1、第第 5 节节不等式及其解法不等式及其解法 知识梳理 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式a0a0a0 |x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R (2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式的解法 |axb|ccaxbc； |axb|caxbc 或 axbc. (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想. 2.一元二次不等式 一般地，形如 ax2bxc0
2、的不等式称为一元二次不等式，其中 a，b，c 是常 数，而且 a0. 3.三个“二次”间的关系 判别式b24ac000 二次函数 yax2bxc (a0)的图像 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1x2) 有两相等实根 x1x2 b 2a 没有实数根 ax2bxc0 x|xx2 或 xx1 x|x b 2a R (a0)的解集 ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 4.一般地，如果 x1x2，则不等式(xx1)(xx2)0 的解集是(x1，x2)，不等式(x x1)(xx2)0 的解集是(，x1)(x2，). 5.分式不等式及其解法 (1)f（x
3、） g（x）0(0(a(a0)的解集为(，a)(a，)；|x|0)的解集为 (a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式 ax2bxc0(0(0 对任意实数 x 恒成立 ab0， c0 或 a0， 0. (2)不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立 ab0， c0 或 a0， 0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc 0 的两个根是 x1和 x2.() (2)若不等式 ax2bxc0 的解集为(x1，x2)，则必有 a0.() (3)不等式 x2a 的解集为 a， a.() (4)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根， 则不等式 ax2bxc0(
4、a0 时，其解集为 a， a；当 a0 时， 其解集为0，当 a0 时，其解集为. (4)若方程 ax2bxc0(a0(a0)的解集为. 2.已知集合 Ax|x25x40，Bx|x2x60，则 AB() A.(2，3)B.(1，3)C.(3，4)D.(2，4) 答案B 解析由题意知 Ax|1x4，Bx|2x1 的解集为_. 答案 2 3，2 解析当 x1 时，f(x)x12x23x1， 解得 x2，此时 1x2； 当1x1，解得 x2 3，此时 2 3x1； 当 x1，解得 x4，此时无解. 综上可知2 3x2.所以不等式的解集为 2 3，2. 4.(2020大连质检)若不等式 ax2bx20
5、 的解集为 x|1 2x 1 3 ，则 ab 的值 是() A.10B.14C.10D.14 答案A 解析由题意知，1 2， 1 3是方程 ax 2bx20 的两根，所以 1 2 1 3 b a， 1 2 1 3 2 a， 解 得 a12， b2. 故 ab10. 5.(多选题)(2021德州模拟)关于 x 的不等式(ax1)(x2a1)0 的解集中恰有 3 个整数，则 a 的值可以为() A.1 2 B.1C.1D.2 答案AC 解析由题意知 a0，则排除 B，D； 对于 A 项，当 a1 2时， 1 2x1(x2)0，即(x2)(x2)0，解得2x 2，恰有 3 个整数，符合题意； 对于
6、C 项，当 a1 时，(x1)(x3)0， 即(x1)(x3)0，解得1x3，恰有 3 个整数，符合题意，故选 AC. 6.(2020长沙调研)已知函数 f(x)ax2ax1，若对任意实数 x，恒有 f(x)0，则 实数 a 的取值范围是_. 答案4，0 解析若 a0，则 f(x)10 恒成立， 若 a0，则由题意，得 a0， a24a0， 解得4a0，综上，得 a4，0. 考点一一元二次不等式的解法 【例 1】 (1)不等式 0 x2x24 的解集为_. 答案x|2x1 或 20， x2x24，即 x2x20， x2x60， 解得 x2 或 x1， 2x3. 故原不等式的解集为x|2x1，或
