1、课时跟踪检测课时跟踪检测 13余弦定理余弦定理 (对应学生用书 P095) 基础检测题顺畅轻松做 一、选择题 1在ABC 中，已知 b4，c2，A120，则 a 等于() A2B6 C2 或 6D2 7 解析由余弦定理可得 a2b2c22bccosA4222242 1 2 28，a2 7.故选 D. 答案D 2在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，a3，b 7，c2， 那么 B 等于() A30B45 C60D120 解析a3，b 7，c2，cosBa 2c2b2 2ac 947 232 1 2，又 B(0， )B 3.故选 C. 答案C 3ABC 的内角 A，B，C 的对边
2、分别为 a，b，c，已知 a 6，c3，cosA 2 3，则 b( ) A3B1 C1 或 3D无解 解析由余弦定理得 a2b2c22bccosA，即 b24b30，解得 b1 或 b3. 答案C 4在ABC 中，若 AB4，AC5，BCD 为等边三角形(A，D 两点在 BC 两侧)，则当四边形 ABDC 的面积最大时，BAC() A. 2 B. 3C. 2 3 D.5 6 解析设 BCa，c4，b5， BCD 是正三角形，SBCD 3 4 a2， 由余弦定理得：a2b2c22bccosA， SABCDSBCDSABC 3 4 a21 2cbsinA 3 4 (251640cosA)1 220
3、sinA 41 3 4 10sinA10 3cosA41 3 4 20sin A 3 ， 当 A 3 2时，四边形 ABCD 的面积最大， 此时ABAC5 6 .故选 D. 答案D 5在ABC 中，已知(abc)(bca)3bc，则角 A 等于() A30B60 C120D150 解析(bc)2a2b2c22bca23bc， b2c2a2bc，cosAb 2c2a2 2bc 1 2，A60. 答案B 6锐角ABC 中，b1，c2，则 a 的取值范围是() A1a3B1a5 C. 3a 5D不确定 解析若 a 为最大边，则 b2c2a20，即 a25，a 5，若 c 为最大 边，则 a2b2c2
4、，即 a23，a 3，故 3a 5. 答案C 7在ABC 中，若 a8，b7，cosC13 14，则最大角的余弦值是( ) A1 5 B1 6 C1 7 D1 8 解析由余弦定理，得 c2a2b22abcosC827228713 149，所 以 c3，故 a 最大， 所以最大角的余弦值为 cosAb 2c2a2 2bc 7 23282 273 1 7. 答案C 二、填空题 8在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 C120，c 2a， 则 a、b 的大小关系是 a_b(填“”“ 9在ABC 中，acosAbcosBccosC，则ABC 的形状为_ 解析由余 弦定理 知 c
5、osA b2c2a2 2bc ，cosB c2a2b2 2ca ，cosC a2b2c2 2ab ，代入已知条件得 ab 2c2a2 2bc bc 2a2b2 2ca cc 2a2b2 2ab 0， 通分得 a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0， 展开整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即 a2b2c2或 b2a2c2. 根据勾股定理知ABC 是直角三角形 答案直角三角形 三、解答题 10(2019北京卷)在ABC 中，a3，bc2，cosB1 2. (1)求 b，c 的值； (2)求 sin(BC)的值 解(1)由余弦定理可得 cosBa 2c2b2 2ac 1
6、 2， 因为 a3，所以 c2b23c90；因为 bc2，所以解得 b7， c5. (2)由(1)知 a3，b7，c5，所以 cosAb 2c2a2 2bc 13 14； 因为 A 为ABC 的内角， 所以 sinA 1cos2A3 3 14 . 因为 sin(BC)sin(A)sinA3 3 14 . 11在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知cosA2cosC cosB 2ca b . (1)求sinC sinA的值； (2)若 cosB1 4，ABC 的周长为 5，求 b 的长 解(1)由正弦定理可设 a sinA b sinB c sinCk，则 2ca b 2
