1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 2019-20202019-2020 学年高二下期学年高二下期 6 6 月份考试月份考试 理科数学试题理科数学试题 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 ） 1.已知复数z满足：34zii（i为虚数单位） ，则z （） A.43iB.43iC.43i D.43i 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的乘法、除法运算求出z，再根据共轭复数的概念即可求解.
2、【详解】由34zii，则 3434 43 1 ii zi i ， 所以z 43i. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题. 2. 教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（） A. 10 种B. 5 2种 C. 2 5种 D. 4 2 种 【答案】D 【解析】 试题分析：共分 4 步：一层到二层 2 种，二层到三层 2 种，三层到四层 2 种，四层到五层 2 种，一共 4 2 =16 种. 故选 D 考点：本题主要考查分步计数原理的应用 点评：理解好题意，从一层到五层共分四步 3.已知曲线 3 yx在点, a b处的切线与直线310 xy 垂直
3、，则a的取值是（） A. -1B.C. 1D.3 【答案】B 【解析】 【分析】 求导得到 2 3fxx，根据垂直关系得到 2 33faa，解得答案. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【详解】 3 yf xx， 2 3fxx，直线310 xy ， 1 3 k ， 故 2 33faa，解得1a . 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的切线问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 4.() () n mxxnN的展开式中，各二项式系数和为 32，各项系数和为 243，则m n、 的 值分别为（） A. 2，4B. 3，4C. 2，5D. 3，5 【答案】C 【解析】
4、 【分析】 根据二项式系数和与各项系数和的定义列式2 32 n ， 5 (1)243m解得即可. 【详解】依题意可得2 32 n ，解得5n ， 令1x 得 5 (1)243m，解得2m ， 故选：C 【点睛】本题考查了二项式系数之和与各项系数之和的性质，属于基础题. 5.函数( )(1)exf xx有() A. 最大值为 1B. 最小值为 1 C. 最大值为eD. 最小值为e 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况. 【详解】解:( )e(1)ee xxx fxxx ，当0 x 时，( )0fx，当0 x 时，( )0fx， ( )f x
5、在(,0)上单调递增，在(0,)上单调递减， ( )f x有最大值为(0)1f，故选 A. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 关键. 6.某射击运动员击中目标的概率是 2 3 ，他连续射击 2 次，且各次射击是否击中目标相互没有 影响.现有下列结论：他第 2 次击中目标的概率是 2 3 ；他恰好击中目标 1 次的概率是 2 9 ； 他至少击中目标 1 次的概率是 8 9 .其中所有正确结论的序号是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据独立事件的概率公式即可
6、求解恰好击中一次，两次都未击中，至少一次击中目标的概率. 【详解】由相互独立事件的概率可知每次击中目标的概率都是 2 3 .正确； 恰好击中目标 1 次的概率是 1 2 214 339 C ，错误； 2 次都未击中目标的概率是 2 21 1 39 ， 故至少击中目标 1 次的概率是 18 1 99 ，正确. 故选：C 【点睛】此题考查求独立事件的概率，关键在于准确分类，熟练掌握概率公式，根据公式求 解概率. 7.幻方，是中国古代一种填数游戏 * (,3)n nNn阶幻方是指将连续 2 n个正整数排成的正 方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的n个数的和都相等中国古籍周易本义 中的洛书记载
7、了一个三阶幻方（如图） ，即现在的如图若某 3 阶幻方正中间的数是 2018， 则该幻方中的最小数为（） A. 2013B. 2014C. 2015D. 2016 【答案】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【解析】 【分析】 根据三阶幻方对应关系可得结果. 【详解】由题意得 3 阶幻方正中间的数是 5 时，幻方中的最小数为 1； 因此 3 阶幻方正中间的数是 2018 时幻方中的最小数为2018 5 12014 ，选 B. 【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.随机变量的分布列如表： 101 P 1 3 a b 若 1 ( ) 9 E