7、 2x3. (2)解关于 x 的不等式 ax222xax(aR). 解原不等式可化为 ax2(a2)x20. 当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1. 当 a0 时，原不等式化为 x2 a (x1)0， 解得 x2 a或 x1. 当 a0 时，原不等式化为 x2 a (x1)0. 当2 a1，即 a2 时，解得1x 2 a； 当2 a1，即 a2 时，解得 x1 满足题意； 当2 a1，即2a0 时，解得 2 ax1. 综上所述，当 a0 时，不等式的解集为x|x1； 当 a0 时，不等式的解集为 x|x2 a或 x1； 当2a0 时，不等式的解集为 x| 2 ax1； 当 a2 时，
8、不等式的解集为1； 当 a2 时，不等式的解集为 x|1x2 a . 感悟升华1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)化为标准形式. (2)确定判别式的符号，若0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若 0，则对应的一元二次方程无根. (3)结合二次函数的图像得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的 二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根 的大小，注意分类讨论思想的应用. 【训练 1】 (1)不等式1x 2x0 的解集为( ) A.2，1B.(2，1 C.(，2)(1，)D.(，2(1，) 答案B 解
9、析原不等式化为 （1x） （2x）0， 2x0， 即 （x1） （x2）0， x20， 解得2a2(aR)的解集. 解原不等式可化为 12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0， 解得 x1a 4，x 2a 3. 当 a0 时，不等式的解集为 x|x a 3 ； 当 a0 时，不等式的解集为x|x0； 当 a0 时，不等式的解集为 x|x a 4 . 考点二一元二次不等式恒成立问题 角度 1在实数 R 上恒成立 【例 2】对于任意实数 x，不等式(a2)x22(a2)x40 恒成立，则实数 a 的 取值范围是() A.(，2)B.(，2 C.(2，2)D.(2，2
10、 答案D 解析当 a20，即 a2 时，40 恒成立； 当 a20，即 a2 时， 则有 a20， 2（a2）24（a2）（4）0， 解得2a0， g（1）（x2）x24x40， 解得 x3. 故当 x(，1)(3，)时，对任意的 m1，1，函数 f(x)的值恒大于 零. 感悟升华1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的 图像在给定的区间上全部在 x 轴上方， 恒小于 0 就是相应的二次函数的图像在给 定的区间上全部在 x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求 最值. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁 就是主元，
11、求谁的范围，谁就是参数. 【训练 2】函数 f(x)x2ax3. (1)若当 xR 时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)若当 x2，2时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)若当 a4，6时，f(x)0 恒成立，求实数 x 的取值范围. 解(1)当 xR 时，x2ax3a0 恒成立， 需a24(3a)0，即 a24a120， 解得6a2，实数 a 的取值范围是6，2. (2)由题意可转化为 x2ax3a0 在 x2，2上恒成立， 令 g(x)x2ax3a， 则有0 或 0， a 20， a 22， g（2）7a0， 解得6a2，解得 a，解得7a6. 综上可
12、得，满足条件的实数 a 的取值范围是7，2. (3)令 h(a)xax23. 当 a4，6时，h(a)0 恒成立. 只需 h（4）0， h（6）0，即 x24x30， x26x30， 解得 x3 6或 x3 6. 实数 x 的取值范围是(，3 63 6，). 考点三含绝对值不等式的解法 【例 5】 已知函数 f(x)|x1|x2|，求 f(x)5 的解集. 解法一如图，设数轴上与2，1 对应的点分别是 A，B，则不等式的解就是 数轴上到 A，B 两点的距离之和不小于 5 的点所对应的实数.显然，区间2，1 不是不等式的解集.把 A 向左移动一个单位到点 A1，此时 A1AA1B145.把 点
