1、INNOVATIVE DESIGN 第二章 第4节幂函数与二次函数 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.幂函数幂函数 (2)常见的五种幂函数的图像常见的五种幂函数的图像 (1)幂函数的定义幂函数的定义 一般地，函数一般地，函数yx称为幂函数，其中称为幂函数，其中为常数为常数. 索引 (3)幂函数的性质幂函数的性质 所有的幂函数在区间所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，上都有定义，因此在第一象限内都有图像， 并且图像都通过点并且图像都通过点(1，1). 如果如果0，
2、则幂函数的图像通过原点，并且在区间，则幂函数的图像通过原点，并且在区间0，)上是增函数上是增函数. 如果如果0)yax2bxc(a0时，幂函数时，幂函数yx在在(0，)上是增函数上是增函数. () (3)二次函数二次函数yax2bxc(a0)的两个零点可以确定函数的解析式的两个零点可以确定函数的解析式. () 解析解析(1)由于幂函数的解析式为由于幂函数的解析式为f(x)x，故，故y2x 不是幂函数，不是幂函数，(1)错误错误. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析 式式. 索引 解析解析因为
3、因为f(x)kx是幂函数，是幂函数， 所以所以k1. C 索引 3.已知函数已知函数f(x)2x2mx3(0m4，0 x1)的最大值为的最大值为4，则，则m的值为的值为 _. 2 2 0m4， m 2 8 34，解得，解得m2 2. 索引 解析解析不等式不等式(x21) (3x5) 等价于等价于x213x50， A 索引 5.(2020武汉质检武汉质检)若若函数函数f(x)4x2kx8在在5，8上是单调函数，则上是单调函数，则k的取值范的取值范 围是围是 () A.(，40 B.40，64 C.(，4064，) D.64，) C 且且f(x)在在5，8上是单调函数，上是单调函数， 索引 解析解
4、析由由yx为奇函数，知为奇函数，知取取1，1，3. 又又yx在在(0，)上递减，上递减， 0，取，取1. 1 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 1.若幂函数若幂函数yf(x)的图像过点的图像过点(4，2)，则幂函数，则幂函数yf(x)的大致图像是的大致图像是 () 解析解析设幂函数的解析式为设幂函数的解析式为yx， 因为幂函数因为幂函数yf(x)的图像过点的图像过点(4，2)， 考点一幂函数的图像和性质 / 自主演练自主演练 C 索引 AD 索引 解析解析由于由于f(x)(m1)xn为幂函数，为幂函数， 所以所以m11，则，则m2，f(x)xn. 又点又点(2，8)在函数在函数f(x)x
5、n的图像上，的图像上， 所以所以82n，知，知n3，故，故f(x)x3，且在，且在R上是增函数，上是增函数， A 索引 4.(2021长沙质检长沙质检)幂幂函数函数f(x)(m23m3)xm的图像关于的图像关于y轴对称，则实数轴对称，则实数m _. 解析解析由幂函数定义，知由幂函数定义，知m23m31， 解得解得m1或或m2， 当当m1时，时，f(x)x的图像不关于的图像不关于y轴对称，舍去，轴对称，舍去， 当当m2时，时，f(x)x2的图像关于的图像关于y轴对称，轴对称， 因此因此m2. 2 索引 1.对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，对于幂函数图像的掌握，
6、需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域， 即即x1，y1，yx所分区域所分区域.根据根据0，01的取值确定位置后，的取值确定位置后， 其余象限部分由奇偶性决定其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调 性进行比较性进行比较. 3.在区间在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴轴(简记为简记为“指大图指大图 低低”)，在区间，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴轴.
7、 感悟升华 索引 【例例1】已已知二次函数知二次函数f(x)满足满足f(2)1，f(1)1，且，且f(x)的最大值是的最大值是8，试，试 确定该二次函数的解析式确定该二次函数的解析式. 解解法一法一(利用利用“一般式一般式”) 设设f(x)ax2bxc(a0). 所求二次函数的解析式为所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7. 考点二二次函数的解析式 / 师生共研师生共研 索引 法二法二(利用利用“顶点式顶点式”) 设设f(x)a(xm)2n(a0). 因为因为f(2)f(1)， 又根据题意，函数有最大值又根据题意，函数有最大值8，所以，所以n8， 所以所以 yf(x)a x1 2 2 8.
