1、第 2 节两条直线的位置关系 知识梳理 1.两条直线的位置关系 直线 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l3：A1xB1yC10，l4：A2xB2yC20 的位置关系如下表： 位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件 平行k1k2，且 b1b2 A1B2A2B10 且 A1C2 A2C10 垂直k1k21A1A2B1B20 相交k1k2A1B2A2B10 2.距离公式 (1)两点间的距离公式 平 面 上 任 意 两 点 P1(x1， y1) ， P2(x2， y2) 间 的 距 离 公 式 为 |P1P2| （x2x1）2（y2y1）2. 特别地，原点 O(0，0)与任一点 P(
2、x，y)的距离|OP| x2y2. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax 0By0C| A2B2 . (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 间的距离 d |C1C2| A2B2. 3.对称问题 (1)点 P(x0，y0)关于点 A(a，b)的对称点为 P(2ax0，2by0). (2) 设 点 P(x0， y0) 关 于 直 线 y kx b 的 对 称 点 为 P(x ， y) ， 则 有 yy0 xx0k1， yy0 2 kxx0 2 b， 可求出 x，y. 1两直线
3、相交 直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解一一对应 相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组无解； 重合方程组有无数个解 2点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式 (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x，y 的系数对应相等 诊断自测 1判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)当直线 l1和 l2的斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.() (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.
4、() (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交() (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)两直线 l1，l2有可能重合 (2)如果 l1l2，若 l1的斜率 k10，则 l2的斜率不存在 2两条平行直线 3x4y120 与 ax8y110 之间的距离为() A.23 5 B.23 10 C7D.7 2 答案D 解析由题意知 a6，直线 3x4y120 可化为 6x8y240，所以两平行 直线之间的距离为 |1124| 3664 7 2. 3 若三条直线y2x， xy3， mx2y50相交于同一点， 则m的值为_
5、答案9 解析由 y2x， xy3，得 x1， y2. 点(1，2)满足方程 mx2y50， 即 m12250，m9. 4(2021武汉联考)若直线 ax4y20 与直线 2x5yb0 垂直，垂足为(1， c)，则 abc() A2B4C6D8 答案B 解析直线 ax4y20 与直线 2x5yb0 垂直，a 4 2 51， a10，直线 ax4y20 的方程即为 5x2y10. 将点(1，c)的坐标代入上式可得 52c10， 解得 c2. 将点(1，2)的坐标代入方程 2x5yb0 得 25(2)b0，解得 b 12. abc101224.故选 B. 5(2020淮南二模)设R，则“3”是“直线
6、 2x(1)y1 与直线 6x (1)y4 平行”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 答案A 解析当3 时，两条直线的方程分别为 6x4y10，3x2y20，此 时两条直线平行；若两条直线平行，则 2(1)6(1)，所以3 或 1，经检验，两者均符合，综上， “3”是“直线 2x(1)y1 与直线 6x(1)y4 平行”的充分不必要条件，故选 A. 6(2019江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 yx4 x(x0)上的一个动 点，则点 P 到直线 xy0 的距离的最小值是_ 答案4 解析法一由题意可设 P x0，x04 x0(x00)， 则
