1、第第 5 节节椭圆椭圆及其方程及其方程 知识梳理 1.椭圆的定义 如果 F1，F2是平面内的两个定点，a 是一个常数，且 2a|F1F2|，则平面内满足 |PF1|PF2|2a 的动点 P 的轨迹称为椭圆，其中两个定点 F1，F2称为椭圆的焦 点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距. 其数学表达式：集合 MP|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0， 且 a，c 为常数： (1)若 ac，则点 P 的轨迹为椭圆； (2)若 ac，则点 P 的轨迹为线段； (3)若 ac，则点 P 的轨迹不存在. 2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (ab
2、0) y2 a2 x2 b21 (ab0) 图形 性质 范围 axa byb bxb aya 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0)， B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)， B1(b，0)，B2(b，0) 轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率ec a(0，1) a，b，c 的关系c2a2b2 1点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内x 2 0 a2 y20 b21. 2若点 P 在椭圆上，F 为椭圆的一个焦点，则 (1)b|OP|a； (2)ac|
3、PF|ac. 3焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形， r1|PF1|， r2|PF2|， F1PF2， PF1F2的面积为 S， 则在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0) 中： (1)当 r1r2时，即点 P 的位置为短轴端点时，最大； (2)Sb2tan 2c|y 0|，当|y0|b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最 大值为 bc. 4 焦点弦(过焦点的弦)： 焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短， 弦长 lmin2b 2 a . 5AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦，A(x 1，y1)，B(x2，y2)，
4、弦中点 M(x0，y0)， 则直线 AB 的斜率 kABb 2x0 a2y0. 诊断自测 1判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆() (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆() (3)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆() (4)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相同( ) 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等 于|F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2，常数小于|F1F2|时，不存
5、在这样的图形 (2)因为 ec a a2b2 a 1 b a 2 ，所以 e 越大，则b a越小，椭圆就越扁 2若 F1(3，0)，F2(3，0)，点 P 到 F1，F2的距离之和为 10，则 P 点的轨迹方 程是_ 答案 x2 25 y2 161 解析因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭 圆，其中 a5，c3，b a2c24，故点 P 的轨迹方程为x 2 25 y2 161. 3已知点 P 是椭圆x 2 5 y 2 4 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2为顶 点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_ 答案( 15
6、2 ，1)或( 15 2 ，1) 解析设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541， 所以 c1，则 F1(1，0)，F2(1，0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y1，把 y1 代入x 2 5 y 2 4 1，得 x 15 2 ，又 x0，所以 x 15 2 ，P 点坐 标为( 15 2 ，1)或( 15 2 ，1) 4.(2019北京卷)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，则( ) A.a22b2B.3a24b2 C.a2bD.3a4b 答案B 解析因为椭圆的离心率 ec a 1 2，所以 a 24c2. 又 a2b2c2，所以 3a24b2
7、.故选 B. 5.(2021新高考 8 省联考)椭圆 x2 m21 y2 m21(m0)的焦点为 F 1，F2，上顶点为 A， 若F1AF2 3，则 m 等于( ) A.1B. 2C. 3D.2 答案C 解析a2m21，b2m2， 则 c2a2b21，由题意知 b 3c， 则 b23c23m2， 又 m0，则 m 3. 6(多选题)(2020潍坊调研)已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1，F2在 y 轴 上，短轴长等于 2，离心率为 6 3 ，过焦点 F1作 y 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两 点，则下列说法正确的是() A椭圆 C 的方程为y 2 3 x21 B椭圆 C 的方程为x
8、 2 3 y21 C|PQ|2 3 3 DPF2Q 的周长为 4 3 答案ACD 解析 由已知得，2b2，b1，c a 6 3 ， 又 a2b2c2，解得 a23. 椭圆方程为 x2y 2 3 1. 如图 |PQ|2b 2 a 2 3 2 3 3 ， PF2Q 的周长为 4a4 3.故选 ACD. 第一课时椭圆及简单几何性质 考点一椭圆的定义及其应用 1(2021长沙模拟)与圆 C1：(x3)2y21 外切，且与圆 C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为_ 答案 x2 25 y2 161 解析设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)， 则有|PC1|r1，|PC2|9r.