8、 索引 法三法三(利用利用“零点式零点式”) 由已知由已知f(x)10的两根为的两根为x12，x21， 故可设故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)， 即即f(x)ax2ax2a1. 解得解得a4或或a0(舍舍). 故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为f(x)4x24x7. 索引 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二 次函数解析式的形式，一般选择规律如下：次函数解析式的形式，一般选择规律如下： 感悟升华 索引 【训练训练1】 (1)已已知二次函数知二次函数f(x)与与x轴的两个交点坐标为
9、轴的两个交点坐标为(0，0)和和(2，0)，且有，且有 最小值最小值1，则，则f(x)_. 解析解析设函数的解析式为设函数的解析式为f(x)ax(x2)(a0)， 所以所以f(x)ax22ax， 得得a1，所以，所以f(x)x22x. x22x 索引 【训练训练1】 (2)已已知二次函数知二次函数f(x)的图像经过点的图像经过点(4，3)，在，在x轴上截得的线段长为轴上截得的线段长为2， 并且对任意并且对任意xR，都有，都有f(2x)f(2x)，则，则f(x)_. 解析解析因为因为f(2x)f(2x)对对xR恒成立，恒成立， 所以所以yf(x)的图像关于的图像关于x2对称对称. 又又yf(x)
10、的图像在的图像在x轴上截得的线段长为轴上截得的线段长为2， 所以二次函数所以二次函数f(x)与与x轴的两交点坐标为轴的两交点坐标为(1，0)和和(3，0). 因此设因此设f(x)a(x1)(x3). 又点又点(4，3)在在yf(x)的图像上，的图像上， 所以所以3a3，则，则a1. 故故f(x)(x1)(x3)x24x3. x24x3 索引 角度角度1二次函数的图像二次函数的图像 【例例2】 (1)(多选题多选题)(2020济南月考济南月考)如如图是二次函数图是二次函数 yax2bxc(a0)图像的一部分，图像过点图像的一部分，图像过点A(3，0)， 对称轴为对称轴为x1.则则( ) A.b2
11、4ac B.2ab1 C.abc0 D.5a0， 即即b24ac，A正确正确. 考点三二次函数的图像和性质 / 多维探究多维探究 AD 索引 结合图像，当结合图像，当x1时，时，y0，即，即abc0，C错误错误. 由对称轴为由对称轴为x1知，知，b2a. 根据抛物线开口向下，知根据抛物线开口向下，知a0，所以，所以5a2a， 即即5a0)，若，若f(m)0 D.f(m1)0 C 所以所以f(x)的大致图像如图所示的大致图像如图所示. 由由f(m)0，得，得1mf(0)0. 索引 1.研究二次函数图像应从研究二次函数图像应从“三点一线一开口三点一线一开口”进行分析，进行分析，“三点三点”中有一个
12、点中有一个点 是顶点，另两个点是图像上关于对称轴对称的两个点，常取与是顶点，另两个点是图像上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；轴的交点； “一线一线”是指对称轴这条直线；是指对称轴这条直线；“一开口一开口”是指抛物线的开口方向是指抛物线的开口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图像特征，分析不等求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图像特征，分析不等 关系成立的条件关系成立的条件. 感悟升华 索引 角度角度2二次函数的单调性与最值二次函数的单调性与最值 【例例3】(2021沈阳模拟沈阳模拟)已已知知f(x)ax22x(0 x1)，求，求f(x)的最小值
13、的最小值. 解解(1)当当a0时，时，f(x)2x在在0，1上递减，上递减， f(x)minf(1)2. f(x)minf 1 a 1 a 2 a 1 a. 索引 f(x)在在0，1上递减上递减. f(x)minf(1)a2. (3)当当a0时，时，f(x)ax22x的图像的开口方向向下，的图像的开口方向向下， f(x)ax22x在在0，1上递减上递减. f(x)minf(1)a2. 索引 (1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴三点一轴”数形结合，三点是指数形结合，三点是指 区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图像，根据函数的单调性及分类