8、，则( )D（） A. 1 81 B. 2 9 C. 8 9 D. 62 81 【答案】D 【解析】 【分析】 根据概率的性质可得 2 3 ab，根据 1 ( ) 9 E可得 4 9 b ，从而可得 2 9 a ，再根据方差公 式计算可得结果. 【详解】根据概率的性质可得 1 1 3 ab，则 2 3 ab， 又 11 ( )101 39 Eab ，即 4 9 b ，所以 242 399 a ， 所以( )D 222 111214 ( 1)(0)(1) 939999 62 81 . 故选：D 【点睛】本题考查了概率的性质，考查了数学期望和方差公式，属于基础题. 9.某单位为了响应疫情期间有序复
9、工复产的号召，组织从疫区回来的甲、乙、丙、丁 4 名员 工进行核酸检测，现采用抽签法决定检测顺序，在“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最 后一个检测”的条件下，员工丙第一个检测的概率为（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - A. 3 13 B. 2 7 C. 1 4 D. 1 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件概率公式，求出事件“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”的概率， 可分为两类，甲最后检测或甲不是最后检测，结合排列知识即可求解，再求出“员工丙第一 个检测，员工乙不是最后一个检测”的概率，即可求解. 【详解】先求( )P A，法一（优先考
10、虑特殊元素特殊位置） ： 设事件A为“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”； 事件B为“员工丙第一个检测”事件A分两类：甲最后检测， 则剩下的 3 名员工可以随便排序，方法数为 3 3 A； 甲不是最后检测，则中间两个位置选 1 个位置为甲， 然后剩下的位置除了最后一个位置，选一个位置给乙， 其余的员工随便排，方法数为 112 222 C C A， 故 3112 3222 44 44 14 ( ) AC C A P A AA ； 法二（排除法） ， 432 432 44 44 214 ( ) AAA P A AA 再求()P AB，员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测， 员工
11、丙是第一个检测，则先排丙在第一个位置， 然后除了第一个位置和最后一个位置选 1 个位置给乙， 剩下的两个员工随便排，方法数 12 22 C A，故 12 22 44 44 4 () C A P AB AA 综上 ()42 (|) ( )147 P AB P B A P A 故选：B. 【点睛】本题考查条件概率的求法，应用排列组合求解古典概型的概率是解题的关键，属于 中档题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 10.定义在R上的函数 ( )f x满足：( )( )1f xfx ，(0)4f， 则不等式( )3 xx e f xe的 解集为（） A. (0,+)B.
12、(,0)(3,+ ) C. (,0)(0,+)D. (3,+ ) 【答案】A 【解析】 【分析】 由( )3 xx e f xe变形得， ( ) 130 x ef x ，构造函数( ) ( ) 13 x g xef x，利用导 数得其单调性，即可得到不等式的解集 【详解】由( )3 xx e f xe变形得， ( ) 130 x ef x ，设( ) ( ) 13 x g xef x，所以原 不等式等价于 ( )(0)g xg ， 因为( ) ( ) 1( ) ( )( ) 10 xxx g xef xefxef xfx， 所以( )g x在定义域R上递 增，由 ( )(0)g xg ，得0
13、x ，故选 A 【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考 查学生的数学建模能力 11.有 6 名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方 法种数为（） A.540B.729C.216D.420 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，先对人数进行分组共有三种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2，分别计算 3 种情况下的 数目，相加即可得答案. 【详解】人数进行分组共有三种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2， 若分组分1,1,4，共有 411 3 621 13 2 2 90 CCC NA A ； 若分组分1,
