1、 前面章节讨论了连续系统的时域分析和频谱分析，本章将研究离散系统的激励与响应和在频域中的关系及其应用。而FFT可以实现利用计算机对线性连续和离散系统的分析，在实际应用中发挥着巨大作用。第8章 离散系统的时域和频域分析8.1离散时间系统的时域响应离散时间系统的时域响应 一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。而对于离散时间系统LSI，由于其变量n是离散整型变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间的运算关系。8.1.1 离散系统数学模型的建立离散系统数学模型的建立1.离散系统的时域模型 在连续时间系统中，基本的硬件单元是电阻、电容和电感等，其基本运算关系是微分、乘系数和相加。与此对
2、应，在离散时间系统中，基本运算是移位（延迟）、乘系数和相加，基本的硬件单元是：移位（延迟）器、乘法器（包括标量乘法器）和加法器。2.用常系数线性差分方程描述线性时不变离散系统一般来说，一个线性时不变系统，可以用常系数线性差分方程来描述。差分方程的一般形式为：（8.1.1）式中，ai、bj为常数（a0=1），称为常系数线性差分方程，差分方程为N阶。若系数中含有自变量n，则为变系数线性差分方程。3.差分方程的获得 差分方程可由下列途径获得。（1）由实际问题直接得到差分方程：例如表示某国家在第n年的人口数，a、b是常数，分别代表出生率和死亡率。设是国外移民的净增数，则该国在第n+1年的人口总数为：（
3、2）由微分方程导出差分方程如图8-1-1所示的RC低通滤波网络，满足下列微分方程：其中:y(t)为输出，x(t)为输入，时间为t。NiMjjijnxbinya00)()(n)(n)1)b(a-(n)(n)b-(n)a(n)1)(nxyxyyyy)(1)(1)(txRCtyRCdttdy对于上述一阶常系数线性微分方程，若用等间隔T对y(t)采样，在t=nT各点的采样值为y(nT)。根据微分的定义，当T足够小时，有 若用等间隔T对x(t)采样，在t=nT各点的采样值为x(nT)。微分方程可写为：为计算简单起见，若令T=1，则上式为：即 y(n)为当前输出，、。当采样间隔T足够小时，上述一阶常系数线
4、性微分方程可近似用一阶常系数线性差分方程代表，计算机正是利用这一原理来求解微分方程。（3）由系统框图写差分方程。根据系统框图中所表示的移位器、乘法器和加法器的关系，写出差分方程。l例8-1-1由系统框图写差分方程。l如图8-1-2所示是一个简单的离散系统。可写为：l该式是该系统的软件算法，由移位、数乘和l加法运算组成。而图8-1-2是该系统的硬件结l构，由一个移位器、一个数乘器（标量乘法器）l和一个加法器组成。TnTyTnydttdy)()1()()(1)(1)()1(nTxRCnTyRCTnTyTny)(1)(1)()1(nxRCnyRCnyny naxnbyny)(1RCb11RCa1)1
5、()(nxnaxny4.差分方程的特点差分方程的重要特点是：（1）系统当前的输出（即在k时刻的输出），y(k)不仅与激励有关，而且与系统过去的输出 y(k-1)、y(k-2)、.y(k-n)有关，即系统具有记忆功能。（2）差分方程的阶数：差分方程中变量的最高和最低序号差数为阶数。（3）微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之处。（4）差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有一一对应关系。5.常系数线性差分方程的求解方法常系数线性差分方程的求解方法有以下几种：（1）时域经典法。与求解微分方程的步骤相同，先求齐次解和特解，然
6、后代入边界条件求待定系数。（2）递推法，或称迭代法。给定输入序列x(n)和初始条件y(-1)，y(-n)，就可以由上述各式计算n0时的输出y(n)。该方法简单，但只能给出数值解，不能给出闭式解（即解析式）。（3）卷积法。利用离散卷积求系统的零状态响应。（4）Z变换法。8.1.2 离散系统的零状态响应离散系统的零状态响应 离散系统差分方程的经典解法与求解连续系统微分方程的步骤类似，先求齐次解和特解，然后代入边界条件求待定系数。离散时间系统的响应的分解方式与连续系统相同，分为零输入响应和零状态响应、自由响应和强迫响应、暂态响应和稳态响应。1.求齐次解 齐次方程 （8.1.2）其特征方程为 ，即 （