14、区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图像，根据函数的单调性及分类 讨论的思想求解讨论的思想求解. (2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴 定区间动定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图像的对称轴与区间的位置关系，当无论哪种类型，解题的关键都是图像的对称轴与区间的位置关系，当 含有参数时，要依据图像的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论含有参数时，要依据图像的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 感悟升华 索引 角度角度3二次函数中的恒成立问题二次函数中的恒成立问题 【例例4】设设函数函数f
15、(x)mx2mx1. (1)若对于一切实数若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求恒成立，求m的取值范围；的取值范围； 解解要使要使mx2mx10恒成立，恒成立， 若若m0，显然，显然10，满足题意；，满足题意； 即即4m0. 4m0. 所求所求m的取值范围是的取值范围是(4，0. 索引 【例例4】设设函数函数f(x)mx2mx1. (2)对于对于x1，3，f(x)m5恒成立，求恒成立，求m的取值范围的取值范围. 解解法一法一要使要使f(x)0时，时，g(x)在在1，3上是增函数，上是增函数， g(x)maxg(3)7m60， 令令g(x)m x1 2 2 3 4m 6，x1，3. 索引 当当m
16、0时，时，60恒成立；恒成立； 当当m0时，时，g(x)在在1，3上是减函数，上是减函数， g(x)maxg(1)m60，得，得m6， m0. 索引 法二法二当当x1，3时，时，f(x)m5恒成立，恒成立， 即当即当x1，3时，时，m(x2x1)60恒成立恒成立. 又又m(x2x1)60， ， 索引 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值，
17、至于用哪种方法，关键是看参数 是否易分离是否易分离.其中分离参数的依据是：其中分离参数的依据是：af(x)恒成立恒成立af(x)max，af(x)恒成立恒成立 af(x)min. 感悟升华 索引 【训练训练2】 (1)(2021重庆联考重庆联考)已已知二次函数知二次函数f(x)满足满足f(3x)f(3x)，若，若f(x)在在 区间区间3，)上单调递减，且上单调递减，且f(m)f(0)恒成立，则实数恒成立，则实数m的取值范围是的取值范围是 () A.(，0 B.0，6 C.6，)D.(，06，) 解析解析设设f(x)ax2bxc(a，b，cR，且，且a0)， f(3x)f(3x)， a(3x)2
18、b(3x)ca(3x)2b(3x)c， x(6ab)0， 6ab0， f(x)ax26axca(x3)29ac. 又又f(x)在区间在区间3，)上单调递减，上单调递减， a2xm恒成立，则恒成立，则 实数实数m的取值范围是的取值范围是_. 解析解析f(x)2xm等价于等价于x2x12xm， 即即x23x1m0， 令令g(x)x23x1m， 要使要使g(x)x23x1m0在在1，1上恒成立，上恒成立， 只需使函数只需使函数g(x)x23x1m在在1，1上的最小值大于上的最小值大于0即可即可. g(x)x23x1m在在1，1上单调递减，上单调递减， g(x)ming(1)m1. 由由m10，得，得
19、m1. 因此满足条件的实数因此满足条件的实数m的取值范围是的取值范围是(，1). (，1) 索引 (3)设函数设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数，求函数f(x)的最小值的最小值. 解解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图像的对称轴为，函数图像的对称轴为 x1. 当当t11，即，即t0时，函数图像如图时，函数图像如图(1)所示，函数所示，函数f(x)在区间在区间t，t1上为减函数，上为减函数， 所以最小值为所以最小值为f(t1)t21； 当当t1t1，即，即0t1时，函数图像如图时，函数图像如图(2)所示，所示， 在对称轴在对称轴x1处取得最小值，最小值为处取