13、B 向右移动一个单位到点 B1，此时 B1AB1B5，故不等式的解集为(， 32，). 法二|x1|x2|5 x2， （x1）（x2）5或 2x1， （x1）x25 或 x1， x1x25，解得 x2 或 x3， 所求 f(x)5 的解集为(，32，). 法三将不等式转化为|x1|x2|50. 令 y|x1|x2|5，则 y 2x6，x2， 2，2x1， 2x4，x1. 作出函数的图像，如图所示. 由图像可知，当 x(，32，)时，y0， 不等式的解集为(，32，). 感悟升华形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨 论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(
14、，a，(a，b，(b， )(此处设 ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等 式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c0) 的几何意义：数轴上到点 x1a 和 x2b 的距离之和大于 c 的全体；(3)图像法： 作出函数 y1|xa|xb|和 y2c 的图像，结合图像求解. 【训练 3】 设函数 f(x)|xa|3x(a0). (1)当 a1 时，则不等式 f(x)3x2 的解集为_. (2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x1，则 a 的值为_. 答案(1)x|x3 或 x1(2)2 解析(1)当 a1 时，f(x)3x2 可化为|x1|
15、2. 由此可得 x3 或 x1. 故当 a1 时，不等式 f(x)3x2 的解集为x|x3 或 x1. (2)由 f(x)0 得|xa|3x0. 此不等式化为不等式组 xa， xa3x0或 xa， ax3x0， 即 xa， xa 4 或 x0，所以不等式组的解集为 x|xa 2 . 由题设可得a 21，故 a2. 一元二次方程根的分布情况 一元二次方程的根即为对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标，因此，一元二 次方程的根的分布问题，可以借助二次函数图像，利用数形结合的方法来研究. 往往根据方程根的情况结合对应二次函数的图像建立不等关系式(组)，求得参数 的取值范围. 【例 1】 已知二次方
16、程(2m1)x22mx(m1)0 有一正根和一负根， 求实数 m 的取值范围. 解设 f(x)(2m1)x22mx(m1)， 由(2m1)f(0)0，即(2m1)(m1)0， 解得1 2m1，即 m 的取值范围为 1 2，1. 【例 2】已知方程 2x2(m1)xm0 有两个不等正实根，求实数 m 的取值范 围. 解设 f(x)2x2(m1)xm， 由 0， （m1） 22 0， f（0）0 （m1）28m0， m1， m0 m32 2或 m32 2， m0 0m322或 m32 2， 即 m 的取值范围 为(0，32 2)(32 2，). 【例 3】已知二次函数 f(x)(m2)x2(2m4
17、)x3m3 与 x 轴有两个交点， 一个大于 1，一个小于 1，求实数 m 的取值范围. 解由(m2)f(1)0， 即(m2)(2m1)02m1 2， 即 m 的取值范围为 2，1 2 . A 级基础巩固 一、选择题 1.不等式(x1)(x2)0 的解集是() A.(2，1)B.(，2)(1，) C.(1，2)D.(，1)(2，) 答案A 解析由(x1)(x2)0 得2x1，故选 A. 2.不等式 x5 （x1）22 的解集是( ) A. 3，1 2B. 1 2，3 C. 1 2，1(1，3D. 1 2，1(1，3 答案D 解析不等式可化为2x 25x3 （x1）2 0， 即（2x1） （x3
18、） （x1）2 0， 解得1 2x1 或 10， 36k24k（k8）0，解得 0k1. 综上，k 的取值范围是0，1. 4.(2020重庆调研)若函数 f(x)|x1|2xa|的最小值为 3，则实数 a 的值为 () A.5 或 8B.1 或 5 C.1 或4D.4 或 8 答案D 解析分类讨论： 当 a2 时，f(x) 3x1a，xa 2， 显然 xa 2时，f(x) mina 21a3，a4， 当 a2 时，f(x) 3x1a，x1， 显然 xa 2时，f(x) mina 21a3，a8. 5.若 mx2mx10 对于 m1，2恒成立，则实数 x 的取值范围为() A. ，1 3 2B.