7、8.1.3）其根 称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根:当特征根l为单根时，齐次解形式为：（8.1.4）当特征根l为r重根时，齐次解形式为：（8.1.5）2.特解 特解的形式与激励的形式相同(r1）。（1）激励 (m0）当所有特征根均不等于1时：（8.1.6）有r重等于1的特征根时：（8.1.7）（2）激励 当a不等于特征根时：（8.1.8）当a是r重特征根时：（8.1.9）（3）激励 或 ，且所有特征根均不等于 ：（8.1.10）)(kyh Nnnnkya00)(0.1011 nnaall0.011 aannnll),.,2,1(nii lkhCkyl)(krrrrhCkCkCkC
8、kyl).()(012211 )(kypmkkx)(01.)(pkpkpkymmp .)(01pkpkpkkymmrp kakx)(kppaky)(.)(0111pkpkpkpakyrrrrkp )cos()(kkx)sin()(kkx je)sin()cos()(kqkpkyp 例例8-1-2 求差分方程的全解求差分方程的全解若描述某系统的差分方程为 已知初始条件y(0)=0，y(1)=-1；激励 x(k)=ak ，a=2，k0。求方程的全解。解：特征方程为 可解得特征根 ，r=2，根据（8.1.5）式其齐次解 由于a=2不等于特征根，根据（8.1.8）式特解为 ，k0代入差分方程得 ，令k
9、=0解得 p=1/4 所以得特解：，k0故全解为：，k0 代入初始条件y(0)=0，y(1)=-1解得：C1=1,C2=1/4 即：，k0)()2(4)1(4)(kxkykyky 0442 ll221 ll)CpC()()k(y2kh12kppky2)(kkkkppp22424221 2242)(kkpky2122kk2ph)(CkC()k(y)k(y)k(y22)2)(41()(kkkky注意对比：课本有错误（此Yp应为Yh），请更正8.1.3 离散系统的冲激响应和阶跃响应离散系统的冲激响应和阶跃响应1.离散时间系统单位脉冲响应的定义 单位脉冲序列作用于离散时间LSI系统产生的零状态响应称为
10、单位脉冲响应，用符号 h(n)表示，它的作用与连续时间系统的单位冲激响应h(t)相同。离散时间系统的输入、输出关系可用常系数线性差分方程表示为：输入信号分解为冲激信号序列：即，系统单位冲激响应 ，则LSI系统响应可表示为如下的卷积计算式：（8.1.11）在MATLAB中，求离散系统冲激响应并绘制其时域波形使用函数impz()，也可以根据（8.1.11）式的定义使用卷积。2.impz()函数求系统单位冲激响应（1）h,t=impz(b,a)：根据系统函数的分母系数a和分子系数b，自动以t=0:n-1、n=length(t)计算滤波器的脉冲响应。impz自动选择采样长度，并返回脉冲响应的列向量h和
11、采样时间列向量t。（2）h,t=impz(b,a,n)：指定采样个数n，求数值解。计算滤波器的n点脉冲响应，t=0:n-1。（3）impz(b,a)：绘制其时域波形。没有输出参数，根据分母系数a和分子系数b，自动以t=0:n-1、n=length(t)计算滤波器的脉冲响应，在当前窗口绘制脉冲响应曲线图形。3.LSI系统的阶跃响应与stepz()函数 stepz()函数用于离散系统或数字滤波器的阶跃响应。其语法如下：（1）h,t=stepz(b,a)：以分子多项式系数b 和分目多项式系数 a计算数字滤波器的阶跃响应。stepz 自动选择采样时间并以列向量返回响应h和采样时间 t，其中：t=0:n
12、-1，长度n=length(t)。（2）h,t=stepz(b,a,n)：计算首先的n 个样本的阶跃响应，n是一个整数，t=0:n-1。（3）h,t=stepz(b,a,n,fs)：指定采样频率fs，单位是Hz，采样时间间隔是1/fs。调用无输出参数的格式，可以只绘制系统的阶跃响应曲线。NiMjjijnxbinya00)()(mmnmxnx)()()(nhn)()()()()(nhnxknhkxnyk8.1.4差分方程的迭代解法差分方程的迭代解法1.差分方程的迭代解法与filter()函数从 得 在上式中，有以此类推，通过反复迭代，就可以求出任意时刻的响应值。NiMiiiikxbikya00)