20、得最小值，最小值为f(1)1； 索引 当当t1时，函数图像如图时，函数图像如图(3)所示，函数所示，函数f(x)在区间在区间t，t1上为增函数，上为增函数， 所以最小值为所以最小值为f(t)t22t2. 综上可知，当综上可知，当t0时，时，f(x)mint21， 当当0t0，解得，解得m1. B 0112131407080910110203040506索引 2.(2021辽宁部分重点高中联考辽宁部分重点高中联考)函函数数y1|xx2|的图像大致是的图像大致是 ()C 解析解析 当当0 x1时，时，yx2x1 x1 2 2 3 4， ， 因此，结合图像，选项因此，结合图像，选项C正确正确. 01
21、12131407080910110203040506索引 A 则则f(x)x ， 0112131407080910110203040506索引 4.(2021西安检测西安检测)已已知函数知函数f(x)x 3，若 ，若af(0.60.6)，bf(0.60.4)，cf(0.40.6)， 则则a，b，c的大小关系是的大小关系是 () A.acbB.bacC.bcaD.cab 解析解析0.40.60.60.60.60.4， 又又yf(x)x 3在 在(0，)上是减函数，上是减函数， ba1)的定义域和值域都为的定义域和值域都为1，a， 则则b_. 解析解析f(x)x22axb的图像关于的图像关于xa对
22、称，对称， 所以所以f(x)在在1，a上为减函数，上为减函数， 又又f(x)的值域为的值域为1，a， 消去消去b，得，得a23a20，解得，解得a2(a1)， 从而得从而得b3a15. 5 所以所以 f（ （1）12aba， f（a）a22a2b1. 0112131407080910110203040506索引 9.设函数设函数f(x)ax22x2，对于满足，对于满足1x4的一切的一切x的值都有的值都有f(x)0，则实数，则实数a 的取值范围为的取值范围为_. 0112131407080910110203040506索引 三、解答题三、解答题 10.已已知函数知函数f(x)x22ax3，x4，
23、6. (1)当当a2时，求时，求f(x)的最值；的最值； 解解当当a2时，时，f(x)x24x3(x2)21，由于，由于x4，6， f(x)在在4，2上单调递减，在上单调递减，在2，6上单调递增，上单调递增， f(x)的最小值是的最小值是f(2)1， 又又f(4)35，f(6)15， 故故f(x)的最大值是的最大值是35. 0112131407080910110203040506索引 10.已已知函数知函数f(x)x22ax3，x4，6. (2)求实数求实数a的取值范围，使的取值范围，使yf(x)在区间在区间4，6上是单调函数上是单调函数. 解解由于函数由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是
24、的图像开口向上，对称轴是xa， 所以要使所以要使f(x)在在4，6上是单调函数，应有上是单调函数，应有a4或或a6， 即即a6或或a4， 故故a的取值范围是的取值范围是(，64，). 0112131407080910110203040506索引 11.已知二次函数已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR且且a0)，xR. (1)若函数若函数f(x)的最小值为的最小值为f(1)0，求，求f(x)的解析式，并写出单调区间；的解析式，并写出单调区间； 所以所以f(x)x22x1， 由由f(x)(x1)2知，函数知，函数f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为1，)，单调递减区间为，单调递减区间为
25、(，1. 0112131407080910110203040506索引 11.已知二次函数已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR且且a0)，xR. (2)在在(1)的条件下，的条件下，f(x)xk在区间在区间3，1上恒成立，试求上恒成立，试求k的取值范围的取值范围. 解解由题意知，由题意知，x22x1xk在区间在区间3，1上恒成立，上恒成立， 即即kx2x1在区间在区间3，1上恒成立，上恒成立， 令令g(x)x2x1，x3，1， 则则g(x)ming(1)1，所以，所以k2xm恒成立；恒成立； 即即x23x1m在区间在区间1，1上恒成立上恒成立. 因为因为g(x)在在1，1上的最小值为上的最小值为g(1)1， 所以所以m1.故实数故实数m的取值范围为的取值范围为(，1). 所以令所以令g(x)x23x1 x3 2 2 5 4， ， INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
