1、题组层级快练题组层级快练(三十一三十一) 解答题 1.如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，DAB60.E 是边 BC 上一点， 线段 DE 交 AC 于点 F. (1)若CDE 的面积为 3 2 ，求 DE 的长； (2)若7CF4DF，求 sinDFC. 答案(1) 3(2)3 21 14 解析(1)由已知，BCDDAB60. 因为CDE 的面积 S1 2CDCEsinBCD 3 2 ， 所以1 22CE 3 2 3 2 ，解得 CE1. 在CDE 中，由余弦定理，得 DE CD2CE22CDCEcosBCD 22122211 2 3. (2)连接 BD，由已知得ACD30，BDC60，
2、 设CDE，则 060. 在CDF 中，由正弦定理，得 CF sin DF sinACD， 又因为7CF4DF，所以 sin CF 2DF 2 7， 所以 cos 3 7，所以 sinDFCsin(30) 1 2 3 7 3 2 2 7 3 21 14 . 2(2021东北六校)在条件2cosA(bcosCccosB)a，csinBC 2 asinC，(sinBsinC)2 sin2AsinBsinC 中任选一个，补充到下面问题中，并对问题进行解答 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a 7，bc2，_求 BC 边上的高 答案见解析 解析若选，因为 2cosA(bco
3、sCccosB)a， 所以由正弦定理，得，2cosA(sinBcosCsinCcosB)sinA， 即 2cosAsin(BC)sinA，又 sinA0，cosA1 2， 因为 0A，所以 A 3 . 由余弦定理，得，a2b2c22bccosAb2c2bc， 所以 b2c2bc7， bc2， 化简得 c22c30， 所以 c3(舍去)或 c1， 从而 b3. 设 BC 边上的高是 h，则 1 2bcsinA 1 2ah，所以 h 3 21 14 . 若选，由题设及正弦定理，得 sinCsinBC 2 sinAsinC， 因为 sinC0，所以 sinBC 2 sinA， 由 ABC，可得 si
4、nBC 2 cosA 2 ，故 cosA 22sin A 2 cosA 2， 因为 cosA 20，故 sin A 2 1 2，因此 A 3 . 下同选. 若选，由已知得 sin2Bsin2Csin2AsinBsinC， 又由正弦定理，得 b2c2a2bc， 由余弦定理，得 cosAb 2c2a2 2bc 1 2. 因为 0A0，cosACB 5 5 . 在ABC 中，BC1，AB2， 由余弦定理 AB2BC2AC22BCACcosACB， 得 AC22 5 5 AC30， 解得 AC 5或 AC3 5 5 (舍去)， AC 的长为 5. (2)cosBCD3 5，sinBCD 4 5. CB
5、D45， sinCDBsin(180BCD45)sin(BCD45) 2 2 (sinBCDcosBCD) 2 10. 在BCD 中，由正弦定理 BC sinCDB CD sinCBD，得 CD BCsinCBD sinCDB 1 2 2 2 10 5，CD 的长为 5. 4(2021济南市高三年级质量评估试题)在b2 2aca2c2，acosBbsinA，sinB cosB 2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_，A 3 ，b 2，求ABC 的面积 答案见解析 解析若选择条件，b2 2aca2c2， 由余弦定理得
6、 cosBa 2c2b2 2ac 2ac 2ac 2 2 ， 因为 B(0，)，所以 B 4 . 由正弦定理，得 a sinA b sinB， 得 absinA sinB 2sin 3 2 2 3， 因为 A 3 ，B 4 ， 所以 C 3 4 5 12 ， 所以 sinCsin5 12 sin 4 6 sin 4 cos 6 cos 4 sin 6 6 2 4 ， 所以 SABC1 2absinC 1 2 3 2 6 2 4 3 3 4 . 若选择条件，acosBbsinA， 则由正弦定理，得 sinAcosBsinBsinA， 因为 sinA0，所以 sinBcosB， 因为 B(0，)，
7、所以 B 4 . 下同选择条件. 若选择条件，sinBcosB 2， 则2sin B 4 2，所以 sin B 4 1， 因为 B(0，)，所以 B 4 4 ，5 4， 所以 B 4 2 ，所以 B 4 . 下同选择条件. 5(2021沧州七校联考)从bcosAc0，acosBbcosA，acosCb0 这三个条件中 选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 b 2，c4，且_ (1)求角 A 的值； (2)在(1)的结论下，已知点 D 在线段 BC 上，且ADB3 4 ，求 CD 的长 答案见解析 解析(1)若选择条件，得 cosAc b2 21，不符合题意； 若选择条件，由余弦定理知 aa 2c2b2 2ac bb 2c2a2 2bc ，化简得 ab， 所以 ab2 2b，acb，acb，故存在满足条件的ABC. 选：b 3 3 c，c 3b. sinB 3sinA，由正弦定理，得 b 3a. 故由余弦定理可得 a2b2c22abcosC， a23a29a22a 3a3 2 ， 整理得5a23a2，方程无解 故不存在满足条件的ABC.