13、()(MiiNiiikxbaikyaaky0010)(1)(1)()M(xb)(xb)(xb)N(ya)(ya)(ya)(yMN102101021)M(xb)(xb)(xb)N(ya)(ya)(ya)(yMN10111011021MiiNiiinxbinyany01)()()(filter()函数函数这种迭代方法最适合用MATLAB来实现计算机计算。在时域计算方法有filter()函数和impz()函数两种：filter()函数可求出离散系统的零状态响应。impz()函数直接给出系统的单位冲激响应。filter()函数是利用递归滤波器或非递归滤波器对数据进行滤波。因为一个离散系统可看作一个滤波
14、器，系统的输出是输入经过滤波器的结果。filter()函数执行的是直接II型转移结构：（8.1.12）filter()函数有以下格式：（1）y=filter(b,a,x)：表示由分母向量b和分子向量a组成的系统对输入信号序列x(n)进行滤波，系统的输出为y(n)。在此a(0)=1，否则滤波器系数要使用a(0)进行归一化，如果a(0)=0，则出现错误。（8.1.13）（2）y,zf=filter(b,a,x)：该函数返回系统的输出和最终状态向量zf。（3）y,zf=filter(b,a,x,zi)：其中zi表示输入信号的初始状态，它是一个向量，其长度为max(length(a),length(b
15、)-1。该函数返回系统的输出和最终状态向量zf。在MATLAB中有很多方法可以产生单位冲激函数，但最直接的方法是利用MATLAB中的zeros函数，如：产生一个64点的单位冲激信号的MATLAB程序如下：pulse=1 zeros(1,63)(.1.)(1121121zXzazazbzbbzYnnmmNiMiiiinxbainyaany1000)(1)(1)(例例8-1-4 使用使用filter()函数解差分方程。函数解差分方程。l用MATLAB计算差分方程：l ll当输入序列为 时的输出结果 。l解：输入为单位脉冲序列，即求系统的单位脉冲响应，MATLAB程序如下：la=0.8-0.44 0
16、.36 0.22;lb=1 0.7-0.45-0.6;lx=1 zeros(1,N-1);lk=0:1:N-1;ly=filter(b,a,x);lstem(k,y);lxlabel(n);ylabel(幅度)l图8-1-4给出了该差分方程的l前41个样点的输出，即该系统l的单位脉冲响应)3(02.0)2(36.0)1(44.0)(8.0)3(6.0)2(45.0)1(7.0)(nxnxnxnxnynynyny)()(nnx400,)(nny2.impz()、filter()和和conv()的异同的异同limpz()、filter()和conv()这3个函数都可以用于求解系统的响应，但在使用方
17、法上有其自己的特点。l（1）y=filter(b,a,x)用来求解差分方程，计算系统的零状态响应。x表示输入序列，a表示输入差分方程中x的系数向量，b表示差分方程中y的系数向量，输出结果长度数等于激励信号x的长度。l（2）而y=conv(x,h)是用来实现卷积的，对线性时不变系统的任何有意义的输入，都可以用卷积的方式来求其输出。对x(n)序列和h(n)序列进行卷积，输出的结果个数等于x的长度与h的长度之和减去1，即length(y)=length(x)+length(h)-1。在运算过程中，该函数会自动将两序列的长度补齐为length(y)。因此用conv()函数用于求解系统的响应非常方便。l
18、（3）y=impz(b,a,N)是用来实现冲激响应的，a和b定义为系统的分母系数和分子系数，N表示冲激响应输出的序列长度。实际上impz()函数算法是利用filter(b,a,1 zeros(1,n-1)计算离散时间系统的n点单位脉冲响应，使用stem()函数绘制计算结果。8.2 差分方程的差分方程的z域解法与离散系统函数域解法与离散系统函数8.2.1离散系统差分方程的z域解法差分方程的z域解法是离散系统时域分析的一种间接求解法或变换域求解法，即先通过z变换将差分方程转换为代数方程进行分析计算，然后通过反变换求得时域的解。单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态
