1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 虹口区高二期末数学试卷虹口区高二期末数学试卷 一一. . 填空题填空题 1.若2i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程 2 0 xmxn 的一个根，则mn等于 _. 【答案】1 【解析】 【分析】 把2i代入方程，化简得23(4)0mnm i ，利用复数相等定义得解. 【详解】2iQ是关于x的实系数方程 2 0 xmxn 的一个根, 2 (2)(2)0imin,23(4)0mnm i 230 40 mn m , 4 5 m n =1mn 故答案为：1 【点睛】求解与复数概念相关问题的技巧: 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复
2、数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解 答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi abR+，的形式， 再根据题意求解 2.已知直线 1: 1lxay， 2: 2laxy，若 1 l 2 l，则实数a的值等于_. 【答案】1 【解析】 【分析】 利用两直线平行的公式： 1221 0ABA B可以建立等量关系，从而求出结果. 【详解】解： 1 l 2 l，所以 2 1 10a ，解得：1a ，检验，当1a 时， 1 l与 2 l不重 合，满足题意. 故答案为：1. 【点睛】本题考查两条直线平行的直线方程的系数关系，属于基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所
3、有高考资源网 - 2 - 3.在平面直角坐标系中，( 5,0)A ，(5,0)B，若| 8PAPB，则P点的轨迹方程为 _. 【答案】 22 1 169 xy 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义，可判定P点的轨迹为双曲线，按照双曲线的概念即可求出轨迹方程. 【详解】解：| 8PAPB，所以P点的轨迹是以,A B两点为焦点，以 8 为实轴长的双 曲线.即28a ，210c ，所以4a ，3b ，所以双曲线的方程为 22 1 169 xy . 故答案为： 22 1 169 xy . 【点睛】本题考查定义法求双曲线的标准方程，熟记定义是解题的关键，本题属于基础题. 4.在长方体 1111 ABCD
4、ABC D中， 1 1AAAD， 2AB ，则直线AC与 1 A D所成的角的 大小等于_. 【答案】 10 arccos 10 【解析】 【分析】 连接 11 ,B A BC，可得直线AC与 1 A D所成的角为 1 BCA，利用余弦定理求 1 cosBCA即可. 【详解】解：如图，连接 11 ,B A BC， 由长方体的结构特点可知 11 / /BCAD， 则直线AC与 1 A D所成的角为 1 BCA（或其补角） ， 因为 22 11 215,1 12,215B ABCAC ， 在 1 BCA中， 222 11 1 1 25510 cos 2102 52 BCACAB BCA BCAC
5、， 1 10 arccos 10 BCA . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 故答案为： 10 arccos 10 . 【点睛】本题考查异面直线所成的角，关键是要通过平移找到异面直线所成的角的平面角， 是基础题. 5.过抛物线 2 y4x的焦点且与对称轴垂直的弦长为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，然后求解对称轴垂直的弦长 【详解】抛物线 2 y4x的焦点1,0， 可得： 2 y4，解得y2 可得：对称轴垂直的弦长为：4 故答案为 4 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力 6.如图，以长方体 1111 ABCDABC D的
6、顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标 轴，建立空间直角坐标系，若 1 DB 的坐标为(5,4,3)，则 1 D B 的坐标为_. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【答案】(5,4, 3) 【解析】 【分析】 推导出 1 5,4,3DADCDD，从而B（5，4，0） ， 1(0,0,3) D，由此能求出 1 D B 的坐标. 【详解】解：以长方体 1111 ABCDABC D的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为 坐标轴，建立空间直角坐标系， 1 DB 的坐标为(5,4,3)， 1 5,4,3DADCDD， B（5，4，0） ， 1(0,0,3)
7、D， 1 D B 的坐标为(5,4, 3). 故答案为：(5,4, 3). 【点睛】本题考查向量的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题. 7.一个袋中装有 9 个形状大小完全相同的球，球的编号为 1，2，9，随机摸出两个球， 则两个球编号之和为奇数的概率是_.(结果用分数表示) 【答案】 5 9 【解析】 【分析】 利用组合知识，先得到从编号为 1，2，9 的 9 个球中随机摸出两个球的基本事件总数， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 若两数之和为奇数，则一奇一偶，再得到两个球编号之和为奇数其基本事件数，代入古典概 型的概率公式求解.
