1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 2019-20202019-2020 学年下期阶段性学业检测题学年下期阶段性学业检测题 高二年级理科数学高二年级理科数学 说明说明：1.1.本试卷分第本试卷分第卷卷（选择题选择题）和第和第卷卷（非选择题非选择题）两部分两部分. .满分满分 150150 分分. .考试时间考试时间 12120 0 分钟分钟. . 2.2.将试题卷中题目的答案填（涂）在答题卷（答题卡）的相应位置将试题卷中题目的答案填（涂）在答题卷（答题卡）的相应位置. . 第第卷（选择题共卷（选择题共 6060 分）分） 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 121
2、2 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的. . 1.复数zai aR的虚部为（） A. 1B.iC. -1D.i 【答案】A 【解析】 根据定义可得z的虚部1b ，故选 A. 2. 如果 10 N的力能使弹簧压缩 10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长 6cm，则力所做的功为 A. 0.12 JB. 0.18 JC. 0.26 JD. 0.28 J 【答案】B 【解析】 【分析】 由Fkl求得弹性系数k，再由 2 1 2 Wkl求得所做功 【详解】Fkl， 10,100.1FN lcmm， 10
3、 100 0.1 k ， 在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，克服弹力所做的功为： 22 11 100 (0.06)0.18 22 P WEklJ 故选 B 【点睛】本题考查弹力做功与弹性势能的关系，解题关键是求出弹性系数k，然后根据弹性势 能公式求出弹簧拉升时所做功 3.用反证法证明命题“若 22 0ab ,则a,b全为 0（, a bR）”其反设正确的是（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - A.a,b至少有一个为 0B.a,b至少有一个不为 0 C.a,b全不为 0D.a,b中只有一个为 0 【答案】B 【解析】 【分析】 根据反设的定义直接
4、判断即可. 【详解】“a,b全为 0（, a bR）”的反设为“a,b不全为 0（, a bR）”即“a,b至 少有一个不为 0”. 故选：B 【点睛】本题主要考查了反证法中的反设问题,其中“全为”的反面为“不全为”或“至少有 一个不”.属于基础题. 4.设 0 ln ,2f xxx fx，则 0 x （） A. 2 e B. e C. ln2 2 D.ln2 【答案】B 【解析】 【分析】 求得导函数 fx，由此解方程 0 2fx求得 0 x的值. 【详解】依题意 1lnfxx ，所以 000 1 ln2,fxxxe . 故选：B 【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题
5、. 5.已知, a bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，且 2 ()zabi，则z在复 平面中所表示的点在第（）象限 A. 一B. 二C. 三D. 四 【答案】A 【解析】 由共轭复数的定义可得 2 2 (2)34 1 a ziiz b 在复平面中所表示的点第一象限， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 故选 A. 6.在平面直角坐标系xOy中，由直线0 x ，1x ，0y 与曲线 x ye围成的封闭图形的 面积是（） A.1 eB. e C.eD.1e 【答案】D 【解析】 【详解】 由上图可得所求的面积为 1 1 0 0 |1 xx e dxee ，
6、故选 D. 7.记I为虚数集,设, ,a bR x yI,则下列类比所得的结论正确的是（） A. 由a bR ,类比得x yI B. 由 222 ()2abaabb,类比得 222 ()2xyxxyy C. 由 2 0a ,类比得 2 0 x D. 由0abab ,类比得0 xyxy 【答案】B 【解析】 分析：依次判断每个结论是否正确，注意类比后变量的取值范围. 详解：设2 ,3xi yi，则 2 66xyiI ；A 错误； 2 40 x ，C 错误； 32 ,22xi yi，则50 xy，但 , x y不能比较大小，即xy 是错误的，D 错误， 只有 B 正确. 故选 B. 高考资源网（）
7、您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 点睛：对于选择题中要只有一个命题正确的选项问题，可以用特殊值法进行排除，即举反例 说明某些命题是错误，最后只剩下一个命题一定是正确.本题说明实数集的结论有许多在虚数 集中不能成立，因此在解题时不能随便引用. 8.已知函数 fx的导函数 fx ,且满足 21lnf xxfx ，则 1 f () A.eB.1C. 1D. e 【答案】B 【解析】 【分析】 对函数进行求导，然后把1x 代入到导函数中，得到一个方程，进行求解 【详解】对函数进行求导，得 1 ( )2(1)fxf x 把1x 代入得， (1)2(1) 1ff 直接可求得 (1) 1f
8、【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题本题值得注意的是 1 f 是一个实 数 9.利用数学归纳法证明“(1)(2)(3)()nnnnn21 3(21) n n ， * nN ” 时，从”nk”变到“1nk”时，左边应增加的因式是（） A.21k B. 21 1 k k C. 23 1 k k D. (21)(22) 1 kk k 【答案】D 【解析】 分析： 依题意， 可写出nk时成立的等式与1nk时成立的等式， 二者相除即可得到结论. 详解：由题意“nk”时，左边为12 ,.kkkk， “1nk”时，左边为23 ,.11kkkk ， 从而可得增加两项为21 22kk， 且减少项为