19、响应和全响应。将（8.1.1）式两边进行z变换，如果输入激励为因果序列，得到系统的零状态响应的z变换为：（8.2.1）将进行变换即可得到系统的零状态响应：（8.2.2）例8-2-1差分方程的z域解法已知离散系统的差分方程为：。求 ，时的系统响应y(n)。解：（1）将上式两边进行z变换：，得 ，即：（2）已知输入序列 ，求出z变换：syms n a b z y x;Xz=ztrans(an)Xz=-z/(a-z)即：（3）将上述结果代入得：（4）将Y(z)进行反变换即可得到系统的零状态响应：syms n a b z;Y=(a*z/(z-a)-b*z/(z-b)/(a-b);y=iztrans(Y
20、)y=(-b*bn+a*an)/(-b+a)即：NiiijMjjzazXzbzY00)()()()(1zYZny)()1()(nxnbyny)()(nuanxn0)1(y)()1()(nxZnbynyZ)()()(1zXzYbzzY11)()(bzzXzY)()(nuanxn|)|()()(azazznaZzXn)(1)(1)/()(21bzbzazazbabzazzbzazzzY)()(1)(11nbabanynn8.2.2 离散系统函数离散系统函数1.离散系统函数的定义系统的时域特性用单位脉冲响应h(n)表示，对h(n)进行傅里叶变换，得到 （8.2.3）称 为系统的传输函数，它表征系统的
21、频率响应特性，所以又称为系统的频率响应函数。将h(n)进行Z变换，得到 （8.2.4）一般称H(z)为离散系统的系统函数，它表征系统的复频域特性。根据z变换的时域卷积定理，可知系统函数与系统的单位冲激响应是一对z变换，即 （8.2.5）如果的收敛域包含单位圆|z|=1，则：（8.2.6）因此在z平面单位圆上计算的系统函数就是系统的频率响应，或者说系统的传输函数是系统单位脉冲响应在单位圆上的z变换。对于线性时不变系统，如果输入激励为因果序列，得到系统的零状态响应的z变换为：（8.2.7）由此定义系统函数为：（8.2.8）式中Y(z)是系统的零状态响应的z变换，X(z)是输入序列的z变换，则有 （
22、8.2.9）系统函数只与系统的差分方程的系数、结构有关，H(z)描述了系统的特性。注意：系统函数按z的降幂排列时，系数向量应由最高次项系数开始，直到常数项，缺项补零。系统函数按z-1的升幂排列时分子、分母多项式应保证维数相同，缺项补零。2.使用tf()函数获得离散系统的系统函数 LSI系统的模型sys（系统函数）也可使用tf()函数获得。其调用方式为：sys=tf(num,den,Ts)：将连续系统函数采样生成离散系统函数，Ts为采样周期（单位是秒），num、den是连续时间系数，必须按z的降幂多项式列出。例如：Hz=tf(1 1,1 2 3,0.1)结果为：njnjeHenh)()()(je
23、HnnznhzH)()(cndzzzHjnh1)(21)(njnjezeHenhzHj)()(|)(NiiijMjjzazXzbzY00)()()()()(zXzHzYNiiijMjjzazbzXzYzH00)()()(Transfer function:z+1-z2+2 z+3 8.3系统函数的转换系统函数的转换连续系统函数与离散系统函数可以互相转换，零、极点也可以与系统函数之间互相转换。8.3.1连续系统函数转换为离散系统函数c2d()函数将连续系统函数转换为离散系统函数。用法如下：（1）sysd=c2d(sys,Ts)：将连续系统函数sys转换为离散系统函数sysd，Ts是采样周期，单位
24、是秒。sys 可以是tf、zpk、ss或frd 模型，响应于 SISO 或 MIMO。（2）sysd=c2d(sys,Ts,method)：method是一个字符串，取值如下：zoh：默认值，零阶。假定控制输入的是整个采样周期Ts的分段常量。foh：三角形逼近（第一阶可修改）。假定控制输入的是整个采样周期Ts的分段线性。impulse：脉冲不变离散化。tustin：双线性。matched：零极点匹配方法。8.3.2离散系统函数转换为连续系统函数d2c()函数将离散系统函数转换为连续系统函数。用法如下：（1）sysc=d2c(sysd)：将离散系统函数sysd转换为连续系统函数sysc。（2）s
