1、第第 2 节节函数的单调性与最值函数的单调性与最值 知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 D，且 ID 如果对任意 x1，x2I，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)， 则称 yf(x)在 I 上是增函 数 如果对任意 x1，x2I，当 x1f(x2)， 则称 yf(x)在 I 上是减函 数 图像 描述 自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 yf(x)在区间 I 上是增函数或减函数， 那么就说函数 yf(x)在区间 I 具 有单调性，区间 I 称为函数 yf(x)的单调区间. 2
2、.函数的最值 一般地， 设函数 f(x)的定义域为 D， 且 x0D： 如果对任意 xD， 都有 f(x)f(x0)， 则称 f(x)的最大值为 f(x0)，而 x0称为 f(x)的最大值点；如果对任意 xD，都有 f(x)f(x0)，则称 f(x)的最小值为 f(x0)，而 x0称为 f(x)的最小值点.最大值和最小值 统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点. 1.在公共定义域内，增函数增函数增函数； 减函数减函数减函数； 增函数减函数增函数； 减函数增函数减函数. 2.函数 yf(x)(f(x)0 或 f(x)0)的单调增区间为(， a)，( a，)；单调减 区间是 a，0)，(0，
3、a. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)对于函数 f(x)，xD，若对任意 x1，x2D，且 x1x2有(x1x2)f(x1)f(x2)0， 则函数 f(x)在区间 D 上是增函数.() (2)函数 y1 x的单调递减区间是(，0)(0，).( ) (3)对于函数 yf(x)，若 f(1)0，得 x4 或 x0，得2x0， 0，x0， 1，x1， 0，x1， x2，xb. 设函数 f(x)x3，g(x) log2x，则函数 h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_. 答案(1)3(2)1 解析(1)由于 y 1 3 x 在 R 上单调递减，ylog2(x2)在1
4、，1上单调递增，所 以 f(x)在1，1上单调递减，故 f(x)在1，1上的最大值为 f(1)3. (2)法一在同一坐标系中， 作函数 f(x)，g(x)的图像， 依题意，h(x)的图像如图所示的实线部分. 易知点 A(2，1)为图像的最高点， 因此 h(x)的最大值为 h(2)1. 法二依题意，h(x) log2x，02. 当 02 时，h(x)3x 是减函数， 因此 h(x)在 x2 时取得最大值 h(2)1. 感悟升华1.求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)均值不等式
5、法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用 均值不等式求出最值. 2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值， 求出最值. 【训练 1】 (1)已知 1x5，则下列函数中，最小值为 4 的是() A.y4x1 x B.yx 4 x1 C.yx22x3D.y5ln x1 x (2)(多选题)(2021淄博质检)对于实数 x，记x表示不超过 x 的最大整数，例如 3，1.082，定义函数 f(x)xx，则下列说法中正确的是() A.f(3.9)f(4.1) B.函数 f(x)的最大值为 1 C.函数 f(x)的最小值为 0 D.方程 f(x)1 20 有无
6、数个根 答案(1)D(2)ACD 解析(1)函数 y4x1 x在1，5上递增，所以 4x 1 x5，A 不符合题意；因为 x 1，所以 yx 4 x1x1 4 x11413(当且仅当 x1 时取等号)，故 其最小值不为 4，B 不符合题意； yx22x3(x1)24，其最大值为 4(当 x1 时取得)，最小值是 f(5) 12，C 不符合题意. 易知函数 y5ln x1 x在(0，)上递增，所以在区间1，5上也是增函数，其 最小值为 f(1)5ln 11 14，D 符合题意. (2)f(3.9)3.93.93.9(4)0.1， f(4.1)4.14.14.140.1， A 正确；显然 x1xx
7、，因此 0 xx1，f(x)无最大值，但有最小值且 最小值为 0，B 错误，C 正确；方程 f(x)1 20 的解为 xk 1 2(kZ)，D 正确. 故选 ACD. 考点三函数单调性的应用 角度 1利用单调性比较大小 【例 2】 (1)(2021武汉模拟)已知函数 f(x) 1 ex1 1 2，若 af(2 1.3)，bf(40.7)， cf(log38)，则 a，b，c 的大小关系为() A.cabB.acb C.bacD.abbaB.abc C.cabD.acb 答案(1)C(2)D 解析(1)函数 f(x) 1 ex1 1 2是 R 上的减函数， 又 log38221.321.440.