7、ksinCksinA ksinB 2sinCsinA sinB ， 所以cosA2cosC cosB 2sinCsinA sinB ， 即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB， 化简可得 sin(AB)2sin(BC)又 ABC，所以 sinC2sinA，因此 sinC sinA2. (2)由sinC sinA2，得 c2a.由余弦定理及 cosB 1 4，得 b 2a2c22accosB a24a24a21 44a 2， 所以 b2a.又 abc5，所以 a1，因此 b2. 12在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A60，2a 3b. (1
8、)求 sinB 的值； (2)若 b2，求边 c 的值 解(1)在ABC 中，由正弦定理 a sinA b sinB， 得 sinBbsinA a 2 3sin60 2 3 3 2 3 3 . (2)由 b2 及 2a3b，可得 a3， 由余弦定理 a2b2c22bccosA，即 c22c50，得 c1 6. 素养能力题从容有序过 13.在ABC 中，a，b，c 所对的角为 A，B，C，满足条件：sinC 3sinB， a(sinB2cosC)(2c 3b)cosA，AB AC6，则 BC 边长等于( ) A2B. 5C3D4 解析a(sinB2cosC)(2c 3b)cosA， sinAsi
9、nB2sinAcosC2sinCcosA 3sinBcosA， sinAsinB 3sinBcosA2sinCcosA2sinAcosC，sinB(sinA 3cosA) 2sin(AC)即 sin A 3 1. A(0，)，A 3 2，故 A 6， 又sinC 3sinB，c 3b， AB AC 6，|AB |AC |cosA6，即 b 3bcos 66，b2，c2 3， 由 a241222 32 3 2 4 得 a2，故 BC 边长为 2，选 A. 答案A 14若 2a1，a,2a1 为钝角三角形的三边长，则实数 a 的取值范围是 _ 解析因为 2a1，a,2a1 是三角形的三边长，所以
10、2a10， a0， 2a10， 解得 a1 2，此时 2a1 最大，要使 2a1，a,2a1 是三角形的三边长，还需 a2a 12a1，解得 a2.设最长边 2a1 所对的角为，则90， 所以 cosa 22a122a12 2a2a1 aa8 2a2a10，解得 1 2a8. 综上可知实数 a 的取值范围是(2,8) 答案(2,8) 15在三角形 ABC 中，已知 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且 acosB 3bcosAbc. (1)求角 A 的大小； (2)若 a2，D 为 BC 的中点，AD2，求ABC 的面积 解(1)由正弦定理及 acosB3bcosAbc 得，sinAc
11、osB3sinBcosAsinB sinC， 所以(sinAcosBsinBcosA)2sinBcosAsinBsinC，所以 sin(AB) 2sinBcosAsinBsinC， 因为 ABC，所以 sinC2sinBcosAsinBsinC，所以 2sinBcosA sinB. 因为 sinB0，所以 cosA1 2， 因为 A(0，)，所以 A 3. (2)因为ADBADC， 所以 cosADCcosADB0， 在三角形 ABD 和三角形 ACD 中，由余弦定理得，14b 2 4 14c 2 4 0， 即 b2c210， 在三角形 ABC 中，由余弦定理得，b2c22bccosAa2，因
12、为 A 3，所以 b2c2bc4， 所以 bc6，所以 S1 2bcsinA 1 26 3 2 3 3 2 . 16在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cosC(cosA 3sinA)cosB0. (1)求角 B 的大小； (2)若 ac1，求 b 的取值范围 解(1)由已知得cos(AB)cosAcosB 3sinAcosB0， 即有 sinAsinB 3sinAcosB0. 因为 sinA0，所以 sinB 3cosB0.又 cosB0，所以 tanB 3. 又 0B，所以 B 3. (2)由余弦定理，有 b2a2c22accosB.因为 ac1，cosB1 2，有 b 2 3 a1 2 21 4. 又 0a1，于是有1 4b 21，即有1 2b1.