9、所以|PC1|PC2|10|C1C2|6， 即 P 在以 C1(3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上， 得点 P 的轨迹方程为x 2 25 y2 161. 2(多选题)(2020烟台调研)已知 P 是椭圆x 2 9 y 2 4 1 上一点，椭圆的左、右焦点 分别为 F1，F2，且 cosF1PF21 3，则( ) APF1F2的周长为 12 BSPF1F22 2 C点 P 到 x 轴的距离为2 10 5 D.PF1 PF2 2 答案BCD 解析由椭圆方程知 a3， b2， 所以 c 5， 所以|PF1|PF2|6， 于是PF1F2 的周长为 2a2c62 5，故 A 选项错
10、误； 在PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2 (|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cosF1PF2， 所以 20362|PF1|PF2|2 3|PF 1|PF2|，解得|PF1|PF2|6， 故 SPF1F21 2|PF 1|PF2|sinF1PF21 26 2 2 3 2 2，故 B 选项正确； 设点 P 到 x 轴的距离为 d， 则 SPF1F21 2|F 1F2|d1 22 5d2 2， 所以 d 2 10 5 ， 故 C 选项正确； PF1 PF2 |PF1 |PF2 |cosF1PF261
11、32，故 D 选项正确 3已知 F 是椭圆 5x29y245 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定 点，则|PA|PF|的最大值为_，最小值为_ 答案6 26 2 解析椭圆方程化为x 2 9 y 2 5 1， 设 F1是椭圆的右焦点，则 F1(2，0)， |AF1| 2，|PA|PF|PA|PF1|6， 又|AF1|PA|PF1|AF1|(当 P，A，F1共线时等号成立)， 6 2|PA|PF|6 2. 感悟升华1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦 点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等 2与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF
12、1|PF2| 2a，得到 a，c 的关系 考点二椭圆的标准方程 【例 1】 (1)(2021湖北四地七校联考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦 点分别为 F1，F2，离心率为1 2，过 F 2的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，若F1AB 的周长为 8，则椭圆方程为() A.x 2 4 y 2 3 1B.x 2 16 y2 121 C.x 2 2 y21D.x 2 4 y 2 2 1 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 3 2， 5 2 ，( 3， 5)， 则椭圆方程为_ (3)过点( 3， 5)， 且与椭圆y 2 25 x2 9 1 有相同
13、焦点的椭圆的标准方程为_ 答案(1)A(2)y 2 10 x2 6 1(3)y 2 20 y2 4 1 解析(1) 如图，由椭圆的定义可知，F1AB 的周长为 4a， 4a8，a2，又离心率为1 2， c1，b23， 所以椭圆方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn) 由 3 2 2 m 5 2 2 n1， 3m5n1， 解得 m1 6，n 1 10. 椭圆方程为y 2 10 x2 6 1. (3)法一(待定系数法)设所求椭圆方程为 y2 25k x2 9k1(k0，n0，mn)，不必考 虑焦点位置，用待定系数法求出 m，n 的值即可 (3)椭圆系
14、方程 与x 2 a2 y2 b21 共焦点的椭圆系为 x2 a2k y2 b2k1(k0) 【训练 1】已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3，0)，并且以坐标轴 为对称轴，则椭圆的标准方程为_ 答案 x2 9 y21 或y 2 81 x2 9 1 解析法一若椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 由题意，得 2a32b， 9 a2 0 b21， 解得 a3， b1. 所以椭圆的标准方程为x 2 9 y21. 若焦点在 y 轴上，设椭圆的方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) 由题意得 2a32b， 0 a2 9 b21， 解得 a9， b3
15、. 所以椭圆的标准方程为y 2 81 x2 9 1. 综上所述，椭圆的标准方程为x 2 9 y21 或y 2 81 x2 9 1. 法二设椭圆的方程为x 2 m y2 n 1(m0，n0，mn)， 则由题意，知 9 m1， 2 m32 n 或 9 m1， 2 n32 m， 解得 m9， n1 或 m9， n81. 所以椭圆的标准方程为x 2 9 y21 或y 2 81 x2 9 1. 考点三椭圆的几何性质 角度 1椭圆的离心率 【例 2】 (1)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 4 1 的一个焦点为(2，0)，则 C 的离心率为() A.1 3 B.1 2 C. 2 2 D.2 2 3 (2)