8、【详解】从编号为 1，2，9 的 9 个球中随机摸出两个球的基本事件总数为： 2 9 36C ， 若两数之和为奇数，则一奇一偶， 所以两个球编号之和为奇数的基本事件数为： 11 54 20CC， 所以两个球编号之和为奇数的概率是 205 369 p . 故答案为： 5 9 【点睛】本题主要考查古典概型的概率以及组合问题，还考查了分析求解问题的能力，属于 基础题. 8.已知 23452345 012345 (1)(1)(1)(1)(1)xxxxxaa xa xa xa xa x，则 3 a的值为_. 【答案】15 【解析】 【分析】 求得 3 x的系数，由此求得 3 a的值. 【详解】依题意可知
9、 3 a是 3 x的系数，所以 333 3345 14 1015aCCC . 故答案为：15 【点睛】本小题主要考查二项式展开式有关计算，属于基础题. 9.棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D的顶点A到截面 1 BCD的距离等于_. 【答案】 2 2 a 【解析】 【分析】 根据勾股定理可以计算出 11 ,DB BC， 这样得到 1 DCB是直角三角形， 利用等体积法求出点A 到 1 BCD的距离. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【详解】解：如图所示， 在三棱锥 1 BACD中， 1 BB是三棱锥 1 BACD的高， 1 ABADBBa， 在 1 B
10、CD中， 1 2BCa,DCa, 1 3B Da,所以 1 BCD是直角三角形 11 BACDA B CD VV ， 1 2 1 2 22 2 B CD Saaa ，设点A到 1 BCD的距离为d 22 1112 3232 aaad ， 2 2 a d . 故A到平面 1 ABD的距离为 2 2 a 故答案为： 2 2 a 【点睛】本题考查了点到线的距离，利用等体积法求出点到面的距离.是解题的关键. 10.在平面直角坐标系xOy中， 直线 xat yt (t为参数)与圆 1 cos sin x y (为参数)相切， 则实数a的值为_. 【答案】1 2 【解析】 【分析】 把直线和圆的参数方程都
11、化为普通方程，由直线与圆相切可得dr，故可求出a的值 【详解】解：将圆的参数方程 1 cos ( sin x y 为参数） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 化为普通方程是 22 (1)1xy； 将直线的参数方程( xat t yt 为参数） 化为普通方程是x ya ； 由于直线与圆相切，则可草图如右： 所以圆心(1,0)C到直线的距离是dr， 即 10 1 2 a ； 解得|1|2a， 则 21a ，或 12a ； 故答案为：1 2 【点睛】本题考查参数方程的应用问题，应先把参数方程化为普通方程，再利用直线与圆的 位置关系进行解答，属于基础题 11.我们知道：用
12、平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物 线一部分，如图，在底面半径和高均为 2 的圆锥中，ABCD是底面圆O的两条互相垂直的 直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥 曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于_. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【答案】 2 【解析】 【分析】 如图所示，过点E作EMAB，垂足为M由于E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和 高均为 2，可得1OMEM 2OE 在平面CED内建立直角坐标系设抛物线的方程 为 2 2(0)ypx p，F为抛物线的焦点可得
13、2,2C，代入解出即可 【详解】解：如图所示，过点E作EMAB，垂足为M E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为 2， 1OMEM 2OE 在平面CED内建立直角坐标系 设抛物线的方程为 2 2(0)ypx p，F为抛物线的焦点 因为2,2C， 42 2p，解得2p 2 ,0 2 F 即点F为OE的中点， 该抛物线的焦点到其准线的距离为 2， 故答案为： 2 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【点睛】本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题 12.已知点( 1,0)P ，圆 22 (1)9xy
