1、第 3 节圆及其方程 知识梳理 1圆的定义和圆的方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方 程 标准 (xa)2(yb)2r2(r 0) 圆心 C(a，b) 半径为 r 一般 x2y2DxEyF 0(D2E24F0) 充要条件：D2E24F0 圆心坐标： D 2 ，E 2 半径 r1 2 D2E24F 2.点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系： (1)|MC|rM 在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆外； (2)|MC|rM 在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆上； (3)|MC|rM 在圆内，即
2、(x0a)2(y0b)2r2M 在圆内 1圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的方程为 x2y2r2. 2以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2) 0. 诊断自测 1判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径() (2)方程 x2y2a2表示半径为 a 的圆() (3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆() (4)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 AC0，B0， D2E24AF0.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(2)当 a0 时，x2y2a2表示点(0，0)；当 a0
3、 时，表示半径为|a|的圆 (3)当(4m)2(2)245m0，即 m1 4或 m1 时表示圆 2圆 x2y24x6y0 的圆心坐标和半径分别是() A(2，3)，3B(2，3)， 3 C(2，3)，13D(2，3)， 13 答案D 解析圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径 r 13. 3过点 A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是() A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24 答案C 解析设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r.因为圆心 C 在直线 xy20 上， 所以
4、 b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所 以 a1，b1.所以 r2.所以方程为(x1)2(y1)24. 4(2020北京卷)已知半径为 1 的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最 小值为() A4B5C6D7 答案A 解析由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点 的距离最小且最小值为 dmin （30）2（40）214.故选 A. 5(多选题)(2021济南调研)已知圆 M 的一般方程为 x2y28x6y0，则下列 说法正确的是() A圆 M 的圆心为(4，3) B圆 M 被 x 轴截得的弦长为 10 C圆 M
5、 的半径为 5 D圆 M 被 y 轴截得的弦长为 6 答案ACD 解析由圆 M 的一般方程为 x2y28x6y0，则圆 M：(x4)2(y3)252， 故圆心为(4，3)，半径为 5，则 AC 正确；令 x0，得 y0 或 y6，弦长 为 6，故 D 正确；令 y0，得 x0 或 x8，弦长为 8，故 B 错误 6(2020全国卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2xy 30 的距离为() A. 5 5 B.2 5 5 C.3 5 5 D.4 5 5 答案B 解析设圆心为 P(x0，y0)，半径为 r，圆与 x 轴，y 轴都相切， |x0|y0|r，又圆经过点(2，1)，x
6、0y0r 且(2x0)2(1y0)2r2， (r2)2(r1)2r2，解得 r1 或 r5. 当 r1 时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线 2xy30 的距离 d |2113| 22（1）2 2 5 5 ； 当 r5 时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线 2xy30 的距离 d |2553| 22（1）2 2 5 5 . 综上，圆心到直线 2xy30 的距离为 2 5 5 . 考点一圆的方程 1在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为 _ 答案x2y22x0 解析法一设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则 F0， 11DEF0， 4
7、2DF0， 解得 D2，E0，F0，故圆的方程为 x2y22x 0. 法二设 O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则 kOA1，kAB1，所以 kOAkAB1， 即 OAAB，所以OAB 是以角 A 为直角的直角三角形，则线段 BO 是所求圆的 直径，则圆心为 C(1，0)，半径 r1 2|OB|1，圆的方程为(x1) 2y21，即 x2 y22x0. 2已知圆 C 的圆心在直线 xy0 上，圆 C 与直线 xy0 相切，且截直线 x y30 所得的弦长为 6，则圆 C 的方程为_ 答案(x1)2(y1)22 解析法一所求圆的圆心在直线 xy0 上， 可设所求圆的圆心为(a，a) 所求圆
8、与直线 xy0 相切，半径 r2|a| 2 2|a|. 又所求圆截直线 xy30 所得的弦长为 6，圆心(a，a)到直线 xy30 的距离 d|2a3| 2 ， d2 6 2 2 r2，即（2a3） 2 2 3 22a 2，解得 a1， 圆 C 的方程为(x1)2(y1)22. 法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)， 则圆心(a，b)到直线 xy30 的距离 d|ab3| 2 ， r2（ab3） 2 2 3 2，即 2r 2(ab3)23. 所求圆与直线 xy0 相切， |ab| 12（1）2r. 又圆心在直线 xy0 上，ab0. 联立，解得 a1， b1， r 2， 故圆