16、(2021重庆质检)已知椭圆 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，焦距为 2c，直线 l：y 2 4 x 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若|AB|2c，则椭圆 C 的离心率为() A. 3 2 B.3 4C. 1 2D. 1 4 (3)(2020淮北一模)设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2， 过 F2作 x 轴的垂线与 C 相交于 A， B 两点， F1B 与 y 轴相交于点 D， 若 ADF1B， 则椭圆 C 的离心率为_ 答案(1)C(2)A(3) 3 3 解析(1)不妨设 a0.因为椭圆 C 的一个焦点为(2，0)，所以焦点
17、在 x 轴上，且 c 2，所以 a2448，所以 a2 2，所以椭圆 C 的离心率 ec a 2 2 . (2)设第一象限的交点为 A(x， y)， 直线 y 2 4 x 的倾斜角为， 由 tan 2 4 ， 得 sin 1 3，cos 2 2 3 ， 即 A 2 2 3 c，1 3c， 把点 A 的坐标代入椭圆方程，得 8e418e290，即(4e23)(2e23)0，所以 e 3 2 . (3)由题意知 F1(c，0)，F2(c，0)，其中 c a2b2.因为过 F2且与 x 轴垂直的直 线为 xc，故由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为 A c，b 2 a ，B c，b 2 a .因为 A
18、B 平行于 y 轴，且 F1OOF2，所以 F1DDB，即 D 为线段 F1B 的中点，所以 点 D 的坐标为 0，b 2 2a .又 ADF1B， 所以 kADkF1B1， 即 b2 a b 2 2a c0 b 2 a 0 cc 1，整理得3b22ac，所以 3(a2c2)2ac.又 ec a，0e1，所以 3e2 2e 30，解得 e 3 3 . 感悟升华求椭圆离心率的方法 (1)直接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解 (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2a2c2消去 b，转化为 含有 e 的方程(或不等式)求解 (3)利用公式 e1b 2 a2求解 角
19、度 2与椭圆几何性质有关的最值范围问题 【例 3】 (1)已知点 A(0，2)及椭圆x 2 4 y21 上任意一点 P，则|PA|的最大值是 _ (2)(2021江西大联考)椭圆 G：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点为 F 1(c，0)，F2(c， 0)，M 是椭圆上一点，且满足F1M F2M 0.则椭圆离心率 e 的取值范围为() A. 0， 2 2B. 0， 2 2 C. 2 2 ，1 D. 2 2 ，1 答案(1)2 21 3 (2)D 解析(1)设 P(x0，y0)，则2x02，1y01， |PA|2x20(y02)2.x 2 0 4 y201，|PA|24(1y20)(
20、y02)23y2 04y08 3 y02 3 2 28 3 . 1y01，当 y02 3时，|PA| 2 max28 3 ，即|PA|max2 21 3 . (2)法一设点 M 的坐标为(x0，y0)，F1M F2M 0，F1(c，0)，F2(c，0)，(x0 c)(x0c)y200，即 x20y20c2. 又知点 M 在椭圆 G 上，x 2 0 a2 y20 b21， 由联立结合 a2b2c2解得 x20a 2（c2b2） c2 ， 由椭圆的性质可得 0 x20a2， 即 a2（c2b2） c2 0， a2（c2b2） c2 a2，即 c2b2， c2b2c2，所以 c 2b2，又知 b2a
21、2c2，c2a2 c2，即 2c2a2，解得 e21 2，又知 0e1， 2 2 e1，故选 D. 法二椭圆 G 上存在点 M 使F1M F2M 0，MF1MF2，即MF1F2是以 M 为直角顶点的直角三角形， |MF1|MF2|2a， |F1F2|2c， (|MF1|MF2|)22(|MF1|2|MF2|2)2|F1F2|28c2， |MF1|MF2|2 2c，e |F1F2| |MF1|MF2| 2c 2 2c 2 2 ，当且仅当|MF1|MF2| 2c 时，等号成立，又知 0eb0)，则下列 结论正确的是() A若 a2b，则椭圆的离心率为 2 2 B若椭圆的离心率为1 2，则 b a
22、3 2 C若点 F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线 l 过点 F1且与椭圆交于 A，B 两点，则ABF2的周长为 4a D若点 A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，点 P 为椭圆上异于点 A1，A2的任 意一点，则直线 PA1，PA2的斜率之积为b 2 a2 (2)已知椭圆 E： x2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F， 短轴的一个端点为 M， 直线 l： 3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小 于4 5，则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) A. 0， 3 2B. 0，3 4C. 3 2 ，1 D. 3 4，1 (3)已知点