14、上的两个点 11 (,)A x y 22 (,)B xy满足 APPB (R)，则 1122 |3425|3425| 55 xyxy 的最大值为_. 【答案】12 【解析】 【分析】 首先可以判断A、P、B三点共线，设AB的中点为M,分别过A、M、B作直线 34250 xy的 垂 线AE、MG、BF， 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得 11 |3425| 5 xy AE ， 22 |3425| 5 xy BF ，即 1122 |3425|3425| 2 55 xyxy MG ，再判断M的轨迹，从而求出MG的最值，从而 得解； 【详解】解：设圆的圆心为C，因为AP PB (R)
15、，所以A、P、B三点共线， 设AB的中点为M,分别过A、M、B作直线34250 xy的垂线AE、MG、BF， 则 11 |3425| 5 xy AE ， 22 |3425| 5 xy BF ，则2MGAEBF，所以 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 1122 |3425|3425| 2 55 xyxy MG ， 因为M是AB的中点，所以MPMC，所以M在以PC为直径的圆上，且2PC ，即半 径为 1，圆心为坐标原点O，点O到34250 xy的距离 22 25 5 35 d ， 所以max5 16MG 所以 1122 |3425|3425| 55 xyxy 的最大
16、值为12 故答案为：12 【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，直线与圆的综合应用，属于中档题. 13.抛物线 2 2yx的焦点到准线的距离等于_. 【答案】 1 4 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 先将抛物线方程 2 2yx，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可. 【详解】因为抛物线方程是 2 2yx， 转化为标准方程得： 2 1 2 xy， 所以抛物线开口方向向右，焦点坐标为 1 ,0 8 F 准线方程为： 1 8 x ， 所以焦点到准线的距离等于 1 4 . 故答案为： 1 4 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了
17、理解辨析的能力，属于基础题. 14.求圆 22 (1)4xy上的点到直线34230 xy的距离的最大值_. 【答案】6 【解析】 【分析】 先求得圆心到直线34230 xy的距离为4d ，结合圆的性质，即可求解圆上的点到直 线的距离的最大值，得到答案. 【详解】由题意，圆 22 (1)4xy，可得圆心坐标为(1,0)C，半径2r = =， 则圆心到直线34230 xy的距离为 22 3 1 23 4 34 d ， 所以圆 22 (1)4xy上的点到直线34230 xy的距离的最大值为6dr. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的综合应用，属于 基础
18、题. 二二. . 选择题选择题 15.设，是两个不同的平面，m是直线且m“m”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行 即可得到；，和没有公共点，即能得到； “”是“”的必要不充分条件故选 B 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判 定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不
19、到 ， 根据面面平行的判定定理， 只有内的两相交直线都平行于， 而， 并且， 显然能得到，这样即可找出正确选项. 16.设 1 F 2 F分别是椭圆 2 2 2 :1 y E x b (01b)的左右焦点，过 1 F的直线l与椭圆E相交 于AB两点，且 22 2| |ABAFBF，则|AB的长为（） A. 2 3 B. 1C. 4 3 D. 5 3 【答案】C 【解析】 【分析】 由椭圆的定义得： 12 2AFAFa， 12 2BFBFa，结合条件可得 4 3 ABa，即可得 答案. 【详解】由椭圆的定义得： 12 2AFAFa， 12 2BFBFa， 又 22 2| |ABAFBF， 11
20、ABAFBF，所以 4 3 ABa， 由椭圆 2 2 2 :1 y E x b 知1a ，所以 4 3 AB . 故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，考查学生基本运算能力. 17.方程为 24 242xxy的曲线，给出下列四个结论： 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 关于x轴对称； 关于坐标原点对称； 关于y轴对称； 1 212x ，22y； 以上结论正确的个数是（） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 中，用 y 代替y，可判定曲线关于x轴对称；中，用x代替x，用 y 代替y，可判定 曲线不关于原点对称；中，用x代替x，可