9、C 的方程为(x1)2(y1)22. 3 (2020郑州二模)圆(x2)2(y12)24 关于直线 xy80 对称的圆的方程 为() A(x3)2(y2)24B(x4)2(y6)24 C(x4)2(y6)24D(x6)2(y4)24 答案C 解析设对称圆的圆心为(m，n)， 则 n12 m2 1， m2 2 n12 2 80， 解得 m4， n6， 所以所求圆的圆心为(4，6)， 故所求圆的方程为(x4)2(y6)24，故选 C. 4(多选题)(2021济南质检)已知圆 C 被 x 轴分成两部分的弧长之比为 12，且 被 y 轴截得的弦长为 4， 当圆心 C 到直线 x 5y0 的距离最小时，
10、 圆 C 的方程 为() A(x4)2(y 5)220 B(x4)2(y 5)220 C(x4)2(y 5)220 D(x4)2(y 5)220 答案AB 解析设圆心为 C(a，b)，半径为 r，圆 C 被 x 轴分成两部分的弧长之比为 12， 则其中劣弧所对圆心角为 120， 由圆的性质可得 r2|b|， 又圆被 y 轴截得的弦长为 4，a24r2，a244b2，变形为 b2a 2 4 1， 即 C(a，b)在双曲线 y2x 2 4 1 上， 易知双曲线 y2x 2 4 1 上与直线 x 5y0 平行的切线的切点为(a，b)，此点到 直线 x 5y0 的距离最小 设切线方程为 x 5ym，由
11、 x 5ym， y2x 2 4 1， 消法 y 得 x28mx(4m220)0， 64m24(4m220)0，解得 m1， m1 时， x4， y 5， m1 时， x4， y 5， 即切点为(4， 5)或(4， 5)，半径为 r2 5， 圆的方程为(x4)2(y 5)220 或(x4)2(y 5)220. 感悟升华求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的 方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到 的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂 线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，
12、即设出圆的方程，用待定系数法求解 考点二与圆有关的最值问题 角度 1利用几何意义求最值 【例 1】已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21 上 (1)求y x的最大值和最小值； (2)求 xy 的最大值和最小值； (3)求 x2y22x4y5的最大值和最小值 解(1)y x可视为点(x，y)与原点连线的斜率， y x的最大值和最小值就是与该圆有公 共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率 设过原点的直线的方程为 ykx， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2k3| k211，解得 k2 2 3 3 或 k22 3 3 ，y x的最大值为2 2 3 3 ，最
13、 小值为22 3 3 . (2)设 txy，则 yxt，t 可视为直线 yxt 在 y 轴上的截距， xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小 值，即直线与圆相切时在 y 轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2（3）t| 2 1，解得 t 21 或 t 21. xy 的最大值为 21，最小值为 21. (3) x2y22x4y5 （x1）2（y2）2，求它的最值可视为求点(x，y) 到定点(1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1，2)的距离与 半径的和或差又圆心到定点(1，2)的距离为 34， x2y22x4y5的最大值为
14、341，最小值 341. 感悟升华把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题， 充分体现了数 形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如 myb xa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如 maxby 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如 m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问 题 角度 2利用对称性求最值 【例 2】(2020衡水联考)已知 A(0，2)，点 P 在直线 xy20 上，点 Q 在圆 C： x2y24x2y0 上，则|PA|PQ|的最小值是_ 答案2 5 解析因为圆 C：x2y24x2y0，
15、所以圆 C 是以 C(2，1)为圆心，半径 r 5 的圆设点 A(0，2)关于直线 xy20 的对称点为 A(m，n)， 所以 m0 2 n2 2 20， n2 m01， 解得 m4， n2， 故 A(4，2) 连接 AC 交圆 C 于 Q(图略)，此时，|PA|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA| |PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2 5. 感悟升华求解形如|PM|PN|(其中 M，N 均为动点)且与圆 C 有关的折线段的 最值问题的基本思路： (1)“动化定” ，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； (2)“曲化直” ，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对 称性解决
16、 角度 3建立函数关系求最值 【例 3】(2021重庆模拟)设点 P(x，y)是圆：x2(y3)21 上的动点，定点 A(2， 0)，B(2，0)，则的最大值为_ 答案12 解析由题意，知(2x，y)，(2x，y)，所以x2y24，由于点 P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2(y3)21，故 x2(y3)21，所 以(y3)21y246y12.由圆的方程 x2(y3)21，易知 2y4， 所以，当 y4 时，的值最大，最大值为 641212. 感悟升华根据题中条件列出相关的函数关系式， 再根据函数知识或均值不等式 求最值 【训练 1】 (1)已知两点 A(1，0)，B(0，2)，点
17、P 是圆(x1)2y21 上任意一 点，则PAB 面积的最大值与最小值分别是() A2，1 2(4 5) B.1 2(4 5)， 1 2(4 5) C. 5，4 5D.1 2( 52)， 1 2( 52) (2)(2020长沙模拟)圆x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离的最大 值是_ 答案(1)B(2) 21 解析(1)如图， 圆心(1，0)到直线 AB：2xy20 的距离 d 4 5，故圆上的点 P 到直线 AB 的 距离的最大值是 4 51，最小值是 4 51. 又|AB| 5，故PAB 面积的最大值和最小值分别是 2 5 2 ，2 5 2 .故选 B. (2)将圆的方程化为(x1