19、 1 3 2 ，1 3 2 C. 1 3 2 ， D.R 答案B 解析设 g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图像是直线，当 m1，2时，图 像为一条线段，则 g（1）0， g（2）0，即 x2x10， 2x22x10，解得 1 3 2 x1 3 2 . 6.(多选题)(2021山东新高考模拟)下列说法正确的是() A.不等式 2x2x10 的解集是x|x2 或 x1 B.不等式6x2x20 的解集是 x|x2 3或 x 1 2 C.若不等式 ax28ax210 的解集是x|7x1，那么 a 的值是 3 D.关于 x 的不等式 x2px20 的解集是(q，1)，则 pq 的值为1 答案BCD
20、 解析对于 A，2x2x1(2x1)(x1)， 由 2x2x10 得(2x1)(x1)0， 解得 x1 或 x1 2， 不等式的解集为 x|x1 或 x1 2 .故 A 错误； 对于 B，6x2x20，6x2x20， (2x1)(3x2)0，x1 2或 x 2 3.故 B 正确； 对于 C，由题意可知7 和1 为方程 ax28ax210 的两个根. 7(1)21 a ，a3，故 C 正确； 对于 D，依题意 q，1 是方程 x2px20 的两根， q1p，即 pq1，故 D 正确. 二、填空题 7. 若 不 等 式 x2 ax 40，即 a216. a4 或 a4. 8.规定记号“”表示一种运
21、算，定义 ab abab(a，b 为正实数)，若 1 k23，则 k 的取值范围是_. 答案(1，1) 解析由题意知 k21k23， 化为(|k|2)(|k|1)0，所以|k|1， 所以1k1. 9.(2021北京海淀区质检)设 a0， 若不等式cos2x(a1)cos xa20 对于任意 的 xR 恒成立，则 a 的取值范围是_. 答案(，2 解析令 tcos x，t1，1，则不等式 f(t)t2(a1)ta20 对 t1，1 恒成立，因此 f（1）0， f（1）0 aa20， 2aa20，a2xm 成立，求实数 m 的取值范围. 解(1)由 f(0)2，得 c2， 所以 f(x)ax2bx
22、2(a0)， 由 f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)2ax2bx24ax4a2b， 又 f(x2)f(x)16x，得 4ax4a2b16x， 所以 4a16， 4a2b0，故 a4，b8， 所以 f(x)4x28x2. (2)因为存在 x1，2，使不等式 f(x)2xm 成立， 即存在 x1，2，使不等式 m4x210 x2 成立， 令 g(x)4x210 x2，x1，2， 故 g(x)maxg(2)2，所以 m2， 即 m 的取值范围为(，2). B 级能力提升 12.(2020济宁调研)已知 a，b，c，d 都是常数，ab，cd.若 f(x)2 021(x a)(xb)的零点为 c，
23、d，则下列不等式正确的是() A.acbdB.abcd C.cdabD.cabd 答案D 解析由 f(x)2 021(xa)(xb)x2(ab)xab2 021，又 f(a)f(b)2 021，c，d 为函数 f(x)的零点，且 ab， cd，所以可在平面直角坐标系中作出函数 f(x)的大致图像， 如图所示.由图可知 cabd，故选 D. 13.(2020湖北八校联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x) 3x2，且不等式 f(xm2)4f(x)对任意的 xm，m2恒成立，则实数 m 的取 值范围是_. 答案(，12，) 解析f(x)为奇函数，f(x)f(x).
24、 设 x0，f(x)f(x)3x2， 故 f(x) 3x2（x0） ， 3x2（x0）. 从而 4f(x) 3（2x）2（x0） ， 3（2x）2（x0）f(2x)， 故不等式 f(xm2)4f(x)同解于 f(xm2)f(2x)， 又 f(x)为 R 上的单调增函数，故 xm22x， 即 m2x 对任意的 xm，m2恒成立， m2m2，即 m1 或 m2. 14.甲厂以 x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10)，每小时 可获得利润 100 5x13 x 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克
25、该产品获得的利润最大， 问： 甲厂应该选取何种生产速度？ 并求最大利润. 解(1)根据题意，得 200 5x13 x 3 000， 整理得 5x143 x0，即 5x 214x30， 解得 x3 或 x1 5， 又 1x10，可解得 3x10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，x 的取值范围是3，10. (2)设利润为 y 元，则 y900 x 100 5x13 x 9104 51 x 3 x2 9104 3 1 x 1 6 2 61 12 ， 故当 x6 时，ymax457 500 元. 即甲厂以 6 千克/时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利 润为 457 500 元.