21、判定曲线不关于x轴对称；中，化简方程 24 242xxy 和 42 2(1)4yx ，得出不等式，即可求解. 【详解】由题意，方程 24 242xxy， 对于中，用 y 代替y，可得方程 24 242xxy，所以方程表示的曲线关于x轴对称； 对于中，用 x 代替x，用 y 代替y，可得方程 24 242xxy，所以方程表示的曲线不 关于原点对称； 对于中，用 x 代替x，可得方程 24 242xxy，所以方程表示的曲线不关于x轴对称； 对于中，方程 24 242xxy，可化为 24 242xxy ，可得 2 210 xx ， 解得1 212x ， 又由 422 2422(1)4yxxx ，即
22、4 4y ，解得22y. 综上可得是正确的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了曲线与方程为背景下的命题的真假判定，其中解答中熟练应用曲线 的对称性和函数的基本性质，得出不等式关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力， 属于中档试题. 18.如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，P为BC的中点，Q为线段 1 CC上的动点， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 过点APQ的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列三个结论： 当 1 0 2 CQ时，S为四边形； 当 1 2 CQ =时，S为等腰梯形； 当1CQ 时，S的面积为 6 2 ； 以上结
23、论正确的个数是（） A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意作出满足条件的图形，由线线，线面，面面关系结合正方体的结构特征找出截面再 论证得到结论. 【详解】当 1 2 CQ =时，即Q为CC1中点时，如图所示： 因为平面 11/ / ADD A平面 11 BCC B，所以 1 / /PQAD，又 2 2 1 15 1 22 APD Q ， 所以截面APQD1为等腰梯形，故正确； 由上图当点Q向C移动时，满足 1 0 2 CQ，只需在DD1上取点M满足/ /PQAM，如图所 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 示： 故可得截面AP
24、QM为四边形，故正确； 当1CQ 时，Q与C1重合，如图所示： 取 11 AD的中点F，连接AF， 因为平面 11/ / ADD A平面 11 BCC B，所以 1/ / PCAF，且 1 PCAF，又 1 C FAF，所以截面APC1F为菱形，所以其面积 1 116 32 222 SACPF ，故正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题的真假判断以及正方体的截面问题，还考查了空间想象和推理论 证的能力，属于中档题. 19.正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，P为BC的中点，Q为线段 1 CC上的动点，三棱锥 1 QA AP的体积记为 1 V，三棱锥 1 CA AP的体积记为
25、2 V，则以下结论正确的是（） A. 12 VVB. 12 VVC. 12 VVD. 1 V与 2 V 的大小关系不能确定 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 【答案】B 【解析】 【分析】 利用三棱锥的体积公式，由两棱锥的底面积相同，高相同即可判断. 【详解】由 1111 ABCDABC D为正方体， 则 11 / /CCAA， 1 CC 平面 1 AAP， 1 AA 平面 1 AAP， 所以 1/ / CC平面 1 AAP， 因为Q为线段 1 CC上的动点， 所以Q到平面 1 AAP的距离与C到平面 1 AAP的距离相等， 所以 11 Q A APCA AP
26、VV ，即 12 VV. 故选：B 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，同时考查了线面平行的判定定理、线面平行的性质， 属于基础题. 三三. . 解答题解答题 20.已知i是虚数单位，复数 32 (1) (12 ) 34 ii z i 满足方程 2 | zzzabi (, a bR)，求 实数ab的值. 【答案】8a ，4b . 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 利用复数的乘除运算化简，再利用复数模的求法、共轭复数的概念、复数相等即可求解. 【详解】 32 2 1342 134(1) (12 ) 343434 iiiiiiii z iii 2