18、)2(y1)21，圆心坐标为(1，1)，半径为 1，则圆心到 直线 xy2 的距离 d|112| 2 2，故圆上的点到直线 xy2 的距离的最 大值为 d1 21. 考点三与圆有关的轨迹问题 【例 4】已知 RtABC 的斜边为 AB，且 A(1，0)，B(3，0)，求： (1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 解(1)法一设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y0. 因为 ACBC，且 BC，AC 斜率均存在，所以 kACkBC1， 又 kAC y x1，k BC y x3，所以 y x1 y x31， 化简得 x2y22x30. 因此，
19、直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(y0) 法二设 AB 的中点为 D， 由中点坐标公式得 D(1， 0)， 由直角三角形的性质知|CD| 1 2|AB|2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1，0)为圆心，2 为半径的圆(由 于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点) 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0) (2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3，0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式 得 xx03 2 ，yy00 2 ， 所以 x02x3，y02y. 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将 x02
20、x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24， 即(x2)2y21. 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0) 感悟升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 【训练 2】设定点 M(3，4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM，ON 为邻 边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹方程 解 如图，设 P(x，y)，N(x0，y0)， 则线段 OP 的中点坐标
21、为 x 2， y 2 ， 线段 MN 的中点坐标为 x03 2 ，y04 2. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2 x03 2 ，y 2 y04 2 ， 整理得 x0 x3， y0y4， 又点 N(x0，y0)在圆 x2y24 上， 所以(x3)2(y4)24. 所以点 P 的轨迹是以(3，4)为圆心，2 为半径的圆， 直线 OM 与轨迹相交于两点 9 5， 12 5 和 21 5 ，28 5 ，不符合题意，舍去， 所以点 P 的轨迹为(x3)2(y4)24，除去两点 9 5， 12 5 和 21 5 ，28 5 . A 级基础巩固 一、选择题 1圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是
22、() A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21 C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22 答案D 解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径 r 1212 2，则该圆的 方程为(x1)2(y1)22. 2若方程 x2y2mx2y30 表示圆，则 m 的取值范围是() A(， 2) B(，2 2)(2 2，) C(， 3) D(，2 3)(2 3，) 答案B 解析将 x2y2mx2y30 化为圆的标准方程得 xm 2 2 (y1)2m 2 4 2. 由其表示圆可得m 2 4 20，解得 m2 2. 3(2021荆州模拟)若圆(x1)2(y1)22 关于直线 ykx3 对称，
23、则 k 的值 是() A2B2C1D1 答案B 解析由题意知直线 ykx3 过圆心(1，1)， 即 1k3，解得 k2. 4点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是() A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21 答案A 解析设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x， y)，则 xx14 2 ， yy12 2 ， 所以 x12x4， y12y2， 代入 x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21. 5(2020成都诊断)若抛物线 yx22x3 与坐标轴的交点在同一个圆上，则由 交点确定
24、的圆的方程为() Ax2(y1)24B(x1)2(y1)24 C(x1)2y24D(x1)2(y1)25 答案D 解析抛物线 yx22x3 关于直线 x1 对称，与坐标轴的交点为 A(1，0)， B(3，0)，C(0，3)，设圆心为 M(1，b)，半径为 r，则|MA|2|MC|2r2，即 4 b21(b3)2r2，解得 b1，r 5，所以由交点确定的圆的方程为(x1)2 (y1)25.故选 D. 6(2021西安调研)已知圆 C 经过 P(2，4)，Q(3，1)两点，且在 x 轴上截得 的弦长为 6，则圆 C 的方程为() Ax2y22x4y80 Bx2y22x4y80 Cx2y22x4y8
25、0 或 x2y26x8y0 Dx2y22x4y80 或 x2y26x8y0 答案C 解析设圆的方程为 x2y2DxEyF0，D2E24F0， 将 P，Q 两点的坐标代入得 2D4EF20， 3DEF10， 令 y0，得 x2DxF0， 设 x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6 得 D24F36， 由得 D2， E4， F8 或 D6， E8， F0， 故所求的圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0. 二、填空题 7已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是 _，半径是_ 答案(2，4)5 解析由已知方程表示圆，则 a2a2， 解得 a2 或