9、1k ，故选 D. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 点睛：本题考查数学归纳法，理清从“nk”变到“1nk”时左边项数的变化是关键， 属于中档题. 项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题 顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律. 10.在区间 1 ,2 2 上， 函数f(x)x 2pxq 与g(x)2x 2 1 x 在同一点取得相同的最小值，那 么f(x)在 1 ,2 2 上的最大值是() A. 13 4 B. 5 4 C. 8D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用基本不等式求得函数
10、 2 1 ( )=2g xx x 的最小值，以及此时 x 的值，进而根据二次函数的 性质列方程组求得 p 和 q，最后根据二次函数的性质求得函数在所给区间上的最大值 【详解】根据基本不等式可得， 2 1 ( )=2g xx x = 2 1 xx x 3 1 3 x x x =3，当且仅当1x 时，函数取得最小值 所以对于函数 2 f xxpxq ，当1x 时，函数也取得最小值 3，即 13pq ， 另一方面，对于函数 2 f xxpxq ，当 2 p x 时，函数取得最小值 3 所以1 2 p 所以，2p ，4q 所以 2 24f xxx 其对称轴 1 1 ,2 2 x ，所以 fx的最大值为
11、 2 222 24f =4，答案选 D 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，函数的最值，二次函数的性质，对于二次函数的对 称轴、顶点位置，应能熟练应用，属于中档题 11.若曲线0(),f x y 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线0(),f x y 的“自 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 公切线”下列方程： 22 1xy； 2 yxx；3sin4cosyxx； 2 14xy 对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 22 1xy是一个等轴双曲线，没有自公切线； 2 2 2 0 0 xxx yxx x
12、xx 在 11 , 22 xx 处的切线都是 1 4 y 故有自公切线 3sin4cos5sin()yxxx，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或 过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线 2 14xy ，即 22 203xxy ，结合图象可得，此曲线没有自公切线 故答案为 C 12.已知 32 1 ( ) 3 f xxxaxm，其中0a ，如果存在实数t，使 ( ) 0ft ，则 21 (2)() 3 t f tf 的值（） A. 必为正数B. 必为负数C. 必为非负数D. 必为非正 数 【答案】B 【解析】 【分析】 求出 0fx 的解，从而可判断(2)0f t ， 21
13、()0 3 t f ，故可得正确的选项. 【详解】 2 ( )2fxxxa ，因为存在t，使得 0ft ，故440a ，即01,a 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 令( )0,11fxaxa ， 故(11,11)taa，211(2)0taf t ， 又21(32 1,32 1)taa ，故 2122 (11,11) 333 t aa 即 21 (11,11) 3 t aa ， 故 21 ()0 3 t f ，所以 21 (2)()0 3 t f tf ， 故选：B. 【点睛】本题考查函数的的最值、函数与不等式，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和 转化化归思想，
14、考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题 型. 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分. . 13.函数( ) ln x f x x 的单调减区间为_. 【答案】0,1，1,e 【解析】 【分析】 求出 fx ，利用导数与函数的单调性关系即可得解 【详解】因为 ln x f x x ，所以0 x 且1x . 所以 2 ln1 ln x fx x ， 令 0fx ，解得：01x或1xe. 所以 fx的单调递减区间为0,1，1,e 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的
15、单调区间，考查计算能力，属于基础题 14.函数 23 9, 33 ( ) 5 ,35 22 xxx f x x x ，则 5 3 ( )=f x dx _. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【答案】 9 1 2 ； 【解析】 【分析】 根据定积分的运算法则以及定积分的几何意义计算可得答案. 【详解】 5 3 ( )=f x dx 35 23 33 5 ( 9)() 22 x xx dxdx 3 2 3 9x dx 3 3 3 x dx 5 3 5 () 22 x dx 2 1 3 2 44 1 3( 3) 4 22 5151 (55 (33 2424 9 2 1