23、P(0，1)，椭圆x 2 4 y2m(m1)上两点 A，B 满足AP 2PB，则当 m _时，点 B 横坐标的绝对值最大 答案(1)BCD(2)A(3)5 解析(1)若 a2b，则 c 3b，所以 e 3 2 ，A 不正确；若 e1 2，则 a2c，b 3c，所以b a 3 2 ，B 正确；根据椭圆的定义易知 C 正确；设点 P(x0，y0)，则x 2 0 a2 y 2 0 b21， 易知 A 1(a， 0)， A2(a， 0)， 所以直线 PA1，PA2的斜率之积是 y0 x0a y0 x0a y20 x20a2 b2 1x 2 0 a2 x20a2 b 2 a2，D 正确故选 BCD. (
24、2)设 左焦点 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形 |AF|BF|4， |AF|AF0|4， a2. 设 M(0，b)，则4b 5 4 5，1b2. 离心率 ec a c2 a2 a2b2 a2 4b2 4 0， 3 2 ，故选 A. (3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP 2PB，得 x12x2， 1y12（y21） ，即 x 12x2，y1 32y2.因为点 A，B 在椭圆上，所以 4x22 4 （32y2）2m， x22 4 y22m， 得 y21 4m 3 4，所 以 x22m(32y2)21 4m 25 2m 9 4 1 4(m5) 244，
25、所以当 m5 时， 点 B 横坐标的绝对值最大，最大值为 2. A 级基础巩固 一、选择题 1椭圆x 2 16 y2 251 的焦点坐标为( ) A(3，0)B(0，3)C(9，0)D(0，9) 答案B 解析根据椭圆方程可得焦点在 y 轴上，且 c2a2b225169，c3，故 焦点坐标为(0，3) 2若椭圆 x2my21 的焦点在 y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为 () A.1 4 B.1 2 C2D4 答案A 解析将原方程变形为 x2y 2 1 m 1.由题意知 a21 m，b 21，所以 a 1 m，b1. 所以 1 m2，所以 m 1 4.故选 A. 3 (2021长春
26、联考)阿基米德(公元前287公元前212年)不仅是著名的物理学家， 也是著名的数学家， 他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长 半轴长与短半轴长的乘积若椭圆 C 的焦点在 x 轴上，且椭圆 C 的离心率为 7 4 ， 面积为 12，则椭圆 C 的方程为() A.x 2 3 y 2 4 1B.x 2 9 y 2 161 C.x 2 4 y 2 3 1D.x 2 16 y2 9 1 答案D 解析由题意设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)由题意得 ab 12 12，又c a 7 4 ，a2b2c2，解得 a4，b3，所以椭圆 C 的方程为x 2 16 y2 9 1.故选
27、D. 4(2021湖北重点中学联考)已知椭圆x 2 4 y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且垂直于长轴的直线交椭圆于 A，B 两点，则ABF1内切圆的半径为() A.4 3 B1C.4 5 D.3 4 答案D 解析不妨设 A 点在 B 点上方，由题意知 F2(1，0)，将 F2的横坐标代入椭圆方 程x 2 4 y 2 3 1 中，可得 A 点纵坐标为3 2，故|AB|3，所以由 S 1 2Cr 得内切圆半径 r2S C 6 8 3 4(其中 S 为ABF 1的面积，C 为ABF1的周长) 5已知 F1，F2是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存
28、在点 P，使 F1PF290，则椭圆的离心率的取值范围是() A. 1 2，1B. 2 2 ，1 C. 3 4 ，1 D. 3 2 ，1 答案B 解析若存在点 P，则圆 x2y2c2与椭圆有公共点， 则F1BF290(B 为短轴端点)， 即 bca，即 b2c2， a2c2c2，a22c2， 2 2 e0)的离心率 e 10 5 ，则 m 的值为_ 答案3 或25 3 解析若 a25，b2m，则 c 5m， 由c a 10 5 ，即 5m 5 10 5 ，解得 m3. 若 a2m，b25，则 c m5. 由c a 10 5 ，即 m5 m 10 5 ，解得 m25 3 . 8已知椭圆 C：x
29、2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A 1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为_ 答案 6 3 解析以线段 A1A2为直径的圆是 x2y2a2，直线 bxay2ab0 与圆相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离 d 2ab a2b2a，整理为 a 23b2，即 a23(a2 c2)2a23c2，即c 2 a2 2 3，e c a 6 3 . 9 设 F1， F2为椭圆 C：x 2 36 y2 201 的两个焦点， M 为 C 上一点且在第一象限若 MF1F2为等腰三角形，则 M 的坐标为_ 答案(3， 15) 解析不妨设 F1