14、2,3，共有 4213 26313 360NCCCA； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 若分组分2,2,2，共有 222 3 642 33 3 3 90 CCC NA A ； 不同分派方法种数为540N . 故选：A. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查逻辑推理能力运算求解能力，求解时注意先分组、 再排列. 12.已知函数 2 1 ( )ln 2 f xxmxmx(0m )， 若对于区间1,2上的任意两个实数 1 x， 2 x， 都有 22 1212 fxfxxx成立，则实数m的最大值为（） A. 1 2 B. 1 4 C. 1 e D. 1 【答案】A 【
15、解析】 【分析】 利 用 导 数 可 求 得 fx在 1,2 上 单 调 递 增 ， 设 12 12xx， 可 将 不 等 式 化 为 22 2211 fxxfxx，令 2 g xf xx，则只需 g x在1,2上单调递减即可，即 0gx 在 1,2上恒成立，利用分离变量的方式可求得m的取值范围，进而确定最大值. 【详解】 m fxxm x 且 fx定义域为0,， 当0m 时， fx在0,上单调递增，即 fx在1,2上单调递增， 不妨设 12 12xx，则 21 f xf x， 22 1212 fxfxxx等价于 21 22 21 fxfxxx， 即 22 2211 fxxfxx， 设 22
16、1 ln 2 g xf xxxmxmx ，则只需 g x在1,2上单调递减即可， 2 0 mxmxm gxxm xx 在 1,2上恒成立， 即 2 0 xmxm 在 1,2上恒成立， 2 1 12 11 x mx xx ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 1 1 1 yx x 在1,2上单调递增， 115 12 122 x x ， 51 2 22 m，即m的最大值为 1 2 . 故选：A. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调性、构造函数 解不等式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围、恒成立问题的求解等；根据单调性求 解参数范围
17、的关键是能够将函数在区间内单调的问题转化为导函数的符号恒成立的问题，通 过分离变量的方法求解恒成立问题即可. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. . 13.用数学归纳法证明等式“ 2 13521nn”时，从k到1k 左边需增加的代 数式为_. 【答案】21k 【解析】 【分析】 写出当nk和1nk时的等式，将两个等式进行比较可得出结果. 【详解】当nk时，等式为 2 1 3521kk ， 当1nk时，等式为 2 1 35212111kkk ，即 2 1 3
18、521211kkk ， 因此，从k到1k 左边需增加的代数式为21k . 故答案为：21k . 【点睛】本题考查数学归纳法原理的理解，属于基础题. 14.设随机变量(3,4)XN，且20.7P X ，则()4P X _. 【答案】0.3 【解析】 【分析】 根据正态分布特点，结合对称性可得(4)(2)P XP X. 【详解】由题意可得(4)(2)1 0.70.3.P XP X 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 故答案为：0.3 【点睛】此题考查正态分布，根据正态分布密度曲线特征求解概率，关键在于熟练掌握正态 分布密度曲线的对称性. 15.若 2 n a x x 展
19、开式的二项式系数之和为 32， 展开式中含x项的系数是 80， 则 1 1 a dx x 等于 _ 【答案】ln2 【解析】 【分析】 根据展开式的二项式系数之和为 32，得到2 32 n ，即5n ，再由通项公式 10 3 15 Cr rr r Ta x ，结合展开式中含x项的系数是 80 求得a，再计算定积分. 【详解】由展开式的二项式系数之和为 32，得2 32 n ， 所以 5 210 3 155 5,C r r rrrr r a nTCxa x x ， 令1031r，得3r ， 所以 33 5 C80a ， 解得2a ， 所以 2 2 1 1 1 lnln2dxx x 故答案为：ln
20、2 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，展开式的二项式系数以及定积分的运算，还 考查了运算求解的能力，属于中档题. 16.当01x时，不等式sin 2 x kx 成立，则实数k的取值范围是_. 【答案】k（，1 【解析】 【分析】 此题先把常数k分离出来，再构造成 2 x sin k x 再利用导数求函数的最小值，使其最小值大 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 于等于k即可 【详解】由题意知： 当 0 x1 时 2 x sinkx （1）当x0 时，不等式 2 x sinkx 恒成立kR R （2）当 0 x1 时，不等式 2 x sinkx 可化为 2
