中的概率被击中的概率. , ,: 目目标标被被击击中中 乙乙射射中中目目标标甲甲射射中中目目标标设设解解 C BA 98.0)8 .01()9 .01(1 )()(1)(1)(1)( BPAPBAPCPCP 或或 98.08 .09 .08 .09 .0)
33、()()()( )()()()()( , BPAPBPAP ABPBPAPBAPCP BAC由由独独立立性性有有则则 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 2、 贝努里试验模型贝努里试验模型 ., ).10(, , , 重重贝贝努努里里试试验验称称为为验验试试验验总总起起来来看看成成一一个个试试 次次独独立立重重复复把把这这均均为为概概率率保保持持不不变变 出出现现的的每每次次试试验验中中结结果果次次独独立立地地重重复复进进行行 在在相相同同条条件件下下将将为为一一贝贝努努里里试试验验设设 n npp An EE 定义定义10: .)4( .)3( .)2( .：) 1 ( 次共进行 各次试
34、验相互独立 率均为在每次试验中出现的概结果 及结果每次试验只有两个可能 个约定：重贝努里试验有下面四 n pA AA n 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 pqnkqpCkP k nAn knkk nn 1, 1 , 0)( , 次次的的概概率率为为出出现现 次次试试验验中中在在事事件件重重贝贝努努里里试试验验对对于于定理定理1: knkknk qppp kn kAn )1( , ,: 为为次次试试验验中中不不出出现现的的概概率率而而在在其其余余出出现现 次次试试验验中中在在指指定定的的重重贝贝努努里里试试验验由由证证明明 . ., 个个事事件件是是互互不不相相容容的的种种排排列列所所对
35、对应应的的而而这这 种种共共有有顺顺序序的的发发生生可可以以有有各各种种排排列列结结果果 k n k n k n CC CA . )( 也也称称为为二二项项概概率率公公式式 由由概概率率加加法法公公式式得得到到 knkk nn qpCkP 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 例例3: 一副扑克牌一副扑克牌(52张张)，从中任取，从中任取13张，求至少有一张张，求至少有一张 “A”的概率。的概率。 4 , 3 , 2 , 1)( , 13 52 13 484 43214321 i C CC AP AAAAAAAAA ii i 两两两两互互斥斥且且 解解: 设设A=任取的任取的13张牌中至少一
36、张张牌中至少一张“A”，并设，并设 Ai=任取的任取的13张牌中恰有张牌中恰有i张张“A”，i=1，2，3，4则则 696. 0)()( 13 52 13 484 4 1 4 1 C CC APAP ii ii i 因因此此 696. 01)(1)( )(: 13 52 13 48 13 52 13 48 C C APAP C C AP 从从而而 率率另另一一方方法法来来计计算算这这一一概概 上一页上一页 下一页下一页 返返 回回 第二章第二章 随机变量随机变量 第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 第三节连续型随机
37、变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布 第四节随机变量函数的分布第四节随机变量函数的分布 第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 . ),( ,)(, , 随随机机变变量量 称称之之为为上上的的单单值值函函数数得得到到一一个个定定义义在在 这这样样就就与与之之对对应应有有一一个个实实数数中中每每一一个个元元素素 如如果果对对空空间间为为是是随随机机试试验验，它它的的样样本本设设 eXX eXe E 定义定义1: )(xXPxF 称为随机变量称为随机变量X的分布函数。的分布函数。 定义定义2:设设X是一随机变量，是一随机变量，x为任意实数，函数为任意实数，函数 上一页上一页下一
38、页下一页返回返回 ，有有实实数数是是右右连连续续的的。即即对对任任意意 且且 是是一一个个单单调调不不减减函函数数； xxF xFxFxF xF xx )3( ; 1lim, 0lim, 10)2( )1( xFxF 0 证明：证明： :,)1( 2121 得得则则如如xXxXxx 21 xXPxXP :分分布布函函数数的的性性质质 21 xFxF 上一页上一页下一页下一页返回返回 1 1 (2) 01 lim0lim0 1 2 xn nnnn n F xF xF x F xFn AXnnAAA 由的定义易得。利用的单调性 为证，只要证。考虑事件 ，则， 由概率的连续性得 )(lim)(lim
