1、INNOVATIVE DESIGN 第一章 第6节均值不等式及其应用 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.均值不等式均值不等式 ab 索引 2.两个重要的不等式两个重要的不等式 2ab (3)(ab)24ab；2(a2b2)(ab)2. 当且仅当当且仅当ab时，等号成立时，等号成立. 索引 3.利用均值不等式求最值利用均值不等式求最值 xy小小 xy大大 索引 诊断自测 / 索引 解析解析(1)不等式不等式a2b22ab成立的条件是成立的条件是a，bR； 索引 索引 解析解析因为因为xy18
2、， A 索引 解析解析由指数函数的单调性可知，当由指数函数的单调性可知，当xy时，有时，有3x3y，故，故A正确；正确； 当当0 xy时，时，x2y2不成立，故不成立，故C错误；错误； x2y22xy(xy)20成立，即成立，即x2y22xy成立，故成立，故D正确正确. AD 索引 即即x3时取等号，时取等号， 即当即当f(x)取得最小值时，取得最小值时，x3，即，即a3，故选，故选C. C 索引 5.(2020长沙月考长沙月考)一一段长为段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m， 则这个矩形的长为则这个矩形的长为_m，宽为，宽为_m时
3、菜园面积最大时菜园面积最大. 解析解析设矩形的长为设矩形的长为x m，宽为，宽为y m.则则x2y30(0 x18)， 15 索引 解析解析由题设知由题设知a3b6， 又又2a0，8b0， 所以所以 2a 1 8b 22a 1 8b 22 a3b 2 1 4， ， 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 解析解析y4x(32x)22x(32x) 考点一利用均值不等式求最值 / 多维探究多维探究 角度角度1配凑法求最值配凑法求最值 【例【例 1】 (1)(2021乐山模拟乐山模拟)设设 0 x3 2，则函数 ，则函数 y4x(32x)的最大值为的最大值为_. 9 2 索引 1 解析解析 因为因为
4、 x0， 索引 A 因为因为x1，所以，所以x10， 所以所以 f(x)2 124， 故故f(x)有最小值有最小值4. 索引 解析解析因为因为m2n8， 1m2n 索引 角度角度3消元法求最值消元法求最值 【例例3】(2020江苏卷江苏卷)已已知知5x2y2y41(x，yR)，则，则x2y2的最小值是的最小值是_. 解析解析由题意知由题意知y0. 索引 利用均值不等式求最值的方法利用均值不等式求最值的方法 (1)知和求积的最值：知和求积的最值：“和为定值，积有最大值和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：但应注意以下两点： 具备条件具备条件正数；正数；验证等号成立验证等号成立. (2)知积求
5、和的最值：知积求和的最值：“积为定值，和有最小值积为定值，和有最小值”，直接应用均值不等式求解，但，直接应用均值不等式求解，但 要注意利用均值不等式求最值的条件要注意利用均值不等式求最值的条件. (3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用 “变量替换变量替换”或或“常数常数1”的替换，构造不等式求解的替换，构造不等式求解. 感悟升华 索引 A 索引 BD 解析解析 对于对于 A，取，取 x3 2， ，y1 2，可得 ，可得 2x2y3 24，A 错误；错误； 当且仅当当且仅当x0时等号成立，时等号成
6、立，B正确；正确； 索引 索引 考点二均值不等式的综合应用 / 师生共研师生共研 解析解析 (1)因为因为 f(x)1 3x 3 ax2(b4)x1(a0，b0)， 所以所以f(x)x22axb4. 因为因为f(x)在在x1处取得极值，处取得极值， 所以所以f(1)0，所以，所以12ab40，解得，解得2ab3. C 索引 B a2 a19， a4， 即正实数即正实数a的最小值为的最小值为4，故选，故选B. 索引 1.当均值不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用均值不等式的条件，当均值不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用均值不等式的条件， 然后利用常数代换法求最值然后利用常数代换
7、法求最值. 2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用均值不等式确定相关成立的条求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用均值不等式确定相关成立的条 件，从而得到参数的值或范围件，从而得到参数的值或范围. 感悟升华 索引 解析解析由由ABC的面积为的面积为2， 在在ABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得 C 索引 当且仅当当且仅当b2，c4时，等号成立，故选时，等号成立，故选C. 索引 A 由三点共线的充要条件可得由三点共线的充要条件可得41， 故故4 1 的最小值为 的最小值为 16.故选故选 A. 索引 考点三均值不等式的实际应用 / 师生共研师生共研 37.5 当且仅当当且仅当 x1