7、点 P 到直线 xy0 的距离 d| x0 x04 x0| 2 | 2x04 x0| 2 22x04 x0 2 4， 当且仅当 2x0 4 x0，即 x 0 2时取等号 故所求最小值是 4. 法二设 P x0， 4 x0 x 0 (x00)， 则曲线在点 P 处的切线的斜率为 k1 4 x20.令 1 4 x20 1，结合 x00 得 x0 2，P( 2，3 2)，曲线 yx4 x(x0)上的点 P 到直线 xy0 的最短距离即为此时点 P 到直线 xy0 的距离，故 dmin| 23 2| 2 4. 考点一两直线的平行与垂直 【例 1】已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)y
8、a210. (1)试判断 l1与 l2是否平行； (2)当 l1l2时，求 a 的值 解(1)法一当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于 l2； 当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于 l2； 当 a1 且 a0 时，两直线方程可化为 l1：ya 2x3， l2：y 1 1ax(a1)， l1l2 a 2 1 1a， 3（a1） ， 解得 a1，综上可知，当 a1 时，l1l2. 法二由 A1B2A2B10，得 a(a1)120， 由A1C2 A2C1 0 ， 得a(a2 1) 1 6 0 ， l1 l2 a（a1）120， a（a21）160 a2a20，
9、a（a21）6，可得 a1， 故当 a1 时，l1l2. (2)法一当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0， l1与 l2不垂直，故 a1 不成立； 当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于 l2，故 a0 不成立； 当 a1 且 a0 时， l1：ya 2x3，l 2：y 1 1ax(a1)， 由 a 2 1 1a1，得 a 2 3. 法二由 A1A2B1B20，得 a2(a1)0，可得 a2 3. 感悟升华1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要 考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐
10、含条件 2在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出 结论 【训练 1】 (1)经过抛物线 y22x 的焦点且平行于直线 3x2y50 的直线 l 的 方程是() A6x4y30B3x2y30 C2x3y20D2x3y10 (2)(多选题)(2021重庆调研)已知直线 l1：xmy10，l2：(m2)x3y30， 则下列说法正确的是() A若 l1l2，则 m1 或 m3 B若 l1l2，则 m3 C若 l1l2，则 m1 2 D若 l1l2，则 m1 2 答案(1)A(2)BD 解析(1)因为抛物线y22x的焦点坐标为 1 2，0， 直线3x2y50的斜率为3 2，
11、所以所求直线 l 的方程为 y3 2 x1 2 ，化为一般式，得 6x4y30. (2)若直线 l1l2，则 3m(m2)0，解得 m3 或 m1，但 m1 时，两 直线方程分别为 xy10，3x3y30 即 xy10，两直线重合，只 有 m3 时两直线平行，A 错误，B 正确； 若 l1l2，则 m23m0，m1 2，C 错误，D 正确 考点二两直线的交点与距离问题 【例 2】(1)(2021淮南模拟)已知直线 kxy2k10 与直线 2xy20 的交 点在第一象限，则实数 k 的取值范围为() A. 3 2，1 B. ，3 2 (1，) C. ，1 3 1 2， D. 1 3， 1 2 (
12、2)(2021广州模拟)已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则 a 的 取值范围是_ 答案(1)D(2)0，10 解析(1)联立 kxy2k10， 2xy20， 解得 x12k 2k ，y26k 2k (k2) 直线 kxy2k10 与直线 2xy20 的交点在第一象限， 12k 2k 0，且26k 2k 0. 解得1 3k0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a() A. 2B2 2C. 21D. 21 答案C 解析由题意得|a23| 11 1. 解得 a1 2或 a1 2. a0，a1 2. 2已知直线 l 过点(0，7)，且与直线 y4x2 平行，则直线 l
13、 的方程为() Ay4x7By4x7 Cy4x7Dy4x7 答案D 解析过点(0，7)且与直线 y4x2 平行的直线方程为 y74x，即直线 l 的方程为 y4x7，故选 D. 3已知 b0，直线(b21)xay20 与直线 xb2y10 垂直，则 ab 的最小 值为() A1B2C2 2D2 3 答案B 解析由已知两直线垂直可得(b21)ab20，即 ab2b21，又 b0，所以 ab b1 b. 由均值不等式得 b1 b2 b1 b2，当且仅当 b1 时等号成立，所以(ab) min2. 故选 B. 4坐标原点(0，0)关于直线 x2y20 对称的点的坐标是() A. 4 5， 8 5B.