16、， 故答案为： 9 1 2 【点睛】本题考查了定积分的运算法则以及定积分的几何意义，属于基础题. 15.在等差数列 n a中，若 10 0a，则有： 121219nn aaaaaa （19n ， 且 * nN ）成立.类比上述性质，在等比数列 n b中，若 9 1b ，则有_. 【答案】 1 21 217nn bbbbbb （17n ，且 * nN ） 【解析】 【分析】 根据等差数列与等比数列的性质，结合类比的规则，得出答案几何 【详解】在等差数列 n a中，若 10 0a， 则有： 121219nn aaaaaa （19n ，且 * nN ）成立 故相应的在等比数列 n b中，若 9 1b
17、 则有： 1 21 217nn bbbbbb （17n ，且 * nN ） 证明如下：1n 时，左边 1 b 右边 15 1 21612 168 1091 91 bbbb b bb bbbbb 故有 1 21 217nn bbbbbb 当n取其它数时同理可证. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 故答案为： 1 21 217nn bbbbbb （17n ，且 * nN ） 【点睛】本题考查的是等差等比数列的性质及类比推理，较简单. 16.已知函数 13 ln1 44 f xxx x ， 2 24g xxbx，若对任意 1 0,2x ，存在 2 1,2x ，使 12
18、f xg x，则实数b的取值范围是_. 【答案】 【解析】 试 题 分 析 ： 函 数的 导 函 数 22 113(1)(3) ( ) 444 xx fx xxx ,( )0fx ， 若 ( )0fx,为增函数;若( )0fx,或,为减函数； 在上 有 极 值 ,在处 取 极 小 值 也 是 最 小 值 ；, 对 称 轴 ,当时,在处取最小值； 当时,在处取最小值；当时,在 上是减函数,；对任意,存在,使 ,只 要的 最 小 值 大 于 等 于的 最 小 值 即 可 , 当 时,计算得出,故无解;当时,计算得出, 综上:,因此，本题正确答案是:. 考点：函数最值问题. 【方法点晴】本题主要考查
19、函数导数与不等式，恒成立问题.解决本题的关键是根据题意对任 意,存在,使转化为求的最小值大于等于的最 小值即可. 类似地这种问题还有存在,存在,使， 则转化为 求的最大值大于等于的最小值.解决这种问题一定要正确转化. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题小题. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 17.复数 2 12 510,1225 ,zaai zaai ，其中a R . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - （1）若2a ，求 1 z的模； （2）若 12 zz是实数，求实数a的值. 【答案】
20、（1）3 5（2）5a 或3a . 【解析】 （1）2a ，则 1 36zi， 则 22 1 36453 5z ， 1 z的模为3 5. （2） 2 12 5101225zzaaiaai 2 61025aaai 2 6215aaai 因为 12 zz是实数，所以 2 2150aa ，解得5a 或3a 故5a 或3a . 18.设函数 32 9 ( )6 2 f xxxxa. （1）对于任意实数x，( )fxm 恒成立，求m的最大值； （2）若方程( )0f x 有且仅有一个实根，求a的取值范围. 【答案】 （1） 3 4 ； （2） 5 ,2, 2 . 【解析】 【分析】 （1）求导后，转化条
21、件得 2 39(6)0 xxm恒成立，令0 即可得解； （2）利用导数求得函数 fx的极小值、极大值，转化条件得(2)0f或(1)0f，即可得 解. 【详解】 （1）由题意 2 ( )3963(1)(2)fxxxxx， 因为(,)x ，( )fxm ，即 2 39(6)0 xxm恒成立， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 所以81 12(6)0m ，可得 3 4 m ， 所以m的最大值为 3 4 ； （2）因为当1x 或2x 时，( )0fx ，函数 ( )f x单调递增； 当12x时，( )0fx ，函数 ( )f x单调递减； 所以当1x 时， fx取极大值
22、 5 (1) 2 fa； 当2x 时， fx取极小值(2)2fa； 所以当(2)0f或(1)0f时，方程( )0f x 仅有一个实根. 所以20a或 5 0 2 a即2a 或 5 2 a ， 故a的取值范围为 5 ,2, 2 . 【点睛】本题考查了二次不等式恒成立问题的求解，考查了利用导数研究方程根的个数问题， 属于基础题. 19.已知函数 22 ( )ln(0)f xxaxa xa. （1）若1x 是函数( )yf x的极值点，求a的值； （2）求函数( )yf x的单调区间. 【答案】 （1）1a （2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】 （1）利用( )01 f ，解得1a ，再