25、ysc=d2c(sysd,method)：method是一个字符串，取值同上。8.4离散系统频域分析离散系统频域分析离散系统的频域分析主要使用z域变换、离散傅里叶变换解法，也可以使用FFT进行快速计算。8.4.1 离散系统的频率响应1.利用系统函数直接计算离散系统的频率响应若连续系统的收敛域含虚轴，则连续系统频率响应为：。由于 ，若离散系统H(z)收敛域含单位圆，则 存在 。令 ，称为数字角频率。离散系统频率响应定义为：式中 称为幅频响应，偶函数，称为相频响应。只有H(z)收敛域含单位圆才存在频率响应，稳定离散系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的取值，因此计算离散系统的频率响应，可将离散系统
26、函数中的z变量用ej代入即可得到。2.使用函数freqz()计算离散系统的频率响应MATLAB提供了专门由系统函数求解频率响应的函数freqz()，调用格式如下：H,w=freqz(b,a,n)：返回频率响应向量H和对应的角频率w，b、a为分子分母系数向量，n为H、w的长度，缺省值为512。H,w=freqz(b,a,n,whole)：使用n个采样点在整个单位圆上计算频率响应，w的长度为n，值为02。例8-4-1已知系统函数 ，计算离散系统的频率响应并图示。解：j)()(j ssHHTzzHje)(sTez js T)(jj)(|)(jeeHeH|)(|jeH)(125.055.01.106.
27、03.0)(2323zzzzzzHb=0.3 0.06 0 0;a=1 -1.1 0.55 -0.125;freqz(b,a);%直接绘出频响曲线 8.4.2 离散系统输出的频域计算离散系统输出的频域计算在频域上计算离散时间系统的输出，实际上就是利用z变换或离散傅里叶变换，将时域的卷积运算变换到频域的相乘运算，再将频域运算结果反变换到时域，从而得到最终结果。离散系统频域分析常用的解法有以下几种方法：z变换法是手工计算的常用方法，特别适合于输入序列的z变换能写成闭合形式的情形。当输入序列是不能写成闭合形式的数据时，用z变换法计算就很不方便，此时可改用离散傅里叶变换实现系统响应的频域计算。离散傅里
28、叶变换在工程上得到了广泛应用，由于有快速算法FFT，实际中使用FFT取代离散傅里叶变换和其他各种计算离散时间系统输出的算法。l例8-4-2 系统输出的频域计算l 如图8-4-2所示为一横向数字滤波器。l（1）求滤波器的频率响应；l（2）若输入信号为连续信号：经取样得到的离散序列，已知信号l频率f=100Hz，取样fs=600Hz，求滤波器的稳态输出yss(n)。l解解（1）求系统函数。由图可知：l所以系统函数为：l 令 ，可将离散系统函数中的z变量用代入ej即可得到频率响应：l（2）已知信号频率f=100Hz，取样fs=600Hz，则 ，l若输入信号为连续信号l经取样得到的离散序列，l所以根据
29、其频率响应得 ，l稳态响应为：l可见输出信号中滤除了输入序列的二次谐波。)()(2)(2)()(321zXzzXzzXzzXzY 0|221)()()(321 zzzzzXzYzH T)5.0cos(4)5.1cos(2221)(5.132 jjjjjeeeeeHf2 sfT/1)2cos(3)cos(21)(tttx )2cos(3)cos(21)()(nnnTxnx )/ncos(.)(ncos|)e(H|)(ncos|)e(H|)e(H)n(yjjjss239266232332218.5 FFT实现系统的分析实现系统的分析8.5.1 用FFT进行离散系统的分析1.求离散系统函数和系统的单