21、x sin k x 要使不等式 2 x sin k x 恒成立，则k 2 min x sin x 成立 令f（x） 2 x sin x x（0，1 即f（x） 2 222 xx xcossin x 再令g（x） 222 xx xcossin g（x） 2 42 x xsin 当 0 x1 时，g（x）0 g（x）为单调递减函数 g（x）g（0）0 f（x）0 即函数f（x）为单调递减函数 所以f（x）minf（1）1即k1 综上所述，由（1） （2）得k1 故答案为：k（，1 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题型 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分，解答应写出文字说明
22、、证明步骤或演算过程分，解答应写出文字说明、证明步骤或演算过程 17. 已知函数 f（x）=|2x+1|-|x-3| 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - （）解不等式 f（x）4； （）若存在 x 使得 f（x）+a0 成立，求实数 a 的取值范围 【答案】 （）-8，2 （） （-， 7 2 【解析】 【详解】 （）f（x）=|2x+1|-|x-3|= 1 4, 2 1 32,3 2 4,3 xx xx xx ，如图，它与 y=4 的交点为（-8， 4）和（2，4） 不等式 f（x）4 的解集为-8，2 （） 由 f（x）的图象知，x=- 1 2 时，f（x）有
23、最小值- 7 2 ，存在 x 使得 f（x）+a0 成立，等价于 -a- 7 2 ，a 7 2 故实数 a 的取值范围为（-， 7 2 18.已知i是虚数单位，复数 1 1()zai aR ，复数 2 z的共轭复数 2 34zi. （1）若 12 zzR，求实数a的值； （2）若 1 2 z z 是纯虚数，求 1 z. 【答案】 （1）4； （2） 5 4 . 【解析】 【分析】 （1）先求出 12 4(4)z +z = +a i，再根据 12 zzR，求出实数a的值； （2）由已知得 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 1 2 34(34) 25 zaai z
24、，再根据 1 2 z z 是纯虚数求出 a 的值即得解. 【详解】 22 3434zizi （1）由已知得 12 (1)(34 )4(4)z +z =ai + i = +a i 12 ,40zzRa 4a （2）由已知得 1 2 1(1)(34 )34(34) 34(34 )(34 )25 zaiaiiaai ziii 1 2 z z 是纯虚数， 340 340 a a , 解得 3 4 a ， 2 2 1 335 11 444 zi . 【点睛】本题主要考查复数的计算和复数的概念，考查复数模的计算，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平，属于基础题. 19.某盒中装有产品 10 个，其中有
25、7 个正品，3 个次品. （1）从中不放回地依次抽取 3 个产品，求取到的次品数比正品数多的概率； （2）从中任取一个产品，若取出的是次品不放回，再取一个产品，直到取得正品为止，求在 取得正品之前已取出的次品数X的分布列和数学期望. 【答案】 （1） 11 60 ； （2）分布列见解析， 3 8 【解析】 【分析】 （1）分别计算取到 3 个次品的概率和取到 2 个次品 1 个正品的概率即可得解； （2）X的所有可能取值为 0，1，2，3，分别计算概率得到分布列即可求解期望. 【详解】解： （1）取到 3 个次品的概率 3 3 1 3 10 1 120 C P C ； 取到 2 个次品，1 个
26、正品的概率 111 732 2 111 1098 71121 33 1034120 CCC P CCC . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 故所求概率 12 12111 . 12012060 PPP （2）由题意可得X的所有可能取值为 0，1，2，3. 1 7 1 10 7 (0) 10 C P X C ； 11 37 11 109 7 (1) 30 CC P X CC ； 21 2 7 1 108 3 7 (2) 120 CC P X CC ； 31 37 31 107 1 (3) 120 CC P X CC . X的分布列为 X0123 P 7 10 7
27、30 7 120 1 120 故 77713 0123. 10301201208 E X 【点睛】此题考查求解概率和分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率. 20.已知函数 1 ( )ln ax f xx x . （1）当1a 时，求f(x)的单调区间； （2）若对 1 ,xe e ，使 0f x 成立，求实数a的取值范围 (其中e是自然对数的底数) 【答案】 （1）递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)； （2）,1e 【解析】 【分析】 （1）将1a 代入原函数,求函数的定义域,再对函数求导,最后根据 0fx 单调递 增, 0fx 单调递减可求出 fx的单调区间 （2）从
