1、【2】 【较难题剖析较难题剖析】2020 学年学年上海部分上海部分区数学区数学“一模考一模考”客观题客观题 上海市各区高三数学期末质量调研“俗称：一模考”；是检测学生在第一轮高三数学复习中，对 数学基础知识、基本技能的掌握，数学方法与思想的理解，数学知识与方法的综合应用等是否掌握 与落实，也是指导学生下一阶段调整复习计划、思路、查“缺”补“漏”的有效保证。对教学而言：我 个人认为，由于这次质量调研的命题，都是集合了各区数学命题团队的“集体智慧”，有些试题很好 地展示了：对教材知识的一般化与特殊化，揭示了不同知识的“交汇点”、“综合点”、“切入点”，以 及如何体现考查教材中的研究性、拓展性知识等
2、；注重在知识与方法的交汇处编制试题；注重考查 数学思维能力，减少繁杂的数学运算，从“解题”走向“解决问题”； 8、已知数列 n a满足 1 2a ，且 3 2 nn San（其中 n S为数列 n a前n项和），( )f x是定义在R上的奇函 数，且满足(2)( )fxf x，则 2021 ()f a 9、在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面，使得点A、B到平面的距离相 等，则这样的平面的个数不可能是（） A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 无数个 10、已知函数 f xaxb(其中 , a bR )满足：对任意0,1x，有 1f x ，则21 21ab的最小
3、 值为. 11、已知双曲线 22 1 45 xy ：的左右焦点分别为 1 F、 2 F，直线l与的左、右支分别交于点P、Q（P、Q均 在x轴上方）. 若直线 1 PF、 2 QF的斜率均为k，且四边形 21 PQF F的面积为20 6，则k=_ 12、设T是平面直角坐标系xOy上以0,2A、 3, 1B 、 3, 1C为顶点的正三角形. 考虑以下五种平 面上的变换: 绕原点作 0 120的逆时针旋转;绕原点作 0 240的逆时针旋转;关于直线OA的对称;关于直 线OB的对称;关于直线OC的对称. 任选三种 变换 (可以相同) 共有 125 种变换方式, 若要使得T变回起始 位置(即点A、B、C
4、分别都在原有位置) ，共有（）种变换方式？ A.12B.16C.20D. 24 13、设O为坐标原点，从集合1 2 3 4 5 6 7 8 9，中任取两个不同的元素xy、，组成A、B两点的坐标 , x y、, y x，则 1 2arctan 3 AOB的概率为. 14、设公差不为0的等差数列 n a的前n项和为 n S. 若数列 n a满足：存在三个不同的正整数, ,r s t，使得 , rst a a a成等比数列， 222 , rst aaa也成等比数列，则 1 990 n n SS a 的最小值为. 【2 解析解析】 【较难题剖析较难题剖析】2020 学年学年上海部分上海部分区数学区数学
5、“一模考一模考”客观题客观题 上海市各区高三数学期末质量调研“俗称：一模考”；是检测学生在第一轮高三数学复习中，对 数学基础知识、基本技能的掌握，数学方法与思想的理解，数学知识与方法的综合应用等是否掌握 与落实，也是指导学生下一阶段调整复习计划、思路、查“缺”补“漏”的有效保证。对教学而言：我 个人认为，由于这次质量调研的命题，都是集合了各区数学命题团队的“集体智慧”，有些试题很好 地展示了：对教材知识的一般化与特殊化，揭示了不同知识的“交汇点”、“综合点”、“切入点”，以 及如何体现考查教材中的研究性、拓展性知识等；注重在知识与方法的交汇处编制试题；注重考查 数学思维能力，减少繁杂的数学运算
6、，从“解题”走向“解决问题”； 8、已知数列 n a满足 1 2a ，且 3 2 nn San（其中 n S为数列 n a前n项和），( )f x是定义在R上的奇函 数，且满足(2)( )fxf x，则 2021 ()f a 提示：提示：注意函数性质的研究与特殊函数注意函数性质的研究与特殊函数“数列数列”的自然交汇；的自然交汇； 答案答案：0； 解析解析： 由已知由已知 3 2 nn San， 得得 11 3 1(2) 2 nn Sann ， 则则 111 33 (1) (2) 22 nnnnn aSSanann ， 所以所以 11 32(1)3(1) (2) nnnn aaaan ，则，则1
7、 3n n a ； 又因为，又因为，( )f x是定义在是定义在R上的奇函数，且满足上的奇函数，且满足(2)( )fxf x， 所以，所以，(2)( )()( 2)( 2)fxf xfxfxfx ，可得函数的周期为，可得函数的周期为4T ， 又由又由 20212021 2021 ()(1 3) (4 1)1f aff 20212021 202112020112020 (44( 1)4 ( 1)2fCCL， 所以，所以， 2021 ()(2)(0)f aff，再根据，再根据( )f x是定义在是定义在R上的奇函数上的奇函数，则，则(0)0f， 所以，所以， 2021 ()0f a； 评注：本题【