8、7， f(40.7)f(21.3)f(log38)，即 ba3， 1log33log35log3273， 03 0.2log3530.20， 所以f(31.2)f(log35)f(3 0.2)，即 acb. 角度 2求解函数不等式 【例 3】 (1)已知函数 f(x)ln x2x，若 f(x24)2，则实数 x 的取值范围是 _. (2)(2021青岛联考)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，且 f(x)在(， 0上单调递减，若不等式 f(ax2)f(1)对于任意 x1，2恒成立，则 a 的最 大值为_. 答案(1)( 5，2)(2， 5)(2)1 解析(1)因为函数 f
9、(x)ln x2x在定义域(0，)上单调递增，且 f(1)ln 1 22，所以由 f(x24)2 得，f(x24)f(1)，所以 0 x241，解得 5x2 或 2x 5. (2)由于 f(x)满足 f(x)f(x)，可知 f(x)的图像关于 y 轴对称， f(x)在(，0上单调递减， f(x)在0，)上单调递增. 根据 f(x)的图像特征可得1ax21 在1，2上恒成立， 得3 xa 1 x在1，2上恒成立， 所以3 2a1，故 a 的最大值为1. 角度 3求参数的值或取值范围 【例 4】 (1)(2020九江三校联考)已知函数 f(x) 22 x，x2， 3 4x 23x4，x2，若不等式
10、 a f(x)b 的解集恰好为a，b，则 ba_. (2)(2021衡水中学检测)已知函数 f(x) log2x，x4， 2ax3，x0，则实数 a 的取值范围为_. 答案(1)4(2) 0，5 8 解析(1)易知 f(x)在(，2)上递减，在2，)上递增，且 x 22 21， f(x)minf(2)1， 又 af(x)b 的解集恰好为a，b. 必然有 a1，此时 22 12，所以 b2. 依题设，3 4b 23b4b，解得 b4 或 b4 3(舍). 令 22 x4，得 x0，所以 a0，于是 ba4. (2)依题设，函数 f(x) log2x，x4， 2ax3，x0， 8a32，解得 0f
11、(2 3 2)f(2 2 3) B.f log31 4 f(2 2 3)f(2 3 2) C.f(2 3 2)f(2 2 3)f log31 4 D.f(2 2 3)f(2 3 2)f log31 4 (2) 如 果 函 数 f(x) （2a）x1，x0 成立，那么 a 的取值范围是_. 答案(1)C(2) 3 2，2 解析(1)因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数， 所以 f log31 4 f(log34)f(log34). 又因为 log3412 2 32 3 20，且函数 f(x)在(0，)上单调递减，所以 f(log34)f(2 2 3)f(2 3 2). 即 f log31 4
12、f(2 2 3)0， 所以 yf(x)在(，)上是增函数. 所以 2a0， a1， （2a）11a， 解得3 2a2bB.ab2D.ab2 答案B 解析由指数和对数的运算性质可得 2alog2a4b2log4b22blog2b. 令 f(x)2xlog2x，则 f(x)在(0，)上单调递增. 又22blog2b22blog2b122blog2(2b)， 2alog2a22blog2(2b)，即 f(a)f(2b)，a2b.故选 B. 素养升华1.破解此类题的关键：一是细审题，盯题眼，如本题的题眼为“2a log2a4b2log4b” ；二是巧构造，即会构造函数，注意活用基本初等函数的单调 性进
13、行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小. 2.(1)本题主要考查利用函数的单调性， 比较大小等知识； (2)逻辑推理是解决数学 问题最常用、最重要的手段，将题目变形“22blog2b22blog2(2b)”时要充分 借助选项与提供的信息. 【训练】(2020全国卷)若 2x2y0B.ln(yx1)0D.ln|xy|0 答案A 解析原已知条件等价于 2x3 x2y3y， 设函数 f(x)2x3 x. 因为函数 y2x与 y3 x 在 R 上均单调递增， 所以 f(x)在 R 上单调递增. 即 f(x)f(y)，所以 x0，所以 A 正确，B 不正确. 因为|xy|与 1 的大小不能确定，所以
14、 C，D 不正确. A 级基础巩固 一、选择题 1.(2021青岛一中月考)函数 f(x)log1 2(x 24)的单调递增区间为( ) A.(，2)B.(2，) C.(，0)D.(0，) 答案A 解析f(x)的定义域为(，2)(2，)， 令 tx24，易知 tx24 在(，2)上单调递减， 又 ylog1 2t 是减函数， f(x)的单调递增区间为(，2). 2.(2021宜宾调研)下列函数中，同时满足：图像关于 y 轴对称；x1，x2(0， )(x1x2)，f（x2）f（x1） x2x1 0 的是() A.f(x)x 1 B.f(x)log2|x| C.f(x)cos xD.f(x)2x