14、 4 5， 8 5 C. 4 5， 8 5D. 4 5， 8 5 答案A 解析设对称点的坐标为(x0，y0)， 则 x0 2 2y0 2 20， y02x0， 解得 x04 5， y08 5， 即所求点的坐标是 4 5， 8 5 . 5(2020豫西五校联考)过点 P(1，2)作直线 l，若点 A(2，3)，B(4，5)到它的 距离相等，则直线 l 的方程为() A4xy60 或 x1 B3x2y70 C4xy60 或 3x2y70 D3x2y70 或 x1 答案C 解析若 A，B 位于直线 l 的同侧，则直线 lAB. kAB35 244，直线 l 的方程为 y24(x1)，即 4xy60；
15、若 A，B 位于直线 l 的两侧， 则直线 l 必经过线段 AB 的中点(3， 1)， kl2（1） 13 3 2， 直线 l 的方程为 y23 2(x1)，即 3x2y70. 综上，直线 l 的方程为 4xy60 或 3x2y70，故选 C. 6(多选题)(2021泰安调研)已知直线 l：(a2a1)xy10，其中 aR，则 下列说法正确的是() A当 a1 时，直线 l 与直线 xy0 垂直 B若直线 l 与直线 xy0 平行，则 a0 C直线 l 过定点(0，1) D当 a0 时，直线 l 在两坐标轴上的截距相等 答案AC 解析对于 A 项，当 a1 时，直线 l 的方程为 xy10，显
16、然与 xy0 垂直，所以正确； 对于 B 项，若直线 l 与直线 xy0 平行，可知(a2a1)(1)1(1)，解得 a0 或 a1，所以不正确； 对于 C 项，当 x0 时，有 y1，所以直线过定点(0，1)，所以正确； 对于 D 项，当 a0 时，直线 l 的方程为 xy10，在两轴上的截距分别是 1，1，所以不正确 7(2021宝鸡模拟)光线沿着直线 y3xb 射到直线 xy0 上，经反射后沿 着直线 yax2 射出，则有() Aa1 3，b6 Ba3，b1 6 Ca3，b1 6 Da1 3，b6 答案D 解析由题意，直线 y3xb 与直线 yax2 关于直线 yx 对称， 所以直线 y
17、ax2 上的点(0，2)关于直线 yx 的对称点(2，0)在直线 y 3xb 上， 所以(3)(2)b0，所以 b6， 所以直线 y3x6 上的点(0，6)关于直线 yx 的对称点(6，0)在直线 y ax2 上，所以 6a20， 所以 a1 3. 8(多选题)(2021长沙模拟)已知直线 l： 3xy10，则下列结论正确的是 () A直线 l 的倾斜角是 6 B若直线 m：x 3y10，则 lm C点( 3，0)到直线 l 的距离是 2 D过(2 3，2)与直线 l 平行的直线方程是3xy40 答案CD 解析对于 A，直线 l： 3xy10 的斜率 ktan 3，故直线 l 的倾斜角 是 3
18、，故 A 错误； 对于 B，因为直线 m：x 3y10 的斜率 k 3 3 ，kk11，故直线 l 与直 线 m 不垂直，故 B 错误； 对于 C，点( 3，0)到直线 l 的距离 d | 3 301| （ 3）2（1）22，故 C 正确； 对于 D，过(2 3，2)与直线 l 平行的直线方程是 y2 3(x2 3)，整理得： 3xy40，故 D 正确 二、填空题 9(2020南昌重点中学联考)已知直线 l1：y2x，则过圆 x2y22x4y10 的圆心且与直线 l1垂直的直线 l2的方程为_ 答案x2y30 解析由题意可知圆的标准方程为(x1)2(y2)24，所以圆的圆心坐标为( 1，2)，
19、由已知得直线 l2的斜率 k1 2，所以直线 l 2的方程为 y21 2(x1)， 即 x2y30. 10直线 x2y30 关于定点 M(2，1)对称的直线方程是_ 答案x2y110 解析设所求直线上任一点(x，y)，则关于 M(2，1)的对称点(4x，2y) 在已知直线上，所求直线方程为(4x)2(2y)30，即 x2y110. 11若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，则 PQ 的 最小值为_ 答案 29 10 解析因为3 6 4 8 12 5 ，所以两直线平行， 将直线 3x4y120 化为 6x8y240， 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的