8、虹口区12 题】整合了数列前n项和、通项公式、函数奇偶性，周期性等基础知识与研究过程； 起点是常规的“已知数列前n项和求通项公式”；然后是结合教材研究函数的性质的“过程”，发现与验证函数的周 期性，也是解答本题的一个“关键”；将“ 2021 3”与“二项式定理”构建联系，解决“ 2021 3”被 4 整除余“1”，或许就是 本题的一个“难点”；体现了“源于教材”与沟通知识间的“灵活”交汇。 9、在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面，使得点A、B到平面的距离相 等，则这样的平面的个数不可能是（） A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 无数个 提示：提示：空间点、线
9、、面之间的位置关系；空间点、线、面之间的位置关系； 答案答案：C； 解析：解析：以直线与平面的位置关系进行分类讨论；以直线与平面的位置关系进行分类讨论； 1、直线、直线AB与与直线直线l平行，存在平行，存在“无数无数”个平面个平面； 2、直线直线AB与与直线直线l相交相交， （1）若）若直线直线AB的中点在的中点在直线直线l上，过上，过直线直线l的平面的平面都满足都满足； （2）若）若直线直线AB的中的中 点不在点不在直线直线l上，这样的平面上，这样的平面不存在；不存在； 3、直线直线AB与与直线直线l异面异面，存在一个过存在一个过直线直线l与与直线直线AB平行的平行的平面平面和一个过和一个过
10、直线直线l与与直线直线AB中点的中点的平面平面， 即有即有 2 个；个； 所以，答案选：所以，答案选：C； （或者，根据选择题特点，利用特殊几何体（如：正方体、长方体）进行排除）（或者，根据选择题特点，利用特殊几何体（如：正方体、长方体）进行排除） 评注：本题【虹口区16 题】主要考查了空间直线与平面的位置关系与分类讨论思想。 10、已知函数 f xaxb(其中 , a bR )满足：对任意0,1x，有 1f x ，则21 21ab的最小 值为. 提示：注意根据题设提示：注意根据题设“对任意对任意0,1x，有，有 1fx ” ，进行等价转化；，进行等价转化； 答案答案：9； 解析：由题意函数解
11、析：由题意函数 f xaxb(其中其中, a bR)满足：对任意满足：对任意0,1x，有，有 1fx ， 等价为：等价为： | 111 | 1 | 111 abab axb bb ， 不妨令不妨令21xa，21yb，且，且(21)(21)abz，即即zxy， 又由又由110(21)(21)4abab ，即即04xy，1213yb ， 再由再由zxy结合线性规划据图得结合线性规划据图得，当当3x ，3y 时，即时，即2a ，1b 时，时， min 9z ； 评注：本题【徐汇区11 题】给定区间上的函数与绝对值不等式整合，通过换元等，转化为不等式组，沟通与 线性规划的联系，然后数形结合地解之，解法
12、灵活、综合性强。 11、已知双曲线 22 1 45 xy ：的左右焦点分别为 1 F、 2 F，直线l与的左、右支分别交于点P、Q（P、Q均 在x轴上方）. 若直线 1 PF、 2 QF的斜率均为k，且四边形 21 PQF F的面积为20 6，则k=_ 提示：注意抓住对称性提示：注意抓住对称性，结合数形结合减少计算量结合数形结合减少计算量 答案答案2； 解析：解析：由已知的标准方程与图像的对称性，由已知的标准方程与图像的对称性， 得得 12 PFNF， 12 MFQF， 所以所以 2 1 1 210 6 2 QNQNPQF FPQMN SSSS 四边形四边形 ， 设设 11 (,)Q xy，
13、22 (,)N xy，直线直线QN的的方程为方程为：3xmy，其中其中 1 m k ，且且0m ， 又由又由 22 3 1 45 xmy xy ，得得 22 (54)30250mymy，其其0 且且 2 25 0 54m （*） ， 212 1 | 10 6 2 OQN SOFyy ，则则 22 2 900100(54)1 310 6 2|54| mm m ， 解得解得 2 1 29 25 m （不符合（不符合（*）舍去）或）舍去）或 2 2 1 2 m ，即即2k ； 评注：本题【徐汇区12 题】考查了双曲线的标准方程与几何性质，直线与双曲线的位置关系以及解析几何中 的面积问题；当然，分析与