15、1 答案B 解析满足条件的函数 f(x)为偶函数，且在(0，)上单调递增， f(x)x 1 为奇函数，f(x)2x 1 非奇非偶， f(x)cos x 为周期函数，且在(0，)上不单调， A，C，D 项均不正确， 只有 f(x)log2|x|为偶函数，且在(0，)上递增. 3.(2021南昌四校联考)已知函数 f(x)3x2cos x，若 af(3 2)，bf(2)，c f(log27)，则 a，b，c 的大小关系是() A.abcB.cab C.bacD.bc0 在 R 上恒成立，则 f(x)在 R 上为增函数. 又 2log24log2733 2， 所以 bca. 4.若函数 y2x x1
16、，x(m，n的最小值为 0，则 m 的取值范围是( ) A.(1，2)B.(1，2) C.1，2)D.1，2) 答案D 解析函数 y2x x1 3（x1） x1 3 x11 在区间(1，)上是减函数，且 f(2)0，所以 n2. 根据题意，x(m，n时，ymin0. m 的取值范围是1，2). 5.已知函数 f(x) x2（4a3）x3a，x0 且 a1)在 R 上单调递减， 则 a 的取值范围是() A. 3 4，1B. 0，3 4 C. 1 3， 3 4D. 0，1 3 答案C 解析由分段函数 f(x)在 R 上单调递减， 可得 0a0 的解集为_. 答案 1 3， 解析由 f(x)f(x
17、)，知 f(x)exe x 为奇函数，又易证在定义域 R 上，f(x) 是增函数，则不等式 f(2x1)f(x2)0 等价于 f(2x1)f(x2)f(x2)， 则 2x1x2，即 x1 3，故不等式的解集为 1 3，. 8.函数 y|x|(1x)的单调递增区间是_. 答案 0，1 2 解析y|x|(1x) x（1x） ，x0， x（1x） ，x0 x2x，x0， x2x，x0， 函数的大致图像如图所示. 由图易知函数的单调递增区间是 0，1 2 . 9.(2021山东师大附中调研)已知函数 f(x)e|x a|(a 为常数)，若 f(x)在区间1， )上是增函数，则实数 a 的取值范围是_.
18、 答案(，1 解析f(x) ex a，xa， ea x，xa， 当 xa 时，f(x)单调递增，当 xa 时，f(x)单调递减， 又 f(x)在1，)上是增函数，所以 a1. 三、解答题 10.函数 f(x)loga(1x)loga(x3)(0a0， x30 得3x1. f(x)的定义域为(3，1). 则 f(x)loga(x22x3)，x(3，1)， 令 f(x)0，得x22x31， 解得 x1 3或 x1 3， 经检验，均满足原方程成立. 故 f(x)0 的解为 x1 3. (2)由(1)得 f(x)loga(x1)24，x(3，1)， 由于 0(x1)244，且 a(0，1)， loga
19、(x1)24loga4， 由题意可得 loga41，解得 a1 4，满足条件. 所以 a 的值为1 4. 11.已知函数 f(x)a 2 2x1. (1)求 f(0)； (2)探究 f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)若 f(x)为奇函数，求满足 f(ax)f(2)的 x 的取值范围. 解(1)f(0)a 2 201a1. (2)f(x)在 R 上单调递增.证明如下： f(x)的定义域为 R，任取 x1，x2R，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)a 2 2x11a 2 2x21 2（2x12x2） （12x1） （12x2）， y2x在 R 上单调递增且 x1x2， 02x12x2
20、，2x12x20，2x210. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2). f(x)在 R 上单调递增. (3)f(x)是奇函数，f(x)f(x)， 即 a 2 2 x1a 2 2x1，解得 a1. f(ax)f(2)，即为 f(x)f(2)， 又f(x)在 R 上单调递增，x4. 若函数 yf(x)在区间(a，a1)上单调递增， 则实数 a 的取值范围是_. 答案(，14，) 解析作函数 f(x)的图像如图所示， 由图像可知 f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足 a4 或 a12，即 a1 或 a 4. 14.已知函数 f(x)lg xa x2(a0，且 a1). (1)求函数
21、f(x)的定义域； (2)当 a(1，4)时，求函数 f(x)在2，)上的最小值； (3)若对任意 x2，)恒有 f(x)0，试确定 a 的取值范围. 解(1)由 xa x20，得 x22xa x 0， 当 a1 时，x22xa0 恒成立，定义域为(0，)， 当 0a1 时，定义域为x|0 x1 1a或 x1 1a. (2)设 g(x)xa x2，当 a(1，4)，x2，)时， g(x)1 a x2 x2a x2 0. 因此 g(x)在2，)上是增函数， f(x)在2，)上是增函数. 则 f(x)minf(2)lga 2. (3)对任意 x2，)，恒有 f(x)0. 即 xa x21 对 x2，)恒成立. a3xx2. 令 h(x)3xx2，x2，). 由于 h(x) x3 2 2 9 4在2，)上是减函数， h(x)maxh(2)2. 故 a2 时，恒有 f(x)0. 故 a 的取值范围为(2，).