27、 122iii， 所以 2 222 |22222284zzziii ， 由 2 | zzzabi ，所以8a ，4b . 【点睛】本题考查了复数的四则运算、复数的模、共轭复数的概念以及复数相等，属于基础 题. 21.已知双曲线 2 2 2 :1 y x b (0b )，直线l与交于PQ两点. （1）若点(3,0)是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程； （2）若点P的坐标为( 1,0)，直线l的斜率等于 1，且 8 2 | 3 PQ ，求双曲线的渐近线方 程. 【答案】 （1）2 2yx ； （2）2yx 或 2 7 7 yx . 【解析】 【分析】 （1）1a ，3c ,根据双曲线中 222 b
28、ca 求出b，则可得渐近线方程； （2）联立直线与双曲线，利用韦达定理求出弦长与已知弦长相等，可解得b，则可得到渐近 线方程. 【详解】 （1）依题意3c ，所以 22 13b ，所以 2 8b ，所以 2 2b ， 又1a ，所以双曲线的渐近线方程为2 2yx . （2）依题意可得直线l的方程为： 1yx，将其代入 2 2 2 1 y x b 并整理得： 222 (1)210bxxb ， 因为直线l与交于PQ两点，所以 2 1b ， 44 44(1)40bb， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 设 11 (,)P x y， 22 (,)Q xy， 所以 12
29、2 2 1 xx b ， 2 12 2 1 1 b x x b ， 所以 22 1212 |()()PQxxyy 22 1212 ()()xxxx 2 1212 2()4xxx x 2 222 44(1) 2 (1)1 b bb 4 22 4 2 (1) b b 2 2 2 2 |1| b b ， 所以 2 2 2 28 2 |1|3 b b ，解得2b 或 2 7 7 b ， 因为1a ，所以双曲线的渐近线方程为2yx 或 2 7 7 yx . 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了直线与双曲线的位置关系，考查了双曲线的 渐近线方程，属于基础题. 22.已知三棱锥PABC(如图一)的平面
30、展开图(如图二)中，ABCD为边长等于 2的正方 形，ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中， （1）求证：ACPB； （2）求PB与平面ABC所成的角的大小； （3）求二面角BPAC的大小. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 4 ； （3）arctan 2. 【解析】 【分析】 （1）取AC的中点M，连PM，BM，通过证明AC 平面PMB，可以得到ACPB； （2） 根据题意可以证明PM 平面ABC， 从而可知PBM就是PB与平面ABC所成的角； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 容易计算得到其大小； （3）取PA的中点N，连MN，BN，易证得BN
31、M就是二面角BPAC的平面角， 然后在直角三角形中求得结果即可. 【详解】 （1）证明：取AC的中点M，连PM，BM，如图： 根据展开图可知，PCPA，BCBA，所以PMAC，BMAC， 又PMBMM，所以AC 平面PMB， 因为PB 平面PMB，所以ACPB （2）根据展开图可知 2PCPABCBA ，且 2 CPACBA ， 所以1PMBM，又 2PB ，所以PMBM， 所以PM 平面ABC，所以PBM就是PB与平面ABC所成的角， 且PBM 4 ， 所以PB与平面ABC所成的角的大小为 4 . （3）取PA的中点N，连MN，BN，如图： 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网
32、 - 20 - 由（2）可知BMPM，由（1）知BMAC，且PMACM， 所以BM 平面PAC，所以BMPA， 根据等腰三角形的性质易得MNPA，又BMMNM，所以PA 平面BMN， 所以PABN，所以BNM就是二面角BPAC的平面角， 在直角三角形PMA中， 12 22 MNPA ， 在直角三角形BMN中， 1 tan2 2 2 BM BNM BN ， 由题知二面角为锐角，所以BNM arctan2 . 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面所成角和二面角的求 法， 解题关键是根据展开图得到几何体中的角度和长度，属于中档题. 23.焦距为2c的椭圆 22 22 :1
33、xy ab (0ab)， 如果满足“2bac”， 则称此椭圆为“等 差椭圆”. （1）如果椭圆 22 22 :1 xy ab (0ab)是“等差椭圆”，求 b a 的值； （2）如果椭圆 22 22 :1 xy ab (0ab)是“等差椭圆”，过(0, )Da作直线l与此“等差椭 圆”只有一个公共点，求此直线的斜率； （3）椭圆 22 22 :1 xy ab (0ab)是“等差椭圆”，如果焦距为 12，求此“等差椭圆”的 方程； （4）对于焦距为 12 的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任 一点，Q为P关于原点O的对称点(Q也异于A)，直线APAQ分别与x轴交于MN两