20、距离， 即|245| 6282 29 10，所以|PQ|的最小值为 29 10. 12以点 A(4，1)，B(1，5)，C(3，2)，D(0，2)为顶点的四边形 ABCD 的面 积为_ 答案25 解析因为 kAB51 14 4 3，k DC2（2） 30 4 3. kAD21 04 3 4，k BC 25 31 3 4. 则 kABkDC，kADkBC，所以四边形 ABCD 为平行四边形 又 kADkAB1，即 ADAB，故四边形 ABCD 为矩形 故 S四边形ABCD|AB|AD| （14）2（51）2 （04）2（21）2 25. B 级能力提升 13设ABC 的一个顶点是 A(3，1)，
21、B，C 的平分线的方程分别是 x0， yx，则直线 BC 的方程是() Ay3x5By2x3 Cy2x5Dyx 2 5 2 答案C 解析A关于直线x0的对称点是A(3， 1)， 关于直线yx的对称点是A( 1，3)，由角平分线的性质可知，点 A，A均在直线 BC 上，所以直线 BC 的方程 为 y2x5.故选 C. 14(多选题)(2021南京调研)已知直线 l1：axy10，l2：xay10，a R，以下结论正确的是() A不论 a 为何值，l1与 l2都互相垂直 B当 a 变化时，l1与 l2分别经过定点 A(0，1)和 B(1，0) C不论 a 为何值，l1与 l2都关于直线 xy0 对
22、称 D如果 l1与 l2交于点 M，则|MO|的最大值是 2 答案ABD 解析对于 A，a1(1)a0 恒成立，l1与 l2都互相垂直恒成立，故 A 正 确； 对于 B，直线 l1：axy10，当 a 变化时，x0，y1 恒成立，所以 l1恒过 定点 A(0，1)；l2：xay10，当 a 变化时，x1，y0 恒成立，所以 l2恒 过定点 B(1，0)，故 B 正确； 对于 C，在 l1上任取点(x，ax1)，关于直线 xy0 对称的点的坐标为(ax 1，x)，代入 l2：xay10，则等式左边不恒等于 0，故 C 不正确； 对于 D，联立 axy10， xay10，解得 xa1 a21 ，
23、ya1 a21 ， 即 M a1 a21 ，a1 a21 ， 所以|MO| a1 a21 2 a1 a21 2 2 a21 2，所以|MO|的最大值是 2， 故 D 正确 15已知直线 l 经过直线 2xy50 与 x2y0 的交点，若点 A(5，0)到直线 l 的距离为 3，则 l 的方程为_ 答案x2 或 4x3y50 解析法一两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为 x20， 此时 A 到直线 l 的距离为 3，符合题意； 当斜率存在时，设其为 k，则所求直线方程为 y1k(x2)，即 kxy(12k) 0. 由点到线的距离公式得 d|5k12k| k21 3，解得 k4
24、3，故所求直线方程为 4x 3y50. 综上知，所求直线方程为 x20 或 4x3y50. 法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x (12)y50， 所以 |1055| （2）2（12）23，解得2 或 1 2. 所以 l 的方程为 x2 或 4x3y50. 16已知点 A(4，1)，B(8，2)和直线 l：xy10，动点 P(x，y)在直线 l 上， 则|PA|PB|的最小值为_ 答案65 解析设点 A1与 A 关于直线 l 对称，P0为 A1B 与直线 l 的交点，|P0A1|P0A|， |PA1|PA|. 在A1PB 中，|PA1|PB|A1B|A1P0|P0B|P0A|P0B|， |PA|PB|P0A|P0B|A1B|. 当 P 点运动到 P0时，|PA|PB|取得最小值|A1B|. 设 点 A 关 于 直 线 l 的 对 称 点 为 A(x1， y1) ， 则 由 对 称 的 充 要 条 件 知 y11 x1411， x14 2 y11 2 10， 解得 x10， y13，A 1(0，3) (|PA|PB|)min|A1B| 82（1）2 65.