30、位冲激响应 如果已知系统的输入x(n)和输出y(n)，可用FFT求系统函数，步骤如下：（1）求系统的输入和输出的DFT：、（8.5.1）（2）求系统函数：（8.5.2）（3）求系统的单位冲激响应：（8.5.3）2.求离散系统的输出响应 如果已知系统的输入x(n)和系统函数h(n)，可用FFT求输出响应，步骤如下：（1）根据系统的输入和系统函数，按长度L=length(x(n)+length(h(n)-1，进行补0，得到新的输入x(n)和系统函数h(n)。（2）用NL的点数，FFT求系统函数和输入的频谱函数：H(k)和X(k)。（3）求离散系统的输出响应：（8.5.4）3.求离散系统的输入信号
31、如果已知系统的输出y(n)和系统函数h(n)，可用FFT求输入序列x(n)，步骤如下：（1）根据系统的输出和系统函数，按长度L=length(y(n)+length(h(n)-1，进行补0，得到新的输出y(n)和系统函数h(n)。（2）用NL的点数，FFT求系统函数和输出频谱函数：H(k)和Y(k)。（3）求离散系统的输入信号：（8.5.5）)n(xFFT)k(X)n(yFFT)k(Y)k(X/)k(Y)k(H)k(HIFFT)n(h)k(X)k(HIFFT)n(y)k(H/)k(YIFFT)n(x8.5.2 用用FFT进行连续系统的分析进行连续系统的分析1.求系统响应函数h(t)如果已知系统
32、的输入x(t)和输出y(t)，可以求出系统函数h(t)。系统的幅频特性与系统的输入和输出函数的幅频特性X(j)、Y(j)有关，即 （8.5.6）系统的有效带宽可能会因X(j)、Y(j)取值不同而出现有限值、无限值和不定值。如果是稳定的物理可实现系统，则带宽是有限的，取样间隔的确定应以x(t)和y(t)经取样后相应的周期频谱不产生混叠为原则，为此选择两者带宽较大的为共同取样频率的依据。一般取X(j)的有效带宽Bx为依据。这是因为是经系统变换后的输出信号频谱，一般存在 的关系。当离散后的x(n)、y(n)的频谱X(k)、Y(k)或X()、Y()中，若在频域某一点k或值出现0点，则系统函数H()、H
33、(k)等于无穷大或不确定值，说明系统不稳定，不能利用DFT进行运算。因此在频域取样工程中应避开0点，解决的方法如下：（1）利用DFT的移频特性，将频域进行搬移：（8.5.7）所以当x(t)、y(t)离散后，x(n)、y(n)乘以指数加权序列，得到 和 。（2）然后进行DFT处理，在频域产生循环移位m位的 X(k)、Y(k)。（3）求出有偏移的 。（4）通过反变换IDFT求得加权后的 。（5）去掉指数加权因子即可求得系统真实的h(n)。这种方法只要选择合适的m值，就可以保证移位后的频谱取样躲过0点。)()()(jXjYjHBxBy)()(nxWmkXmnNNmnjenx/2)(Nmnjeny/2
34、)()(/)()(kXkYkHk)()(kHIFFTnhkk例例8-5-2 用用FFT求连续系统的输出响应。求连续系统的输出响应。l已知LTI连续系统的输入 ，系统输出：l，求系统的单位冲激响应。l解：l（1）确定取样长度，由于正弦和余弦的周期为2，所以抽样周期应为2的整数倍，但 项衰减很快，在t=6.28时已经衰减的很小，所以选择T0=2=6.28为信号的分析长度。l（2）由于 项衰减很快，对y(t)的带宽影响最大，l 带宽主要由该项决定，该项的频谱函数为：l当f=5Hz时，即幅度已经衰减到很小，频谱混叠将会很小，所l l 以令fm=5Hz，fs2*5=10Hz，则取样间隔T和时域取样点数M
35、为：l T1/fs=0.1s，M=T0/T=62.863lFFT一般使用基2算法，因此N取2的整数次幂：N64。l（3）为了防止正弦波0值使频谱离散过程中的X(k)出现0值或不确定值，y(t)乘以指数加权因子exp(-a*t)，进行频谱搬移，使均匀取样无0值。（4）求出系统函数后，应除以exp(-a*t)，去掉指数加权因子即可求得系统真实的h(n)。l实现程序如下：)t()tsin()t(x)t()tsin()tcos(e)t(yt)t(et)t(et11|)(|jjY0319.015*2111|)(|jjjYT0=2*pi;fm=5;fs=2*fm;T=1/fs;M=ceil(T0/T);a