8、1 4 时取等号，即最大月利润为时取等号，即最大月利润为 37.5 万元万元. 索引 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围使实际问题有意义的自变量的取值范围) 内求解内求解. 感悟升华 索引 【训练训练3】某某公司一年购买某种货物公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，每次购买x吨，运
9、费为吨，运费为6万元万元/次，一年次，一年 的总存储费用为的总存储费用为4x万元万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是的值是 _.30 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 01121314150708091011020304050616索引 C 011213141507080910110203040506索引16 解析解析因为因为3x2y2， 当且仅当当且仅当3x2y2且且3x2y， A 011213141507080910110203040506索引16 解析解析因为因为a，b0， 所以所以0ab1， 当且仅当当且仅当
10、ab1时等号成立时等号成立. 由由ab1，得，得2ab2， 所以所以2ab的最大值为的最大值为2，A错误；错误； a2b2(ab)22ab422，B正确；正确； BCD 011213141507080910110203040506索引16 C xy7，故，故xy的最小值为的最小值为7. 011213141507080910110203040506索引16 5.要制作一个容积为要制作一个容积为4 m3，高为，高为1 m的无盖长方体容器的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是已知该容器的底面造价是 每平方米每平方米20元，侧面造价是每平方米元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是元，则
11、该容器的最低总造价是 () A.80元元B.120元元C.160元元 D.240元元 C 解析解析由题意知，体积由题意知，体积V4 m3，高，高h1 m， 011213141507080910110203040506索引16 解析解析x2y2xy1(xy)2xy1， B 011213141507080910110203040506索引16 解析解析因为因为log2xlog4ylog4x2log4ylog4(x2y)1， 当且仅当当且仅当x2y2时等号成立，时等号成立， 即即x2y的最小值为的最小值为4. 故选故选C. C 011213141507080910110203040506索引16 解
12、析解析对任意对任意m，n(0，)，都有，都有m2amn2n20， B 011213141507080910110203040506索引16 a0，b0， 8 4b a 4a b 42 b a 4a b 8 当且仅当当且仅当b a 4a b ，即，即b2a4时，等号成立时，等号成立 . 故故2ab的最小值为的最小值为8. 011213141507080910110203040506索引16 10.已知已知x0，y0，x3yxy9，则，则x3y的最小值为的最小值为_. 解析解析法一法一(换元消元法换元消元法) 由已知得由已知得x3y9xy， 因为因为x0，y0， 当且仅当当且仅当x3y，即，即x3
13、，y1时取等号，时取等号， 即即(x3y)212(x3y)1080， 令令x3yt，则，则t0且且t212t1080， 得得t6，即，即x3y的最小值为的最小值为6. 6 所以所以 3xy x3y 2 2 ， 011213141507080910110203040506索引16 法二法二(代入消元法代入消元法) 所以所以x3y的最小值为的最小值为6. 011213141507080910110203040506索引16 解析解析因为因为a0，b0，ab1， 4 011213141507080910110203040506索引16 解析解析x1， x10， 当且仅当当且仅当 x1 3 x1，即
14、，即 x 31 时，等号成立时，等号成立. B级 能力提升 / 索引01121314150708091011020304050616 解析解析由均值不等式可得由均值不等式可得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca， 2(a2b2c2)2(abbcca)2， (abc)2a2b2c22(abbcca)3， BD 因此，因此，A，C错误，错误，B，D正确正确.故选故选BD. 011213141507080910110203040506索引16 解析解析由题意可得由题意可得a3b6， B 1 9 53b 2 a1 4（ （a1） 3b2 1， 故故 1 a1 4 3b2的最小值为 的最小值为 1，选，选 B. 011213141507080910110203040506索引16 解析解析a，bR，ab0，a 4 当且仅当当且仅当 a22b2， 4ab 1 ab， ，即 即 a2 2 2 ， b2 2 4 时取得等号时取得等号. 011213141507080910110203040506索引16 解析解析对任意对任意xN*，f(x)3， 设设 g(x)x8 x， ，xN*，则，则 g(x)x8 x 4 2， g(2)g(3)， g(x)min17 3 . INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