39、)(lim n nnx APnFxF 0)( 1 n n AP 的的类类似似证证明明极极限限1)(lim xF x 上一页上一页下一页下一页返回返回 xF n xF n ) 1 (lim 1 1 0lim()lim() n nn n F xF xPA n xFxXP 由概率的由概率的 连续性得：连续性得： 只只须须证证明明：的的单单调调性性，为为证证此此性性质质由由xF)3( ，令令21 1 n n xXAn ，则则 1 1 xXAAA n n nn 上一页上一页下一页下一页返回返回 例例1： 口袋里装有口袋里装有3个白球个白球2个红球，从中任取三个球，个红球，从中任取三个球， 求取出的三个球
40、中的白球数的分布函数求取出的三个球中的白球数的分布函数 解：解： 设设X表示取出的表示取出的3个球中的白球数。个球中的白球数。X的可能的可能 取值为取值为1，2，3。而且由古典概率可算得。而且由古典概率可算得 3 . 0/1 3 5 1 3 2 2 CCCXP 6 . 0/2 3 5 2 3 1 2 CCCXP 1 . 0/3 3 5 3 3 CCXP 0 xXPxF 3 . 01 XPxXPxF 是是不不可可能能事事件件，因因而而时时当当1xXx ，因因而而时时，当当121 XxXx 上一页上一页下一页下一页返回返回 9 . 021 XPXPxXPxF 因因而而且且 时时当当 ,21 ,21
41、 ,32 XX XXxXx 为一必然事件，因而为一必然事件，因而时，时，当当3xXx 1 xF 于是，于是，X的分布函数为：的分布函数为： 31 329 . 0 213 . 0 10 x x x x xF 上一页上一页下一页下一页返回返回 例例2: 考虑如下试验：在区间考虑如下试验：在区间0，1上任取一点，记录上任取一点，记录 它的坐标它的坐标X。那么那么X是一随机变量，根据试验条件可以认是一随机变量，根据试验条件可以认 为为X取到取到0，1上任一点的可能性相同。求上任一点的可能性相同。求X的分布函的分布函 数。数。 当当x0 时时 0 xF 时时当当10 x xxXPxXPxF 0 时时当当
42、1 x 110 XPxXPxF 解解 ： 由几何概率的计算不难求出由几何概率的计算不难求出X的分布函数的分布函数 1 1 10 0 0 x xx x xF所以：所以： 上一页上一页下一页下一页返回返回 . 21 概概率率还还能能算算出出其其它它各各事事件件的的 的的概概率率，计计算算事事件件利利用用分分布布函函数数，不不仅仅能能xXx 0 0 0 1 : 1221 xFxXP xFxFxXxP xFxFxXP xFxXP例例如如 上一页上一页下一页下一页返回返回 第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 分布律常用表格分布律常用表格 形式表示如下：形式表示如下： X x1x2
43、xk pkp1p2pk 如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列 无限多个，则称这种随机变量为无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量离散型随机变量。 ,.2 , 1 kpxXP kk 设离散型随机变量设离散型随机变量X的可能取值为的可能取值为xk (k=1,2,), 事件事件 发生的概率为发生的概率为pk ,即即 称为称为随机变量随机变量X的概率或分布律的概率或分布律。 k xX 上一页上一页下一页下一页返回返回 内的概率为内的概率为区间区间 落入落入离散型随机变量离散型随机变量为实轴上一区间，那么为实轴上一区间，那么设设 I XI Ix i i p
44、IXP 的的分分布布函函数数的的计计算算公公式式量量由由此此可可得得离离散散型型随随机机变变X xx i i pxXPxF 。跳跳跃跃的的高高度度为为 处处的的在在的的第第一一类类间间断断点点，而而且且是是，值值 的的可可能能，的的分分布布函函数数是是阶阶梯梯函函数数离离散散型型随随机机变变量量 i i p xxFxFxx XX 21 分布律的两条分布律的两条基本性质基本性质： 1 1)2( k k p0)1( k p, 2 , 1 k 上一页上一页下一页下一页返回返回 的分布律为的分布律为设随机变量设随机变量例例X:3 （）确定常数（）确定常数a的值的值;（）求（）求的分布函数的分布函数 因