34、 点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由. 【答案】 （1） 4 5 ； （2） 3 5 ； （3） 22 1 10064 xy ； （4）是过定点(0, 10) ，理由见解析； 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - 【分析】 （1）联立2bac与 222 cab，消去c，化简可得结果； （2）联立直线与椭圆方程，根据判别式等于 0，可解得结果； （3）联立 22 26 36 ba ab 解出, a b即可得到结果. （4）设 000 (,)(0)P xyx ，则 00 (,)Qxy，利用直线方程求出,M N的坐标，进而求出以 线段MN为直径的圆
35、的方程，根据圆的方程得到定点坐标. 【详解】 （1）因为椭圆 22 22 :1 xy ab (0ab)是“等差椭圆”，所以2bac， 所以2cba，又 222 cab，所以 222 (2)baab，化简得 4 5 b a . （2）显然直线l有斜率，设为k，则直线: l ykxa， 由（1）知 4 5 ba，所以椭圆方程为： 22 22 25 1 16 xy aa ， 联立 22 22 25 1 16 ykxa xy aa ，消去y并整理得 222 (2516)5090kxakxa， 因为直线l与此“等差椭圆”只有一个公共点， 所以 222 (50)4 9(2516)0akak ，化简得 2
36、36 100 k ，所以 3 5 k . （3）因为212c ，所以6c ，所以26ba，又 222 36abc ， 联立 22 26 36 ba ab ，解得10,8ab， 所以此“等差椭圆”的方程为： 22 1 10064 xy . （4）是过定点(0, 10)，理由如下： 由（3）可知椭圆方程为： 22 1 10064 xy ， 所以(0,8)A，设 000 (,)(0)P xyx ，则 00 (,)Qxy， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 22 - 所以直线AP的方程为： 0 0 8 8 y yx x ，令0y ，得 0 0 8 8 x x y ，所以 0 0
37、8 (,0) 8 x M y ， 同理可得 0 0 8 (,0) 8 x N y ， 所以以MN为直径的圆的方程为 00 00 88 ()()(0)(0)0 88 xx xxyy yy ， 结合 22 00 1 10064 xy ，化简得 22 0 0 25 1000 y xyx x ， 令0 x ，得10y ，所以该圆恒过定点(0, 10). 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了直线与椭圆相切，考查了圆的方程，考查了运 算求解能力，属于中档题. 24.定义空间点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离. （1）在空间，求与定点O距离等于 1 的点所围成的几何体的体积和
38、表面积； （2）在空间，线段AB(包括端点)的长等于 1，求到线段AB的距离等于 1 的点所围成的几 何体的体积和表面积； （3）在空间，记边长为 1 的正方形ABCD区域(包括边界及内部的点)为，求到距离等 于 1 的点所围成的几何体的体积和表面积. 【答案】 （1） 4 3 V，4S； （2） 7 3 V，6S； （3） 10 2 3 V，82S. 【解析】 【分析】 （1）根据球的体积和表面公式计算可得结果； （2）依题意可知围成的几何体是一个圆柱和两个半球的组合体，依据公式即可求得结果； （3）分析可知，到距离等于 1 的点所围成的几何体是一个棱长分别为 1，1，2 的长方体和 四个高
39、为 1，底面半径为 1 的半圆柱以及四个半径为 1 的四分之一球所围成的几何体，根据公 式计算可得答案. 【详解】 （1）与定点O距离等于 1 的点所围成的几何体是一个半径为 1 的球，其体积为 4 3 ， 表面积为4， （2）到线段AB的距离等于 1 的点所围成的几何体是一个以AB为高，底面半径为 1 的圆柱 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 23 - 的侧面与两个半径为 1 的半球面所围成的几何体，其体积为 23 47 111 33 ，表面 积为 2 21 1416 . （3）到距离等于 1 的点所围成的几何体是一个棱长分别为 1，1，2 的长方体和四个高为 1， 底面半径为 1 的半圆柱以及四个半径为 1 的四分之一球所围成的几何体， 其体积为 23 114 1 1 241141 243 4 22 3 10 2 3 ， 表面积为 2 11 2 1 1421441 24 82. 【点睛】本题考查了空间想象能力，考查了长方体、圆柱、球的体积和表面积公式，解题关 键是根据定义得到几何体是由哪些几何体组合而成，属于难题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 24 -