28、0f x 分离出出常数 1 lnax x ,设新函数 11 ln ,g xx xe xe , min ( )ag x,求出新函数的最小值即可得到a的取值范围 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 【详解】(1) 11 ( )ln1ln x f xxx xx , fx的定义域为(0,) 22 111 f x xx x x , 001fxx, 01fxx. 所以 fx的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,) (2) 0f x 1 lnax x , 1 ,xe e , 令 11 ln ,g xx xe xe 22 111x gx xxx , 由 01gxx 当
29、1 ,1x e 时, ( ) 0gx , g x在1,e上单调递增, 1 1ge e , 1 1g e e , 1 g e g e,所以 g(x)在 1 e ,e上的最大值为 1 1ge e 所以1ae,所以实数a的取值范围为,1e 【点睛】本题考查利用导数求函数性质的应用,根据已知条件构造辅助函数,考查运算求解能 力,推理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性,综合性 强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,属于难题. 21.2018 年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行 5 次全区竞赛，学生如果其中 2 次成绩 达全区前 20 名即可进入省队
30、培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加 5 次竞 赛.规定：若前 4 次竞赛成绩都没有达全区前 20 名，则第 5 次不能参加竞赛.假设某学生每次 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 成绩达全区前 20 名的概率都是 1 4 ，每次竞赛成绩达全区前 20 名与否互相独立. （1）求该学生进入省队的概率. （2）如果该学生进入省队或参加完 5 次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为，求的 分布列及的数学期望. 【答案】 （1） 47 128 ； （2）分布列详见解析， 269 64 . 【解析】 【详解】试题分析： (1)由题意结合对立事件概率公式可得：
31、该学生进入省队的概率为 47 128 ； (2)由题意可知的可能取值为 2,3,4,5，求解相应的概率值得到分布列，结合分布列计算可 得的数学期望为 269 64 . 试题解析： （1）记“该生进入省队”的事件为事件A，其对立事件为A，则 34 4 1 133381 4444128 P AC . 8147 11 128128 P AP A . （2）该生参加竞赛次数的可能取值为 2,3,4,5. 2 11 2 416 P ， 1 2 1313 3 44432 PC， 2 1 3 131 4 444 PC 4 3278127 425625664 . 3 1 4 1327 5 4464 PC .
32、故的分布列为： 132727269 2345 1632646464 E . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 22.若函数 22 1 ( )(1) 2 x f xxaeaxa x （1）若3a ，求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程； （2）若 ( )f x在 ,0上只有一个极值，且该极值小于1 a e，求a的取值范围. 【答案】 （1）64yx（2） 3 ,2 【解析】 【分析】 （1）求导得到(0)6 f ，(0)4f ，得到切线方程. （2）( )()() x fxxa ea，讨论0a ，0a ，0a 三种情况，得到函数单调区间，判 断是否有
33、极值，计算极值解不等式得到答案. 【详解】(1)当3a 时，( )(3)39 x fxxex，则(0)6 f ，(0)4f ， 所以切线方程为64yx. (2)( )()() x fxxa ea， 当0a 时， ( )f x在 ,0上单调递减，无极值； 当0a 时在( ,0) a 上单调递增，在,a上单调递减， 所以当xa时取得极小值，所以 33 1 ( )1,2 2 aa f aeaea ； 当0a 时，令( )0,fxxa 或lnxa， 设 1 ( )ln ,( ) a g aaa g a a ，当1,( )0ag a，当1,( )0ag a， min ( )(1)10,lng agaa
34、， 当01a时ln0,( )af x在,lna上单调递增，在ln ,0a上单调递减， 所以 ( )f x在 lnxa时取得极大值， 设 2 1 ( )(ln )ln (1ln) 2 h afaaaaaaa，从而 2 ( )ln2 lnh aaaaa ， 01,ln0,( )0aah a ，所以( )h a在(0,1)上单调递减， ( )(1)21 a h ahe ，所以01a不符合题意. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 当1a 时ln0,( )af x在,0上单调递增，此时在,0上无极值，不合题意. 综上：a取值范围是 3 ,2 . 【点睛】本题考查了函数的切线方程，极值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 -