45、此因此 6 1 a a 3 1 2 1 1 解：（）由分布律的性质知解：（）由分布律的性质知 机机变变量量的的分分布布情情况况。 随随布布函函数数都都能能描描述述离离散散型型分分布布律律。用用分分布布律律和和分分 的的的的分分布布函函数数，也也能能确确定定已已知知离离散散型型随随机机变变量量XX p 3 1 a 2 1 上一页上一页下一页下一页返回返回 （2 2）由分布函数计算公式易得的分布函数为：）由分布函数计算公式易得的分布函数为： 1 1 21 6 5 10 2 1 0 0 x x x x xF 上一页上一页下一页下一页返回返回 两点分布两点分布 若在一次试验中若在一次试验中X只可能取只
46、可能取x1 或或x2 两值两值 (x1x2),它的概率分布是它的概率分布是 则称则称X服从两点分布。服从两点分布。 , 1),(0 1 2 1 pxXP ppxXP 当规定当规定x1=0,x2=1时两点分布称为（时两点分布称为（01）分布。）分布。 简记为简记为X(0-1)分布。分布。 X 0 1 pk 1-p p 上一页上一页下一页下一页返回返回 , 1 , 0)1(nkppCkXP knkk n 若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为 二项分布二项分布 其中其中0p0是一常数，是一常数，n是任意整数，设是任意整数，设npn=， 则对任意一固定的非负整数则对任意一固定的非负整
47、数k，有有 e k ppC k kn n k n k n n ! 1lim knk nnk knnn 1 ! )1()1( 时时，当当对对于于固固定定的的 nk 证明证明 kn k nnn k nnk 11 1 1 2 1 1 11 ! 1111 1 1 2 1 n 1 11 kn n e nn k n 有有由由 n pn kn n k n k n ppC 1 上一页上一页下一页下一页返回返回 定理的条件定理的条件npn=，意味着意味着n很大时候很大时候pn必定很小。必定很小。 因此当因此当n很大，很大，p很小时有近似公式很小时有近似公式 e k ppC k kn kk n ! 1其中其中=n
48、p。 e k k ! 在实际计算中，当在实际计算中，当 时用时用 （=np） 作为作为 的近似值效果很好。的近似值效果很好。 而当而当 时效果更佳。时效果更佳。 05. 020n p， kn n k n k n ppC 1 10np100n ， e k k ! 的值有表可查。的值有表可查。 e k ppC k kn n k n k n n ! 1lim从而从而 上一页上一页下一页下一页返回返回 例例5： 有同类设备有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已台，各台工作状态相互独立。已 知每台设备发生故障的概率为知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故，若一台设备发生故 障需要一人
49、去处理，问至少需要配备多少工人，才能保障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保 证设备发生故障而不能及时修理的概率小于证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？ 1 3 00 01. 0 ! 3 ! 111 1 Nk kN k kN k kn kk n k e k e ppC NXPNXP 查表可知，满足上式最小的查表可知，满足上式最小的N是是8。 至少需配备至少需配备8个工人才能满足要求。个工人才能满足要求。 解：解： 设设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知 X(300,0.01)，若配备若配备N位维修人员，所需解决的问位维修人员
50、，所需解决的问 题是确定最小的题是确定最小的N，使得：使得：PXN0为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布， 记为记为X ( )。 上一页上一页下一页下一页返回返回 例例6: 放射性物质在规定的一段时间内，其放射的粒子放射性物质在规定的一段时间内，其放射的粒子 数数X服从泊松分布。罗瑟福和盖克观察与分析了放射服从泊松分布。罗瑟福和盖克观察与分析了放射 性物质放出的性物质放出的 粒子个数的情况。他们做了粒子个数的情况。他们做了2608次观次观 察（每次时间为察（每次时间为7.5秒），整理与分析如表所示秒），整理与分析如表所示: 上一页上一页下一页下一页返回返回 0.