14、解题时注意通过数形结合，利用图像的对称性对问题进行转化，进而变形为常见的面 积题型求解，则更简化与简捷；而本题的“关键”与不同解法的区别在：如何根据题意与几何特征求“四边形 21 PQF F 的面积”。 12、设T是平面直角坐标系xOy上以0,2A、 3, 1B 、 3, 1C为顶点的正三角形. 考虑以下五种平 面上的变换: 绕原点作 0 120的逆时针旋转;绕原点作 0 240的逆时针旋转;关于直线OA的对称;关于直 线OB的对称;关于直线OC的对称. 任选三种 变换 (可以相同) 共有 125 种变换方式, 若要使得T变回起始 位置(即点A、B、C分别都在原有位置) ，共有（）种变换方式？
15、 A.12B.16C.20D. 24 提示：注意通过提示：注意通过“尝试尝试”体验，从特殊情况体验，从特殊情况“理解理解”如何如何“变换变换”符合题意；符合题意； 答案：答案：C； 解析：由题意解析：由题意，三种三种“对称对称”变换中变换中； “对称变换对称变换”不能为奇数个；则不能为奇数个；则 当当三种三种 变换中变换中没有没有“对称变换对称变换” ，则只有三次变换全为，则只有三次变换全为或或，故有：，故有：2 2 种；种； 当当三种三种 变换中变换中有有 2 次次“对称变换对称变换” ，则有，则有 123 233 18CCP种；故共有种；故共有;2=18=20;2=18=20 种；种； 评
16、注：解答本题【徐汇区16 题】关键是：仔细阅读，理解题意；数形结合地进行等价“计算”；对于数据处理 题：理解是前提，分类得全面，计算得正确。 13、设O为坐标原点，从集合1 2 3 4 5 6 7 8 9，中任取两个不同的元素xy、，组成A、B两点的坐标 , x y、, y x，则 1 2arctan 3 AOB的概率为. 提示：注意审题提示：注意审题“任取两个不同的元素任取两个不同的元素” ，以及排列组合与解析几何的交汇；，以及排列组合与解析几何的交汇； 答案：答案： 1 9 ； 解析解析： 由题意由题意， 不妨设不妨设 1 arctan 3 ， 则则 1 tan,(0,) 32 ， 再由再
17、由 222 222 cossin1tan4 cos2 cossin1tan5 ， 即即 4 coscos2 5 AOB，再由平面向量的坐标表示再由平面向量的坐标表示。得得 22 2xy4 cos= 5| | OA OB AOB xyOAOB ， 化简得化简得2yx或或 2 x y ，则符合条件的有则符合条件的有 1 2 x y 或或 2 4 x y 或或 3 6 x y 或或 6 3 x y ， 则概率为则概率为： 2 9 41 9C ； 评注：本题【长宁区11 题】考查了排列组合、三角变换和平面向量的坐标表示的交汇与综合，知识点是源于 教材、紧扣教材；但本题的“切入点”是“将角度问题能否反转
18、换到用向量来解决，得到 x 与 y 的关系”。 14、设公差不为0的等差数列 n a的前n项和为 n S. 若数列 n a满足：存在三个不同的正整数, ,r s t，使得 , rst a a a成等比数列， 222 , rst aaa也成等比数列，则 1 990 n n SS a 的最小值为. 提示：注意审题提示：注意审题“存在三个不同的正整数存在三个不同的正整数, ,r s t” ，以及依据，以及依据等比数列的定义等比数列的定义、表示与公式的应用表示与公式的应用； 答案：答案：45； 解析：设公差不为解析：设公差不为0的等差数列的等差数列 n a的公差为的公差为：d， 由题意由题意，不妨设不
19、妨设rst，, rst a a a成等比数列，得成等比数列，得 2 srt aaa，即即 2 () () rrr asr daatr d， 化简，得化简，得 2 ()(2 ) r srdtrs a ； 同理同理， 222 , rst aaa也成等比数列也成等比数列，化简，得，化简，得 2 2 2()(2 ) r srdtrs a ； 由由、得得 2 2(2 )(2 ) rr trs atrs a ，则则 2 2 rr aa或或20trs（不会题意，舍去（不会题意，舍去） ， 由由 2 2 rr aa，化简得化简得 n and，则则 1 99099011 2 495 222 n n SSn an ， 等号当且仅当等号当且仅当 990 = 2 n n ，即即1980n ，又因为又因为*nN，故故44n 或或45n 时时， 9901 =45 22 n n ； 评注：本题【长宁区12 题】只要认真仔细审题，克服“看起来难度大，字母多”的标线；按照最基本的数列 运算规则来做题，最终得到首项与公差的关系，能够将最终问题化简成基本不等式问题，最值得解，只是需要注 意 n 要取自然数；所以，本题确实落实“双基”与贯彻了数学学科的基本素养的考查。