36、=2;N=64;t=0:M*T;en=exp(-a*t);%x(t),y(t)时域波形 x=sin(t);y=exp(-t)-cos(t)+sin(t);subplot(2,2,1)plot(t,x,t,y);legend(x(t),y(t);xlabel(t);ylabel(x(t),y(t);title(a)x(t),y(t)时域波形);%x(t),y(t)频谱w=2*pi*fs*-N/2:N/2-1/N;X=fft(x.*en,N)*T;Y=fft(y.*en,N)*T;H1=Y./X;subplot(2,2,2);plot(w,X,w,Y);legend(X(w),Y(w);xlabe
37、l(w);ylabel(X(w),Y(w);title(b)x(t),y(t)频谱);%系统函数时域波形h1=ifft(H1,N)/T;h=h1(1:M-1)./en(1:M-1);h0=2*exp(-t);subplot(2,2,3)plot(t(1:M-1),real(h(1:M-1),t,h0,r.)xlabel(t);ylabel(h(t);title(c)系统函数时域波形);%系统函数频谱H=fft(h,N).*T;H0=2./(i*w+1);subplot(2,2,4)plot(w,fftshift(abs(H),w,abs(H0),r.);xlabel(w);ylabel(H(w
38、);title(d)系统函数频谱);l程序运行结果如图8-5-2所示。该系统函数理论分析结果为 ，l其频谱函数为 ，l在图8-5-2(c)、(d)中理论分析结果与FFT分析结果相吻合，说明用FFT分析的结果是正确的。teth 2)(12)(jjH2.求系统输出求系统输出y(t)l 如果已知系统的输入x(t)和系统函数h(t)，可以求出输出y(t)。l 由第7章的（7.2.10）式可知，LTI系统的输出，可用系统函数h(t)与系统的输入x(t)进行线性卷积求出：l （8.5.8）l 当x(t)、h(t)函数较复杂或数据较长时，计算起来比较繁复和费时，利用FFT的循环卷积的性质，可以实现线性卷积的
39、快速运算。用FFT进行信号处理是目前的主要发展方向。l系统的输出幅频特性Y(j)与系统的输入X(j)和系统函数的幅频特性H(j)有关，即l （8.5.9）l或写成：l用FFT分别求出x(t)、h(t)函数的频谱函数X(j)、H(j)，相乘后即可得到输出信号y(t)的频谱函数Y(j)，然后再对其进行反变换即可得到输出信号：l y(t)=IFFTY(j)（8.5.10）l系统输出的有效带宽By取决于输入信号带宽Bx和系统函数带宽Bh中较小的带宽，所以采样频率选择Bx和Bh中较大的为确定fm的依据，才能获得较小的采样间隔。这样x(t)和h(t)以同一采样间隔抽样，经FFT运算后，再经过IFFT反变换
40、就可以求出的均匀取样信号。l例8-5-3 求低通滤波器的输出l一个低通滤波器，电阻R=100 k，电容C=1F，RC=0.1，输入一个方波信号，设E=1，t=1，占空比50%，如图 8-5-3所示，求系统的输出y(t)。l解：令a=1/RC，该滤波器的系统函数为l l 输入方波信号的带宽和系统函数的带宽在理论上都是无限大，但有效带宽BhBx，所以用Bh为确定抽样的依据，参考前面确定有效带宽的方法得：fm25，取fs=50。)()()(jHjXjY)()()(|,)(|)(|)(|jjjjHjXjYhxy1/111)(ajRCjjH1)/(1|)(|2ajHla=10;tao=1;fm=25;f
41、s=2*fm;T=1/fs;M=100;l T0=M*T;N=128;t=0:M-1*T;l x=ones(1,ceil(tao/T),zeros(1,M-ceil(tao/T);l X=T.*fft(x,N);l w=2*pi*fs*0:N-1/N;l H=1./(j*w/a+1);l Y=X.*H;l y=ifft(Y,N)/T;l subplot(2,1,1);stairs(t,x);%plotl line(0,0,0,1);lxlabel(t);ylabel(x(t);lgrid on;l title(a)x(t)时域波形);l axis(-1,2,0,1.2);l subplot(2,1,2);l t0=0:N-1*T;l plot(t0,y);grid on;l xlabel(t);ylabel(y(t);ltitle(b)y(t)频域波形);axis(-1,2,0,1);l低通滤波器的输出结果，如图8-5-4所示，l由于滤除了高频成分，使输出信号的上l跳沿和下跳沿变缓。