23、检验可得答案； （2）求导后，对a分0a 和0a 讨论，根据( )0fx 可得增区间，( )0fx 可得递减区 间. 【详解】 （1）函数定义域为(0,)， 22 21 ( ) a xax fx x ， 因为1x 是函数的极值点，所以 2 (1)120faa ，解得 1 2 a （舍）或1a 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 经检验，1a 时，1x 是函数的极值点， 所以1a . （2）若0a ， 1 ( )0fx x ，所以函数 fx的单调递增区间为(0,)，无递减区间； 若0a ，令 (21)(1) ( )0 axax fx x ，解得 1 0 x a ，
24、令( )0fx ，解得 1 x a ， 所以函数 fx的单调递增区间是 1 0, a ，单调递减区间是 1 , a . 综上所述：0a ，函数 fx的单调递增区间为(0,)，无递减区间； 当0a 时，函数 fx的单调递增区间是 1 0, a ，单调递减区间是 1 , a . 【点睛】本题考查了根据函数的极值点求参数，考查了分类讨论思想，考查了由导数求单调 区间，属于基础题. 20.已知,A B两地的距离是120km，按交通法规规定，,A B两地之间的公路车速应限制在 50100/km h，假设汽油的价格是 6 元/升，以/xkm h速度行驶时，汽车的耗油率为 2 (4)/ 360 x L h，
25、司机每小时的工资是 36 元，那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费 用，这次行车的总费用是多少？ 【答案】最经济的车速约为60/km h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为 240 元. 【解析】 【分析】 根据题设可得 7200 2yx x ，50100 x，利用导数可求该函数的最小值. 【详解】设汽车以/xkm h行驶时，行车的总费用 2 1207200 366 42 360 x yx xx ， 50100 x，所以 2 7200 2y x ， 令0y ，解得60/xkm h. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 当5060 x时，0y，当60100
26、 x时，0y ， 故60 x 是函数y的极小值点，也是最小值点， 即当车速为60/km h时，行车总费用最少， 此时最少总费用 7200 2 60240 60 y （元）. 答：最经济的车速约为60/km h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为 240 元. 【点睛】本题考查函数的最值、函数与方程，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化 归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及应用意识和创新意识，具 有一定的综合性，属于中档题型.解决本题的关键是在理解题意的基础上建立函数，并利用导 数工具求得最优解. 21.设正项数列 n a的前n项和为 n S，且满足 2* 1 (
27、) 22 nn n SanN. （1）计算 123 ,a a a的值，并猜想 n a的通项公式； （2）用数学归纳法证明 n a的通项公式. 【答案】 （1） n an（2）证明见解析 【解析】 【详解】 （1）当1n 时， 2 111 11 22 aSa，得 1 1a ； 2 1222 1 1 2 aaSa，得 2 2a 2 12333 13 22 aaaSa，得 3 3a 猜想 n an （2）证明： （）当1n 时，显然成立， （）假设当nk1,kkN时， k ak 则当1nk时， 22 111 111 2222 kkkkk kk aSSaa 22 1 111 2222 k kk ak
28、整理得： 22 11 210 kk aak ，即 11 110 kk akak 结合0 n a ，解得 1 1 k ak 于是对于一切的自然数 * nN ，都有 n an. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 22.设函数 2 1 ( )2ln(1)() 2 f xmxxxmR. （1）判断1x 能否为函数 ( )f x的极值点，并说明理由； （2）若存在 4, 1)m ，使得定义在1, t上的函数 3 ( )( )ln(1)g xf xxx在1x 处 取得最大值，求实数t的最大值. 【答案】 （1）能（2）1 13 2 【解析】 （1）能，理由如下： 1 2 1
29、 fxmx x ，1,x ，令 10 f ，得 3 2 m ； 当 3 2 m 时， 321 1 xx fx x ，于是 f x在 2 1, 3 单调递增，在 2 ,1 3 单调 递减，在1,单调递增， 故当 3 2 m 时，1x 是 f x的极小值点. （2） 332 1 ln12 2 g xf xxxxmxx 由题意，当1,xt时， 1g xg恒成立， 易得 2 11 11110 22 g xgxxm xm ，令 2 11 11 22 h xxm xm ，因为 h x必然在端点处取得最大值，即 0h t . 即 2 11 110 22 tm tm ，即 2 1 2 1 tt t ，解得： 113 1 2 t ， 所以t的最大值为1 13 2 . 【点睛】本题考查函数的极值、函数的最值、函数与不等式，涉及函数与不等式思想、数形 结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强， 属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的 恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 的单调性和最值来解决，当然要注意数形结合思想和转化化归思想的应用. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 -