26、 a1. 当 a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去 当 a1 时，原方程为 x2y24x8y50， 化为标准方程为(x2)2(y4)225， 表示以(2，4)为圆心，半径为 5 的圆 8若圆 C：x2 y 1 2m 2 n 的圆心为椭圆 M：x2my21 的一个焦点，且圆 C 经过 M 的另一个焦点，则圆 C 的标准方程为_ 答案x2(y1)24 解析圆 C 的圆心为 0， 1 2m ， 1 m1 1 2m，m 1 2.又圆 C 经过 M 的另 一个焦点，则圆 C 经过点(0，1)，从而 n4.故圆 C 的标准方程为 x2(y1)2 4. 9已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：
27、(x3)2(y4)29，M，N 分别是 圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为_ 答案5 24 解析P是x轴上任意一点， 则|PM|的最小值为|PC1|1， 同理|PN|的最小值为|PC2| 3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作 C1关于 x 轴的对称点 C1(2， 3)所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5 2，即|PM|PN|PC1|PC2| 45 24. 三、解答题 10已知 M(x，y)为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2，3) (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求y3 x2的最大值和最小
28、值； (3)求 yx 的最大值和最小值 解(1)由圆 C：x2y24x14y450， 可得(x2)2(y7)28， 圆心 C 的坐标为(2，7)，半径 r2 2. 又|QC| （22）2（73）24 2， |MQ|max4 22 26 2， |MQ|min4 22 22 2. (2)可知y3 x2表示直线 MQ 的斜率 k， 设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)， 即 kxy2k30. 直线 MQ 与圆 C 有交点， |2k72k3| 1k2 2 2， 可得 2 3k2 3， y3 x2的最大值为 2 3，最小值为 2 3. (3)设 yxb，则 xyb0. 当直线 yxb 与圆 C 相切时
29、，截距 b 取到最值， |27b| 12（1）22 2，b9 或 b1. yx 的最大值为 9，最小值为 1. 11设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，|AB|8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 解(1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 yk（x1） ， y24x 得 k2x2(2k24)xk20. 16k2160，故 x1x22k 24 k2 . 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k 24 k
30、2 . 由题设知4k 24 k2 8，解得 k1(舍去)，k1. 因此 l 的方程为 yx1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x 3)，即 yx5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0 x05， （x01）2（y0 x01） 2 2 16. 解得 x03， y02 或 x011， y06. 圆的半径为 x0p 24 或 12， 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144. B 级能力提升 12(多选题)(2021武汉质检)实数 x，y 满足 x2y22x0，则下列说法正确的 是() A. x2y2
31、2x2y2的最大值为 51 B. x2y22x2y2的最小值为 2 C. y x1的最大值为 3 3 D. y x1的最小值为1 答案AC 解析由题意可得方程 x2y22x0 为圆心是 C(1， 0)， 半径为 1 的圆， 则 y x1 为圆上的点与定点 P(1，0)的斜率的值，设过 P(1，0)点的直线为 yk(x1)，即 kxyk0，当此直线与圆相切时，圆心到直线 kxyk0 的距离 dr，即 |2k| 1k21，整理可得 3k 21，解得 k 3 3 ，所以 y x1 3 3 ， 3 3 ，即 y x1的 最大值为 3 3 ，最小值为 3 3 . x2y22x2y2 （x1）2（y1）2
32、表示 圆上的点(x，y)与定点(1，1)的距离，则其最大值为 51，最小值为 51. 13 已知圆 C： (x3)2(y4)21， 设点 P 是圆 C 上的动点 记 d|PB|2|PA|2， 其中 A(0，1)，B(0，1)，则 d 的最大值为_ 答案74 解析设 P(x0， y0)， d|PB|2|PA|2x20(y01)2x20(y01)22(x20y20)2.x20 y 2 0为圆上任一点到原点距离的平方，(x20y20)max(51)236，dmax74. 14已知点 P(2，2)，圆 C：x2y28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，
33、O 为坐标原点 (1)求 M 的轨迹方程； (2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积 解(1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为 C(0，4)，半径为 4. 设 M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y) 由题设知0，故 x(2x)(y4)(2y)0， 即(x1)2(y3)22. 由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心， 2为半径的圆由于|OP|OM|， 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ONPM. 因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为1 3， 故 l 的方程为 x3y80. 又|OM|OP|2 2，O 到 l 的距离为4 10 5 ， 所以|PM|4 10 5 ，SPOM1 2 4 10 5 4 10 5 16 5 ， 故POM 的面积为16 5 .