30、，F2分别为椭圆 C 的左、右焦点，则|MF1|MF2|，|F1F2|2c 2 36208， 因为MF1F2是等腰三角形， |MF1|MF2|，且|MF1|MF2|2a12， 所以|MF1|6，|MF2|b0)，F 1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B. (1)若F1AB90，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为 2，且AF2 2F2B ，求椭圆的方程 解(1)|AF1|AF2|a， 且F1AF290，|F1F2|2c， 2a24c2，a 2c，ec a 2 2 . (2)由题知 A(0，b)，F2(1，0)，设 B(x，y)， 由AF2 2F2
31、B ，解得 x3 2，y b 2， 代入x 2 a2 y2 b21，得 9 4 a2 b2 4 b2 1， 即 9 4a2 1 41，解得 a 23，b2a2c22. 所以椭圆方程为x 2 3 y 2 2 1. 11(2019全国卷)已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐标原点 (1)若POF2为等边三角形，求 C 的离心率； (2)如果存在点 P，使得 PF1PF2，且F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的 取值范围 解(1)连接 PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中， F1PF290， |PF2| c
32、， |PF1| 3c， 于是 2a|PF1|PF2|( 31)c， 故 C 的离心率为 ec a 3 1. (2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在当且仅当 1 2|y|2c16， y xc y xc1， x2 a2 y2 b21， 即 c|y|16， x2y2c2， x2 a2 y2 b21. 由及 a2b2c2得 y2b 4 c2. 又由知 y216 2 c2 ，故 b4. 由及 a2b2c2得 x2a 2 c2(c 2b2)， 所以 c2b2，从而 a2b2c22b232， 故 a4 2. 当 b4，a42时，存在满足条件的点 P. 所以 b4，a 的取值范围为4 2，) B 级
33、能力提升 12(多选题)(2021广州模拟)已知 F 是椭圆x 2 25 y2 161 的右焦点，椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi(i1，2，3)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为 d(d0) 的等差数列，则() A该椭圆的焦距为 6B|FP1|的最小值为 2 Cd 的值可以为 3 10 Dd 的值可以为2 5 答案ABC 解析由椭圆x 2 25 y2 161，得 a5，b4，c3，故 A 正确； 椭圆上的动点 P，ac|PF1|ac，即有 2|PF1|8，故|FP1|的最小值为 2， B 正确； 设|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成的等差数列为an，公差 d0，则
34、a12，an8， 又 dana1 n1 ， 所以 d 6 n1 6 211 3 10， 所以 0d 3 10， 所以 d 的最大值是 3 10， 故 C 正确，D 错误 13(2020济南针对训练)已知 F1，F2分别是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右 焦点， A， B是椭圆上关于x轴对称的两点， AF2的中点P恰好落在y轴上， 若BP AF2 0，则椭圆 C 的离心率为_ 答案 3 3 解析设 F2(c，0)，因为 AF2的中点 P 在 y 轴上，所以xAc 2 0，解得 xAc， 所以点 A，F1，B 三点共线因为BP AF2 0，所以 BPAF2，所以 BP 垂直平
35、分 AF2，所以|AB|BF2|.又由椭圆的对称性，知|AF2|BF2|，所以ABF2为等边三 角形因为|F1F2|2c，所以由|F1F2| 3 2 |AF2|得|AF2|4 3 3 c，所以|AF1|1 2|AF 2| 2 3 3 c.由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，即 4 3 3 c2 3 3 c2 3c2a，所以 e c a 3 3 . 14(2021福建调研)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)，若椭圆上一点 P 与其中心 及长轴一个端点构成等腰直角三角形 (1)求椭圆 E 的离心率； (2)如图，若直线 l 与椭圆相交于 A，B，且 AB 是圆(x1)2(y1)
36、25 的一条直 径，求椭圆 E 的标准方程 解(1)由题意不妨设椭圆上的点 P 的坐标为 a 2， a 2 ， 代入椭圆方程可得1 4 a2 4b2 1，即 a23b2，a23b23(a2c2)，2a23c2，e 6 3 . (2)由(1)得椭圆 E 的方程为 x2 3b2 y2 b21，易知直线 l 的斜率存在，设其方程为 y k(x1)1，A(x1，y1)，B(x2，y2) yk（x1）1， x23y23b2 (3k21)x26k(k1)x3(k1)23b20. x1x26k（k1） 3k21 ，x1x23（k1） 23b2 3k21 . 又 x1x22，k1 3，x 1x2169b 2 4 ， 则|AB| 1k2（x1x2）24x1x2 10 3 44169b 2 4 2 5， b210 3 ，则 a210， 椭圆 E 的标准方程为x 2 10 y2 10 3 1.
